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(共34张PPT)
第二章　平面向量及其应用
§6 平面向量的应用
6.1　余弦定理与正弦定理
三、用余弦定理、正弦定理解三角形
第1课时　三角形中的几何计算
素养目标　定方向
课标要求 核心素养
1．能灵活选择恰当的三角形的面积公式解决有关面积的问题．
2．能够运用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题. 通过余弦定理、正弦定理的应用，提升逻辑推理，数学运算素养.
必备知识　探新知
知识点1　三角形的面积公式
bcsin A
(a＋b＋c)
2R
2Rsin A
关键能力　攻重难
1.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°.求BD的长．
题型一
有关线段长度或夹角计算
[归纳提升]
归纳提升：
解决与三角形长度有关的问题的策略
(1)若已知条件在同一个三角形中，则直接利用正、弦定理求解．
(2)若已知条件及所求线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．
〉对点训练1
题型二
与面积有关的问题
[归纳提升]
归纳提升：
求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用，另外也要注意三个内角的取值范围，避免由三角函数值求角时出现增根错误．
〉对点训练2
题型三
三角形中的综合问题
[归纳提升]
归纳提升：
解三角形综合问题的方法
(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解．
(2)解三角形常与向量、三角函数知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后要根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．
〉对点训练3
课堂检测　固双基
【答案】　B
【答案】　B
A．15 B．12
C．16 D．20
【答案】　A
【答案】　B
5．如图，在四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，求该四边形的面积．第二章　§6　6.1　3　第1课时
素养作业　提技能
A　组·素养自测
一、选择题
1．在△ABC中，若＝，则角B等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】　B
【解析】　由正弦定理知＝，∵＝，∴sin B＝cos B，∵0°2．已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为，则cos C为(　　)
A． B．
C．－ D．－
【答案】　A
【解析】　由三角形面积公式可得absin C＝＝，即tan C＝，由03．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则此三角形一定是(　　)
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
【答案】　B
【解析】　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac，又∵b2＝ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，∵B＝60°，∴A＝C＝60°.故△ABC是等边三角形．
4．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为(　　)
A．75° B．60°
C．45° D．30°
【答案】　B
【解析】　∵3＝×4×3sin C，∴sin C＝，∵△ABC为锐角三角形，∴C＝60°，故选B.
5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(a＋c)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于(　　)
A．6∶5∶4 B．7∶5∶3
C．3∶5∶7 D．4∶5∶6
【答案】　B
【解析】　∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，∴＝＝.令＝＝＝k(k>0)，则，解得∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶5∶3.
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)
A．3 B．
C．. D．3
【答案】　C
【解析】　由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a－b)2＋6，∴ab＝6，∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.
二、填空题
7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 　　　　.
【答案】　
【解析】　根据正弦定理有：sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，所以2sin Bsin C＝4sin Asin Bsin C，因为B，C∈(0，π)，所以sin B≠0，sin C≠0，所以sin A＝.因为b2＋c2－a2＝8，所以cos A＝＝＝，所以bc＝，所以S＝bcsin A＝.
8．在△ABC中，A＝60°，最大边长与最小边长是方程x2－9x＋8＝0的两个实根，则边BC长为 　　　　.
【答案】　
【解析】　∵A＝60°，∴可设最大边与最小边分别为b、c.
由条件可知，b＋c＝9，bc＝8，
∴BC2＝b2＋c2－2bccos A
＝(b＋c)2－2bc－2bccos A
＝92－2×8－2×8×cos 60°
＝57，
∴BC＝.
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos C＝，若·＝，且a＋b＝9，则c＝ 　　　　.
【答案】　6
【解析】　因为·＝，所以abcos C＝，所以ab＝20，又因为a＋b＝9，所以a2＋2ab＋b2＝81，所以a2＋b2＝41，所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝36，解得c＝6.
三、解答题
10.如图所示，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．
【解析】　如图，连接BD，则四边形ABCD的面积为S＝S△ABD＋S△CDB＝AB·ADsin A＋BC·CDsinC．
因为A＋C＝180°，所以sin A＝sin C，
所以S＝(AB·AD＋BC·CD)sin A＝(2×4＋6×4)sin A＝16sin A.
在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝22＋42－2×2×4cos A＝20－16cos A.
在△CDB中，由余弦定理得BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcos C＝52－48cosC．
所以20－16cos A＝52－48cosC．
因为cos C＝－cos A，所以64cos A＝－32，
所以cos A＝－，又0°B　组·素养提升
一、选择题
1．已知锐角三角形ABC中，||＝4，||＝1，△ABC的面积为，则·的值为(　　)
A．2 B．－2
C．4 D．－4
【答案】　A
【解析】　由题意，得S△ABC＝||·||·sin A＝×4×1×sin A＝，∴sin A＝，又∵A∈，∴cos A＝.∴·＝||·||·cos A＝4×1×＝2.
2．在△ABC中，lg a－lg b＝lg sin B＝－lg，∠B为锐角，则∠A的值是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】　A
【解析】　由题意得＝sin B＝，又∵∠B为锐角，∴B＝45°，又＝＝，sin A＝sin B×＝，∴∠A＝30°.
3．(多选)在△ABC中，周长为7.5 cm，且sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6，下列选项正确的是(　　)
A．a∶b∶c＝4∶5∶6
B．a∶b∶c＝2∶∶
C．a＝2 cm，b＝2.5 cm，c＝3 cm
D．A∶B∶C＝4∶5∶6
【答案】　AC
【解析】　由正弦定理知a∶b∶c＝4∶5∶6，故A正确，B、D错误；结合a＋b＋c＝7.5，知a＝2，b＝2.5，c＝3，∴C正确．
4．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b＝，A＝60°，a为常数，满足条件的△ABC唯一确定，则a的值可能为(　　)
A．2 B．
C． D．
【答案】　ABD
【解析】　如图，当b＝，A＝60°时，
若a＝bsin A＝×sin 60°＝，△ABC是唯一确定的，符合，若bsin A二、填空题
5．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为 　　　　.
【答案】　
【解析】　本题考查正弦定理和三角形的面积公式以及基本不等式，由正弦定理可得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，即2a－2b＋ab＝b2＋c2－bc，将a＝2代入可得b2＋c2－bc＝4，所以4≥bc.当且仅当b＝c＝2时等号成立，所以S△ABC＝bcsin A，当角A＝60°时有最大值为.
6.如图，若圆内接四边形的边长依次为25,39,52和60，则cos A＝ 　　　　，该圆的直径长度为 　　　　.
【答案】　0　65
【解析】　由余弦定理得BD2＝392＋522－2×39×52cos C，BD2＝252＋602－2×25×60cos A，∵A＋C＝180°，∴cos C＝－cos A，∵(392－252)－(602－522)＋2×39×52cos A＋2×25×60cos A＝0，∴cos A＝0.∵0°三、解答题
7．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b；
(2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积．
【解析】　(1)由余弦定理及已知条件得a2＋b2－ab＝4，
又∵△ABC的面积为，故absin C＝，得ab＝4.
联立方程组得
(2)∵sin B＝2sin A，
由正弦定理得b＝2a，
联立方程组得
故△ABC的面积S＝absin C＝.
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝8，且(a－b)(sin A＋sin B)＝c(sin C－sin B)．
(1)求△ABC面积的最大值；
(2)若·＝8，D为边BC的中点，求线段AD的长度．
【解析】　(1)∵(a－b)(sin A＋sin B)＝c(sin C－sin B)，
由正弦定理可得(a－b)(a＋b)＝c(c－b)，
即b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理可得cos A＝＝＝，
又0又a＝8，∴a2＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，∴bc≤64，当且仅当b＝c＝8时取等号．
∴S△ABC＝bcsin A＝bc≤16，
故△ABC面积的最大值为16.
(2)∵D是边BC的中点，∴＝(＋)，
∴2＝(＋)2＝(||2＋2·＋||2)＝(b2＋c2)＋·.
∵·＝8，∴bccos A＝8，∴bc＝16，
又由(1)知b2＋c2－bc＝a2＝64，∴b2＋c2＝80，
∴2＝×80＋×8＝24，∴||＝2，
即线段AD的长度为2.
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