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(共38张PPT)
第四章　三角恒等变换
§3　二倍角的三角函数公式
3.1　二倍角公式
素养目标　定方向
课标要求 核心素养
1．理解倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系．(数学抽象)
2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变形. 通过推导二倍角公式以及三角恒等变换，重点提升数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
必备知识　探新知
知识点　二倍角公式
2sin αcos α
cos2α－sin2α
2cos2α－1
1－2sin2α
关键能力　攻重难
题型一　利用二倍角公式给角求值问题
1.求下列各式的值：
[归纳提升]
归纳提升：
对于给角求值问题，一般有两类：
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．　　
〉对点训练1
●题型二　利用二倍角公式给值求值问题
[归纳提升]
归纳提升：
解决给值求值问题的方法比较多，(1)可以利用倍角公式将二倍角(单角)化为单角(二倍角)，再通过三角基本公式得到所求值；(2)利用倍角公式的推论直接进行结构式的联系：如cos 2α与sin2α及cos2α之间的关系，cos α±sin α与sin 2α的关系等．
〉对点训练2
●题型三　利用二倍角公式给值求角
[归纳提升]
归纳提升：
本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确的角．
〉对点训练3
●题型四　三角函数式化简
【分析】　(1)1＋sin 8＝sin24＋2sin 4cos 4＋cos24＝(sin 4＋cos 4)2，2(1＋cos 8)＝4cos24.
(2)连续运用公式：1＋cos 2α＝2cos2α.
所以sin 4<0，cos 4<0.
故原式＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2sin 4－4cos 4.
[归纳提升]
归纳提升：
化简三角函数式的基本思路
解决三角函数的化简问题就是根据题目特点，利用相应的公式，对所给三角函数式进行适当变形．可从“幂”的差异、“名”的差异、“角”的差异这三个方面，结合所给“形”的特征入手解决．一般采用化弦法、切弦法、异角化同角、异次化同次、异名化同名、通分、使被开方数化为完全平方式等进行变形，同时注意公式的逆用以及“1”的恒等代换，达到化简的目的，在化简时，要注意角的取值范围．
〉对点训练4
(2)求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B．
＝cos 20°－sin 20°＋sin 20°
＝cos 20°.
课堂检测　固双基
【答案】　A
【答案】　A
C．2sin 28° D．sin 14°cos 28°
【答案】　A
A．－2sin 40° B．2cos 40°
C．－2cos 40° D．2sin 40°
【答案】　D
＝(sin 40°＋cos 40°)－(cos 40°－sin 40°)
＝2sin 40°.
【答案】　A第四章　§3　3.1
素养作业　提技能
A　组·素养自测
一、选择题
1．若sin＝，则cos α等于(　　)
A．－ B．－
C． D．
【答案】　C
【解析】　cos α＝1－2sin2＝1－2×＝.
2．cos 2－cos 2＝(　　)
A． B．
C． D．
【答案】　D
【解析】　由题意，cos 2－cos 2＝cos 2－cos 2＝cos 2－sin 2＝cos＝.故选D．
3．函数y＝的最小正周期是(　　)
A． B．
C．π D．2π
【答案】　B
【解析】　y＝＝＝cos22x－sin22x＝cos 4x，所以最小正周期T＝＝.
4．古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin 18°表示，即＝2sin 18°，设m＝，则＝(　　)
A． B．
C．m D．
【答案】　A
【解析】　依题意，＝＝sin 162°＝sin 18°＝.故选A．
5．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于(　　)
A． B．
C． D．
【答案】　C
【解析】　∵tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，
∴tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]
＝＝－1，
又α为锐角，∴2α＝，∴α＝.
6．已知α∈(0，π)，且cos 2α－sin 2α－1＝0，则cos α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
【答案】　B
【解析】　因为cos 2α－sin 2α－1＝0，即sin 2α＋1－cos 2α＝0，
所以2sin αcos α＋sin2α＝0，从而sin α(2cos α＋sin α)＝0，
因为α∈(0，π)，所以0又sin2α＋cos 2α＝1②，
联立①②解得或(舍去)．
所以cos α＝－.故选B．
二、填空题
7．若sin ＝， 则cos 2θ＝_________.
【答案】　－
【解析】　由sin＝cos θ＝，
得cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－.
8．计算：tan －＝_________.
【答案】　－2
【解析】　原式＝＝＝－2.
9．若cos 2θ＝－，则sin4θ＋cos4θ＝_________.
【答案】　
【解析】　sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ，又cos 2θ＝－，∴sin22θ＝1－cos22θ＝.
∴原式＝1－sin22θ＝1－×＝.
三、解答题
10．求下列各式的值：
(1)；
(2)2tan 15°＋tan215°；
(3)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.
【解析】　(1)原式
＝
＝
＝
＝＝＝8.
(2)原式＝tan 30°(1－tan215°)＋tan215°
＝×(1－tan215°)＋tan215°＝1.
(3)方法一：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°
＝cos 20°cos 40°cos 80°
＝
＝
＝＝·＝.
方法二：令x＝sin 10°sin 50°sin 70°，y＝cos 10°cos 50°cos 70°，则xy＝sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°cos 70°，
＝sin 20°·sin 100°·sin 140°
＝sin 20°sin 80°sin 40°
＝cos 10°cos 50°cos 70°＝y.
∵y≠0，∴x＝.
从而有sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝.
B　组·素养提升
一、选择题
1．已知锐角α的终边经过点P(cos 50°，1＋sin 50°)，则锐角α等于(　　)
A．10° B．20°
C．70° D．80°
【答案】　C
【解析】　由三角函数的定义tan α＝＝＝＝＝＝tan 70°.所以α＝70°.
2．在△ABC中，已知cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1－2sin Asin B，则一定成立的是(　　)
A．A＝ B．A＝
C．A＝C D．C＝
【答案】　D
【解析】　由题设，1－2sin2A＋1－2sin2B－(1－2sin2C)＝1－2sin Asin B，
所以sin2A＋sin2B－sin2C＝sin Asin B，结合正弦边角关系知：a2＋b2－c2＝ab，
又cos C＝＝，03．(多选)下列各式中，值为的是(　　)
A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215°
C．1－2sin215° D．sin215°＋cos215°
【答案】　BC
【解析】　A不符合，2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；B符合，cos215°－sin215°＝cos 30°＝；C符合，1－2sin215°＝cos 30°＝；D不符合，sin215°＋cos215°＝1.故选BC．
4．(多选)已知函数f(x)＝，则有(　　)
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f(x)的图象关于点对称
C．函数f(x)是奇函数
D．函数f(x)的最小正周期为π
【答案】　BCD
【解析】　因为f(x)＝＝＝
－tan x，所以函数f(x)是周期为π的奇函数，图象关于点对称，故选BCD．
二、填空题
5．若tan＝，则tan 2α＋＝_________.
【答案】　2
【解析】　由tan＝＝，可求得tan α＝，
∴tan 2α＋＝＋＝＋＝＝＝2.
6．若θ∈，sin 2θ＝，则cos 2θ＝_________；sin θ＝_________.
【答案】　－　
【解析】　∵θ∈，
∴2θ∈，∴cos 2θ≤0.
∴cos 2θ＝－
＝－＝－.
又∵cos 2θ＝1－2sin2θ，
∴sin2θ＝＝＝，
∴sin θ＝.
三、解答题
7．(1)证明：cos 2α＋cos 2β＝2cos(α＋β)cos(α－β)；
(2)若sin α＋sin β＝a，cos α＋cos β＝b，其中实数a，b不全为零．
①求cos(α－β)；②求cos(α＋β)．
【解析】　(1)证明：2cos(α＋β)cos(α－β)＝2(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)
＝2cos 2αcos 2β－2sin2αsin2β
＝2··－2··
＝
＝cos 2α＋cos 2β.
(2)由sin α＋sin β＝a两边平方得sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝a2，
cos α＋cos β＝b两边平方得cos 2α＋cos 2β＋2cos αcos β＝b2，
①两式相加可得：2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝a2＋b2，
即2＋2cos(α－β)＝a2＋b2则cos(α－β)＝＝－1，
②两式相减可得：cos 2α－sin2α＋cos 2β－sin2β＋2cos αcos β－2sin αsin β＝b2－a2
cos 2α＋cos 2β＋2cos(α＋β)＝b2－a2，
由(1)知，cos 2α＋cos 2β＝2cos(α＋β)cos(α－β)，
则2cos(α＋β)cos(α－β)＋2cos(α＋β)＝b2－a2，
2cos(α＋β)＝b2－a2，则cos(α＋β)＝.
8．已知函数f(x)＝cos2－sin cos －.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin 2α的值．
【解析】　(1)因为f(x)＝cos2－sin cos －＝(1＋cos x)－sin x－＝cos ，
所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为.
(2)由(1)知，f(α)＝cos ＝，
所以cos ＝.
所以sin 2α＝－cos
＝－cos 2＝1－2cos2＝1－＝.
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