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(共30张PPT)
第二章　平面向量及其应用
§2 从位移的合成到向量的加减法
2.2　向量的减法
素养目标　定方向
课标要求 核心素养
1．通过实例能用相反向量说出向量减法的意义．
2．掌握向量减法的运算及其几何意义．
3．能熟练地进行向量的加减运算. 通过本节向量减法的学习，重点培养学生的逻辑推理，数学运算素养.
必备知识　探新知
知识点1　相反向量(复习回顾)
定义 把与a长度相等、方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作______
规定：零向量的相反向量仍是零向量
性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量，于是－(－0)＝______；
(2)互为相反向量的两个向量的和为0，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
(3)若a＋b＝0，则a＝______，b＝______.
－a
0
－b
－a
知识点2　向量的减法
向量a加上向量b的相反向量
a＋(－b)
b的终点
a的终点
关键能力　攻重难
A．a－b＋c　　　　　　
B．b－(a＋c)　　　　　　
C．a＋b＋c　　　　　　
D．b－a＋c
题型一
向量的减法及其几何意义
(2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
【分析】　求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量．
【答案】　(1)A　(2)见解析
[归纳提升]
归纳提升：
求作两个向量差向量的2种思路
(1)直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
(2)转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
〉对点训练1
如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d.
【分析】　
题型二
三角形法则下的向量加减法运算
[归纳提升]
归纳提升：
掌握向量加、减法的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识，可以将杂乱的向量运算有序化处理，进行向量的加减运算时，常用的变形如下：
〉对点训练2
【答案】　(1)①④　(2)见解析
题型三
利用已知向量表示其他向量
[归纳提升]
归纳提升：
解此类问题要根据图形的几何性质，运用向量的平行四边形法则和三角形法则解题．要特别注意向量的方向以及运算式中向量之间的关系．
〉对点训练3
A．a＋b－c
B．a－b＋c
C．b－a＋c
D．b－a－c
【答案】　C
课堂检测　固双基
1.下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；
③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；
⑥a＋(－a)＝0.
正确的个数是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】　C
【解析】　只有⑥不正确．
A．a＋b B．－a－b
C．a－b D．b－a
【答案】　B
【答案】　D
【答案】　2第二章　§2　2.2　
素养作业　提技能
A　组·素养自测
一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(　　)
A．＝
B．＋＝
C．－＝
D．＋＝0
【答案】　C
【解析】　A项显然正确，由平行四边形法则知B正确；C项中－＝，故C错误；D项中＋＝＋＝0，故选C.
2.如图，D，E，F是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则－＝(　　)
A． B．
C． D．
【答案】　D
【解析】　由图可知，－＝－＝＝.
3．已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则(　　)
A．＋＋＝0 B．－＋＝0
C．＋－＝0 D．－－＝0
【答案】　A
4．若D为△ABC的边BC的中点，则＝(　　)
A．2－ B．2－
C．2＋ D．2＋
【答案】　B
【解析】　因为D为△ABC的边BC的中点，所以，根据向量加法法则得＋＝2，所以＝2－.故选B.
5．O是四边形ABCD所在平面上任一点，∥，且|－|＝|－|，则四边形ABCD一定为(　　)
A．菱形 B．任意四边形
C．矩形 D．平行四边形
【答案】　D
【解析】　由|－|＝|－|知||＝||，且∥故四边形ABCD是平行四边形．
6．已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则(　　)
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0
【答案】　B
【解析】　如图，a－b＝－＝，c－d＝－＝，又四边形ABCD为平行四边形，则＝，即－＝0，所以＋＝0，即a－b＋c－d＝0.故选B.
二、填空题
7．如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝_________.
【答案】　a＋c－b
【解析】　由已知＝，则＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b.
8．若向量a、b方向相反，且|a|＝|b|＝1，则|a－b|＝ 　　　　.
【答案】　2
9.如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有 　　　　.
①；②；③；④；⑤＋；⑥－；⑦＋.
【答案】　①
【解析】　－＋＝＋＝；
＋＝＋＝≠；
－＝≠；＋＝≠.
三、解答题
10.如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.
【解析】　∵四边形ACDE是平行四边形，
∴＝＝c，＝－＝b－a，＝－＝c－a，＝－＝c－b，∴＝＋＝b－a＋c.
B　组·素养提升
一、选择题
1．在平面上有A、B、C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有(　　)
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
【答案】　C
【解析】　以，为邻边作平行四边形，则m＝＋＝，n＝－＝－＝，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形，故选C.
2．下列各式结果是的是(　　)
A．－＋
B．－＋
C．－＋
D．－＋
【答案】　B
【解析】　－＋＝＋－＝－＝＋＝.
3．已知点O是△ABC内部一点，并且满足＋2＋＝0，△AOC的面积为S1，△BOC的面积为S2，则＝(　　)
A．2 B．3
C． D．
【答案】　A
【解析】　因为＋2＋＝0，所以＋＝－2＝2，所以＝(＋)．取AC的中点D，则＝(＋)．∴＝，即O为中线BD的中点，如图所示，则△AOC的面积为S1，△BOC的面积为S2，S△AOC＝2S△COD，∵S△COD＝S△BOC，∴S△AOC＝2S△BOC.所以＝2.故选A.
4．(多选)如图，向量＝a，＝b，＝c，则向量用a、b、c表示时，解题思路是(　　)
A．＝＋
B．＝＋
C．＝＋＋
D．＝＋＋
【答案】　ABCD
【解析】　A中，在△ABC中，先求，再利用＝＋；B中，在△ADC中，先求，也可得到＝＋；同理，C、D也正确．
二、填空题
5．已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量，，，满足＋＝＋，则四边形ABCD的形状为 　　　　　.
【答案】　平行四边形
【解析】　∵＋＝＋，
∴－＝－，∴＝.
∴||＝||，且DA∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
6．已知|a|＝7，|b|＝2，且a∥b，则|a－b|＝ 　　　　.
【答案】　5或9
【解析】　当a与b方向相同时，|a－b|＝|a|－|b|＝7－2＝5；
当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|＝7＋2＝9.
三、解答题
7．已知点B是 ACDE内一点，且＝a，＝b，＝c，试用a、b、c表示向量、、、及.
【解析】　∵四边形ACDE为平行四边形．
∴＝＝c；
＝－＝b－a；
＝－＝c－a；
＝－＝c－b；
＝＋＝b－a＋c.
8．证明：当向量a，b不共线时，
(1)|a|－|b|<|a＋b|<|a|＋|b|；
(2)|a|－|b|<|a－b|<|a|＋|b|.
【解析】　(1)如图所示，
设a＝，b＝，且向量a，b不共线，
以OA、OB为邻边作一个平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b，
在△AOC中，因为AO－AC所以|a|－|b|<|a＋b|，
因为OC所以|a|－|b|<|a＋b|<|a|＋|b|.
(2)由(1)向量a，b不共线，在△AOB中，因为AO－OB所以|a|－|b|<|a－b|，
因为AB所以|a|－|b|<|a－b|<|a|＋|b|.
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