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(共34张PPT)
第二章　平面向量及其应用
§5 从力的做功到向量的数量积
5.1　向量的数量积
素养目标　定方向
课标要求 核心素养
1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．
2．通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．
3．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．
4．会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直. 通过学习向量的数量积，重点提升学生的数学运算，逻辑推理，数学抽象素养.
必备知识　探新知
知识点1　向量的数量积(内积)
1．定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角〈a，b〉＝θ，把|a||b|cos〈a，b〉称为向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝__________.
2．运算结果：零向量与任一向量的数量积为0；当__________时，a·b>0；当_______________时，a·b<0；
当θ＝90°时，a·b＝____；当θ＝0°时，a·b＝_____；当θ＝180°时，a·b＝_______.
|a||b|cos θ
0°≤θ<90°
90°<θ≤180°
0
|a||b|
－|a||b|
投影向量
投影数量
2．向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度___与b在a方向上的投影数量|b|cos θ的______，或b的长度_____与a在b方向上的投影数量___________的乘积．
|a|
乘积
|b|
|a|cos θ
知识点3　数量积的运算性质
运算律 交换律：a·b＝______.
与数乘的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝________.
关于加法的分配律：a·(b＋c)＝___________.
性质 ①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝_________；
②a⊥b a·b＝0(其中a，b为非零向量)；
③即a·a＝|a|2，|a|＝______；
④cos〈a，b〉＝________________；
⑤对任意两个向量a，b，有|a·b|≤_______，当且仅当______时等号成立.
b·a
a·(λb)
a·b＋a·c
|a|·cos θ
|a||b|
a∥b
关键能力　攻重难
题型一
平面向量的数量积
[归纳提升]
归纳提升：
求平面向量数量积的两个方法
(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.
注意：运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影数量，可利用数量积的几何意义求a·b.
〉对点训练1
(1)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．0
【答案】　(1)B　(2)0　－16　－16
【解析】　(1)a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.
∵ |a|＝1，a·b＝－1，∴ 原式＝2×12＋1＝3.
故选B.
2.(1)已知向量a，b，其中|a|＝1，|a－2b|＝4，|a＋2b|＝2，则a在b方向上的投影数量为(　　)
A．－1 B．1
C．－2 D．2
(2)已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝5，则2a－b在a方向上的投影数量为(　　)
题型二
向量的投影数量
【答案】　(1)A　(2)B
【解析】　(1)|a－2b|＝4 (a－2b)2＝16，
即a2－4a·b＋4b2＝16①
|a＋2b|＝2 (a＋2b)2＝4
即a2＋4a·b＋4b2＝4②
[归纳提升]
归纳提升：
一个向量在另一个向量方向上的投影数量的求法
(1)向量b在a的方向上的投影数量为|b|cos θ，向量a在b的方向上的投影数量为|a|cos θ，所以计算一个向量在另一个向量方向上的投影数量，重在求这两个向量的模与夹角．
〉对点训练2
已知两个单位向量a，b的夹角为60°.
【分析】　(1)由向量数量积定义可求得a·b，根据向量数量积运算律可求得结果；
(2)结合向量数量积运算律可求得|a＋b|2，由此可得|a＋b|；
(3)利用向量夹角公式直接求解即可．
题型三
向量的模与夹角
[归纳提升]
归纳提升：
1．利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
〉对点训练3
课堂检测　固双基
1.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝(　　)
【答案】　C
【答案】　B
3．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在b方向上的投影数量为(　　)
A．－4 B．4
C．－2 D．2
【答案】　A
4．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)
【答案】　A第二章　§5　5.1　
素养作业　提技能
A　组·素养自测
一、选择题
1．已知△ABC中，＝a，＝b，若a·b<0，则△ABC是(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．任意三角形
【答案】　A
【解析】　由a·b<0易知〈a，b〉为钝角．
2．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是(　　)
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
【答案】　B
【解析】　A中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A错；C中，若a2＝b2，则|a|＝|b|，C错；D中，若a·b＝a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，故只有选项B正确，故选B.
3．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．12
【答案】　C
【解析】　∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，
∴a2－a·b－6b2＝－72.
∴|a|2－|a||b|cos 60°－6|b|2＝－72.
∴|a|2－2|a|－24＝0.又∵|a|≥0，∴|a|＝6.
4．在△ABC中，AB＝2，AC＝1，D为BC的中点，且∠BAD＝30°，则·的值为(　　)
A． B．
C． D．0
【答案】　D
【解析】　如图所示，因为点D为BC的中点，可得S△ABD＝S△ACD，设AD＝m，∠DAC＝θ，可得×2×m×sin 30°＝×1×msin∠DAC，解得sin∠DAC＝1，所以∠DAC＝90°，所以AD⊥AC，所以·＝0.故选D.
5．已知O是△ABC的外心，||＝4，||＝2，则·(＋)＝(　　)
A．10 B．9
C．8 D．6
【答案】　A
【解析】　如图，O为△ABC的外心，设D，E为AB，AC的中点，
则OD⊥AB，OE⊥AC，
故·(＋)＝·＋·
＝||·||·cos∠OAD＋||·||·cos∠OAE
＝||·||＋||·||
＝||2＋·||2＝×42＋×22＝10，故选A.
6．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
【答案】　D
【解析】　由·＝·得·(－)＝0，即·＝0，∴PB⊥CA.同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．
二、填空题
7．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为 　　　　.
【答案】　
【解析】　由a·b＝0得(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0.整理，得k－2＋(1－2k)cos＝0，解得k＝.
8．设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝ 　　　　.
【答案】　
【解析】　因为a，b为单位向量，所以|a|＝|b|＝1，所以|a＋b|＝＝＝＝1，解得2a·b＝－1，所以|a－b|＝＝＝.
9．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则|2a－b|＝ 　　　　.
【答案】　2
【解析】　设向量b和a的夹角是α，因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝a2－a·b＝2－a·b＝2－2cos α＝0，所以cos α＝，所以|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b＝8＋4－4××2×＝4，故|2a－b|＝2.
三、解答题
10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|.
【解析】　(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.将|a|＝4，|b|＝3代入上式求得a·b＝－6，所以cos θ＝＝＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝.
B　组·素养提升
一、选择题
1．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　)
A．－8 B．8
C．－8或8 D．6
【答案】　B
【解析】　由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cos θ＝－，sin θ＝，∴|a×b|＝|a|·|b|·sin θ＝2×5×＝8.
2．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　)
A．(－2,6) B．(－6,2)
C．(－2,4) D．(－4,6)
【答案】　A
【解析】　如图， 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是(－1,3)，结合向量数量积的定义式，可知·等于的模与在方向上的投影的乘积，所以·的取值范围是(－2,6)，故选A.
3．(多选)设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则有(　　)
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|－|b|<|a－b|
C．(b·c)a－(c·a)b不与c垂直
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
【答案】　BD
【解析】　由于b，c不共线，因此(a·b)c不一定等于(c·a)b，只有在a⊥b且a⊥c时，等式才成立，故A错误；由三角形的三边关系知B正确；由于[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，即(b·c)a－(c·a)b与c垂直，故C错误；根据向量数量积的运算可知D正确．
4．(多选)软木锅垫一般用于餐厅、咖啡厅、酒店等公共饮食场所，可作广告饰品以提高形象．杯垫透气、无毒、无异味、防水防潮、耐油耐酸、弹性环保，具有耐冲击、不变形、耐用等特点．正、反面可加置印刷公司LOGO、图片、产品、广告、联系方式等，更接近人们的生活，较强的摩擦力可以防止玻璃、瓷杯滑落，亦可保护桌面不被烫坏．如图，这是一个边长为10厘米的正六边形的软木锅垫ABCDEF，则下列选项正确的是(　　)
A．向量与向量是相等向量
B．·＝50
C．·＝||2
D．|＋|＝30
【答案】　ACD
【解析】　由图可得向量与向量方向相同，大小相等，所以向量与向量相等向量，A正确；
由图易得向量与向量的夹角为60°，则·＝10×10×cos 60°＝50，B错误；
如图，因为∠FAB＝120°，∠DAB＝60°，||＝2||，
则·＝||·||·cos 60°＝||2，C正确；
因为△ACE为正三角形，所以根据平行四边形法则得＋＝2，
与共线且同方向，又△EDH，△AEH均为含角的直角三角形，所以||＝||，
||＝||＝3||，||＝4||，
所以＝，|＋|＝||＝×20＝30，D正确．故选ACD.
二、填空题
5．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为 　　　　.
【答案】　－
【解析】　∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|，
∴|a|2＝9|b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，
∴a·b＝－|b|2，
∴cos 〈a，b〉＝＝＝－.
6．如图所示，已知圆O为△ABC的外接圆，AB＝6，BC＝7，CA＝8，则·＋·＋·＝ 　　　　.
【答案】　－
【解析】　·＝||||cos(180°－∠BAO)，
∵||cos(180°－∠BAO)＝－||cos ∠BAO
＝－||，
∴·＝－||2，
同理，·＝－||2，
·＝－||2，
∴·＋·＋·＝－×(62＋72＋82)＝－.
三、解答题
7．已知|m|＝3，|n|＝5，(3m＋2n)·(2m－n)＝－2.
(1)求|m＋n|；
(2)求向量m在向量m＋n方向上的投影向量的长度．
【解析】　(1)∵(3m＋2n)·(2m－n)＝－2，
∴6m2＋m·n－2n2＝－2，
∵|m|＝3，|n|＝5，∴m·n＝－6.
∴|m＋n|＝
＝
＝.
(2)∵m·(m＋n)＝m2＋m·n＝9－6＝3，
∴向量m在向量m＋n上的投影向量的长度为＝＝.
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，以点A为圆心，r为半径作圆，如图所示，其中PQ为圆A的直径，试判断P，Q在什么位置时，·有最大值．
【解析】　∵＝－，＝－＝－－，
∴·＝(－)·(－－)
＝(－·)＋·－2＋·
＝·－r2＋(－)
＝·－r2＋·
＝||||cos ∠BAC－r2＋·
＝bccos ∠BAC－r2＋·.
当与同向时，·的最大值为||||＝ra，
即当与共线且同向时，·有最大值bccos ∠BAC＋ar－r2.
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