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射洪中学高 2024级高一下期半期考试
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
答案 A D A D C C B B BC AC ACD 2 0 2 2,2 32
11.【答案】ACD

【详解】当点P在BD上时，因为AP= xAB+ yAD，所以 x+ y= 1，故A正确；

因为P在边长为 2的正方形ABCD(含边)内，且AP= xAB+ yAD，
所以 x∈ 0,1 ,y∈ 0,1 ，则 x+ y∈ 0,2 ，故B错误；

当点P在BD上时，AP= xAB+ yAD= xAB+ 1-x AD，AC =AB+AD,

AP AC = xAB+ 1-x AD AB+AD = xAB2+ 1-x AD2所以 = 4，故C正确；
若P，Q在线段BD上，且 PQ = 2，如图建立平面直角坐标系，
设P a,2-a ，则Q a+ 2,2- 2-a ，a∈ 0,2- 2 ，

∴AP AQ= a,2-a a+ 2,2- 2-a
= a a+ 2 + 2-a) 2- 2-a
2
= 2a2- 4-2 2 a+ 4- 2 2= 2 a- 2- 22 + 1
2- 2 ∴当 a= 2 时，AP AQ有最小值为 1，故D正确.
故选：ACD.
15.【解析】【小问 1详解】
∵V= 22×D1D= 16， 2分
∴D1D= 4， 3分
∴V 1 1 2 1 1 8D -ADC= 3 × 2 × 2 ×D1D= 3 × 2 × 4× 4= 3 ； 6分1
【小问 2详解】
记三棱锥D1-ADC的表面积为S，则S=S△D DA+S1 △D DC+S1 △ADC+S△D1AC，
∵几何体ABCD A1B1C1D1为长方体，
∴△D1DA，△D1DC，△ADC均为直角三角形，△D1AC为等腰三角形，
∵AD=DC= 2，D1D= 4，
∴D1A=D1C= 2 5，AC= 2 2， 8分
∴S△D DA=S△D =
1 × 2× 4= 4，S = 1 × 2× 2= 2， 10分
1 1DC 2 △ADC 2
S 1△D AC= 2 × 2 2 × 2 5
2- 2 2= 1 2 × 2 2 × 3 2= 6， 12分1
∴S=S△D DA+S△D DC+S△ADC+S△D AC= 4+ 4+ 2+ 6= 16. 13分1 1 1
16.【解析】【小问 1详解】

由 a b ，设 b= λa= (-λ,2λ)， b = 2 5，
∴ λ2+(2λ)2= 2 5，∴ λ=±2， 6分

∴ b= (-2,4)或 b= (2, -4)． 7分
【小问 2详解】

a = 5， b = 2 5，
∵ (5a

+ b)⊥ (a - b)，∴ (5a + b) (a - b) = 0， 9分

∴ 5a 2- 4a b- b2= 0 5，∴ a b= 4． 12分
5
= a
b
设 a b θ cosθ 4 1与 的夹角为 ，则 = = 8． 14分|a||b| 5×2 5

∴ a b θ 1与 的夹角 的余弦值为 8． 15分
17.【解析】【小问 1详解】
f x = sinxcosx- 3因为 2 cos2x=
1
2 sin2x-
3
2 cos2x= sin 2x-
π
3 ， 3分
π π π
所以 2kπ- 2 ≤ 2x- 3 ≤ 2kπ+ 2 ，k∈ Z， 5分
解得：kπ- π12 ≤ x≤ kπ+
5π
12，k∈ Z， 7分
∴ f x π 5π 的单调增区间为 kπ- ，kπ+ 12 12 ，k∈ Z； 8分
【小问 2详解】
∵ x∈ π 0，2 ,∴-
π
3 ≤ 2x-
π ≤ 2π3 3 ， 10分
∴- 32 ≤ sin 2x-
π
3 ≤ 1， 14分
3
即其值域为 - ，1

2 . 15分
18.【解析】【小问 1详解】
选①：即 a2= b2+ c2- bc，
b2+c2-a2 1
由余弦定理得 cosA= = 2 ，又 0所以A= π3 ； 5分
选②：在△ABC中，由 acosB+ bsinA2 = c及正弦定理得，
sinAcosB+ sinBsinA2 = sinC= sin A+B = sinAcosB+ cosAsinB
则 sinBsinA2 = cosAsinB，又B∈ 0,π ,sinB≠ 0，于是 sin
A
2 = cosA= 1- 2sin
2A
2 ，
sinA > 0 sinA = 1而 2 ，解得 2 2 ，又A∈ 0,π
A
, 2 ∈ 0,
π A2 ，则 2 =
π
6 ，
π
所以A= 3 ； 5分
选③：在△ABC中，由 2asinA= 2b-c sinB+ 2c-b sinC及正弦定理得，
得 2a2= 2b-c b+ 2c-b c，即 a2= b2+ c2- bc，
b2+c2-a2 1
由余弦定理得 cosA= = 2 ，又 0π
所以A= 3 ； 5分
【小问 2详解】
∵S 1 ABC= 2 bcsinA=2 3，∴ bc= 8， 7分
∵ a2= b2+ c2- 2bccosA= b2+ c2- bc= b+c 2 - 3bc= 12， 10分
∴ a= 2 3 . 11分
【小问 3详解】
在△ABC中，由正弦定理得：
c sinC sin
2π
3 -B
3 cosB+ 1 sinB
= = 2 2 3 1 1
b sinB sinB
= sinB = 2 × tanB + 2 ， 13分
(1) B+C= 2π C= 2π由 知 3 ，即 3 -B，由△ABC为锐角三角形，
0π
2 π π 1
得 0< 2π ，即-B< π 6 3 1 1 1 c 1
所以 2 × tanB + 2 ∈ 2 ,2 ，即 的取值范围为 2 ,2 ， 15分b
2c+b = 2c所以 + 1∈ 2,5 . 17分b b
19.【解析】【小问 1详解】
因为 h x = 3cos x+ π6 + 3cos
π
3 -x
= 3 cosxcos π -sinxsin π6 6 + 3 cos
π
3 cosx+sin
π
3 sinx
= 3cosxcos π π π π6 - 3sinxsin 6 + 3cosxcos 3 + 3sinxsin 3
= 32 cosx-
3
2 sinx+
3 3
2 sinx+
3
2 cosx= 3sinx+ 3cosx，

所以，函数 h x 的相伴向量OM = 3,3 5分
【小问 2详解】

向量ON = 1, 3 的相伴函数 f(x) = sinx+ 3cosx，
令 f(x) = sinx+ 3cosx= 85 ，即 2sin x+
π
3 =
8
5 ，
∴ sin x+ π3 =
4
5 ， 7分
∵ x∈ - π3 ,
π ∴ x+ π6 ， 3 ∈ 0
π
，2 ，
∴ cos x+ π 33 = 5 ， 8分
∴ sinx= sin π π x+ 3 - 3 = sin x+
π
3 cos
π
3 -cos x+
π
3 sin
π
3
= 4 × 1 - 3 × 3 = 4-3 35 2 5 2 10 . 10分
【小问 3详解】

OM 的“相伴函数”f x = asinx+ bcosx= a2+b2 sin x+φ ,tanφ= ba，
因为 f x 在 x= x0处取得最大值，
所以当 x0+ φ= π2 + 2kπ,k∈ Z
π
，即 x0= 2 - φ+ 2kπ,k∈ Z时，f x 有最大值 a
2+b2，
sinx = sin π所以 0 2 -φ+2kπ = cosφ，cosx0= cos
π
2 -φ+2kπ = sinφ，
cosφ 1
所以 tanx0= sinφ = tanφ， 13分
因为 tanφ= ba ∈ 0, 3
1 3
， tanφ ∈ 3 ,+∞ ，
所以 tanx0=
cosφ
sinφ =
1 3
tanφ ∈ 3 ,+∞ ，
2tanx
所以 tan2x = 0 = 20 ，1-tan2x0 1
tanx -tanx00
令 t= tanx 3 1 10∈ 3 ,+∞ ，则 tanx - tanx0= t - t， 15分0
y= 1因为 t ,y=-t均为
3
3 ,+∞ 上的单调递减函数，
所以 y= 1t - t在
3
3 ,+∞ 上单调递减，
1 1 2 3
所以 tanx - tanx0= t - t∈ -∞, 3 ，0
2tanx
tan2x = 0 = 2所以， 0 2 1 ∈ -∞,0-
∪ 3,+∞ ，
1 tan x0
tanx -tanx00
所以 tan2x0的取值范围为 -∞,0 ∪ 3,+∞ . 17分射洪中学高 2024级高一下期半期考试
数学试题
(考试时间：120分钟分值：150分)
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 (选择题共 58分)
一.选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的。
1.已知复数 z= 3- i，则 z的共轭复数为 ( )
A. 3+ i B. 3- i C. - 3- i D. - 3+ i
2.一个球的表面积是 16π，则它的体积是 ( )
A. 64π B. 64π3 C. 32π D.
32
3 π

3. a ,b a 设 为两个非零向量，则“ = 2025b”是“a b”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. z= 1- i已知复数 1+ i，则复数 z的虚部为 ( )
A. 1 B. 2 C. 0 D. - 1
5. e 已知 为单位向量， a = 6，向量 a e 3π ， 的夹角为 4 ，则向量 a在向量 e上的投影向量是
( )

A. 2 3e B. 0 C. - 3 2e D. - 2 3e
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6.把函数 f x
1
图象上所有点的横坐标缩短为原来的 2 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平
π π
移 3 个单位长度，得到函数 y= sin x- 4 的图象，则 f(x) = ( )
A. sin x2 -
7π
12 B. cos 2x-
7π
12 C. sin
x + π2 12 D. cos 2x-
5π
12
7.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 3，则圆锥的体积为
( )
A. 2 3π B. 3 3π C. 6 3π D. 9 3π
8.已知 α∈ 0, π2 β∈ -
π
， 2 ,0 ，且满足 cos(α+ β) =
1
2 ，则 cos2αcos2β的最大值为 ( )
A. 1 B. 1 C. 1 D. 28 4 2 2
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9.在△ABC π中，c= 3，b= 2，B= 4 ，则角C的可能取值是 ( )
A. π π6 B. 3 C.
2π
3 D.
5π
6
10.函数 f x =Asin ωx+φ A>0,ω>0, φ < π2 的部分图像如图所示，则下列说法正确的是
( )
A. f x = 2sin 2x- π6
B. f π x 的图像关于直线 x=- 3 对称
C. f x 关于点 - 5π12，0 中心对称
D. f x 0 25π函数 在区间 ，12 上有 5个零点

11.在边长为 2的正方形ABCD中，P，Q在正方形 (含边)内，满足AP= xAB+ yAD，则下列
结论正确的是 ( )
A. 若点P在BD上时，则 x+ y= 1
B. x+ y的取值范围为 1,2

C. 若点P在BD上时，AP AC = 4

D. 若P，Q在线段BD上，且 PQ = 2，则AP AQ的最小值为 1
高一数学 第2页 共4页
第二部分 (非选择题共 92分)
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.如图所示为一个水平放置的矩形ABCO，在直角坐标系 xOy中，点B的坐标为 (4,2)，则用
斜二测画法画出的该矩形的直观图中，顶点B′到 x′轴的距离为 ．
y
A B
O C x
13. 2cos215° - e0- 1 + 22 2 i = ．
14.在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为 a、b、c，已知 b= 3，c= 6，点D在BC上，AD
是∠BAC的平分线，则AD的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13分)
如图所示，长方体ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是边长为 2的正方形，其体积为 16.
1 求三棱锥D1-ADC的体积； D1 C1
2 求三棱锥D1-ADC的表面积. A1 B1
16. (15分)
D

C
已知向量 a= (-1,2)， b = 2 5． A B

(1)若 a b，求 b的坐标；

(2) 若 (5a+ b)⊥ (a- b)，求 a与 b夹角的余弦值．
17. (15分)
已知函数 f x = sinxcosx- 32 cos2x.
(1)求 f x 的单调增区间；
(2) π当 x∈ 0，2 时，求 f x 的值域.
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18. (17分)
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 a,b,c，请从下列条件中选择一个条件作答：(注：如
果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分)
① sin2A= sin2B + sin2C - sinB sinC，② acosB+ bsinA2 = c，
③ 2asinA= 2b-c sinB+ 2c-b sinC
(1)求A的大小；
(2)若 b+ c= 6，且S ABC= 2 3，求 a；
(3) △ABC 2c+b若 为锐角三角形，求 的取值范围.
b
19. (17分)

定义非零向量 OM = a,b 的“相伴函数”为 f x = asinx + bcosx x∈R ，向量 OM =
a,b 称为函数 f x = asinx+ bcosx x∈R 的“相伴向量”(其中O为坐标原点)．记平面
内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．

(1)设 h x = 3cos x+ π6 + 3cos
π
3 -x x∈R ，试求函数 h x 的相伴向量OM；

(2)记向量ON = 1, 3 8 的相伴函数为 f(x)，求当 f x = 5 且 x∈ -
π , π3 6 时，sinx的值；

(3)已知点M a,b b 满足：a ∈ 0, 3 ，向量OM 的“相伴函数”f x 在 x= x0处取得最大
值，求 tan2x0的取值范围．
高一数学 第4页 共4页

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