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(共21张PPT)
第五章　复数
章末梳理
知识结构　理脉络
考点整合　提技能
●题型一　有关复数的概念
1.当实数a为何值时，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i.
(1)为实数；
(2)为纯虚数；
(3)对应的点在第一象限内；
(4)复数z对应的点在直线x－y＝0上．
【分析】　根据题设条件构建方程(组)或不等式(组)求解即可．
【解析】　(1)z∈R a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2.
所以a<0或a>2.所以a的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．
(4)依题设(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0，所以a＝2.
[归纳提升]
归纳提升：
复数常设为z＝a＋bi(a，b∈R)，z∈R b＝0；z为虚数 b≠0；z为纯虚数 a＝0且b≠0.
●题型二　复数相等
2.已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.
【解析】　设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi.
又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i，
[归纳提升]
归纳提升：
复数的代数形式z＝x＋yi(x，y∈R)，从实部、虚部来理解一个复数，把复数z满足的条件转化为实数x，y应该满足的条件，从而可以从实数的角度利用待定系数法和方程思想来处理复数问题．
●题型三　复数的模及几何意义
3.已知z∈C且|z|＝1，求|z2－z＋1|的最值．
又因为|z|＝1，所以x2＋y2＝1.
所以－1≤x≤1，所以－3≤2x－1≤1，则0≤|2x－1|≤3.
所以|z2－z＋1|的最小值为0，最大值为3.
[归纳提升]
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●题型四　复数与其他知识的综合应用
4.四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1＋3i，2i，2＋i，z.
(1)求复数z；
(2)z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．
【解析】　(1)复平面内A，B，C对应的点坐标分别为
(1，3)，(0，2)，(2，1)，
∴(x－1，y－3)＝(2，－1)，
∴x－1＝2，y－3＝－1，解得x＝3，y＝2，故D(3，2)，
则点D对应的复数z＝3＋2i.
(2)∵3＋2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，
∴3－2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的另一个根，
即p＝12，q＝26.
[归纳提升]
归纳提升：
复数具有代数形式，且复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)之间建立了一一对应关系，复数又是数形结合的桥梁，要注意复数与向量、方程、函数等知识的交汇．
●题型五　复数的三角形式及运算
[归纳提升]
归纳提升：
复数z＝r(cos θ＋isin θ)即为复数的三角形式，其特点是：模非负、角相同、余弦前、加号连，缺任一条件都不是三角形式，其中θ为辐角．用复数的三角形式进行乘法、除法仍得复数的三角形式，即模数相乘(除)辐角相加(减)．综合检测题
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2023·新高考Ⅰ)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】　A
【解析】　因为(1＋3i)(3－i)＝3＋8i－3i2＝6＋8i，则所求复数对应的点为(6，8)，位于第一象限．故选A．
2．已知复数z满足(2＋i)z＝1－2i(其中i为虚数单位)，则z的共轭复数＝(　　)
A．i B．－i
C． D．
【答案】　A
【解析】　z＝＝－i，则＝i.
3．(2024·全国新高考Ⅰ)若＝1＋i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
【答案】　C
【解析】　因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C．
4．已知(a＋2i)2(a∈R)是纯虚数，则|a＋i|＝(　　)
A． B．
C．3 D．5
【答案】　B
【解析】　(a＋2i)2＝a2－4＋4ai，因为(a＋2i)2为纯虚数，所以即a＝±2，则|a＋i|＝|±2＋i|＝.
5．已知复数z1＝2－i，z2＝a＋i(a∈R)，若复数z1·z2为纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．－ B．
C．－2 D．2
【答案】　A
【解析】　由已知复数z1·z2＝(2－i)(a＋i)＝(2a＋1)＋(2－a)i为纯虚数，所以的a＝－.故选A．
6．若复数z1，z2满足z1＝2，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2(　　)
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
【答案】　A
【解析】　复数z1，z2满足z1＝2，可得z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故z1，z2在复数平面上对应的点关于x轴对称．
7．已知a∈R，i是虚数单位，若z＝a－i，z·＝4，则a＝(　　)
A．1或－1 B．或－
C．－ D．
【答案】　A
【解析】　由题意，复数z＝a－i，则＝a＋i，所以z·＝(a－i)(a＋i)＝a2＋3＝4，所以a2＝1，即a＝1或a＝－1.
8．欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ(e为自然对数的底数，i为虚数单位)是瑞士著名数学家欧拉发明的，eiπ＋1＝0是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一．根据欧拉公式可知，复数e eq \s\up10(i)的虚部为(　　)
A．－ B．
C．－i D．i
【答案】　B
【解析】　根据欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ，可得e eq \s\up10(i)＝cos＋isin＝＋i，所以e eq \s\up10(i)的虚部为.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分)
9．已知z1，z互为共轭复数，则＝(　　)
A．z＝z B．|z1|＝|z2|
C．z1＋z2∈R D．z1z2∈R
【答案】　BCD
【解析】　z1＝a＋bi，a，b∈R，则z2＝a－bi，z＝a2－b2＋2abi，z＝a2－b2－2abi≠z，故A错误；|z1|＝＝|z2|，B正确；z1＋z2＝2a∈R，C正确；z1z2＝a2＋b2∈R，D正确．故选BCD．
10．下列有关复数z的叙述正确的是(　　)
A．若z＝i3，则＝i
B．若z＝1＋，则z的虚部为－i
C．若z＝a＋ai，(a∈R)，则z不可能为纯虚数
D．若复数z满足∈R，则z∈R
【答案】　ACD
【解析】　z＝i3＝－i，所以＝i，A正确；z＝1＋＝1－i，虚部是－1，B错误；z＝a＋ai，(a∈R)，若a＝0，则z＝0是实数，若a≠0，则z＝a＋ai是虚数，不是纯虚数，C正确；设z＝a＋bi，(a，b∈R)，因为＝＝－i，由∈R得b＝0，则z∈R，所以D正确．故选ACD．
11．设z1，z2是复数，给出四个命题，下列命题正确的是(　　)
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
【答案】　ABC
【解析】　由z1，z2是复数，得：若|z1－z2|＝0，则z1，z2的实部和虚部都相等，所以1＝2，故A正确；若z1＝2，则z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，所以1＝z2，故B正确；若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2＝|z1|2，故C正确；若|z1|＝|z2|，则由复数的模的性质得z≠z，如|1－i|＝|1＋i|＝，但(1－i)2＝－2i≠(1＋i)2＝2i，故D不正确．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．已知i为虚数单位，则复数z＝在复平面内对应的点的坐标为_________.
【答案】　(1，－1)
【解析】　复数z＝＝＝＝1－i，则z在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)．
13．已知a，b∈R，复数z＝a－i且＝1＋bi(i为虚数单位)，则ab＝_________.
【答案】　－6
【解析】　因为z＝a－i，所以＝＝1＋bi，即a－i＝(1＋i)(1＋bi)＝1＋bi＋i－b＝(b＋1)i＋1－b，根据左右两边对应相等有 所以ab＝－6.
14．已知复数z满足z＝(i是虚数单位)，则z2＝_________；|z|＝_________.
【答案】　2i　
【解析】　由题意，根据复数的运算，化简得z＝＝＝－1－i，所以z2＝(－1－i)2＝2i，|z|＝.
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)计算：
(1)；
(2)＋.
【解析】　(1)
＝
＝＝
＝＝－－i.
(2)＋＝－＝＝－1.
16．(本小题满分15分)已知i为虚数单位，复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数．
(1)求复数z及；
(2)若ω＝，求复数ω的模．
【解析】　(1)由题可得(1＋3i)·z＝(1＋3i)(3＋bi)
＝(3－3b)＋(9＋b)i，
因为(1＋3i)·z为纯虚数，所以3－3b＝0且9＋b≠0，解得b＝1，
所以z＝3＋i，＝3－i.
(2)由(1)可得ω＝＝＝
＝＝－i，
所以|ω|＝＝＝.
17．(本小题满分15分)已知复数z＝(2＋i)(i－3)＋4－2i.
(1)求复数z的共轭复数及|z|；
(2)若复数z1＝z＋(a2－2a)＋ai(a∈R)是纯虚数，求实数a的值．
【解析】　(1)复数z＝(2＋i)(i－3)＋4－2i
＝2i＋i2－6－3i＋4－2i＝－3－3i，
＝－3＋3i，
|z|＝＝3.
(2)因为复数z1＝z＋(a2－2a)＋ai＝(a2－2a－3)＋(a－3)i是纯虚数，
所以
解得a＝－1.所以实数a＝－1.
18．(本小题满分17分)已知复数ω满足ω－4＝(3－2ω)i(i为虚数单位)，z＝＋|－2|.
(1)求z；
(2)若(1)中的z是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．
【解析】　(1)因为ω－4＝(3－2ω)i，所以ω(1＋2i)＝4＋3i，
所以ω＝＝＝2－i，
所以z＝＋|i|＝＋1＝3＋i.
(2)因为z＝3＋i是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，所以(3＋i)2－p(3＋i)＋q＝0，
(8－3p＋q)＋(6－p)i＝0，
因为p，q为实数，所以
解得p＝6，q＝10.
解方程x2－6x＋10＝0，得x＝3±i.
所以实数p＝6，q＝10，方程的另一个根为x＝3－i.
19．(本小题满分17分)已知复数z1＝sin 2x－ti，z2＝a＋(a－cos 2x)i，i为虚数单位，t，a，x∈R，且z1＝z2.
(1)若t＝0且0(2)设t＝f(x)，已知f(α)＝，求sin.
【解析】　(1)因为z1＝sin 2x－ti，z2＝a＋(a－cos 2x)i且z1＝z2，所以所以t＝cos 2x－sin 2x，又t＝0，
所以sin 2x－cos 2x＝0，得到tan 2x＝.因为0所以x＝或.
(2)由(1)知，t＝f(x)＝cos 2x－sin 2x＝2cos，由f(α)＝得cos＝，而sin＝sin＝cos＝2cos2－1＝－.
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