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(共28张PPT)
第二章　平面向量及其应用
§5 从力的做功到向量的数量积
5.2　向量数量积的坐标表示
5.3　利用数量积计算长度与角度
素养目标　定方向
课标要求 核心素养
1．能够推导出两个向量数量积的坐标表示，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算．
2．掌握向量垂直条件的坐标形式，并能灵活运用．
3．能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决有关长度、角度、垂直等问题. 通过学习数量积的坐标表示，重点培养学生的数学运算、逻辑推理素养.
必备知识　探新知
知识点　平面向量数量积的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
x1x2＋y1y2＝0
关键能力　攻重难
1.(1)设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(　　)
A．12 B．0
C．－3 D．－11
(2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
(3)已知a＝(2，－1)，a＋2b＝(6,3)，若b·c＝14，|c|＝5，则向量c的坐标为__________________.
题型一
平面向量数量积的坐标运算
【答案】　(1)C　(2)C　(3)(3,4)或(4,3)
【解析】　(1)∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，∴a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3.
(2)由题意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4.
[归纳提升]
归纳提升：
平面向量数量积坐标运算的两条途径
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：
一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；
二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
〉对点训练1
【答案】　(1)1　(2)4
2.(1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　　)
题型二
与平面向量模有关的问题
[归纳提升]
归纳提升：
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：
利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算：
〉对点训练2
【答案】　(1)B　(2)见解析
题型三
向量夹角和垂直问题
＝cos(120°－α)．
∵0°≤α≤90°，∴30°≤120°－α≤120°.
又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°－α，
即两向量的夹角为120°－α.
[归纳提升]
归纳提升：
利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．
〉对点训练3
(1)设向量a＝(2,2)，b＝(2，－1)．若2a⊥(a－tb)，则实数t＝_____.
【答案】　(1)4　(2)10
课堂检测　固双基
1.若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于(　　)
A．3 B．－3
【答案】　A
【解析】　a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.
2．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是(　　)
A．|a|＝|b| B．a·b＝0
C．a∥b D．(a－b)⊥b
【答案】　D
【解析】　a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b.
3．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　)
【答案】　B
【答案】　B第二章　§5　5.2　5.3
素养作业　提技能
A　组·素养自测
一、选择题
1．已知点A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则·等于(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
【答案】　B
【解析】　∵＝(2,3)－(1,2)＝(1,1)，＝(－2,5)－(1,2)＝(－3,3)，∴·＝1×(－3)＋1×3＝0.
2．已知a＝(－1,3)，b＝(2，－1)且(ka＋b)⊥(a－2b)则k＝(　　)
A． B．－
C． D．－
【答案】　C
【解析】　由题意知(ka＋b)·(a－2b)＝0，
而ka＋b＝(2－k,3k－1)，
a－2b＝(－5,5)，
故－5(2－k)＋5(3k－1)＝0，解得k＝.
3．已知向量a与b的方向相反，b＝(－2,3)，|a|＝2，则a＝(　　)
A．(－6,4) B．(－4,6)
C．(4，－6) D．(6，－4)
【答案】　C
【解析】　∵a与b的方向相反，∴a＝λb(λ<0)．设a＝(x，y)，则(x，y)＝λ(－2,3)，
于是由|a|＝2，得x2＋y2＝52，
即4λ2＋9λ2＝13λ2＝52，∴λ2＝4，
∴λ＝－2，∴a＝(4，－6)．故选C.
4．已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)．若2a－b与b垂直，则|a|＝(　　)
A．1 B．
C．2 D．4
【答案】　C
【解析】　由2a－b与b垂直，得(2a－b)·b＝0，
即2a·b－b2＝0.
故2(－1＋n2)－(1＋n2)＝0，解得n2＝3.
所以，|a|＝＝＝2.
5．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　)
A． B．
C．5 D．25
【答案】　C
【解析】　∵a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，
∴(a＋b)2＝50＝a2＋2a·b＋b2，可得|b|＝5.
6．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　　)
A． B．
C． D．
【答案】　D
【解析】　不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)．又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，∴m＝－，n＝－，故选D.
二、填空题
7．已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝ 　　　　.
【答案】　2
【解析】　因为a＋b＝(－1，)，
所以|a＋b|＝＝2.
8．若a＝(3，－1)，b＝(x，－2)，且〈a，b〉＝，则x＝ 　　　　.
【答案】　1
【解析】　cos＝，解得x＝1或x＝－4(舍)．
9．已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos 〈a，b〉＝ 　　　　.
【答案】　－
【解析】　∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，
∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，
|a|＝＝2，|b|＝＝10.
∴cos 〈a，b〉＝＝＝－.
三、解答题
10．(1)已知三点A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值；
(2)a＝(3,0)，b＝(－5,5)，求a与b的夹角．
【解析】　(1)∵＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，
＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)，
∴·＝3×(－1)＋3×6＝15.
又||＝＝3，||＝＝，
∴cos ∠BAC＝＝＝.
(2)a·b＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a|＝3，|b|＝5.
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝.
B　组·素养提升
一、选择题
1．设x、y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(　　)
A． B．
C．2 D．10
【答案】　B
【解析】　由a⊥c，得2x－4＝0，则x＝2，由b∥c得－4＝2y，则y＝－2，|a＋b|＝＝.
2．已知向量a＝(2cos θ，2sin θ)，b＝(0，－2)，θ∈，则向量a、b的夹角为(　　)
A．－θ B．θ－
C．＋θ D．θ
【答案】　A
【解析】　由三角函数定义知a的起点在原点时，终点落在圆x2＋y2＝4位于第二象限的部分上
∵，设其终点为P，则∠xOP＝θ，
∴a与b的夹角为－θ.
3．(多选)角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在α的终边上，点Q(－3，－4)，且tan α＝－2，则与夹角的余弦值为(　　)
A．－ B．
C． D．－
【答案】　AC
【解析】　∵tan α＝－2，∴可设P(x，－2x)，
cos 〈，〉＝＝，
当x>0时，cos 〈，〉＝，
当x<0时，cos 〈，〉＝－.
4．(多选)如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成θ角的两条数轴，e1、e2分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ斜坐标系，若＝xe1＋ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量的斜坐标，记为＝(x，y)．在θ＝的斜坐标系中，a＝，b＝(，－1)，则下列结论中，错误的是(　　)
A．a－b＝
B．a⊥b
C．|a|＝1
D．b在a上的投影向量为
【答案】　BC
【解析】　由题意得a＝e1＋e2，b＝e1－e2.a－b＝e1＋e2－(e1－e2)＝e1＋e2，由题意得：a－b＝，故A正确；∵a·b＝·(e1－e2)＝e12＋e1·e2－e22＝＋cos －＝≠0，故B项不正确；∵a＝e1＋e2，∴|a|＝＝＝＝＝≠1，故C不正确；∵b在a上的投影向量为：·＝·a，由C知|a|＝，∴|a|2＝1＋，又∵a·b＝，∴·a＝·a＝＝，故D正确．故选BC.
二、填空题
5．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝ 　　　　.
【答案】　2
【解析】　∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝，|b|2＝1，∵b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t＋(1－t)＝1－t＝0，∴t＝2.
6．已知平面向量a＝(1，－2)，b＝(4，y)，若a与a＋b的夹角为锐角，则y的取值范围为_______________.
【答案】　(－，－8)∪
【解析】　因为a与a＋b的夹角为锐角，所以a·(a＋b)>0，且a与a＋b不共线，
a＝(1，－2)，a＋b＝(5，y－2)，即1×5－2(y－2)>0，且1×(y－2)≠－2×5，
解得y<且y≠－8，故答案为：(－，－8)∪.
三、解答题
7．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
【解析】　(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，
∴＝2，∴x2＋y2＝20.
由c∥a和|c|＝2，可得
解得或
故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0，
∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，
∴cos θ＝＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
8．在△ABC中，已知A(3,1)，B(1,0)，C(2,3)．
(1)判断△ABC的形状；
(2)设O为坐标原点，＝m(m∈R)，且(－m)∥，求||.
【解析】　(1)由两点间的距离公式，
得|AB|＝|AC|＝.
∵＝(－2，－1)，＝(－1,2)，
∴·＝2－2＝0，即AB⊥AC.
∴△ABC为等腰直角三角形．
(2)由题可知＝(2,3)，＝(1,3)，
则－m＝(－2－2m，－1－3m)．
又(－m)∥，
则有3(－2－2m)＋(1＋3m)＝0，解得m＝－，
由两点间的距离公式，得|OC|＝.
∴||＝.
∴||＝|m|·||＝.
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