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第二章　§4　4.1　
素养作业　提技能
A　组·素养自测
一、选择题
1．e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是(　　)
A．e1＋e2和e1－e2
B．3e1－2e2和4e2－6e1
C．e1＋2e2和e2＋2e1
D．e2和e1＋e2
【答案】　B
【解析】　3e1－2e2与4e2－6e1是共线向量，不能作为一组基底．
2.如图所示，||＝||＝1，|OC|＝，∠AOB＝60°，OB⊥OC，设＝x＋y，则(　　)
A．x＝－2，y＝－1 B．x＝－2，y＝1
C．x＝2，y＝－1 D．x＝2，y＝1
【答案】　B
【解析】　方法一：过点C作CD∥OB交AO的延长线于点D，连接BC(图略)．由||＝1，||＝，∠AOB＝60°，OB⊥OC，知∠COD＝30°.在Rt△OCD中，可得OD＝2CD＝2，则＝＋＝－2＋.
∴x＝－2，y＝1.
方法二：画图知x<0且y>0，所以选B.
3．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则(　　)
A．－ B．－
C．＋ D．＋
【答案】　A
【解析】　＝＋＝－＋＝－×(＋)＋＝－.
4．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】　B
【解析】　由＋＋＝0可知，M为△ABC的重心，故＝×(＋)＝(＋)，所以＋＝3，即m＝3.
5．若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a、b的判断正确的是(　　)
A．a与b一定共线 B．a与b一定不共线
C．a与b一定垂直 D．a与b中至少一个为0
【答案】　B
【解析】　由平面向量基本定理知，当a，b不共线时，k1＝k2＝0.故选B.
6．在△ABC中，＝a，＝b，若＝2，＝2，线段AD与BE交于点F，则＝(　　)
A．a＋b B．a－b
C．－a＋b D．－a－b
【答案】　B
【解析】　如图所示：
由＝2，＝2可得D，E分别为BC，AC的中点，由中线性质可得＝，又＝(＋)＝(a＋b)，所以＝×(a＋b)＝(a＋b)，因此＝＋＝－b＋(a＋b)＝a－b.故选B.
二、填空题
7.如右图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以a、b为基底表示向量＝ 　　　　　　　.
【答案】　b＋a
【解析】　＝＋＝＋＝＋＝b＋a.
8．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋3b平行，则实数λ＝ 　　　　.
【答案】　
【解析】　依据平行向量基本定理列方程组求解．
∵λa＋b与a＋3b平行，∴可设λa＋b＝t(a＋3b)，
即λa＋b＝ta＋3tb，
∴解得
9．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝ 　　　　　　　　　　　.
【答案】　a－b
【解析】　设e1＋e2＝ma＋nb(m，n∈R)，
∵a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，
∴e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.
∵e1与e2不共线，∴
∴∴e1＋e2＝a－b.
三、解答题
10.如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点．若＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.
【解析】　∵四边形ABCD是平行四边形，
E，F分别是BC，DC边上的中点，
∴＝＝2，＝＝2，
∴＝＝b，
＝＝＝－＝－a.
∴＝＋＋＝－＋＋
＝－b＋a＋b＝a－b，
＝＋＝＋＝b－a.
B　组·素养提升
一、选择题
1．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　)
A．2 B．4
C．5 D．7
【答案】　B
【解析】　以如图所示的两互相垂直的单位向量e1，e2为基底，
则a＝－e1＋e2，b＝6e1＋2e2，c＝－e1－3e2，
因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以－e1－3e2＝λ(－e1＋e2)＋μ(6e1＋2e2)＝(－λ＋6μ)e1＋(λ＋2μ)e2，
所以解得所以＝4.故选B.
2．(多选)如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中错误的是(　　)
A．已知实数λ1、λ2，则向量λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内
B．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2可以不唯一
C．若有实数λ1、λ2使λ1e1＝λ2e2，则λ1＝λ2＝0
D．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2不一定存在
【答案】　ABD
【解析】　选项A中，由平面向量基本定理知λ1e1＋λ2e2与e1、e2共面，所以A项不正确；选项B中，实数λ1、λ2有且仅有一对，所以B项不正确；选项D中，实数λ1、λ2一定存在，所以D项不正确；很明显C项正确．
3．(多选)如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)．若＝a＋b，当ab<0时，点P可能落在第________部分．(　　)
A．Ⅰ B．Ⅱ
C．Ⅲ D．Ⅳ
【答案】　AC
【解析】　以、为基．当a>0，b<0时，P点在第Ⅲ部分，当a<0，b>0时，P点在第Ⅰ部分，故选AC.
4．如图所示的矩形ABCD中，E，F满足＝，＝2，G为EF的中点，若＝λ＋μ，则λμ的值为(　　)
A． B．3
C． D．2
【答案】　A
【解析】　因为＝，＝2，G为EF的中点，所以＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝＋＝＋，所以λ＝，μ＝，所以λμ＝×＝.故选A.
二、填空题
5．已知O为△ABC内一点，且＋＝2，且λ＝，若B，O，D三点共线，则实数λ的值为 　　　　.
【答案】　3
【解析】　设点E为边BC的中点，则
(＋)＝，
由题意，得＝，
所以＝＝(＋)＝＋，因此若B，O，D三点共线，则＋＝1，即λ＝3.
6.如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，则＋的值为 　　　　.
【答案】　3
【解析】　方法一：设＝a，＝b，由题意知＝×(＋)＝(a＋b)，＝－＝nb－ma，＝－＝a＋b，
由P，G，Q三点共线得，存在实数λ，使得＝λ，即nb－ma＝λa＋λb，
从而消去λ，得＋＝3.
方法二：由题意知＝×(＋)＝＝＋，
又P，G，Q三点共线，由三点共线性质定理可知＋＝1，即＋＝3.
方法三：(特例)当PQ∥AB时，m＝n＝，∴＋＝3.
三、解答题
7．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
【解析】　(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，
得
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴
∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴
故所求λ，μ的值分别为3和1.
8．如图所示，在△ABC中，M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示向量.
【解析】　易得＝＝b，＝＝a，
由N，E，B三点共线可知，存在实数m使＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a.
由C，E，M三点共线可知，存在实数n使＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b.
所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b，由于{a，b}为基底，
所以
解得所以＝a＋b.
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第二章　平面向量及其应用
§4 平面向量基本定理及坐标表示
4.1　平面向量基本定理
素养目标　定方向
课标要求 核心素养
1．通过实例理解平面向量基本定理的内容，了解基的含义．
2．会用一组基来表示其他向量．(数学运算、直观想象)
3．能应用平面向量基本定理解决一些平面几何有关的问题. 通过学习平面向量的基本定理有关内容，重点培养学生的数学抽象，逻辑推理，数学运算素养.
必备知识　探新知
知识点　平面向量基本定理
1．定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝_____________.
2．基：把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基，记为__________.
3．正交基：若基中的两个向量_________，则称这组基为正交基．
4．正交分解：在________下面向量的线性表示称为正交分解．
5．标准正交基：若基中的两个向量是互相垂直的_____向量，则称这组基为标准正交基．
λ1e1＋λ2e2
{e1，e2}
互相垂直
正交基
单位
关键能力　攻重难
1.(多选)若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是(　　)
A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对
C．λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)
D．若存在实数λ，μ，使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
题型一
平面向量基本定理的概念
【分析】　根据平面向量基本定理结合线性运算分析判断．
【答案】　BC
【解析】　由题意可知：e1，e2可以看成一组基底向量，根据平面向量基本定理可知：A，D正确，B不正确；当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，则λ1e1＋μ1e2＝λ2e1＋μ2e2＝0，此时任意实数λ均有λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)，故C不正确；故选BC.
[归纳提升]
归纳提升：
(1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式．
(2)向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等，均不能构成基底．
〉对点训练1
下列三种说法：①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．其中，说法正确的为(　　)
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
【答案】　B
【解析】　平面内只要不共线的向量均可作为表示该平面内所有向量的基底，有无数组，①错误，②正确；由平面向量基本定理可得，平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的，③正确．故选B.
题型二
用基底表示向量
【分析】　用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则．
【答案】　(1)①②③　(2)见解析
[归纳提升]
归纳提升：
用基底表示向量的三个依据和两个“模型”
(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；
②向量减法的几何意义；
③数乘向量的几何意义．
(2)模型：
〉对点训练2
【答案】　A
3.如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．
题型三
平面向量基本定理的应用
[归纳提升]
归纳提升：
(1)平面向量基本定理唯一性的应用
(2)重要结论：设e1，e2是平面内一组基底，
〉对点训练3
课堂检测　固双基
【答案】　D
【答案】　C
3．已知e1，e2不共线，且a＝ke1－e2，b＝e2－e1，若a，b不能作为基底，则k等于__________.
【答案】　1
4．已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝_________.
【答案】　3

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