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第二章　§3
素养作业　提技能
A　组·素养自测
一、选择题
1．点C在直线AB上，且＝3，则等于(　　)
A．－2 B．
C．－ D．2
【答案】　D
【解析】　＝－＝3－＝2.
2．下列说法中正确的是(　　)
A．λa与a的方向不是相同就是相反
B．若a，b共线，则b＝λa
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|
【答案】　D
【解析】　对于A，λ＝0时，结论不成立；
对于B，a≠0时，结论成立；
对于C，|b|＝2|a|时，b与a不一定共线；
对于D，利用平面向量共线定理可知正确．
3．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则＝(　　)
A．λ(＋)　λ∈(0,1)
B．λ(＋)　λ∈
C．λ(－)　λ∈(0,1)
D．λ(－)　λ∈
【答案】　A
【解析】　设P是对角线AC上的一点(不含A、C)，过P分别作BC、AB的平行线，设＝λ，则λ∈(0,1)，于是＝λ(＋)，λ∈(0,1)．
4．设向量＝e1，＝e2，若e1与e2不共线，且点P在线段AB上，||∶||＝2，则＝(　　)
A．e1－e2 B．e1＋e2
C．e1＋e2 D．e1－e2
【答案】　C
【解析】　由＝＋，＝，＝－，∴＝＋(－)＝e1＋(e2－e1)＝e1＋e2.故选C.
5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)
A． B．
C．－ D．－
【答案】　A
【解析】　方法一：由＝2，
可得－＝2(－) ＝＋，
所以λ＝.故选A.
方法二：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝，故选A.
6．已知a，b是两个不共线的向量，向量b＋ta，a－b共线，则实数t的值为(　　)
A．－ B．
C．－2 D．2
【答案】　C
【解析】　向量a，b不共线，则a－b≠0，由b＋ta，a－b共线，得b＋ta＝λ(a－b)，λ∈R，于是a＋b＝0，则t－λ＝0且1＋λ＝0，解得λ＝－3，t＝－2，所以实数t的值为－2.故选C.
二、填空题
7．已知向量a，b不共线，实数x，y满足5xa＋(8－y)b＝4xb＋3(y＋9)a，则x＝ 　　　　；y＝ 　　　　.
【答案】　3　－4
【解析】　因为a与b不共线，根据向量相等得解得
8．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋μb，＝3a－2b，＝2a＋3b，若A，B，C三点共线，则实数λ，μ满足_________________.
【答案】　5λ＋μ＝13
【解析】　方法一：因为A，B，C三点共线，所以设＝m＋(1－m)，
即：λa＋μb＝m(3a－2b)＋(1－m)(2a＋3b)＝(m＋2)a＋(－5m＋3)b，
所以，消去m得：5λ＋μ＝13.
方法二：＝－＝(λa＋μb)－(3a－2b)＝(λ－3)a＋(μ＋2)b，
＝－＝2a＋3b－(3a－2b)＝－a＋5b，
因为A，B，C三点共线，所以∥，
故5(λ－3)＝－(μ＋2)，所以5λ＋μ＝13.
9．设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为 　　　　.
【答案】　
【解析】　由已知＝－＝－＝(－)＋＝－＋，
∴λ1＝－，λ2＝，从而λ1＋λ2＝.
三、解答题
10．已知非零向量e1和e2不共线．
(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线；
(2)欲使向量ke1＋e2与e1＋ke2平行，试确定实数k的值．
【解析】　(1)证明：因为＝＋＝5e1＋5e2＝5，且为非零向量，所以与共线，即A，B，D三点共线．
(2)因为ke1＋e2与e1＋ke2平行，且两向量都为非零向量，所以存在实数λ使得ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)成立，
即(k－λ)e1＝(kλ－1)e2，因为e1和e2不共线，所以所以k＝±1.
B　组·素养提升
一、选择题
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是(　　)
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a
【答案】　C
【解析】　A错误，因为λ取负数时，a与－λa的方向是相同的；B错误，因为当|λ|<1时，该式不成立；D错误，等号左边的结果是一个数，而右边的结果是一个向量，不可能相等；C正确，因为λ2(λ≠0)一定是正数，故a与λ2a的方向相同．故选C.
2．在 ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交CD于点F，若＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
【答案】　D
【解析】　方法一：＝＋＝a＋＝a＋(－)＝a＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
方法二：＝a＋b＝，
又＝，∴选D.
3．(多选)在△ABC中，＝＋，＝＋，以下结论正确的是(　　)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【答案】　ABD
【解析】　由＝＋，两边同时乘以，得＝＋，令＝＋，则－＝－，即有4＝3，因此＝，点M在AC上，且＝，如图，
所以S△PBC＝S△MBC，S△MBC＝S△ABC，S△PBC＝S△ABC，则S△PBC∶S△ABC＝1∶3；同理＝＋，两边同时乘以得：＝＋，令＝＋，点N在AC上，＝，＝，所以S△QBC＝S△NBC，S△NBC＝S△ABC，S△QBC＝S△ABC，则S△QBC∶S△ABC＝1∶4；＝，S△PAC＝S△BAC，＝，S△QAC＝S△BAC，所以S△PAC∶S△QAC＝1，S△QAC∶S△ABC＝5∶12.故选ABD.
4．(多选)生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．”这就是著名的欧拉线定理．在△ABC中，O，H，G分别是外心、垂心和重心，D为BC边的中点，下列四个选项中正确的是(　　)
A．GH＝2OG B．＋＋＝0
C．AH＝2OD D．S△ABG＝S△BCG＝S△ACG
【答案】　ABCD
【解析】　在△ABC中，O，H，G分别是外心、垂心和重心，画出图形，如图所示．
对于B选项，根据三角形的重心性质由重心的性质可得G为AD的三等分点，且＝－2，
又D为BC的中点，所以＋＝2，所以＋＋＝－2＋2＝0，故选项B正确；
对于A与C选项，因为O为△ABC的外心，D为BC的中点，所以OD⊥BC，所以AH∥OD，
∴△AHG∽△DOG，∴＝＝＝2，∴GH＝2OG，AH＝2OD，故选项A，C正确；
对于D，过点G作GE⊥BC，垂足为E，∴△DEG∽△DNA，则＝＝，
∴△BGC的面积为S△BGC＝×BC×GE＝×BC××AN＝S△ABC；
同理，S△AGC＝S△AGB＝S△ABC，选项D正确．故选ABCD.
二、填空题
5．已知在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是 　　　　.
【答案】　2∶3
【解析】　因为＋＋＝，所以＝－－＝＋＋＝2，所以点P在边CA上，且是靠近点A一侧的三等分点，所以△PBC和△ABC的面积之比为2∶3.
6．设点O在△ABC的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且|＋2|＝1，则|＋2＋3|＝ 　　　　.
【答案】　2
【解析】　如题图所示，易知|＋2＋3|＝|＋＋2(＋)|＝|2＋4|＝2|＋2|＝2.
三、解答题
7.如图，已知E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量法证明：四边形EFGH是平行四边形．
【证明】　在△BCD中，
∵G，F分别是CD，CB的中点，
∴＝，＝.
∴＝－＝－＝.
同理＝.
∴＝，即与共线．
又∵G，F，H，E四点不在同一条直线上，
∴GF∥HE，且GF＝HE.
∴四边形EFGH是平行四边形．
8．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，且＝t，求t的值．
【解析】　∵＝＋，
∴3＝2＋，
即2－2＝－.
∴2＝，
即P为AB的一个三等分点(靠近点A)，如图所示．
∵A，M，Q三点共线，
∴设＝x＋(1－x)＝＋(x－1)，
又＝－，
∴＝＋.
又＝－＝－，且＝t，
∴＋＝t.
∴解得t＝.
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第二章　平面向量及其应用
§3 从速度的倍数到向量的数乘
素养目标　定方向
课标要求 核心素养
1．了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义．
2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算进行向量运算．
3．理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法， 并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量的问题. 通过学习向量的数乘运算，重点提升学生的逻辑推理和数学运算素养.
必备知识　探新知
知识点1　向量的数乘定义
实数λ与向量a的乘积是一个________，记作λa.
(1)λa的大小：|λa|＝|λ||a|.
(2)λa的方向：
①当λ>0时，λa与a的方向________；
②当λ<0时，λa与a的方向________；
③当λ＝0时，0a＝______.
向量
相同
相反
0
知识点2　向量数乘的运算律
设λ，u是实数，则有
(1)λ(ua)＝________；(结合律)
(2)(λ＋u)a＝__________；(第一分配律)
(3)λ(a＋b)＝___________.(第二分配律)
知识点3　共线(平行)向量基本定理
给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是______
_____________________.
(λu)a
λa＋ua
λa＋λb
存在唯
一一个实数λ使a＝λb
关键能力　攻重难
1.计算：
(1)4(a＋b)－3(a－b)－8a；
(2)(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；
题型一
向量的线性运算
【分析】　运用向量数乘的运算律求解．
[归纳提升]
归纳提升：
向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
〉对点训练1
(1)下列各式计算正确的有(　　)
①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；
③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
(2)若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为(　　)
A．－a B．－4b
C．c D．a－b
【答案】　(1)C　(2)A
【解析】　(1)①③④正确，②错，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b.
(2)3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a.
题型二
用向量的线性运算表示未知向量
[归纳提升]
归纳提升：
解决此类问题的思路一般是将所表示向量置于某一个三角形内，用减法法则表示，然后逐步用已知向量代换表示．
〉对点训练2
(1)如图，在正方形ABCD中，Q为BC上一点，AQ交BD于E，且E，F为BD的两个三等分点，则(　　)
【答案】　(1)BCD　(2)见解析
3.设两个非零向量a与b不共线，
题型三
共线向量定理及其应用
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)
即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b，
∵a、b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.
[归纳提升]
归纳提升：
1．证明或判断三点共线的方法
2．利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得b＝λa(a≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值.
〉对点训练3
课堂检测　固双基
1.(2a－b)－(2a＋b)等于(　　)
A．a－2b B．－2b
C．0 D．b－a
【答案】　B
2．已知λ、 μ∈R，下面式子正确的是(　　)
A．λa与a同向
B．0·a＝0
C．(λ＋μ)a＝λa＋μa
D．若b＝λa，则|b|＝λ|a|
【答案】　C
【解析】　对A，当λ>0时正确，否则错误；对B，0·a是向量而非数0；对D，若b＝λa，则|b|＝|λa|.
A．－4 B．－1
C．1 D．4
【答案】　A
【答案】　C

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