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第五章　复数
§2　复数的四则运算
2.1　复数的加法与减法
素养目标　定方向
课标要求 核心素养
1．复数代数形式的加、减运算法则．
2．复数代数形式的加、减运算律．
3．复数代数形式的加、减运算的几何意义. 通过本节的学习，培养学生建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，培养学生数学抽象，直观想象的核心素养.
必备知识　探新知
知识点1　复数的加法运算及几何意义
知识点2　复数的减法运算及几何意义
关键能力　攻重难
●题型一　复数代数表示式的加、减法运算
1.(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝_________.
(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝_________.
【分析】　直接运用复数的加减运算法则进行计算．
【解析】　(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i.
(2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，
[归纳提升]
归纳提升：
复数加、减运算的法则
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与虚部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．
(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．
〉对点训练1
(1)－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝_________.
(2)已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝_________.
【答案】　(1)－10i　(2)3
【解析】　(1)－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝－i＋1－5i－2－3i－i＋1＝－10i.
(2)由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，
●题型二　复数加减法及复数模的几何意义
2．如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0，3＋2i，－2＋4i，试求：
【分析】　要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量的相等直接给出所求的结论．
[归纳提升]
归纳提升：
利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论
(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
〉对点训练2
已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i，2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长．
【解析】　如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，
●题型三　复数加法、减法几何意义的应用
3.(1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　)
【分析】　涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
【答案】　(1)A　(2)见解析
【解析】　(1)设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，
因为|z＋i|＋|z－i|＝2，
|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1.
所以|z＋i＋1|min＝1.
所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.
[归纳提升]
归纳提升：
两个复数差的模的几何意义
(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．
〉对点训练3
若本例(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．
【解析】　因为|z|＝1且z∈C，作图如图：
课堂检测　固双基
1．已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，若z1－z2是纯虚数，则有(　　)
A．a－c＝0且b－d≠0 B．a－c＝0且b＋d≠0
C．a＋c＝0且b－d≠0 D．a＋c＝0且b＋d≠0
【答案】　A
【解析】　z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i，因为z1－z2是纯虚数，所以a－c＝0且b－d≠0.
2．[(a－b)－(a＋b)i]－[(a＋b)－(a－b)i]等于(　　)
A．－2b－2bi B．－2b＋2bi
C．－2a－2bi D．－2a－2ai
【答案】A
【解析】原式＝[(a－b)－(a＋b)]＋[－(a＋b)＋(a－b)]i＝－2b－2bi.
3．复数(1＋2i)－(3－4i)对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】　B
【解析】　由复数(1＋2i)－(3－4i)＝－2＋6i，可得复数在复平面内对应的点(－2，6)位于第二象限．故选B．第五章　§2　2.1
素养作业　提技能
A　组·素养自测
一、选择题
1．复数z1＝a＋3i，z2＝－4＋bi，a，b为实数，若z1＋z2为实数，z1－z2为纯虚数，则a＋b＝(　　)
A．－7 B．7
C．－1 D．1
【答案】　A
【解析】　因为z1＋z2＝a－4＋(3＋b)i为实数，所以3＋b＝0，即b＝－3，又z1－z2＝a＋4＋(3－b)i为纯虚数，所以即a＝－4且b≠3，综上可知所以a＋b＝－7.故选A．
2．设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的(　　)
A．充分必要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】　A
【解析】　z是纯虚数 x＝1，故选A．
3．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1－z2＝(　　)
A．－1＋2i
B．－2－2i
C．1＋2i
D．1－2i
【答案】　B
【解析】　＝(－2，－1)，＝(0，1)，∴z1＝－2－i，z2＝i，∴z1－z2＝－2－2i.
4．复平面上三点A，B，C分别对应复数1，2i，5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】　A
【解析】　|AB|＝|2i－1|＝，|AC|＝|4＋2i|＝，|BC|＝5，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.故选A．
5．已知x，y∈R，i为虚数单位，若1＋xi＝(2－y)－3i，则|x＋yi|＝(　　)
A． B．3
C． D．
【答案】　A
【解析】　1＋xi＝(2－y)－3i 则|x＋yi|＝.
6．设复数z满足z＋|z|＝2＋i，那么(　　)
A．z的虚部为i B．z的虚部为
C．z＝－－i D．z＝＋i
【答案】　D
【解析】　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＋yi＋＝2＋i，∴解得∴z＝＋i.∴z的虚部为1.
二、填空题
7．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝_________.
【答案】　5
【解析】　|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝＝5.
8．已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i，则z1－z2在复平面内对应的点位于第_________象限．
【答案】　二
【解析】　因为复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i，则z1－z2＝(1＋3i)－(3＋i)＝－2＋2i，因此，z1－z2在复平面内对应的点的坐标为(－2，2)，即z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限．
9．已知|z|＝，且z－2＋4i为纯虚数，则复数z＝_________.
【答案】　2±i
【解析】　设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则z－2＋4i＝(x－2)＋(y＋4)i.由题意知∴或∴z＝2±i.
三、解答题
10．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2＝13－2i，求z1，z2.
【解析】　z＝z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又∵z＝13－2i，且x，y∈R，
∴解得
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i
＝－8－7i.
B　组·素养提升
一、选择题
1．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z等于(　　)
A．－3 B．3
C．－3i D．3i
【答案】　D
【解析】　设z＝x＋yi，x，y∈R，则z＋3i＝x＋(y＋3)i.因为z＋3i是纯虚数，所以又因为|z|＝＝3，解得x＝0，y＝3，即z＝3i.
2． ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i，3＋4i，3－5i，则点D对应的复数是(　　)
A．2－3i B．4＋8i
C．4－8i D．1＋4i
【答案】　C
【解析】　对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，设点D对应的复数为z，则对应的复数为(3－5i)－z.由平行四边形法则知＝，∴－1＋3i＝(3－5i)－z，∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.故应选C．
3．(多选)设复数z1＝1－i，z2＝i(i为虚数单位)，则下列结论正确的为(　　)
A．z2是纯虚数
B．z1－z2对应的点位于第二象限
C．|z1－z2|＝1
D．1＝1＋i
【答案】　AD
【解析】　z2＝i，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A正确；z1－z2＝1－2i，其在复平面上对应的点为(1，－2)，在第四象限，B错误；z1－z2＝1－2i，则|z1－z2|＝＝，C错误；z1＝1－i，则1＝1＋i，D正确．故选AD．
4．设复数z满足|z－3－4i|＝1，则|z|的最大值是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】　D
【解析】　因为|z－3－4i|＝1，所以复数z所对应点在以C(3，4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是＋1＝6.
二、填空题
5．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为z0＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为_________.
【答案】　－4
【解析】　因为＋＝，
所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，
所以得a－b＝－4.
6．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|为_________.
【答案】　2
【解析】　由复数加法、减法的几何意义知，以复平面上对应z1，z2的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝2.
三、解答题
7．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
【解析】　(1)因为向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
所以向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又＝＋，
所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)
＝4－2i.
因为＝，
所以向量对应的复数为3－i，
即＝(3，－1)．
设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
所以解得
所以点D对应的复数为5.
(2)因为·＝||||cos B，
所以cos B＝＝＝.
所以sin B＝.
所以S＝||||sin B＝××＝7，
所以平行四边形ABCD的面积为7.
8．已知|z|＝2，求|z＋1＋i|的最大值和最小值．
【解析】　设z＝x＋yi，则由|z|＝2知x2＋y2＝4，
故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，
∴|z＋1＋i|表示圆上的点到点(－1，－)的距离．
又∵点(－1，－)在圆x2＋y2＝4上，
∴圆上的点到点(－1，－)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，
即|z＋1＋i|的最大值和最小值分别为4和0.
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