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(共28张PPT)
第二章　平面向量及其应用
§6 平面向量的应用
6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例
素养目标　定方向
课标要求 核心素养
1．能运用向量的有关知识解决平面几何中的线段平行，垂直，相等等问题．
2．能运用向量的有关知识解决物理中的有关力，速度，功等问题. 通过“平面向量的应用举例”的学习，培养学生的数学建模，数学运算等素养.
必备知识　探新知
知识点1　向量在平面几何中的应用
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)证明线线平行问题：常用向量平行的等价条件：a∥b(b≠0) a＝λb ___________.
(2)证明垂直问题：常用向量垂直的等价条件：a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
x1y2＝x2y1
知识点2　向量在物理学中的应用
(1)物理学中的许多量，如力，位移，速度，加速度都是向量．
(2)物理学中的力，速度，加速度，位移的合成与分解就是向量的加减法．
关键能力　攻重难
1.已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．
(1)求直线DE，EF，FD的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．
题型一
平面向量在几何中的应用
[归纳提升]
归纳提升：
利用向量法解决几何问题，首先将线段看成向量，再利用向量法则进行坐标运算．　　
〉对点训练1
在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求角A的平分线所在的直线方程．
[归纳提升]
归纳提升：
用向量解平面几何问题的方法
(1)基法(基向量法)：选择两个不共线的向量作为基，用基表示有关向量，把问题转化为只含有基向量的运算．
(2)坐标法：建立适当的坐标系，用坐标表示向量，把问题转化为向量的坐标运算．　　
〉对点训练2
A．6 B．9
C．12 D．24
【答案】　C
题型二
平面向量在物理中的应用
[归纳提升]
归纳提升：
1．用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系．
2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．
3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．
一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4米/秒，这时气象台报告实际风速为2米/秒．试求风的实际方向和汽车的速度大小．
【解析】　依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v车地、风对车的速度为v风车、风对地的速度为v风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v风地＝v风车＋v车地．
〉对点训练3
课堂检测　固双基
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
【答案】　D
A．∠C为钝角的三角形
B．∠B为直角的直角三角形
C．锐角三角形
D．∠A为直角的直角三角形
【答案】　D
【答案】　D
4．已知三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)，且F1＋F2＋F3＝0，则F3＝__________.
【答案】　(－5,1)
5．如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点．求证：AF⊥DE.第二章　§6　6.2
素养作业　提技能
A　组·素养自测
一、选择题
1．已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,4)，则△ABC是(　　)
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】　C
【解析】　＝(1,1)，＝(－3,3)，所以·＝(1,1)·(－3,3)＝－3＋3＝0，故⊥，所以△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
2．在菱形ABCD中，下列关系式不正确的是(　　)
A．∥
B．(＋)⊥(＋)
C．(－)·(－)＝0
D．·＝·
【答案】　D
【解析】　·＝||||cos A，·＝||||cos(π－A)，∴·＝－·.
3．在△ABC中，若·＋||2＝0，则△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】　C
【解析】　∵·＋||2＝0，∴·＋2＝0，即·(＋)＝0.∴·＝0.∴⊥，即AB⊥AC.∴∠A＝90°.∴△ABC是直角三角形．
4．设M为△ABC内一点，且＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】　A
【解析】　如图所示，
∵点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋，以AD，AE为邻边作平行四边形ADME，延长EM交BC与F，AE＝AC，则EF∥AB，则所求两三角形的面积比等于这两三角形高的比，所以＝＝.故选A.
5.一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小分别为1和2，则有(　　)
A．F1，F3成90°角
B．F1，F3成150°角
C．F2，F3成90°角
D．F2，F3成60°角
【答案】　A
【解析】　由F1＋F2＋F3＝0 F3＝－(F1＋F2) F＝(F1＋F2)2＝F＋F＋2|F1||F2|cos 120°＝1＋4＋4×＝3 |F3|2＝3，由|F1|＝1，|F2|＝2，|F3|＝知，F1，F3成90°角，故选A.
6．有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为15 km/h，方向为北偏西30°，河水的速度为向东7.5 km/h，求小船实际航行速度的大小与方向(　　)
A． km/h正北
B． km/h与水流方向夹角为63.4°
C． km/h与水流方向夹角为41°
D．km/h垂直于河岸
【答案】　A
【解析】　如图，为河水速度，为小船航行速度，设为小船实际航行速度．
设E为渡口A在对岸对应的点，则∠AEC＝90°，∠CAE＝30°，在△ACE中，∵AC＝||＝15，∴CE＝AC＝7.5＝||，∴E和D重合，||＝AE＝＝＝(km/h)．∴小船实际航行速度的大小为 km/h，方向为正北方向．故选A.
二、填空题
7．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2，则实数a＝ 　　　　.
【答案】　2
【解析】　设C(x，y)，则＝(x－7，y－1)，＝(1－x,4－y)，∵＝2，∴解得∴C(3,3)．又∵C在直线y＝ax上，∴3＝a×3，∴a＝2.
8．已知两个力F1，F2的夹角为直角，且已知它们的合力与F2的夹角为，||＝10 N，则F2的大小为_________N.
【答案】　5
【解析】　因为F1，F2的夹角为直角，它们的合力，所以〈F1，F2〉＝，＝F1＋F2，所以F1·F2＝0，·F2＝(F1＋F2)·F2＝(F2)2＝|F2|2，
因为与F2的夹角为，所以cos〈，F2〉＝＝，又||＝10 N．所以|F2|＝5.故答案为5.
9．在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝ 　　　　.
【答案】　－
【解析】　本小题考查内容为向量的加减法与向量数量积的计算．
如图，令＝a，＝b，＝(a＋b)，＝＋＝(b－a)＋＝b－a，
∴·＝·＝a·b－＋－a·b
＝－－a·b
＝－－×＝－.
三、解答题
10．如图，四边形ABCD是正方形，M是BC的中点，将正方形折叠，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求△AEM的面积．
【解析】　如图，建立坐标系，设E(e,0)，AM交EF于点N，由正方形面积为64，可得边长为8，由题意可得M(8,4)，N是AM的中点，故N(4,2)．
所以＝(8,4)，＝－＝(4,2)－(e,0)＝(4－e,2)，因为⊥，所以8(4－e)＋4×2＝0，解得e＝5，即AE＝5，所以S△AEM＝AE·BM＝10.
B　组·素养提升
一、选择题
1．质点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)，设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(　　)
A．(－2,4) B．(－30,25)
C．(10，－5) D．(5，－10)
【答案】　C
【解析】　设A(－10,10)，5秒后P点的坐标为A1(x，y)，则＝(x＋10，y－10)，由题意有＝5v，即(x＋10，y－10)＝5(4，－3)＝(20，－15)，所以解得故选C.
2．已知点O、N、P在△ABC所在的平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O、N、P依次是△ABC的(　　)
A．重心　外心　垂心 B．重心　外心　内心
C．外心　重心　垂心 D．外心　重心　内心
【答案】　C
【解析】　由||＝||＝||，已知点O为△ABC的外心，由＋＋＝0，知点N为△ABC的重心；由·＝·，得(－)·＝0，即·＝0，故⊥.同理，AP⊥BC，故P为△ABC的垂心，选C.
3．P是△ABC所在平面内一点，满足||－|＋－2|＝0，则△ABC的形状是(　　)
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】　C
【解析】　因为＋－2＝(－)＋(－)＝＋，由||－|＋－2|＝0可得|－|＝|＋|，可得(－)2＝(＋)2，整理可得·＝0，∴⊥，所以△ABC为直角三角形．故选C.
4．(多选)“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，且SA·＋SB·＋SC·＝0.以下命题正确的有(　　)
A．若SA∶SB∶SC＝1∶1∶1，则M为△AMC的重心
B．若M为△ABC的内心，则BC·＋AC·＋AB·＝0
C．若∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，M为△ABC的外心，则SA∶SB∶SC＝1∶∶2
D．若M为△ABC的垂心，2＋3＋4＝0，则cos∠AMB＝－
【答案】　ABD
【解析】　若SA∶SB∶SC＝1∶1∶1，由SA·＋SB·＋SC·＝0，知＋＋＝0，故M为△AMC的重心，A正确；
若M为△ABC的内心，设△ABC的内切圆半径为r，由SA·＋SB·＋SC·＝0，知·BC·＋·CA·＋·AB·＝0，故BC·＋CA·＋AB·＝0，B正确；
若M为△ABC的外心，设△ABC的外接圆半径为R，则
SA∶SB∶SC＝sin∠BMC∶sin∠CMA∶sin∠AMB
＝sin 2A∶sin 2B∶sin 2C
＝sin 90°∶sin 120°∶sin 150°
＝2∶∶1，C错误；
若M为△ABC的垂心，由2＋3＋4＝0，
故2＋3(＋)＋4(＋)＝0，
从而＝＋，而和都是正数且相加小于1，故M在△ABC内部，所以△ABC是锐角三角形．
由M在△ABC内部，知SA·＋SB·＋SC·＝0，
与刚才同理，可由SA·＋SB·＋SC·＝0得到＝＋.
由，不共线，知，是一组基底，
故＝，＝，从而SA∶SB∶SC＝2∶3∶4.
设A，B，C到对边的投影分别是D，E，F，△ABC的面积为S，且我们约定∠BAC，∠ABC，∠BCA分别简记为角A，B，C，
由于∠MBC＝90°－∠BCA＝∠MAC，∠MDB＝90°＝∠ADC，
故△MBD相似于△CAD，从而＝，
故可得到|MD|＝＝＝，
从而SA＝a·|MD|＝，同理SB＝，SC＝.
由于SA＝，SB＝，SC＝，
2∶3∶4＝SA∶SB∶SC＝acos Bcos C∶bcos Ccos A∶ccos Acos B＝∶∶＝∶∶＝tan A∶tan B∶tan C，
设tan A＝2t，tan B＝3t，tan C＝4t，其中t>0，
则4t＝tan C＝－tan(A＋B)＝＝，解得t＝，故tan C＝.
而∠AMB＝180°－∠MAB－∠MBA＝180°－(90°－B)－(90°－A)＝B＋A，
故cos∠AMB＝cos(A＋B)＝－cos C＝－＝－＝－，D正确．
故选ABD.
二、填空题
5．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 　　　　　　　　　.
【答案】　λ>－且λ≠0
【解析】　∵a与a＋λb均不是零向量，夹角为锐角，
∴a·(a＋λb)>0，∴5＋3λ>0，∴λ>－.
当a与a＋λb共线时，a＋λb＝ma，
即(1＋λ，2＋λ)＝(m,2m)．
∴，得λ＝0，
即当λ＝0时，a与a＋λb共线，∴λ≠0.
即λ>－且λ≠0.
6．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是 　　　　　　　　　.
【答案】　
【解析】　以α，β为邻边的平行四边形的面积为：
S＝|α||β|sin θ＝|β|sin θ＝，
所以sin θ＝，又因为|β|≤1，所以≥，即sin θ≥且θ∈[0，π]，所以θ∈.
三、解答题
7．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
【解析】　(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．
∵D为AB的中点，∴D，
∴||＝，||＝，
∴||＝||，即CD＝AB.
(2)∵E为CD的中点，∴E，
设F(x,0)，则＝，＝(x，－m)．
∵A，E，F三点共线，∴＝λ.
即(x，－m)＝λ，
则
故λ＝，即x＝，
∴F，
∴||＝，
即AF＝.
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