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第四章　§2　2.1
素养作业　提技能
A　组·素养自测
一、选择题
1．cos(－75°)的值(　　)
A． B．
C． D．
【答案】　C
【解析】　cos(－75°)＝cos 75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°·cos 30°－sin 45°sin 30°＝.
2．cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)＝(　　)
A． B．－
C． D．－
【答案】　A
【解析】　原式＝cos[(45°－α)＋(α＋15°)]＝cos 60°＝.
3．已知锐角θ的终边过点(2，1)，则cos＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
【答案】　B
【解析】　根据题意可得sin θ＝，cos θ＝，故cos＝(cos θ－sin θ)＝×＝.故选B．
4．已知α为锐角，sin＝，则cos α＝(　　)
A． B．
C． D．
【答案】　C
【解析】　∵0<α<，∴－<－α<，又sin＝>0，∴0<－α<，∴cos＝＝，∴cos α＝cos＝cos cos＋sin sin＝cos＋sin＝×＋×＝.故选C．
5．若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是(　　)
A．－ B．
C． D．
【答案】　B
【解析】　∵sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，可解得：sin θ＝，cos θ＝－＝－，又∵sin＝－，φ是第三象限角，cos φ＝－，sin φ＝－＝－，∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝×＋×＝.
6．若cos αcos β＝1，则cos(α＋β)＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．±1
【答案】　C
【解析】　因为|cos α|≤1，|cos β|≤1，所以|cos αcos β|≤1，于是或所以sin α＝0，sin β＝0，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1，故选C．
二、填空题
7．计算：sin 60°＋cos 60°＝_________.
【答案】　
【解析】　原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60°＝cos(30°－60°)＝cos(－30°)＝.
8．cos(61°＋2α)cos(31°＋2α)＋sin(61°＋2α)·sin(31°＋2α)＝_________.
【答案】　
【解析】　原式＝cos [(61°＋2α)－(31°＋2α)]＝cos 30°＝.
9．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan αtan β＝_________.
【答案】　
【解析】　cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，①
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，②
①×3－②得：2cos αcos β＝4sin αsin β，
即tan αtan β＝.
三、解答题
10．已知sin＝，且<α<，求cos α的值．
【解析】　∵sin＝，且<α<，
∴<α＋<π.
∴cos＝－＝－.
∴cos α＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
B　组·素养提升
一、选择题
1．若α∈[0，2π]，sinsin＋coscos＝0，则α的值为(　　)
A． B．
C． D．或
【答案】　D
【解析】　因为sinsin＋coscos＝cos＝cos(－α)＝cos α＝0，α∈[0，2π]，所以α＝或α＝.故选D．
2．(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(　　)
A．－3m B．－
C． D．3m
【答案】　A
【解析】　因为cos(α＋β)＝m，所以cos αcos β－sin αsin β＝m，
而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，
故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，
从而sin αsin β＝－2m，故cos(α－β)＝－3m.故选A．
3．(多选)满足cos αcos β＝－sin αsin β的α，β的值可能是(　　)
A．α＝π，β＝ B．α＝，β＝
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
【答案】　BC
【解析】　由条件cos αcos β＝－sin αsin β得
cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos(α－β)＝，α＝，β＝，α＝，β＝都满足，故选BC．
4．(多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　　)
A．cos(β－α)＝
B．cos(β－α)＝－
C．β－α＝
D．β－α＝－
【答案】　AC
【解析】　由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1.∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝，∴A正确，B错误．∵sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，∴β－α＝，∴C正确，D错误，故选AC．
二、填空题
5．sin(x＋y)sin(x－y)＋cos(x＋y)cos(x－y)＝_________.
【答案】　cos 2y
【解析】　原式＝cos(x＋y)cos(x－y)＋sin(x＋y)sin(x－y)
＝cos[(x＋y)－(x－y)]
＝cos 2y.
6．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则cos(α－β)＝_________.
【答案】　－
【解析】　因为角α与角β均以Ox为始边，终边关于y轴对称，所以sin β＝sin α＝，cos β＝－cos α，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝－cos2α＋sin2α＝－(1－sin2α)＋sin2α
＝2sin2α－1
＝2×2－1＝－.
三、解答题
7．已知α、β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，求cos的值．
【解析】　∵α、β∈，sin(α＋β)＝－，
sin＝，
∴α＋β∈，β－∈，
∴cos(α＋β)＝＝，cos＝－＝－，
∴cos＝cos＝cos(α＋β)·cos＋sin(α＋β)sin＝×＋×＝－.
8．已知A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)，其中α，β为锐角，且|AB|＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若cos α＝，求cos β的值．
【解析】　(1)由|AB|＝，得
＝，
∴2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝，∴cos(α－β)＝.
(2)∵cos α＝，cos(α－β)＝，α，β为锐角，
∴sin α＝，sin(α－β)＝±.
当sin(α－β)＝时，cos β＝cos [α－(α－β)]＝
cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝.当sin(α－β)＝－时，cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝0.
∵β为锐角，∴cos β＝.
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第四章　三角恒等变换
§2　两角和与差的三角函数公式
2.1　两角和与差的余弦公式及其应用
素养目标　定方向
课标要求 核心素养
1．能利用三角函数的定义和向量知识推导出两角和与差的余弦公式．
2．熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算. 在熟知两角和与差的余弦公式的基础上，重点提升学生的数学运算、逻辑推理素养.
必备知识　探新知
知识点　两角和与差的余弦公式
简记符号 公式 适用条件
Cα－β cos(α－β)＝________________________ α，β都是任意角
Cα＋β cos(α＋β)＝________________________
cos αcos β＋sin αsin β
cos αcos β－sin αsin β
关键能力　攻重难
●题型一　给角求值
1.(1)求值：cos 75°＝___________；
(2)求值：sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°＝___________；
(3)计算：cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝__________.
【分析】　尝试逆用公式求解，非特殊角转化为特殊角的差，然后正用Cα±β进行求值．
[归纳提升]
归纳提升：
运用两角和与差的余弦公式求值的关注点
(1)运用两角和与差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死记．
(2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值．
〉对点训练1
求下列各式的值．
(1)cos 40°cos 20°－sin 40°sin 20°；
●题型二　给值求值
【分析】　(1)求出cos α，cos β，利用公式进行求解；
[归纳提升]
归纳提升：
(1)解决三角函数的给值求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．其解题策略有：
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
〉对点训练2
●题型三　给值求角
(2)由条件可发现角与角之间的关系：2β＝(α＋β)－(α－β)，所以应先求出2β的值，再求β的值．
[归纳提升]
归纳提升：
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
〉对点训练3
课堂检测　固双基
1．cos 20°＝(　　)
A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°
B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°
C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°
D．cos 30°cos 10°－sin 30°cos 10°
【答案】　B
【解析】　cos 20°＝cos(30°－10°)＝cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°，故选B．
2．cos(α－85°)cos(35°＋α)＋sin(α－85°)sin(35°＋α)的值为(　　)
【答案】　A
3．(多选)下列说法中，正确的是(　　)
A．存在α，β的值，使cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β
B．不存在无穷多个α，β的值，使cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β
C．对于任意的α，β，都有cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β
D．不存在α，β的值，使cos(α＋β)≠cos αcos β－sin αsin β
【答案】　AD
【解析】　令α＝β＝0，则cos(α＋β)＝1，cos αcos β＋sin αsin β＝1，此时cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β，故A正确；令α＝β＝2kπ(k∈Z)，cos(α＋β)＝1，cos αcos β＋sin αsin β＝1，此时cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β，故B错误；由两角和的余弦公式可知，对于任意的α和β，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，故C错误；不存在α，β的值，使cos(α＋β)≠cos αcos β－sin αsin β，若存在α和β，则与两角和的余弦公式矛盾，故D正确．故选AD．
4．sin(α－β)sin α＋cos(α－β)cos α＝_________.
【答案】　cos β
【解析】　原式＝cos [(α－β)－α]＝cos(－β)＝cos β.

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