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2025年浙江省中考数学模拟试卷（7）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025 天镇县模拟）2025年春季新学期开学第一天，大同市的最高气温为3℃，最低气温为﹣13℃，则这一天的温差是（　　）
A．16℃ B．10℃ C．﹣16℃ D．﹣10℃
2．（2025 金乡县一模）2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约2kg的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（　　）
A．384×103 B．38.4×104 C．3.84×105 D．0.384×106
3．（2025 拱墅区一模）若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
4．（2024 长沙）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．（2025 门头沟区一模）不透明袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，它们除颜色外无差别．如果从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，两次都取到白色小球概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025 老河口市模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接AC，AD，BD，CD．若∠C＝50°，则∠BAD的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
7．（2025 站前区校级模拟）下列运用等式的性质变形错误的是（　　）
A．若a2＝2a，则a＝2
B．若x＝y，则xc＝yc
C．若x＝y，则
D．若x＝y，则5﹣x＝5﹣y
8．（2025 南岸区模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，3），B（1，1），C（4，2），以原点O为位似中心，作△DEF与△ABC位似．若点D的坐标为（2，6），则点F的坐标为（　　）
A．（8，4） B．（4，8） C．（6，5） D．（5，6）
9．（2025 保康县模拟）已知A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（　　）
A．y1+y2＜0 B．y1﹣y2＞0 C．y1﹣y2＜0 D．y1+y2＞0
10．（2025 罗湖区二模）边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且BE＝CF，AE与BF相交于点G，当CG长最小时，BE的长是（　　）
A．2 B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2025 楚雄州一模）分解因式：m2﹣9m＝　 　 ．
12．（2025 衡阳模拟）化简：4x3﹣x3＝　 　 ．
13．（2025 同安区一模）某校田径队对学生进行百米跑训练，其中甲、乙、丙、丁四位同学成绩突出，表格中记录了他们10次百米跑所用时间的平均值x与方差s2，要从中选择一名成绩优秀且发挥稳定的同学代表学校参加全市的田径百米跑比赛，应该选择　 　 ．
甲 乙 丙 丁
x/秒 12.1 13.1 12.1 13.1
s2 0.6 0.6 0.9 0.5
14．（2025 扬州一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+a与直线y＝﹣3x+b相交于点A，则关于x、y的二元一次方程组的解是　 　 ．
15．（2025 温江区二模）在平面直角坐标系xOy中，若二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上存在A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当m﹣2＜x1＜x2＜m时，满足y1＝y2，则m的取值范围为　 　 ．
16．（2025 高青县一模）在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，点N，M分别是边AB和AC上的动点，始终保持CM＝AN，连接CN，MB，则CN+MB的最小值为 　 　 ．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．（2025 宣城一模）计算：．
18．（2025 济阳区模拟）解不等式组，并写出这个不等式组的所有整数解．
19．（2025 扬州一模）寒假第一课《少年急救官生命教育安全课》于2月1日以视频课的形式开播．某校为了解学生观看视频课的时长，随机抽取了部分学生观看视频课的时长t（单位：h）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.2，0.2，0.3，绘制成如下不完整的统计图表．
各组观看视频课时长频数分布表
组别 频数
A 0＜t≤0.5 5
B 0.5＜t≤1 12
C 1＜t≤1.5 m
D 1.5＜t≤2 15
E t＞2 8
请根据以上信息回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 　 　 ；
（2）A组数据的众数是 　 　 ，扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的度数是 　 　 ；
（3）若该校有1800名学生，估计该校学生观看视频课时长超过1.5h的人数．
20．（2025 兴化市一模）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，BF＝AC．
（1）求证：△ADC≌△BDF；
（2）若DF＝2，AF＝3，求BC的长
21．（2025 拱墅区一模）如图，直线AM∥BN，连接AB，作∠ABN的平分线BC，交AM于点C．
（1）求证：AB＝AC．
（2）圆圆说：“以点C为圆心，CA长为半径作弧，交BN于点D，则四边形ABDC为菱形．”圆圆的说法是否正确？若正确，请证明；若不正确，说明作法中存在的问题，并说说使作出的四边形ABDC为菱形的点D的方法．
22．（2025 湖州一模）电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值如表：
频率f（MHz） 5 10 15 20 25 30
波长λ（m） 60 30 20 15 12 10
（1）根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长λ（m）关于频率f（MHz）的函数表达式．
（2）当该电磁波的频率为50MHz时，它的波长是多少m？
23．（2025 海安市一模）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（0，﹣1），点B（6，y0）．
（1）若AB∥x轴，求抛物线的对称轴；
（2）点C（m，n）为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有n≥﹣1．
①求a的取值范围；
②若a＜0，点D（t，y1），E（3t+2，y2）在抛物线上，当1≤t≤2时，都有y1≥y2，求a的值．
24．（2025 潢川县一模）在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作推断
如图1，点P是正方形纸片ABCD的边AD的中点，沿BP折叠，使点A落在点M处，延长BM交CD于点F，连接PF．则∠BPF＝　 　 °．
（2）迁移探究
小华在（1）的条件下，继续探究：如图2，延长PM交CD于点E，连接BE．
①∠PBE＝　 　 °；
②小华用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现CF＝3FD．请判断该发现是否正确？并说明理由．
（3）拓展应用
将边长为1的两个相同正方形拼成矩形ABCD，如图3，点P是AD上一动点，沿BP折叠，使点A落在点M处，射线BM交射线CD于点F．当DF＝DC时，直接写出AP的长．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025 天镇县模拟）2025年春季新学期开学第一天，大同市的最高气温为3℃，最低气温为﹣13℃，则这一天的温差是（　　）
A．16℃ B．10℃ C．﹣16℃ D．﹣10℃
【点拨】根据题意，大同市的最高气温为3℃，最低气温为﹣13℃，温差＝最高气温﹣最低气温，代入数据计算即可．
【解析】解：3﹣（﹣13）＝16（℃）．
答：这一天的温差是16℃．
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的减法、正数和负数，解决本题的关键是用减法计算．
2．（2025 金乡县一模）2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约2kg的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（　　）
A．384×103 B．38.4×104 C．3.84×105 D．0.384×106
【点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】解：384000＝3.84×105．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2025 拱墅区一模）若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【点拨】根据分式的值为零的条件，可得x﹣1＝0，由此解答即可．
【解析】解：∵分式，
∴x﹣1＝0，
∴x＝1．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件是解题的关键．
4．（2024 长沙）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【点拨】由三角形内角和定理求出∠C，再根据平行线的性质解答即可．
【解析】解：∵∠BAC＝60°，∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠C＝70°，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
5．（2025 门头沟区一模）不透明袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，它们除颜色外无差别．如果从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，两次都取到白色小球概率为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】列表可得出所有等可能的结果数以及两次都取到白色小球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解析】解：列表如下：
红 白
红 （红，红） （红，白）
白 （白，红） （白，白）
共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种，
∴两次都取到白色小球的概率为．
故选：A．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
6．（2025 老河口市模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接AC，AD，BD，CD．若∠C＝50°，则∠BAD的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【点拨】由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB＝90°，再由三角形内角和定理和同弧所对的圆周角相等即可得到答案．
【解析】解；∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠C＝50°，
∴∠BAD＝180°﹣90°﹣50°＝40°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，关键是熟练掌握圆周角定理．
7．（2025 站前区校级模拟）下列运用等式的性质变形错误的是（　　）
A．若a2＝2a，则a＝2 B．若x＝y，则xc＝yc
C．若x＝y，则 D．若x＝y，则5﹣x＝5﹣y
【点拨】利用等式的性质逐项判断即可．
【解析】解：若a2＝2a，当a≠0时，两边同除以a得a＝2，则A符合题意；
若x＝y，两边同乘c得xc＝yc，则B不符合题意；
若x＝y，两边同除以a2+1得，则C符合题意；
若x＝y，两边同乘﹣1后再同时加上5得5﹣x＝5﹣y，则D符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
8．（2025 南岸区模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，3），B（1，1），C（4，2），以原点O为位似中心，作△DEF与△ABC位似．若点D的坐标为（2，6），则点F的坐标为（　　）
A．（8，4） B．（4，8） C．（6，5） D．（5，6）
【点拨】根据位似变换的性质解答即可．
【解析】解：∵△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，
∴点D的坐标为（4×2，2×2），即（8，4），
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
9．（2025 保康县模拟）已知A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（　　）
A．y1+y2＜0 B．y1﹣y2＞0 C．y1﹣y2＜0 D．y1+y2＞0
【点拨】根据反比例函数图象与性质即可得到答案．
【解析】解：由反比例函数可知，
该反比例函数位于第二、四象限，且在每一个象限内y随x的增大而增大；
又∵x1＜0＜x2，
∴y1＞0＞y2．
∴y1﹣y2＞0，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象和性质是解题的关键．
10．（2025 罗湖区二模）边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且BE＝CF，AE与BF相交于点G，当CG长最小时，BE的长是（　　）
A．2 B． C． D．
【点拨】根据SAS证明△ABE≌△BCF得∠AGB＝90°，取AB的中点G，连接HG，CG，首先证明G点的运动轨迹为以AB为直径，AB中点为圆心的圆，当C，G，H共线时，CG的值最小．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠ABF+∠CBF＝90°，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠AGB＝90°，
取AB的中点H，连接GH，CG．
∵A、B为定点，
∴G点的运动轨迹为以AB为直径，AB中点H为圆心的圆，当C，G，H共线时，CG的值最小，
∵AB＝BC＝4，
∴BH＝GH＝＝2，
由勾股定理得，CH＝＝2，
∴CG＝CH﹣GH＝2﹣2，
∵GH＝BH，
∴∠HGB＝∠HBG，
∵CD∥AB，
∴∠CFG＝∠HBG，
∵∠CGF＝∠HBG，
∴∠CFG＝∠CGF，
∴CF＝CG＝2﹣2，
∵BE＝CF，
∴BE＝2﹣2．
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2025 楚雄州一模）分解因式：m2﹣9m＝　m（m﹣9）　 ．
【点拨】直接提取公因式m即可．
【解析】解：原式＝m（m﹣9）．
故答案为：m（m﹣9）．
【点睛】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．
12．（2025 衡阳模拟）化简：4x3﹣x3＝　3x3　 ．
【点拨】合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
【解析】解：4x3﹣x3＝（4﹣1）x3＝3x3．
故答案为：3x3．
【点睛】本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
13．（2025 同安区一模）某校田径队对学生进行百米跑训练，其中甲、乙、丙、丁四位同学成绩突出，表格中记录了他们10次百米跑所用时间的平均值x与方差s2，要从中选择一名成绩优秀且发挥稳定的同学代表学校参加全市的田径百米跑比赛，应该选择　甲　 ．
甲 乙 丙 丁
x/秒 12.1 13.1 12.1 13.1
s2 0.6 0.6 0.9 0.5
【点拨】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据平均数与方差的意义可作出判断即可．
【解析】解：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，
在这四位同学中，甲、丙的平均时间一样，成绩比乙，丁好，
但甲的方差小，成绩比较稳定，由此可知，可选择甲．
故答案为：甲．
【点睛】本题考查方差的意义，正确记忆相关知识点是解题关键．
14．（2025 扬州一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+a与直线y＝﹣3x+b相交于点A，则关于x、y的二元一次方程组的解是　　 ．
【点拨】在平面直角坐标系中，直线y＝2x+a与直线y＝﹣3x+b交点A（1，3）的坐标就是二元一次方程组的解．
【解析】解：关于x、y的二元一次方程组的解是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的交点和方程组的解，理解两条直线的交点坐标的意义是关键．
15．（2025 温江区二模）在平面直角坐标系xOy中，若二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上存在A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当m﹣2＜x1＜x2＜m时，满足y1＝y2，则m的取值范围为　1＜m＜3　 ．
【点拨】根据二次函数图象上点的坐标特征先求出对称轴为直线x＝1，再根据条件画出图象，根据图象和条件m﹣2＜x1＜x2＜m时，满足y1＝y2，得到m的取值范围即可．
【解析】解：二次函数y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝1，
∵A（x1，y1），B（x2，y2）两点在抛物线上，且y1＝y2，
∴点A（x1，y1）与点B（x2，y2）关于对称轴x＝1对称，
∵当m﹣2＜x1＜x2＜m时，满足y1＝y2，
∴，
解得1＜m＜3．
∴m的取值范围为1＜m＜3．
故答案为：1＜m＜3．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是关键．
16．（2025 高青县一模）在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，点N，M分别是边AB和AC上的动点，始终保持CM＝AN，连接CN，MB，则CN+MB的最小值为 　　 ．
【点拨】过点C作CG∥AB，使CG＝AC，连接GM、BG，根据勾股定理求出AC，BG，证明△GCM≌△CAN（SAS），得GM＝CN，所以BM+CN＝BM+GM≥BG，当点G、M、B三点共线时，BM+CN的值最小，最小值为BG的值，进而可以解决问题．
【解析】解：如图，过点C作CG∥AB，使CG＝AC，连接GM、BG，
∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝5，
∴CG＝AC＝5，
∵CG∥AB，
∴∠GCB＝∠ABC＝90°，
∴BG＝＝＝，
∵CG∥AB，
∴∠GCM＝∠BAC，
∵CM＝AN，CG＝AC，
∴△GCM≌△CAN（SAS），
∴GM＝CN，
∴BM+CN＝BM+GM≥BG，
∴当点G、M、B三点共线时，BM+CN的值最小，最小值为BG的值，
∴BM+CN的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关定理得出当点G、M、B三点共线时，BM+CN的值最小，最小值为BG的值是解题的关键．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．（2025 宣城一模）计算：．
【点拨】先根据特殊角的三角函数值，绝对值的性质、零指数幂和负整数指数幂的运算法则把原式进行化简，再算加减即可．
【解析】解：
＝
＝
＝．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟知特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，熟知以上运算法则是解题的关键．
18．（2025 济阳区模拟）解不等式组，并写出这个不等式组的所有整数解．
【点拨】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可．
【解析】解：，
由①得x≤2，
由②得 x＞﹣1，
∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
∴原不等式组的所有整数解为0，1，2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
19．（2025 扬州一模）寒假第一课《少年急救官生命教育安全课》于2月1日以视频课的形式开播．某校为了解学生观看视频课的时长，随机抽取了部分学生观看视频课的时长t（单位：h）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.2，0.2，0.3，绘制成如下不完整的统计图表．
各组观看视频课时长频数分布表
组别 频数
A 0＜t≤0.5 5
B 0.5＜t≤1 12
C 1＜t≤1.5 m
D 1.5＜t≤2 15
E t＞2 8
请根据以上信息回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 　60　 ；
（2）A组数据的众数是 　0.2　 ，扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的度数是 　120°　 ；
（3）若该校有1800名学生，估计该校学生观看视频课时长超过1.5h的人数．
【点拨】（1）由D组频数及其所占比例可得样本容量；
（2）根据众数的定义求解即可，用360°乘以C组频数占总数量的比例即可；
（3）用总人数乘以样本中观看视频课时长超过1.5h的人数所占比例即可．
【解析】解：（1）D组所对的圆心角为90°，占比25%，
本次调查的样本容量是15÷25%＝60．
故答案为：60；
（2）A组的数据0.2出现的次数最多，
∴A组数据的众数为0.2，
∵m＝60﹣5﹣12﹣15﹣8＝20，
∴C组所在扇形的圆心角的大小是360°×＝120°．
故答案为：0.2，120°；
（3）1800×＝690（人），
答：该校学生观看视频课时长超过1.5h的人数大约有690人．
【点睛】本题考查频数（率）分布表、扇形统计图、样本容量、众数、用样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握样本容量、众数的定义、用样本估计总体是解答本题的关键．
20．（2025 兴化市一模）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，BF＝AC．
（1）求证：△ADC≌△BDF；
（2）若DF＝2，AF＝3，求BC的长
【点拨】（1）先证明∠BDF＝∠ADC，∠CAD＝∠FBD，然后根据AAS，再结合已知条件可得结论；
（2）根据DF＝2，AF＝3，得出AD＝AF+DF＝3+2＝5，根据△ADC≌△BDF得出BD＝AD＝5，CD＝DF＝2，最后根据和差间的关系，得出答案即可．
【解析】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠BDF＝∠ADC＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝∠ACD+∠DBF＝90°，
∴∠CAD＝∠DBF，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS）；
（2）解：∵DF＝2，AF＝3，
∴AD＝AF+DF＝3+2＝5，
∵△ADC≌△BDF，
∴BD＝AD＝5，CD＝DF＝2，
∴BC＝BD+DC＝5+2＝7．
【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用AAS证明两个三角形全等”是解本题的关键．
21．（2025 拱墅区一模）如图，直线AM∥BN，连接AB，作∠ABN的平分线BC，交AM于点C．
（1）求证：AB＝AC．
（2）圆圆说：“以点C为圆心，CA长为半径作弧，交BN于点D，则四边形ABDC为菱形．”圆圆的说法是否正确？若正确，请证明；若不正确，说明作法中存在的问题，并说说使作出的四边形ABDC为菱形的点D的方法．
【点拨】（1）欲证明AB＝AC，只要证明∠ABC＝∠ACB即可；
（2）点D不唯一，圆圆的说法错误．正确方法是：以B为圆心，BA为半径作弧交BN于点D，连接CD，四边形ABDC即为所求．
【解析】（1）证明：∵AC∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC＝∠CBN，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）解：圆圆的说法错误．如图，点D的位置不唯一，四边形ABDC不一定是菱形．
正确方法是：以B为圆心，BA为半径作弧交BN于点D，连接CD，四边形ABDC即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的判定，菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（2025 湖州一模）电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值如表：
频率f（MHz） 5 10 15 20 25 30
波长λ（m） 60 30 20 15 12 10
（1）根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长λ（m）关于频率f（MHz）的函数表达式．
（2）当该电磁波的频率为50MHz时，它的波长是多少m？
【点拨】（1）根据变量的变化规律解答即可；
（2）将f＝50代入（1）中求得的函数表达式，求出对应λ的值即可．
【解析】解：（1）由表格可知，fλ＝300，
∴λ与f的函数表达式为λ＝．
（2）当f＝50时，λ＝＝6，
答：当该电磁波的频率为50MHz时，它的波长是6m．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，根据变量的变化规律写出函数关系式是解题的关键．
23．（2025 海安市一模）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（0，﹣1），点B（6，y0）．
（1）若AB∥x轴，求抛物线的对称轴；
（2）点C（m，n）为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有n≥﹣1．
①求a的取值范围；
②若a＜0，点D（t，y1），E（3t+2，y2）在抛物线上，当1≤t≤2时，都有y1≥y2，求a的值．
【点拨】（1）根据抛物线的对称性即可求得；
（2）①当a＞0时，抛物线开口向上，点A（0，﹣1），点B（6，y0）都在对称轴的右侧，满足题意；当a＜0时，抛物线开口向下，则点A（0，﹣1），点B（6，y0）都在对称轴的左侧，满足题意，据此求得即可；
②由题意可知，点D（t，y1），E（3t+2，y2）的中点在对称轴的右侧，据此列出≥﹣，解得t≥﹣﹣，根据1≤t≤2得到﹣﹣＝1，解方程即可．
【解析】解：（1）∵AB∥x轴，
∴点A（0，﹣1），点B（6，y0）关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝3；
（2）①抛物线y＝ax2+x+c的对称轴为直线x＝﹣，
当a＞0时，抛物线开口向上，﹣＜0，
∴点A（0，﹣1），点B（6，y0）都在y轴的右侧，
∴点C（m，n）为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有n≥﹣1；
当a＜0时，抛物线开口向下，﹣＞0，
∵点C（m，n）为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有n≥﹣1，
∴点A（0，﹣1），点B（6，y0）都在对称轴的左侧，
∴﹣≥6，解得a≥﹣，
故a的取值范围是a≥﹣且a≠0；
②若a＜0，则抛物线开口向下，
∵点D（t，y1），E（3t+2，y2）在抛物线上，y1≥y2，
∴≥﹣，
解得t≥﹣﹣，
∵1≤t≤2，
∴﹣﹣＝1，
解得a＝﹣，
经检验a＝﹣是原方程的解，
∴a的值是﹣．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的增减性和对称性是解题的关键．
24．（2025 潢川县一模）在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作推断
如图1，点P是正方形纸片ABCD的边AD的中点，沿BP折叠，使点A落在点M处，延长BM交CD于点F，连接PF．则∠BPF＝　90　 °．
（2）迁移探究
小华在（1）的条件下，继续探究：如图2，延长PM交CD于点E，连接BE．
①∠PBE＝　45　 °；
②小华用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现CF＝3FD．请判断该发现是否正确？并说明理由．
（3）拓展应用
将边长为1的两个相同正方形拼成矩形ABCD，如图3，点P是AD上一动点，沿BP折叠，使点A落在点M处，射线BM交射线CD于点F．当DF＝DC时，直接写出AP的长．
【点拨】（1）根据正方形的性质得到∠A＝∠D＝90°，根据折叠的性质得到AP＝PM，∠A＝∠PMB＝90°，∠APB＝∠BPM，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）①根据正方形的性质得到∠A＝∠C＝90°，得到AP＝PD，根据折叠的性质得到AB＝BM，∠A＝∠PMB＝90°，∠ABP＝∠MBP，根据全等三角形的性质得到∠MBE＝∠CBE，于是得到结论；
②根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（3）根据矩形的性质得到AD＝BC＝2，AB＝CD＝1，根据勾股定理得到BF＝＝，设BF与AD交于E，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵点P是正方形纸片ABCD的边AD的中点，
∴AP＝PD，
∵沿BP折叠，使点A落在点M处，
∴AP＝PM，∠A＝∠PMB＝90°，∠APB＝∠BPM，
∴PD＝PM，∠D＝∠PMF＝90°，
∵PF＝PF，
∴Rt△PFD≌Rt△PFM（HL），
∴∠DPF＝∠MPF，
∴，
∴∠BPF＝90°，
故答案为：90；
（2）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠C＝90°，
∵点P是正方形纸片ABCD的边AD的中点，
∴AP＝PD，
∵沿BP折叠，使点A落在点M处，
∴AB＝BM，∠A＝∠PMB＝90°，∠ABP＝∠MBP，
∴BM＝BC，∠C＝∠PMF＝90°，
∵BE＝BE，
∴Rt△BEM≌Rt△BEC（HL），
∴∠MBE＝∠CBE，
∴∠PBE＝∠PBM+∠EBM＝∠ABC＝45°，
故答案为：45；
②判断正确，
理由：∵∠DPF+∠APB＝∠APB+∠ABP＝90°，
∴∠DPF＝∠ABP，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABP∽△DPF，
∴＝，
∴DF＝PD＝AD＝CD，
∴DF＝CF，
即CF＝3FD；
（3）∵将边长为1的两个相同正方形拼成矩形ABCD，
∴AD＝BC＝2，AB＝CD＝1，
∵DF＝DC，
∴DF＝，
∴BF＝＝，
设BF与AD交于E，
∵DF∥AB，
∴△ABE∽△DFE，
∴，
∴，
解得，AE＝，BE＝，
∴ME＝BE﹣BM＝，
∵∠PEM＝∠BEA，∠PME＝∠A＝90°，
∴△PEM∽△MEA，
∴，
∴，
∴PM＝，
∴AP＝．
如图4，
当BM交线段CD于一点F时，
同理可得AP＝，
综上所述，AP的长为或．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，折叠的性质是解题的关键．
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