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第四章　§2　2.4
素养作业　提技能
A　组·素养自测
一、选择题
1．计算sin 105°cos 75°的值是(　　)
A． B．
C．－ D．－
【答案】　B
【解析】　sin 105°cos 75°＝(sin 180°＋sin 30°)＝.
2．利用公式：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，可得：sin αcos β＝.则化简sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°的值是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】　A
【解析】　由sin αcos β＝可得，sin 20°cos 70°＝[sin(20°＋70°)＋sin(20°－70°)]＝sin 90°＋sin(－50°)，sin 10°sin 50°＝sin 10°sin(90°－50°)＝sin 10°cos 40°＝＝sin 50°＋sin(－30°)，所以sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝sin 90°＋sin(－50°)＋sin 50°＋sin(－30°)＝sin 90°－sin 50°＋sin 50°－sin 30°＝－＝，故选A．
3．函数y＝sincos x的最大值为(　　)
A． B．
C．1 D．
【答案】　B
【解析】　∵y＝sincos x
＝
＝
＝sin－.
∴函数y取最大值为.
4．sin 20°＋sin 40°－sin 80°的值为(　　)
A．0 B．
C． D．1
【答案】　A
【解析】　原式＝2sin 30°cos 10°－sin 80°＝cos 10°－sin 80°＝sin 80°－sin 80°＝0.
5．函数f(x)＝2sinsin的最大值等于(　　)
A．1－cos α B．1－sin α
C．1＋cos α D．1＋sin α
【答案】　A
【解析】　f(x)＝2sinsin＝－[cos α－cos(x－α)]＝cos(x－α)－cos α.当cos(x－α)＝1时，f(x)取得最大值1－cos α.
6．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．
【答案】　C
【解析】　由已知得cos2αcos2β－sin2αsin2β＝，∴cos2α(1－sin2β)－sin2αsin2β＝，即cos2α－sin2β＝.
二、填空题
7．sin 105°＋sin 15°＝_________.
【答案】　
【解析】　sin 105°＋sin 15°＝2sincos＝2sin 60°cos 45°＝2××＝.
8．cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝_________.
【答案】　
【解析】　原式＝cos 40°＋cos 80°＋cos 60°－cos 20°＝2cos 60°·cos(－20°)＋cos 60°－cos 20°＝cos 60°＝.
9．sin·cos化为和差的结果是_________.
【答案】　 cos(α＋β)＋ sin(α－β)
【解析】　原式＝＝ cos(α＋β)＋ sin(α－β)．
三、解答题
10．在△ABC中，若B＝30°，求cos Asin C的取值范围．
【解析】　由题意，得cos Asin C＝[sin(A＋C)－
sin(A－C)]＝[sin(π－B)－sin(A－C)]＝－sin(A－C)．
∵B＝30°，∴－150°＜A－C＜150°，
∴－1≤sin(A－C)≤1，
∴－≤－sin(A－C)≤.
∴cos Asin C的取值范围是.
B　组·素养提升
一、选择题
1．函数f(x)＝2sinsin的最大值是(　　)
A． B．
C．－ D．－
【答案】　A
【解析】　f(x)＝2sinsin
＝－
＝－cos＋cos
＝cos－.
f(x)max＝1－＝.
2．(多选)下列四个关系式中，不正确的是(　　)
A．sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ
B．cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ
C．sin 3θ－sin 5θ＝－cos 4θcos θ
D．sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ
【答案】　ABCD
【解析】　A错误，右边应是2sin 4θcos θ.B错误，右边应是2sin 4θsin θ.C错误，右边应是－2cos 4θsin θ.D错误，左边为异名三角函数，应先用诱导公式化为同名三角函数后再化积，即sin 5θ＋cos 3θ＝sin 5θ＋sin＝2sincos.
3．若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于(　　)
A．－ B．－
C． D．
【答案】　D
【解析】　∵α、β∈(0，π)，∴sin α＋sin β>0.∴cos β－cos α>0，∴cos β>cos α，又在(0，π)上，y＝cos x是减函数．∴β<α，∴0<α－β<π，由原式可知：2sincos＝，∴tan＝，∴＝，∴α－β＝.
4．已知△ABC是锐角三角形，P＝sin A＋sin B，Q＝cos A＋cos B，则(　　)
A．PB．P>Q
C．P＝Q
D．P与Q的大小不能确定
【答案】　B
【解析】　P－Q＝(sin A＋sin B)－(cos A＋cos B)＝2sin·cos－2cos·cos＝2cos，由于△ABC是锐角三角形，所以A＋B＝180°－C>90°，所以>45°，sin>cos，00，综上，P－Q>0，即P>Q，故选B．
二、填空题
5．函数y＝coscos的最大值是_________.
【答案】　
【解析】　由题意知，y＝＝＝－cos 2x，因为－1≤cos 2x≤1，所以ymax＝.
6．＋＝_________.
【答案】　
【解析】　＋
＝＋
＝
＝
＝
＝＝2cos 30°＝.
三、解答题
7．已知f(x)＝－＋，x∈(0，π)．
(1)将f(x)表示成cos x的多项式；
(2)求f(x)的最小值．
【解析】　(1)f(x)＝＝
＝2coscos＝cos 2x＋cos x＝2cos2x＋cos x－1.
(2)∵f(x)＝22－且－1∴当cos x＝－时，f(x)取最小值－.
8．求下列各式的值：
(1)cos＋cos－2sincos；
(2)sin 138°－cos 12°＋sin 54°.
【解析】　(1)cos＋cos－2sincos
＝2cos·cos－cos
＝2coscos－cos
＝cos－cos＝0.
(2)sin 138°－cos12°＋sin 54°
＝sin 42°－cos 12°＋sin 54°
＝sin 42°－sin 78°＋sin 54°
＝－2cos 60°sin 18°＋sin 54°
＝sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18°
＝
＝
＝
＝＝.
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第四章　三角恒等变换
§2　两角和与差的三角函数公式
2.4　积化和差与和差化积公式
素养目标　定方向
课标要求 核心素养
1．了解利用两角和与差的正弦、余弦公式推导积化和差、和差化积公式的过程．
2．会用积化和差、和差化积公式求值、化简和证明．(数学运算) 通过证明及应用积化和差与和差化积公式，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
必备知识　探新知
知识点　积化和差、和差化积公式
关键能力　攻重难
题型一　积化和差与和差化积公式在给角求值中的应用
(2)求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.
[归纳提升]
归纳提升：
给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系．　　
〉对点训练1
求sin220°＋cos250°＋sin 20°·cos 50°的值．
●题型二　积化和差与和差化积公式在给值求值中的应用
[归纳提升]
归纳提升：
(1)对于给值求值问题， 一般思路是先对条件化简，之后看能否直接求结果；若不满足，再对所求式化简，直到找到两者的联系为止．
(2)积化和差与和差化积公式中的“和差”与“积”都是指三角函数值之间的关系，并不是指角的关系．
〉对点训练2
●题型三　利用积化和差、和差化积公式证明恒等式
[归纳提升]
归纳提升：
证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证．
〉对点训练3
●题型四　利用积化和差、和差化积公式解决三角函数问题
不同角的正余弦和差及乘积出现时，通常利用和差化积与积化和差公式进行化简与求值，此时需熟悉并能正确地应用好此公式．
cos 2x＋cos x＝cos2x＋a(1＋cos x)－cos x－3，
所以a的取值范围是[2，＋∞)．
[归纳提升]
归纳提升：
1．利用积化和差、和差化积公式，一定要清楚这些公式的形式特征，理解公式间的关系．
2．求解三角函数的值域(最值)常见到的类型：
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c或y＝Acos(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c或y＝acos2x＋bcos x＋c的三角函数，可先设sin x＝t或cos x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值).
〉对点训练4
课堂检测　固双基
1．下列四个等式中，不正确的是(　　)
【答案】　D
2．sin(45°＋A)－sin(45°－A)可化简为(　　)
【答案】　B
3．sin 75°－sin 15°的值为(　　)
【答案】　B
A．tan α B．tan 2α
C．cot α D．cot 2α
【答案】　B
方法二：左边
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin [(α＋β)－α]＝sin β＝右边．

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