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(共30张PPT)
第二章　平面向量及其应用
§4 平面向量基本定理及坐标表示
4.2　平面向量及运算的坐标表示
素养目标　定方向
课标要求 核心素养
1．借助平面直角坐标系，理解平面向量的正交分解及坐标表示．
2．掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．
3．通过实例理解坐标表示的平面向量共线的条件，并能够解决有关向量共线、直线平行及三点共线等问题. 通过学习平面向量及运算的坐标表示，重点培养学生的数学运算，逻辑推理素养.
必备知识　探新知
(x，y)
知识点2　平面向量的坐标运算
文字 符号
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝________________
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a－b＝_________________
数乘
向量 实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝___________
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(λx，λy)
(x2－x1，y2－y1)
知识点3　向量平行的坐标表示
设a，b是非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当a∥b时，有_____________.
(2)当a∥b且b不平行于坐标轴，即x2≠0，y2≠0时，有_________.即若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行．
x1y2－x2y1＝0
关键能力　攻重难
题型一
平面向量的坐标表示
[归纳提升]
归纳提升：
求向量坐标的三个步骤：
〉对点训练1
【答案】　A
题型二
平面向量的坐标运算
[归纳提升]
归纳提升：
平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比实数的运算进行．
〉对点训练2
【答案】　(1)(5,4)　(2)(－3，－3)
3.(1)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是(　　)
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
题型三
向量平行(共线)的判定
【答案】　(1)B　(2)见解析
[归纳提升]
归纳提升：
1．向量共线的判定方法
2．利用向量平行的条件求参数值的思路
(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解．
(2)利用向量平行的坐标表达式直接求解．
〉对点训练3
【答案】　A
课堂检测　固双基
A．(2，－1) B．(－1，－4)
C．(－2,1) D．(1，－2)
【答案】　B
2．已知向量a＝(2,8)，b＝(－4,2)．若c＝2a－b，则向量c＝(　　)
A．(0,18) B．(8,14)
C．(12,12) D．(－4,20)
【答案】　B
【解析】　因为向量a＝(2,8)，b＝(－4,2)，所以c＝2a－b＝2(2,8)－(－4,2)＝(8,14)．故选B.
3．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，则向量a＋b－c的坐标为(　　)
A．(1，－2) B．(1,2)
C．(2，－1) D．(－1,2)
【答案】　A
【解析】　由图可知a＝c＝(1,2)，b＝(1，－2)，所以a＋b－c＝(1，－2)．
4．已知向量a＝(－1，－1)，b＝(－m,4m＋5)，且a∥b，则m等于(　　)
【答案】　A第一章　§4　4.2　
素养作业　提技能
A　组·素养自测
一、选择题
1．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是(　　)
A． B．
C．(－8,1) D．(8,1)
【答案】　C
【解析】　＝－＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8，1)．
2．下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,1)
B．e1＝(1,2)，e2＝(－2,1)
C．e1＝(－3,4)，e2＝
D．e1＝(2,6)，e2＝(－1，－3)
【答案】　B
3．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则“＝”是“a∥b”的(　　)
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．非充分非必要条件
【答案】　A
【解析】　若＝，则x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0，故a∥b，充分性成立，不妨设a＝(0,1)，b＝(0,2)，此时a∥b，但不满足＝，故必要性不成立，所以“＝”是“a∥b”的充分非必要条件．故选A.
4．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于(　　)
A．－6 B．6
C．2 D．－2
【答案】　B
【解析】　a＋2b＝(5,5)，3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，
由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，
∴λ＝6.
5．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝，则顶点D的坐标为(　　)
A．(4,5) B．(5，－4)
C．(3,2) D．(1,3)
【答案】　A
【解析】　设D点坐标为(x，y)，
则＝(4,3)，＝(x，y－2)，
由＝，得
∴∴D(4,5)．
6．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是(　　)
A．k＝－2 B．k＝
C．k＝1 D．k＝－1
【答案】　C
【解析】　因为A，B，C三点不能构成三角形，则A，B，C三点共线，则∥，又＝－＝(1,2)，＝－＝(k，k＋1)，所以2k－(k＋1)＝0，即k＝1.
二、填空题
7．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝ 　　　　　.
【答案】　(－3，－5)
【解析】　∵＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．
8．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，则向量的坐标为 　　　　　.
【答案】　(－3，3)
【解析】　设点A(x，y)，则
x＝||cos 150°＝6cos 150°＝－3，
y＝||sin 150°＝6sin 150°＝3，
即A(－3，3)，所以＝(－3，3)．
9．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ的值为 　　　　.
【答案】　
【解析】　a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)
∵(a＋λb)∥c，
∴4(1＋λ)－3×2＝0，∴λ＝.
三、解答题
10．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(5λ＋2,7λ＋3)，若第三象限的点P满足＝＋，求实数λ的取值范围．
【解析】　设P(x，y)，则＝(x－2，y－3)，
又＝＋＝(3,1)＋(5λ，7λ)
＝(3＋5λ，1＋7λ)，
于是由＝＋，
可得(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
所以即
因为点P在第三象限，
所以解得λ<－1.
故所求实数λ的取值范围是(－∞，－1)．
B　组·素养提升
一、选择题
1．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b(　　)
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
【答案】　C
【解析】　a＋b＝(0,1＋x2)，与y轴平行．
2．在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，＝(－1,2)，则＋＝(　　)
A．(－2,4) B．(4,6)
C．(－6，－2) D．(－1,9)
【答案】　A
【解析】　在平行四边形ABCD中，因为A(1,2)，B(3,5)，所以＝(2,3)．又＝(－1,2)，所以＝＋＝(1,5)，＝－＝(－3，－1)，所以＋＝(－2,4)，故选A.
3．(多选)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　)
A．k＝－1 B．k＝1
C．c与d同向 D．c与d反向
【答案】　AD
【解析】　∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，又a，b不共线，∴∴.∴c＝－d，∴c与d反向．
4．(多选)在边长为4的正方形ABCD中，P在正方形(含边)内，满足＝x＋y，则下列结论正确的是(　　)
A．若点P在BD上时，则x＋y＝1
B．x＋y的取值范围为[1,4]
C．若点P在BD上时，＋＝2x＋2y
D．当P在线段BD上时，的最小值为
【答案】　AD
【解析】　如图建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4，0)，C(4,4)，D(0,4)，设P(m，n)(m，n∈[0,4])，
因为＝x＋y，所以(m，n)＝x(4,0)＋y(0，4)，所以
对于A，由题意可得线段BD的方程为x′＋y′＝4，x′∈[0,4]，
因为点P在BD上，所以m＋n＝4，因为所以m＋n＝4(x＋y)＝4，
所以x＋y＝1，所以A正确，
对于B，因为所以m＋n＝4(x＋y)，所以x＋y＝，
因为m，n∈[0,4]，所以m＋n∈[0,8]，所以x＋y∈[0,2]，所以B错误，
对于C，因为＝(m，n)，＝(4,4)，所以＋＝(m＋4，n＋4)，
因为2x＋2y＝2x(4,0)＋2y(0,4)＝(8x,8y)，，
所以2x＋2y＝(2m,2n)，
若＋＝2x＋2y，则得
因为m＋n＝4，所以不满足，所以＋＝2x＋2y不成立，所以C错误，
对于D，＝＝≥＝，当且仅当x＝y＝时取等号，
所以当P在线段BD上时，的最小值为，所以D正确，故选AD.
二、填空题
5．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝ 　　　　.
【答案】　1
【解析】　a－2b＝(，3)．因为a－2b与c共线，
所以＝，解得k＝1.
6．已知点P1(2，－1)，点P2(－1,3)，点P在线段P1P2上，且||＝||，则求点P的坐标为 　　　　　　　　.
【答案】　
【解析】　设点P的坐标为(x，y)，
由于点P在线段P1P2上，则有＝，
又＝(x－2，y＋1)，＝(－1－x,3－y)，
由题意得解得
∴点P的坐标为.
三、解答题
7．如图，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．
【解析】　由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)．
由三角函数的定义，得
x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，
∴B.
x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝，
∴D.
∴＝，＝.
8．如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D、M、B三点共线．
【解析】　如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，令||＝1，则||＝1，||＝2.
∵CE⊥AB，而AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形．
∴可求得各点坐标分别为：E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．
(1)∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴＝，∴∥，又E，D，C，B四点不共线，
∴DE∥BC.
(2)∵M为EC的中点，∴M，
∴＝(－1,1)－＝，
＝(1,0)－＝.
∴＝－，∴∥.
又 MD与MB共点于M，
∴D，M，B三点共线．
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