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第二章　§1　
素养作业　提技能
A　组·素养自测
一、选择题
1．下列说法正确的个数是(　　)
①温度、速度、位移、功这些物理量是向量；
②零向量没有方向；
③向量的模一定是正数；
④单位向量是唯一的．
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】　A
【解析】　温度与功没有方向，不是向量，故①错误；零向量的方向是任意的，故②错误；零向量的模可能为0，不一定是正数，故③错误；非零向量的单位向量的方向有两个，故④错误，故选A.
2．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进100 米，则此人位移的方向是(　　)
A．南偏东60° B．南偏东45°
C．南偏东30° D．南偏东15°
【答案】　C
【解析】　如图所示，此人从点A出发，经由点B，到达点C，
则tan∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°，应选C.
3．设O是正方形ABCD的中心，则向量，，，是(　　)
A．相等的向量 B．平行的向量
C．有相同起点的向量 D．模相等的向量
【答案】　D
【解析】　这四个向量的模相等．
4．下列说法错误的是(　　)
A．||＝||
B．e1，e2是单位向量，则||＝||
C．若||>||，则>
D．任一非零向量都可以平行移动
【答案】　C
【解析】　因为＝－，所以||＝||，故A项正确；由单位向量的定义知，|e1|＝|e2|＝1，故B项正确；两个向量不能比较大小，故C项错误；因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D项正确．故选C.
5.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与平行的向量有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】　C
【解析】　根据向量的基本概念可知与平行的向量有，，，共3个．
6．下列说法正确的是(　　)
A．平行向量就是向量所在直线平行的向量
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度为0
D．共线向量是在一条直线上的向量
【答案】　C
【解析】　平行向量所在直线可以平行也可以重合，故A错；长度相等，方向不同的向量不是相等向量，故B错；共线向量即平行向量，不一定在同一条直线上，故D错．故选C.
二、填空题
7．零向量与单位向量的关系是 　　　　(填“共线”“相等”“无关”)．
【答案】　共线
8．如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出 　　　　个互不相等的非零向量．
【答案】　6
【解析】　模为1个单位的向量有2个，如，；模为2个单位的向量有2个，如，；模为3个单位的向量有2个，如，，故共有6个．
9.如图，已知四边形ABCD为正方形，△CBE为等腰直角三角形，回答下列问题：
(1)图中与共线的向量有 　　　　　　　　　　　　　　　；
(2)图中与相等的向量有 　　　　　　　　　；
(3)图中与模相等的向量有 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
【答案】　(1)，，，，，，　(2)，　(3)，，，，，，，，
三、解答题
10．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
(1)与相等的向量共有几个；
(2)与平行且模为的向量共有几个？
(3)与方向相同且模为3的向量共有几个？
【解析】　(1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身)．
(2)与向量平行且模为的向量共有24个．
(3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个．
B　组·素养提升
一、选择题
1.等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点P，点E，点F分别在两腰AD，BC上，EF过点P且EF∥AB，则下列等式正确的是(　　)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【答案】　D
【解析】　由相等向量的定义，显然＝.
2．锐角三角形ABC中，关于向量夹角的说法正确的是(　　)
A．与的夹角是锐角
B．与的夹角是锐角
C．与的夹角是钝角
D．与的夹角是锐角
【答案】　B
【解析】　由两向量夹角的定义知，与的夹角的大小是180°－∠B，为钝角，与的夹角是∠A，为锐角，与的夹角与∠C的大小相等，为锐角，与的夹角的大小是180°－∠C，为钝角．
3．(多选)已知a，b为两个单位向量，下列四个命题中正确的是(　　)
A．a与b相等
B．如果a与b同向，那么a与b相等
C．a＋b＝2
D．|a|＝|b|
【答案】　BD
【解析】　向量a，b为两个单位向量，但方向不一定相同，所以A错误；因为向量a，b为两个单位向量，即|a|＝|b|，若a与b同向，则向量a与b相等，所以B正确；向量a，b为两个单位向量，根据向量的加法，可得a＋b为向量，所以C错误；向量a，b为两个单位向量，即|a|＝|b|，所以D正确．故选BD.
4．(多选)如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法正确的是(　　)
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C．的模恰好为的模的倍
D．与不共线
【答案】　ABC
【解析】　与相等的向量只有，A正确；由已知条件可得||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||，B正确；如图，过点B作DA的垂线交DA的延长线于E，因为∠DAB＝120°，四边形ABCD为菱形，所以∠BDE＝∠ABE＝30°，在Rt△BED中，||＝，在Rt△AEB中，||＝||＝||，所以||＝＝||，C正确；与方向相同，大小相等，故＝，与共线，D错误．故选ABC.
二、填空题
5．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于 　　　　.
【答案】　3π
【解析】　这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.
6．有下列说法：
①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
③在 ABCD中，一定有＝；
④若a＝b，b＝c，则a＝c；
⑤方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．
其中，正确的说法是 　　　　.
【答案】　③④⑤
【解析】　①两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；②A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；③在平行四边形ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，所以＝，故③正确；④a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故④正确；⑤南偏西60°和北偏东60°是两个共线，方向相反，所以两个向量是共线向量，故⑤正确．
三、解答题
7．如图所示，某人从点A出发，向西走了200 m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了100 m到达C点，最后又改变方向，向东走了200 m到达D点，发现D点在B点的正北方．
(1)作出向量，，(图中1个单位长度表示100 m)；
(2)求向量的模．
【解析】　(1)如图，，，即为所求．
(2)如图，作向量，由题意可知，四边形ABCD是平行四边形，
∴||＝||＝100 m.
8．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
【解析】　(1)画出所有的向量如图所示．
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值＝；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝.
∴||的最大值为，最小值为.
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第二章　平面向量及其应用
§1　从位移、速度、力到向量
素养目标　定方向
课标要求 核心素养
1．通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．
2．理解平面向量的几何表示和基本要素. 通过学习向量的有关概念及表示，重点培养学生的数学抽象、直观想象素养.
必备知识　探新知
知识点1　向量的概念
(1)既有______又有______的量统称为向量．
大小
方向
知识点2　与向量有关的概念
零向量 长度为0的向量称为零向量，记作0.任何方向都可以作为零向量的方向．
单位向量 模等于1个单位长度的向量称为单位向量．
相等向量 长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量．向量a与b相等，记作a＝b.
共线(平行)
向量 若两个非零向量的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量．a与b共线或平行，记作a∥b.零向量与任一向量共线．
相反向量 若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量．向量a的相反向量记作－a.
关键能力　攻重难
1.给出下列命题：
①时间、摩擦力、重力都是向量；
②两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；
③若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上；
题型一
向量的有关概念
其中所有正确命题的序号为__________.
【分析】　利用向量定义、相等向量、单位向量的定义进行判断．
【答案】　③④
【解析】　时间不是向量，故①不正确．
两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故②不正确．
单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上，故③正确．
④显然正确，故所有正确命题的序号为③④.
[归纳提升]
归纳提升：
解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度．如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．
〉对点训练1
下列说法中正确的是(　　)
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
【答案】　D
【解析】　不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A、B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确．
【分析】　先确定好向量的起点和终点，用有向线段表示出所求向量．
题型二
向量的几何表示及应用
[归纳提升]
归纳提升：
向量的两种表示方法及应用
(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．
〉对点训练2
3.如图所示，△ABC中，三边长均不相等，E、F、D分别是AC，AB，BC的中点．
题型三
共线向量与相等向量
[归纳提升]
归纳提升：
相等向量与共线向量的探求方法
寻找相等向量 先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线
寻找共线向量 先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量
〉对点训练3
(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．单位向量都相等
B．任一向量与它的相反向量不相等
【答案】　CD
【解析】　单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同，故A错误；
零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故B错误；
题型四
向量的夹角
[归纳提升]
归纳提升：
求向量的夹角要注意：①方向性；②向量夹角的范围为[0°，180°].
〉对点训练4
【答案】　90°　30°
【解析】　AE⊥BC，AE平分∠BAC.,
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1.下列说法中，正确的个数是(　　)
①零向量是没有方向的；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】　B
【解析】　对于①，零向量的方向是任意的，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．
2．在同一平面上，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是(　　)
A．一条线段
B．一条直线
C．圆上一群孤立的点
D．一个半径为1的圆
【答案】　B
【解析】　由于向量的起点确定，而向量平行于同一直线，所以随着向量模长的变化，向量的终点构成的是一条直线．
【答案】　A
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是______
(填序号)．
【答案】　(1)(4)
5．一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北60°航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．

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