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第一章　§4　4.1　
素养作业　提技能
A　组·素养自测
一、选择题
1．已知点P是角α的终边与单位圆的交点，则cos α＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．－
【答案】　B
【解析】　因为点P是角α的终边与单位圆的交点，所以cos α＝，故选B.
2．已知角θ(0<θ<2π)的终边上一点P的坐标为，则角θ的值为(　　)
A．－ B．
C． D．
【答案】　B
【解析】　由已知可得：角θ的终边上一点P的坐标为，位于第二象限，它到原点的距离为r＝＝1，<θ<π，则由任意角的三角函数的定义可知sin θ＝即θ＝，故选B.
3．角α的终边经过点(3,4)，则＝(　　)
A． B．
C．7 D．
【答案】　C
【解析】　由角α的终边经过点(3,4)，可得sin α＝，cos α＝，则＝＝7.
4．若sin α<0，cos α<0，则α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】　C
【解析】　因为sin α<0，所以α在第三象限或第四象限，或α终边为x轴非正半轴，因为cos α<0，所以α在第二象限或第三象限，或α终边为x轴非正半轴，所以α是第三象限角．故选C.
5．已知点Q(a,2)是角α终边上的一点，且sin α＝，则a的值为(　　)
A．3 B．－2
C．2或3 D．2或－2
【答案】　D
【解析】　由正弦函数定义得＝，解得a＝±2.故选D.
6．已知角α的终边过点P(－3m，m)(m≠0)，则cos α的值可以是(　　)
A． B．
C．± D．±
【答案】　D
【解析】　由余弦函数定义知，cos α＝＝＝±.故选D.
二、填空题
7．若角α的终边经过点(1，－)，则sin α＝________.
【答案】　－
【解析】　由题意得x＝1，y＝－，则r＝2，
∴sin α＝＝－.
8．若45°角的终边上有一点(4－a，a＋1)，则a＝_________.
【答案】　
【解析】　由题意知4－a＝a＋1，得a＝.
9．已知角α的终边在直线y＝x上，则sin α＋cos α的值为________.
【答案】　±
【解析】　在角α终边上任取一点P(x，y)，则y＝x，
当x>0时，r＝＝x，
sin α＋cos α＝＋＝＋＝，
当x<0时，r＝＝－x，
sin α＋cos α＝＋＝－－＝－.
三、解答题
10．已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ.
【解析】　方法一：由题意知r＝|OP|＝，
由三角函数定义得cos θ＝＝，
又因为cos θ＝x，所以＝x.
因为x≠0，所以x＝±1.当x＝1时，P(1,3)，
此时sin θ＝＝，
当x＝－1时，P(－1,3)，
此时sin θ＝＝.
综上可知sin θ＝.
方法二：由三角函数定义cos α＝＝x，∵x≠0，∴r＝，sin θ＝＝＝.
B　组·素养提升
一、选择题
1．已知角α的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cos α＝－，则实数a的值是(　　)
A．－2 B．
C．－2或 D．2
【答案】　A
【解析】　由余弦函数的定义知，
＝－，
化简整理得11a2＋20a－4＝0，解得a＝－2或a＝，又2a＋1<0，所以a＝－2.
2．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则实数a的取值范围为(　　)
A．－2C．－2≤a<3 D．－3≤a<2
【答案】　B
【解析】　∵sin α>0，cos α≤0，
∴α位于第二象限或y轴正半轴上．
∴3a－9≤0且a＋2>0.∴－23．(多选)在平面直角坐标系中，角α以x正半轴为始边，终边与单位圆(原点为圆心)交于点，则符合条件的角α可以是(　　)
A．－ B．
C． D．
【答案】　BC
【解析】　当α＝－时，cos＝≠－，故A错误；当α＝时，cos ＝－，故B正确；当α＝时，cos ＝－cos ＝－，故C正确；当α＝时，cos ＝cos＝，故D错误．故选BC.
二、填空题
4．若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α等于________.
【答案】　±
【解析】　在角α的终边上任取一点P(－1,2)，则r＝＝，所以sin α＝＝＝.或者取P′(1，－2)，则r＝＝，所以sin α＝＝－＝－.
5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－，则y＝________.
【答案】　－8
【解析】　根据题意sin θ＝－<0及P(4，y)是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角．再由三角函数的定义得，＝－，又∵y<0，∴y＝－8(符合题意)，y＝8(舍去)．综上知y＝－8.
三、解答题
6．已知角α的终边在直线y＝x上，求10cos α－的值．
【解析】　设角α的终边上任一点为Q(3k，k)(k≠0)，
则x＝3k，y＝k，r＝＝|k|.
当k>0时，r＝k，α为第一象限角，
sin α＝＝，cos α＝＝，
所以10cos α－＝3－3＝0.
当k<0时，r＝－k，α为第三象限角，
sin α＝－，cos α＝－，
所以10cos α－＝－3＋3＝0.
综上，10cos α－＝0.
7．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M，求m的值及sin α的值．
【解析】　(1)由＝－可知sin α<0，
所以α是第三或第四象限角或y轴的非正半轴上的角．由lg(cos α)有意义可知cos α>0，
所以α是第一或第四象限或x轴的非负半轴上的角．综上可知，角α是第四象限角．
(2)因为点M在单位圆上，
所以2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.
根据正弦函数的定义，可知sin α＝－.
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第一章　三角函数
§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
素养目标　定方向
课标要求 核心素养
1．了解单位圆与正弦、余弦函数的关系．
2．掌握任意角的正弦、余弦的定义. 通过对正弦函数、余弦函数定义的理解，重点提升学生的数学抽象和直观想象素养.
必备知识　探新知
知识点1　锐角的正弦函数和
余弦函数
如图，任意角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，仿照锐角三角函数的定义，把点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数值，记作v＝________；把点P的横坐标u定义为角α的余弦函数值，记作u＝________.
sin α
cos α
关键能力　攻重难
题型一
单位圆求正弦函数值和余弦函数值
[归纳提升]
归纳提升：
1．单位圆法求三角函数的值，先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．
2．已知角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x.
〉对点训练1
【答案】　B
题型二
利用三角函数定义求正弦函数值和余弦函数值
[归纳提升]
归纳提升：
求任意角的三角函数值的两种方法
方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦值．
方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P(x，y)(P与原点O不重合)；
〉对点训练2
【分析】　根据三角函数的定义列方程求得m的值．
【答案】　D
题型三
利用正弦、余弦函数的定义求参数的值
[归纳提升]
归纳提升：
已知三角函数值求参数的方法
1．依据已知条件及三角函数值得出关于参数的方程．
2．解方程即可得出参数值，有时要注意对参数进行讨论．
3．若求出字母有多个取值时，要根据已知的三角函数值验证取值是否符合．
〉对点训练3
【答案】　(1)C　(2)－1
课堂检测　固双基
1.角α的终边上有一点P(1，－1)，则sin α的值是(　　)
【答案】　B
【答案】　B

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