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(共37张PPT)
第二章　平面向量及其应用
§6 平面向量的应用
6.1　余弦定理与正弦定理
三、用余弦定理、正弦定理解三角形
第2课时　解三角形的实际应用举例
素养目标　定方向
课标要求 核心素养
1．通过教材实例掌握测量距离、高度、角度等问题中正、余弦定理的应用．
2．能利用余弦定理、正弦定理解决简单的生产、生活中的实际问题. 通过余弦定理、正弦定理的应用，提升数学抽象，数学建模，数学运算素养.
必备知识　探新知
知识点1　测量中的有关术语
知识点2　常见的测量距离、高度的类型
关键能力　攻重难
1.(1)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是__________m.
题型一
测量距离问题
[归纳提升]
归纳提升：
〉对点训练1
(2)如图所示， A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，测量者在A点所在的岸边选定一点C，测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为__________.
【答案】　C
题型二
　测量高度问题
[归纳提升]
归纳提升：
测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
〉对点训练2
题型三
测量角度问题
〉对点训练3
如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15 n mile的C处．现甲船以35 n mile/h的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25 n mile的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为_________h.
【答案】　1
【解析】　如图所示，
△OBC中，∠BOC＝30°＋90°＝120°，OC＝15，OB＝25；
所以BC2＝152＋252－2×15×25×cos 120°＝1 225，
即BC＝35，又甲船的速度为35 n mile/h，所以甲船到达B处需要的时间为35÷35＝1(h)．故答案为1.
课堂检测　固双基
1.如图，设点A，B在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C.测出A，C两点间的距离为50 m．∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离为(　　)
【答案】　C
2．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为(　　)
A．12 m B．8 m
【答案】　D
3．东寺塔与西寺塔为昆明市城中古景，两塔一西一东，已有1 100多年历史．东寺塔基座为正方形，塔身有13级．如图，在A点测得塔底在北偏东60°的点D处，塔顶C的仰角为30°.在A的正东方向且距D点50 m的B点测得塔底在北偏西45°，则塔的高度CD约为(参考数据：≈2.4)(　　)
A．30 m
B．35 m
C．40 m
D．45 m
【答案】　C
4.如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C处的仰角为α＝30°，测得乙楼底部D的俯角β＝60°，已知甲楼高AB＝24米，则乙楼高CD＝__________米．
【答案】　32
5．某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A，B两点处测量与地面垂直的塔CD的高，由A，B两地测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，又知AB的长为40 m，斜坡与水平面成30°角，求该转播塔的高度．第二章　§6　6.1　3　第2课时
素养作业　提技能
A　组·素养自测
一、选择题
1．已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为(　　)
A．10 km B． km
C．10 km D．10 km
【答案】　D
【解析】　在△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，则由余弦定理，得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos ∠ABC＝100＋400－2×10×20cos 120°
＝100＋400－2×10×20×＝700，
∴AC＝10，即A、C两地的距离为10 km.
2．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是(　　)
A．γ，c，α B．b，c，α
C．c，α，β D．b，α，γ
【答案】　D
【解析】　本题中a、c、β这三个量不易直接测量，故选D.
3．如图，从气球A测得济南全运会东荷、西柳两场馆B，C的俯角分别为α，β，此时气球的高度为h(A，B，C在同一铅垂面内)，则两个场馆B，C间的距离为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】　B
【解析】　在Rt△ADC中，AC＝，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝＝.
4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mlie的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时(　　)
A．5 n mlie B．5 n mlie
C．10 n mlie D．10 n mlie
【答案】　C
【解析】　如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，
∴∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，
在Rt△ABC中，求得AB＝5，
∴这艘船的速度是＝10(n mlie/h)．
5．某人向正东方向走了x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他恰好离出发地 km，那么x的值为(　　)
A． B．2
C．或2 D．5或2
【答案】　C
【解析】　本题考查余弦定理的应用．由题意得()2＝32＋x2－2×3xcos 30°，解得x＝或2，故选C.
6．小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为15(－1)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为(　　)
A．20 m B．30 m
C．20 m D．30 m
【答案】　D
【解析】　sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝×－×＝，由题意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°，在Rt△ABM中，AM＝＝＝30，在△ACM中，由正弦定理得＝，所以CM＝＝＝60，在Rt△DCM中，CD＝CM·sin∠AMD＝60×＝30.故选D.
二、填空题
7．在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是 　　　　km.
【答案】　
【解析】　如图所示，由题意易知C＝45°，
由正弦定理得＝，从而AC＝×＝(km)．
8．一只蜘蛛沿正北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x＝ 　　　　.
【答案】　
【解析】　如图，
由题意知，∠BAC＝75°，∠ACB＝45°，∠B＝60°，
由正弦定理，得＝，
∴x＝＝＝.
9．需要测量某塔的高度，选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，现测得∠DAB＝75°，∠ABD＝45°，AB＝96米，在点A处测得塔顶C的仰角为30°，则塔高CD为_________米
【答案】　32
【解析】　因为在△BAD中，∠DAB＝75°，∠ABD＝45°，AB＝96米，
所以∠ADB＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得＝，即＝，解得AD＝32(米)，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，所以CD＝ADtan 30°＝32，即塔高CD＝32(米)．故答案为32.
三、解答题
10.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，求建筑物的高度．
【解析】　设建筑物的高度为h，由题图知，
PA＝2h，PB＝h，PC＝h，
∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得
cos ∠PBA＝，①
cos ∠PBC＝.②
∵∠PBA＋∠PBC＝180°，
∴cos ∠PBA＋cos ∠PBC＝0.③
由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度为30 m.
B　组·素养提升
一、选择题
1．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2 km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为 km，则A、B两船的距离为(　　)
A．2 km B．3 km
C． km D． km
【答案】　D
【解析】　如图可知∠ACB＝85°＋(90°－25°)＝150°，
AC＝2，BC＝，
∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 150°＝13，
∴AB＝(km)．
2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为(　　)
A． n mile/h B．34 n mile/h
C． n mile/h D．34 n mile/h
【答案】　A
【解析】　如图所示，在△PMN中，＝，
∴MN＝＝34，
∴v＝＝(n mile/h)．
3．如图，飞机的航线和山顶C在同一个铅垂面内，若飞机的海拔为18 km，速度为1 000 km/h，飞行员到达A点处看到山顶的俯角为30°，经过1 min后到达B点处看山顶的俯角为75°，则山顶的海拔为(　　)
A．11.4 km B．6.6 km
C．6.5 km D．5.6 km
【答案】　B
【解析】　本题考查正弦定理的实际应用．
∵AB＝1 000×＝(km)，
∴BC＝·sin 30°＝(km)．
∴航线离山顶的距离为×sin 75°＝×≈11.4(km)．
∴山顶的海拔为18－11.4＝6.6(km)．故选B.
4．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为(　　)
A．500 m B．200 m
C．1 000 m D．1 000 m
【答案】　D
【解析】　∵∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS中，AB＝＝＝1 000，∴BC＝AB·sin 45°＝1 000×＝1 000(m)．
二、填空题
5．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90 n mile.此时海盗船距观测站10 n mile，20 min后测得海盗船距观测站20 n mlie，再过 　　　　min，海盗船到达商船．
【答案】　
【解析】　如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A，B，C处，20 min后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝10，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得
cos ∠ADC＝＝＝.
∴∠ADC＝60°，在△ABD中，由已知得∠ABD＝30°，
∠BAD＝60°－30°＝30°，
∴BD＝AD＝20，×60＝(min)．
6．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝ 　　　　 m .
【答案】　150
【解析】　如图，
在Rt△ABC中，BC＝100，∠CAB＝45°，∴AC＝100.
在△AMC中，∠CAM＝75°，∠ACM＝60°，
∴∠AMC＝45°.
由正弦定理知＝，∴AM＝100.
在Rt△AMN中，∠NAM＝60°，
∴MN＝AM·sin 60°＝100×＝150(m)．
三、解答题
7.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12 n mile，渔船乙以10 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
【解析】　(1)依题意可得，在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.
由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos ∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC＝28.
所以渔船甲的速度为＝14 n mile/h.
(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，
由正弦定理，得＝.
即sin α＝＝＝.
8．如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6 km的速度步行了1 min后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°.
(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；
(2)求塔的高AB.(结果保留根号，不求近似值)
【解析】　(1)依据题意知，在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，CD＝6 000×＝100(m)，
∠BDC＝45°－30°＝15°，
由正弦定理，得＝，
∴BC＝＝＝
＝＝50(－1)(m)，
在Rt△ABE中，tan α＝，
∵AB为定长，当BE的长最小时，α取最大值60°，
这时BE⊥CD，当BE⊥CD时，在Rt△BEC中，EC＝BC·cos ∠BCE＝50(－1)·＝25(3－)(m)，
设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t min，则t＝×60＝×60＝(min)．
(2)由(1)知当α取得最大值60°时，BE⊥CD，在Rt△BEC中，BE＝BC·sin ∠BCD，
所以AB＝BE·tan 60°＝BC·sin ∠BCD·tan 60°＝50(－1)××＝25(3－)(m)，即所求塔高为25(3－) m.
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