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(共32张PPT)
第四章　三角恒等变换
章末梳理
知识结构　理脉络
三
角
恒
等
变
换
三
角
恒
等
变
换
三
角
恒
等
变
换
考点整合　提技能
●题型一　同角三角函数基本关系式的应用
[归纳提升]
归纳提升：
同角三角函数的基本关系式的应用主要有以下几个方面：
(1)已知某角的一个三角函数值，求其余的三角函数值．
(2)化简三角函数式．
(3)证明三角恒等式．
在应用两个基本关系式时，注意的几点：
①利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化．
③应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin α·cos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
④注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
●题型二　两角和与差的三角函数公式的应用
A．b＝a＋c B．2b＝a＋c
C．c＝b＋a D．c＝ab
【答案】　(1)D　(2)C　(3)C
[归纳提升]
归纳提升：
和差角公式的应用技巧
(1)要注意公式的正用、逆用及变形应用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式左右的异同，并积极创造条件逆用公式．
(2)注意拆角、凑角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．
●题型三　积化和差与和差化积公式
3.求下列各式的值：
[归纳提升]
归纳提升：
积化和差与和差化积公式的应用技巧
(1)和差化积公式必须是一次同名三角函数方可施行．若是异名，则必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，则必须用降幂公式降为一次.
(2)选用公式应从以下几个方面考虑：运用公式之后，能否出现特殊角；运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否并项或消项；运用公式之后，能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件．
(3)把某些常数当作三角函数值应用公式．
●题型四　二倍角公式与半角公式
(2)求解下列问题：
【答案】　(1)D　(2)见解析
【解析】　(1)由2sin 2α＝1－cos 2α得4sin αcos α＝2sin2α，
[归纳提升]
归纳提升：
半角、倍角公式的应用技巧
(2)二倍角余弦公式有三种形式，在应用时要注意选择合适的形式.如1＋cos 2x 1＋2cos2x－1，1－cos 2x 1－(1－2sin2x)，综合检测题
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知α为第二象限角，sin α＝，则sin 2α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
【答案】　A
【解析】　此题是给值求值题，考查基本关系式、二倍角公式．∵sin α＝，α为第二象限角，∴cos α＝－＝－，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
2．若a＝(cos 60°，sin 60°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则a·b等于(　　)
A． B．
C． D．－
【答案】　A
【解析】　a·b＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝.
3．的值是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】　C
【解析】　原式＝
＝
＝＝.
4．y＝sin－sin 2x的一个单调递增区间是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】　B
【解析】　y＝sin－sin 2x＝sin 2xcos－cos 2xsin－sin 2x＝－＝－sin，其增区间是函数y＝sin的减区间，即2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，∴kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，x∈.
5．已知tan(α＋β)＝，tan＝，则tan＝(　　)
A． B．
C． D．
【答案】　B
【解析】　tan＝tan
＝＝＝.
6．若sin α＋sin β＝cos β－cos α，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β＝(　　)
A． B．－
C． D．－
【答案】　C
【解析】　∵α∈(0，π)，β∈(0，π)∴sin α>0，sin β>0，∴cos β－cos α>0，又∵x∈(0，π)时，y＝cos x是减函数，∴α>β，∴0<α－β<π.由和差化积公式可得：×2sin cos ＝2sin sin ，∵α∈(0，π)，β∈(0，π)，∴sin >0，∴cos ＝sin ，∴tan＝，又∵0<α－β<π，∴＝，∴α－β＝.故选C．
7．若sin＝，则cos＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
【答案】　A
【解析】　cos＝2cos2－1.
∵＋＝，
∴cos＝sin＝.
∴cos＝2×2－1＝－.
8．将函数f(x)＝sin 2xsin＋cos2xcos－sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则函数g(x)在上的最大值和最小值分别为(　　)
A．，－ B．，－
C．，－ D．，
【答案】　C
【解析】　f(x)＝×sin 2x＋cos2x－sin＝sin 2x＋cos2x－＝sin 2x＋×－＝sin，所以g(x)＝sin.因为x∈，所以4x＋∈，所以当4x＋＝，即x＝时，g(x)取得最大值；当4x＋＝，即x＝时，g(x)取得最小值－.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分)
9．下列各式的值为的是(　　)
A．cos2－sin2 B．－1＋2cos215°
C． D．
【答案】　AD
【解析】　cos2－sin2＝＝cos＝×＝，故A正确；－1＋2cos215°＝cos(2×15°)＝，故B错误；因为tan45°＝＝1，所以tan222.5°＋2tan22.5°－1＝0，解得tan 22.5°＝－1＋或tan 22.5°＝－1－(舍去)，所以＝＝，故C错误；＝＝，故D正确．故选AD．
10．已知函数f(x)＝2sin xcos x－2sin2x，给出下列四个选项，正确的有(　　)
A．函数f(x)的最小正周期是π
B．函数f(x)在区间上单调递减
C．函数f(x)的图象关于点对称
D．函数f(x)的图象可由函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到
【答案】　AB
【解析】　f(x)＝2sin xcos x－2sin2x＋1－1＝sin 2x＋cos 2x－1＝sin－1.因为ω＝2，所以f(x)的最小正周期T＝π，故A正确；当x∈时，2x＋∈，则函数f(x)在上单调递减，故B正确；正弦曲线的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，所以f(x)图象的对称中心为，k∈Z，所以函数f(x)图象的一个对称中心为，故C不正确；函数f(x)的图象可由函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，故D不正确．
11．已知函数f(x)＝sin x·sin－的定义域为[m，n](mA． B．
C． D．
【答案】　CD
【解析】　f(x)＝sin x·sin－＝sin x－＝sin2x＋sin xcos x－＝(1－cos 2x)＋sin 2x－＝－＝sin.作出函数f(x)的图象如图所示，在一个周期内考虑问题，易得或所以n－m的值可能为区间内的任意实数．故选CD．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，角α的终边过点P(－1，－2)，且tan(α＋β)＝，则tan β＝_________.
【答案】　－1
【解析】　由题意得角α的终边过点P(－1，－2)，故tan α＝＝2，故tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝－1，故答案为－1.
13．coscoscoscoscos＝_________.
【答案】　
【解析】　原式＝－coscoscoscoscos
＝－
＝－＝＝
＝.
14．对于集合{θ1，θ2，…，θn}和常数θ0，定义：
μ＝为集合{θ1，θ2，…，θn}相对于θ0的“余弦方差”．已知集合相对于任何常数θ0的“余弦方差”是一个常数，则这个常数是_________.
【答案】　
【解析】　方法一：当集合Ω＝时，集合Ω相对于常数θ0的“余弦方差”
μ＝＝
＝＝.
方法二：当集合Ω＝时，
μ ＝
＝
＝
＝
＝＝.
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知α，β都是锐角，cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝.
(1)求cos 2α的值；
(2)求cos 的值．
【解析】　(1)因为α与β都是锐角，所以α－β∈，α＋β∈(0，π)，
又cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以α－β∈，α＋β∈，
所以cos(α－β)＝＝，sin(α＋β)＝＝，
所以cos 2α＝cos ＝×－×＝－；
(2)因为cos(α－β)＝，α－β∈，∈，
所以cos(α－β)＝2cos2－1＝，解得cos ＝(负值舍去)．
16．(本小题满分15分)已知tan α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
【解析】　(1) tan ＝
＝＝＝－3.
(2)
＝
＝
＝＝＝1.
17．(本小题满分15分)已知sin＝，A∈.
(1)求cos A的值；
(2)求函数f(x)＝cos 2x＋sin Asin x的值域．
【解析】　(1)因为所以因为cos A＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝，
所以cos A＝.
(2)由(1)可得sin A＝.
所以f(x)＝cos 2x＋sin Asin x
＝1－2sin2x＋2sin x＝－22＋.
因为sin x∈[－1，1]，
所以当sin x＝时，f(x)取最大值；
当sin x＝－1时，f(x)取最小值－3.
所以函数f(x)的值域为.
18．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
【解析】　(1)f＝Asin＝Asin＝，∴A＝×＝3.
(2)由(1)得：f(x)＝3sin，
∴f(θ)－f(－θ)＝3sin－3sin
＝3－3＝6sin θcos＝3sin θ，
而f(θ)－f(－θ)＝，
所以sin θ＝，又因为θ∈
所以cos θ＝＝＝，
所以f＝3sin＝3sin＝3cos θ＝.
19．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值．
【解析】　(1)由f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1，
得f(x)＝(2sin xcos x)＋(2cos2x－1)
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
所以函数f(x)的最小正周期为π.
因为f(x)＝2sin在区间上为增加的，在区间上为减少的．又f(0)＝1，f＝2，f＝－1，所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－1.
(2)由(1)可知f(x0)＝2sin.
又因为f(x0)＝，所以sin＝.
由x0∈，得2x0＋∈.
从而cos＝－＝－.
所以cos 2x0＝cos
＝coscos＋sinsin
＝.
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