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广东省广州市2025年中考数学模拟练习试卷（三）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1．2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（ ）
A． B． C．2025 D．
“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．
如图，这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如果点在平面直角坐标系的第三象限内，
那么的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，
则这7次成绩的中位数和平均数分别是（ ）
A．9.7，9.9 B．9.7，9.8 C．9.8，9.7 D．9.8，9.9
6．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7.共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，
点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线方向调节．
已知，，，车轮半径为，，
小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为（ ）
（结果精确到，参考数据：，，）
A． B． C． D．
8.如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．
若⊙O的半径为2，则BD的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
9．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交、于点、，若，，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在y轴上，点A的坐标为，
点E为边的中点，将沿折叠，点C落在x轴上的点F处，则点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.）
11．如图， A是某公园的进口， B， C， D， E， F是不同的出口， 若小华从A处进入公园，
随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率为 ．
12．已知实数a，b，满足，，则的值为 ．
如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，
则阴影部分的面积为 （结果保留）．

如图，在中，点D，E分别是边的中点，点F是线段上的一动点，
连接，，，，则的长是 ．

小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距米的图书馆还书，小明出发的同时，
他的爸爸以每分钟米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家．
小明在图书馆停留了2分钟后沿原路按原速度返回．设他们出发后经过t（分）时，
小明与家之间的距离为（米），小明爸爸与家之间的距离为（米），
图中折线、线段分别表示（米）、（米）与t之间的函数关系的图象．
小明在返回途中追上爸爸时距离家还有 米．
如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，
折痕交于点．若，，则的长等于 ．

三、解答题（共72分）
17．（本题4分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
18．（本题4分）如图，在菱形中，过点D分别作于点E，作于点F．求证：．
（本题6分）如图，在中，，点是上一点，
以为直径的交于点，连接，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，⊙的半径为4，求的长．
（本题6分）某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，
从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
a：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．
（数据分成5组，，，，，）

b：七年级抽取成绩在7这一组的是：
70，72，73，73，75，75，75，76，77，77，78，78，79，79，79，79．
c：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：
年级 平均数 中位数
七年级 76.5 m
八年级 78.2 79
请结合以上信息完成下列问题：
(1)七年级抽取成绩在的人数是_______，并补全频数分布直方图；
(2)表中m的值为______；
(3)七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，
则______（填“甲”或“乙”）的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；
(4)七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数．
（本题8分）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，
已知，，，该车的高度．
如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．

(1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
(2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险 请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
（本题10分）春分是二十四个节气中的第四个节气．这天以后太阳直射位置便向北移，
北半球昼长夜短．所以春分是北半球春季的开始，也是农民播种疏菜的好时机．
我国农 谚有云： “春分有雨家家忙，先种瓜豆后插秧 ”．种植户农民刘大伯开辟了一处耕种园，
需要采购一批菜苗．据了解，市场上每捆 A 种菜苗的价格比菜苗基地贵 5 元，
用 375 元 在市场上购买的 A 种菜苗捆数和用 300 元在菜苗基地购买的捆数一样多．
(1)求菜苗基地每捆 A 种菜苗的价格．
(2)菜苗基地每捆 B 种菜苗的价格是 30 元．刘大伯决定在菜苗基地购买 A ，B 两种菜苗共 100 捆，
且 A 种菜苗的捆数不超过 B 种菜苗的捆数．菜苗基地为支持刘大伯，
对 A ， B 两种菜苗均提供九折优惠．求刘大伯本次购买最少花费多少钱．
（本题10分）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，
点是线段上（不与点A重合）的一点．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标；
(3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标．
24．（本题12分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．
在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，
其中点，分别是点，的对应点．
(1)如图1，连接，，则的值为______．
(2)如图，当点恰好落在边上，连接交于点，连接，
①的长度为______．
②求证：，
(3)若直线，交于点，当时，请直接写出的长．
25．（本题12分）在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．
抛物线与轴交于点和点．

(1)如图1，若抛物线过点，求抛物线的表达式和点的坐标；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，
使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标；
(3)若抛物线与正方形恰有两个交点，求的取值范围．
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广东省广州市2025年中考数学模拟练习试卷（三）解答
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1．2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（ ）
A． B． C．2025 D．
【答案】A
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的数互为相反数，进行作答即可．
【详解】解：2025的相反数是，
故选：A
“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．
如图，这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了判断几何体的三视图（判断简单组合体的三视图），熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键．画出题中“月壤砖”的俯视图，与各选项中的视图进行对比即可得出答案．
【详解】
解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其俯视图为
故选：．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据，，分式的加减，合并同类项计算即可．
本题考查了二次根式的性质，幂的乘方，分式的加减，合并同类项，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键．
【详解】A. ，错误，不符合题意；
B. ，错误，不符合题意；
C. ，错误，不符合题意；
D. ，正确，符合题意；
故选D．
4．如果点在平面直角坐标系的第三象限内，
那么的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项．
【详解】解：∵在平面直角坐标系的第三象限内，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：

故选D．
在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，
则这7次成绩的中位数和平均数分别是（ ）
A．9.7，9.9 B．9.7，9.8 C．9.8，9.7 D．9.8，9.9
【答案】B
【分析】将这7个数据从小到大排序后处在第4位的数是中位数，利用算术平均数的计算公式进行计算即可．
【详解】把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7，因此中位数是9.7，
平均数为：，
故选B．
6．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案．
【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
故选：B．
7.共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，
点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线方向调节．
已知，，，车轮半径为，，
小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为（ ）
（结果精确到，参考数据：，，）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点C作CN⊥AB，交AB于M，通过构建直角三角形解答即可．
【详解】解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N
由题意可知MN＝30cm，当CN＝90cm时，CM＝60cm，
∵Rt△BCM中，∠ABE＝70°，sin∠ABE＝sin70°＝≈0.9，
∴BC≈67cm，
∴CEBC BE＝67 40＝27cm．
故选B．
8.如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．
若⊙O的半径为2，则BD的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ODB＝30°，
∴OD＝2OB＝4，
由勾股定理得，BD＝＝2.
故答案为：D.
9．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交、于点、，若，，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】如图所示，过点D作，勾股定理求出，由作图可得，平分，垂直平分，证明出，得到，，设，则，勾股定理求出，，然后证明出，得到，然后代数求出，进而求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D作于H，
∵，，
∴
由作图可得，平分，垂直平分
∴，
又∵
∴
∴
∴
设，则
∴在中，
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴，即
∴
∴．
故选：A．
如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在y轴上，点A的坐标为，
点E为边的中点，将沿折叠，点C落在x轴上的点F处，则点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查图形与坐标、正方形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握图形与坐标、正方形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，，由折叠的性质可知，设，则有，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质及勾股定理可建立方程进行求解．
【详解】解：如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵点E为边的中点，
∴，
∵点A的坐标为，
∴，
设，则有，
∴，
由折叠的性质可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
∴；
故选B．
二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.）
11．如图， A是某公园的进口， B， C， D， E， F是不同的出口， 若小华从A处进入公园，
随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率为 ．
【答案】/0.6
【分析】本题考查了概率公式的应用．根据共有5个出口，东面有三个出口，直接利用概率公式得出答案．
【详解】解：∵共有5个出口，其中东面有D，E，F三个出口，
∴恰好从东面的出口出来的概率为，
故答案为：．
12．已知实数a，b，满足，，则的值为 ．
【答案】42
【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．
【详解】
．
故答案为：42．
如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，
则阴影部分的面积为 （结果保留）．

【答案】
【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：正五边形的内角和，
，
，
故答案为：．
如图，在中，点D，E分别是边的中点，点F是线段上的一动点，
连接，，，，则的长是 ．

【答案】8
【分析】根据三角形中位线定理求出，进而求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质计
算，得到答案．
【详解】解：∵点D，E分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，点D是边的中点，
∴，
故答案为：8．
小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距米的图书馆还书，小明出发的同时，
他的爸爸以每分钟米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家．
小明在图书馆停留了2分钟后沿原路按原速度返回．设他们出发后经过t（分）时，
小明与家之间的距离为（米），小明爸爸与家之间的距离为（米），
图中折线、线段分别表示（米）、（米）与t之间的函数关系的图象．
小明在返回途中追上爸爸时距离家还有 米．
【答案】
【分析】本题考查了函数图象，一元一次方程的应用．从函数图象中获取正确的信息是解题的关键．
由题意知，小明的速度为（米/分钟），小明从第分钟时，开始回家，当小明在返回途中追上爸爸时，，可求，根据此时小明在返回途中追上爸爸时距离家还有，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，小明的速度为（米/分钟），
小明从第分钟时，开始回家，
∵小明在返回途中追上爸爸，
∴，
解得，，
∴此时小明在返回途中追上爸爸时距离家还有（米），
故答案为：．
如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，
折痕交于点．若，，则的长等于 ．

【答案】
【分析】过点A作于点Q，根据菱形性质可得，根据折叠所得，结合三角形的外角定理得出，最后根据，即可求解．
【详解】解：过点A作于点Q，
∵四边形为菱形，，
∴，，
∴，
∵由沿折叠所得，
∴，
∴，
∵，，
∴，则，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共72分）
17．（本题4分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】，数轴表示见解析
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
18．（本题4分）如图，在菱形中，过点D分别作于点E，作于点F．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据菱形的性质和垂线的定义，证明即可解答．
【详解】证明：∵四边形是菱形，
，
，
，
在和中，
，
，
．
（本题6分）如图，在中，，点是上一点，
以为直径的交于点，连接，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，⊙的半径为4，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（）连接，根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可求证；
（）证明，根据相似三角形的性质求出即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：．
（本题6分）某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，
从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
a：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．
（数据分成5组，，，，，）

b：七年级抽取成绩在7这一组的是：
70，72，73，73，75，75，75，76，77，77，78，78，79，79，79，79．
c：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：
年级 平均数 中位数
七年级 76.5 m
八年级 78.2 79
请结合以上信息完成下列问题：
(1)七年级抽取成绩在的人数是_______，并补全频数分布直方图；
(2)表中m的值为______；
(3)七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，
则______（填“甲”或“乙”）的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；
(4)七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数．
【答案】(1)38，理由见解析
(2)77
(3)甲
(4)七年级竞赛成绩90分及以上人数约为64人
【分析】（1）根据题意及频数分布直方图即可得出结果；
（2）根据中位数的计算方法求解即可；
（3）由七八年级中位数与甲乙学生成绩的比较即可得出结果；
（4）用总人数乘以七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数占总的人数的比例求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：70≤x<80这组的数据有16人，
∴七年级抽取成绩在60≤x<90的人数是：12+16+10=38人，
故答案为：38；补全频数分布直方图如图所示；

（2）解：∵4+12=16<25，4+12+16>25，
∴七年级中位数在70≤x<80这组数据中，
∴第25、26的数据分别为77，77，
∴m=，
故答案为：77；
（3）解：∵七年级学生的中位数为77<78，八年级学生的中位数为79>78，
∴甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前，
故答案为：甲；
（4）解：（人）
答：七年级竞赛成绩90分及以上人数约为64人．
（本题8分）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，
已知，，，该车的高度．
如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．

(1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
(2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险 请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】(1)车后盖最高点到地面的距离为
(2)没有危险,详见解析
【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可；
（2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可．
【详解】（1）如图，作，垂足为点

在中
∵，
∴
∴
∵平行线间的距离处处相等
∴
答：车后盖最高点到地面的距离为．
（2）没有危险，理由如下：
过作，垂足为点

∵，
∴
∵
∴
在中，
∴．
∵平行线间的距离处处相等
∴到地面的距离为．
∵
∴没有危险．
（本题10分）春分是二十四个节气中的第四个节气．这天以后太阳直射位置便向北移，
北半球昼长夜短．所以春分是北半球春季的开始，也是农民播种疏菜的好时机．
我国农 谚有云： “春分有雨家家忙，先种瓜豆后插秧 ”．种植户农民刘大伯开辟了一处耕种园，
需要采购一批菜苗．据了解，市场上每捆 A 种菜苗的价格比菜苗基地贵 5 元，
用 375 元 在市场上购买的 A 种菜苗捆数和用 300 元在菜苗基地购买的捆数一样多．
(1)求菜苗基地每捆 A 种菜苗的价格．
(2)菜苗基地每捆 B 种菜苗的价格是 30 元．刘大伯决定在菜苗基地购买 A ，B 两种菜苗共 100 捆，
且 A 种菜苗的捆数不超过 B 种菜苗的捆数．菜苗基地为支持刘大伯，
对 A ， B 两种菜苗均提供九折优惠．求刘大伯本次购买最少花费多少钱．
【答案】(1)菜苗基地每捆A种菜苗的价格为 20 元
(2)本次购买菜苗最少花费为 2250 元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一次函数的应用等知识点，审清题意、正确列出方程和函数解析式成为解题的关键．
（1）设菜苗基地A种菜苗每捆x元，然后根据题意列出分式方程求解即可；
（2）设在菜苗基地购买 a 捆A种菜苗， 购买菜苗的花费为 w 元，则购买B 种菜苗的捆数为；根据不等关系“A 种菜苗的捆数不超过 B 种菜苗的捆数”列不等式可得，然后再列出购买菜苗的花费为 w 元与a的函数关系式，最后根据一次函数的增减性即可解答．
【详解】（1）解：设菜苗基地A种菜苗每捆x元，
根据题意得：，解得：，
经检验，x = 20 是所列方程的解，且符合题意．
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为 20 元．
（2）解：设在菜苗基地购买 a 捆A种菜苗， 购买菜苗的花费为 w 元，则，
∴，
∵，
∴ ，
∵ ，
∴w 随 a 的增大而较小． 当 时，w 最小，
∴ (元) ．
答： 本次购买菜苗最少花费为 2250 元．
（本题10分）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，
点是线段上（不与点A重合）的一点．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标；
(3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)点．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键．
（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可；
（3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标．
【详解】（1）解：将代入得，
，
将代入得，解得，
反比例函数表达式为，
（2）解：如图，设点，那么点，

由可得，
所以，
解得（舍），
;
（3）解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点，
，
点绕点顺时针旋转，
，
，
，
，
设点，
点，
，
解得，
点或（舍），此时点．
24．（本题12分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．
在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，
其中点，分别是点，的对应点．
(1)如图1，连接，，则的值为______．
(2)如图，当点恰好落在边上，连接交于点，连接，
①的长度为______．
②求证：，
(3)若直线，交于点，当时，请直接写出的长．
【答案】(1)
(2)①；②见解析
(3)或
【分析】（1）由旋转的性质得到，，，求得，根据相似三角形的性质得到；
（2）①根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到；
②如图1，过点作于点，由旋转可知，得到，根据平行线的性质得到，推出平分根据角平分线的性质得到由旋转可知，，根据全等三角形的性质得到；
（3）根据旋转的性质得到，，，求得，得到，得到为等边三角形，同理为等边三角形．如图，令与的交点为，根据三角函数的定义得到，如图，同理可得
【详解】（1）解：由旋转的性质知，，，
，
，
，
故答案为：；
（2）①解：四边形是矩形，
，，
，
，
故答案为：；
②证明：如图1，过点作于点，
由旋转可知，，
，
，
，
，
平分
又，，
由旋转可知，，
，，
，
；
（3）解：的长为或，理由如下，
由旋转得，，，
，
，
，
在四边形中，，
，
，
为等边三角形，
同理为等边三角形．
如图2，令与的交点为，
，，
，
，
如图3，同理可得，
综上所述，的长为或．
25．（本题12分）在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．
抛物线与轴交于点和点．

(1)如图1，若抛物线过点，求抛物线的表达式和点的坐标；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，
使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标；
(3)若抛物线与正方形恰有两个交点，求的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)或
【分析】（1）将点，代入抛物线，利用待定系数法求出抛物线的表达式，再令，求出值，即可得到点的坐标；
（2）设直线的表达式为，将点，代入解析式，利用待定系数法求出直线的表达式为：，设点，根据平移的性质，得到点，将点P代入，求出的值，即可得到点的坐标；
（3）根据正方形和点C的坐标，得出，，，将代入，求得，进而得到顶点坐标，分两种情况讨论：①当抛物线顶点在正方形内部时，②当抛物线与直线交点在点上方，且与直线交点在点下方时，分别列出不等式组求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线过点，
，解得：，
抛物线表达式为，
当时，，
解得：（舍去），，
；
（2）解：设直线的表达式为，
直线过点，，
，解得：，
直线的表达式为：，
点在抛物线上，
设点，
，，且由平移得到，
点向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点，
点在直线上，
将代入，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
当时，
点坐标为；
（3）解：四边形是正方形，，
，，
，
点A和点D的横坐标为，点B和点C的横坐标为2，
将代入，得：，
，
顶点坐标为，
①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，
，解得：；
②如图，当抛物线与直线交点在点上方，且与直线交点在点下方时，与正方形有两个交点，
，解得：，
综上所述，的取值范围为或．
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