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(共37张PPT)
第四章　三角恒等变换
§2　两角和与差的三角函数公式
2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用
素养目标　定方向
课标要求 核心素养
1．能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式推导两角和与差的正弦公式．
2．能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导两角和与差的正切公式．
3．能利用公式进行简单的求值、化简等. 理清两角和与差的余弦、正切公式的内在联系，熟悉公式的特征，完善知识结构，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
必备知识　探新知
知识点1　两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正弦 _______ sin(α＋β)＝_______________________ α，β∈R
两角差的正弦 _______ sin(α－β)＝_______________________ α，β∈R
Sα＋β
sin αcos β＋cos αsin β
Sα－β
sin αcos β－cos αsin β
知识点2　两角和与差的正切公式
关键能力　攻重难
●题型一　公式的正用与逆用
1.求值：
(1)sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°＝_________；
[归纳提升]
归纳提升：
探究解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
〉对点训练1
求下列各式的值：
(1)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°；
【解析】　(1)原式＝sin(360°－13°)cos(180°－32°)＋sin(90°－13°)cos(90°－32°)
＝sin 13°cos 32°＋cos 13°sin 32°
●题型二　给值求值
【分析】　(2)先求出cos α，sin β的值，再代入公式Sα＋β.
(3)由α、β的范围，确定α－β，α＋β的范围，求出sin(α－β)、cos(α＋β)的值，再由2α＝(α－β)＋(α＋β)变形求值．
【答案】　(1)D　(2)0　(3)见解析
[归纳提升]
归纳提升：
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
〉对点训练2
【答案】　(1)C　(2)C　(3)见解析
●题型三　给值求角
[归纳提升]
归纳提升：
(2)使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：
sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin [β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.
〉对点训练3
课堂检测　固双基
1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于(　　)
【答案】　A
【答案】　D
A．1 B．－1
C．7 D．－7
【答案】　C
【答案】　A
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．第四章　§2　2.2
素养作业　提技能
A　组·素养自测
一、选择题
1．cos－sin的值是(　　)
A．0 B．
C．－ D．2
【答案】　B
【解析】　cos－sin＝2＝2＝2sin＝2sin＝.
2．在△ABC中，已知sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B≥1，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰非直角三角形
【答案】　C
【解析】　由题设知sin [(A－B)＋B]≥1，∴sin A≥1而sin A≤1，∴sin A＝1，A＝，∴△ABC是直角三角形．
3．若tan(α－β)＝，tan β＝，则tan α＝(　　)
A．1 B．
C． D．
【答案】　A
【解析】　tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝＝1.
4．若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值为(　　)
A． B．－
C．7 D．
【答案】　C
【解析】　易知tan α＝－.tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝＝7.
5．已知sin α－cos β＝－，cos α＋sin β＝，则sin(α－β)的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．
【答案】　D
【解析】　因为sin α－cos β＝－，cos α＋sin β＝，所以(sin α－cos β)2＝，(cos α＋sin β)2＝，所以sin2α－2sin αcos β＋cos 2β＝，cos 2α＋2cos αsin β＋sin2β＝，所以sin2α－2sin αcos β＋cos 2β＋cos 2α＋2cos αsin β＋sin2β＝，所以2－2sin αcos β＋2cos αsin β＝，2－2(sin αcos β－cos αsin β)＝，所以2－2sin(α－β)＝，解得sin(α－β)＝，故选D．
6．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为(　　)
A． B．－
C．或－ D．－或
【答案】　B
【解析】　由韦达定理得tan α＋tan β＝－3，tan α·tan β＝4，∴tan α<0，tan β<0，∴tan(α＋β)＝＝＝，又－<α<，－<β<，且tan α<0，tan β<0，∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－.
二、填空题
7．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则cos(α－β)＝_______________.
【答案】　
【解析】　∵α，β均为锐角，∴cos α＝＝，sin β＝＝，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
8．＝_________.
【答案】　
【解析】　
＝
＝
＝＝sin 30°＝.
9．设tan α，tan β是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则tan(α＋β)的值为_________.
【答案】　－2
【解析】　因为tan α，tan β是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，所以tan α＋tan β＝4，tan α·tan β＝3，tan(α＋β)＝＝＝－2.
三、解答题
10．已知α∈，β∈，tan α＝，tan β＝.
(1)求α＋β的值；
(2)求sin(2α＋β)的值．
【解析】　(1)tan(α＋β)＝＝1，∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
(2)由α∈，求得sin α＝，cos α＝，
∴sin(2α＋β)＝sin＝(sin α＋cos α)＝.
B　组·素养提升
一、选择题
1．已知α－β＝，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为(　　)
A．＋ B．－
C．＋ D．－
【答案】　D
【解析】　tan α－tan β＝3，且α－β＝，则－＝＝＝＝3，整理得：cos αcos β＝，则cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，整理得sin αsin β＝－，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＋＝－.故选D．
2．(多选)下列对等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β的描述正确的是(　　)
A．对任意的角α，β都成立
B．α＝β＝0时成立
C．只对有限个α，β的值成立
D．有无限个α，β的值使等式成立
【答案】　BD
【解析】　因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝sin α＋sin β，所以cos β＝1且cos α＝1可使等式成立，所以α＝β＝2kπ(k∈Z)，因为k∈Z，所以α，β有无限多个，包含α＝β＝0，故B，D成立．
3．(多选)下列式子结果为的是(　　)
①tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)；③；④.
A．① B．②
C．③ D．④
【答案】　ABC
【解析】　对于①，利用正切的变形公式可得原式＝；对于②，原式可化为2(sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°)＝2sin 60°＝.对于③，原式＝＝tan 60°＝.对于④，原式＝，故选ABC．
4．已知α＋β＝，且α、β满足(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，则tan α等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．3
【答案】　D
【解析】　∵(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，∴tan αtan β＋3(tan α＋tan β)＝tan α－2　①，∵tan(α＋β)＝＝，∴3(tan α＋tan β)＝(1－tan αtan β)　②，将②代入①得＝tan α－2，∴tan α＝＋2＝3.
二、填空题
5．已知0<β<α<，sin αsin β＝，cos αcos β＝，则cos 2α＝_________.
【答案】　0
【解析】　已知sin αsin β＝，cos αcos β＝，则cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝＋＝，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝，∵0<β<α<，∴0<α－β<，0<α＋β<π，则sin(α－β)＝＝，sin(α＋β)＝＝，则cos 2α＝cos [(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝×－×＝0.
6．在△ABC中，若sin Acos B＝3sin Bcos A，B＝A－，则B＝_________.
【答案】　
【解析】　∵sin Acos B＝3sin Bcos A，∴tan A＝3tan B，又B＝A－，∴tan B＝tan＝，即tan B＝，∴3tan2B－2tan B＋1＝0，∴tan B＝，又B为三角形的内角，∴B＝.
三、解答题
7．已知≤α≤，π≤β≤，sin 2α＝，cos(α＋β)＝－，
(1)求cos 2α的值；
(2)求角β－α的值．
【解析】　(1)由≤α≤得≤2α≤π，因sin 2α＝，则cos 2α＝－＝－＝－.
(2)又由π≤β≤知≤α＋β≤2π，因cos(α＋β)＝－，
则sin(α＋β)＝－＝－＝－，
由sin(β－α)＝sin [(α＋β)－2α]＝sin(α＋β)cos 2α－cos(α＋β)sin 2α
＝－×－×＝，
又因≤β－α≤，故β－α＝.
8．是否存在锐角α和β，使得下列两式
①α＋2β＝π　②tantan β＝2－同时成立？
【解析】　存在α＝，β＝，使①②同时成立．
假设存在符合题意的锐角α和β，
由①知：＋β＝，
∴tan＝＝，
由②知tantan β＝2－，
∴tan＋tan β＝3－，
∴tan，tan β是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，
得x1＝1，x2＝2－.
∵0<α<，则0∴tan≠1，即tan＝2－，tan β＝1.
又∵0<β<，则β＝，代入①，得α＝，
∴存在锐角α＝，β＝，使①②同时成立．
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