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(共32张PPT)
第五章　复数
§2　复数的四则运算
2.2　复数的乘法与除法
*2.3　复数乘法几何意义初探
素养目标　定方向
课标要求 核心素养
1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算．
2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法加法的分配律．
3．掌握共轭复数的性质. 通过本节的学习，培养学生建立形与数的联系，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物．培养学生逻辑推理，数学抽象的核心素养.
必备知识　探新知
知识点1　复数代数形式的乘法法则
(1)乘法法则
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝________________________.
(2)复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1·z2＝_________
结合律 (z1·z2)·z3＝_____________
乘法对加法的分配律 z1·(z2＋z3)＝______________
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
z2·z1
z1·(z2·z3)
z1z2＋z1z3
(3)复数范围内正整数指数幂的运算性质
(4)i的乘方的运算性质
一般地，对任意自然数n，有i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.
(5)互为共轭复数的性质
关键能力　攻重难
●题型一　复数代数表示式的乘法运算
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
(2)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝(　　)
A．0 B．1
(3)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
【分析】　利用乘法公式进行运算．
【答案】　(1)B　(2)D　(3)B
[归纳提升]
归纳提升：
两个复数代数形式乘法的一般方法
(1)首先按多项式的乘法展开．
(2)再将i2换成－1.
(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
〉对点训练1
(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝(　　)
A．2－13i B．13＋2i
C．13－13i D．－13－2i
(2)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
【答案】　(1)D　(2)C
【解析】　(1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.故选D．
(2)A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；
B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；
C项，(1＋i)2＝2i，2i是纯虚数；
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C．
●题型二　复数代数形式的除法运算
A．1 B．－1
C．i D．－i
(2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为(　　)
A．3＋5i B．3－5i
C．－3＋5i D．－3－5i，
【分析】　复数的除法运算就是分子分母同乘分母的共轭复数，转化为乘法进行．
【答案】　(1)D　(2)A
[归纳提升]
归纳提升：
1．两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)首先将除式写为分式．
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数．
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
2．常用公式
〉对点训练2
【答案】　(1)B　(2)－2＋i
●题型三　实系数一元二次方程在复数范围内根的问题
3.已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根．
(1)求实数a，b的值；
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明．
【分析】　解决实系数一元二次方程的基本方法是复数相等的充要条件．
【解析】　(1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，
(2)由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0.
设另一个根为x2，由根与系数的关系，得－1＋i＋x2＝－2，
∴x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，
则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，
∴x2＝－1－i是方程的另一个根．
[归纳提升]
归纳提升：
(1)实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋bi(a，b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a－bi是该方程的另一根．
(2)与在实数范围内对比，在复数范围内解决实系数一元二次方程问题，韦达定理和求根公式仍然适用，但是判别式判断方程根的功能就发生改变了．
〉对点训练3
(1)方程x2＋6x＋13＝0的一个根是(　　)
A．－3＋2i B．3＋2i
C．－2＋3i D．2＋3i
(2)已知a，b∈R，且2＋ai，b＋i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根，求p，q的值．
【答案】　(1)A　(2)见解析
课堂检测　固双基
1．如果复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m等于(　　)
A．1 B．－1
【答案】　B
【解析】　∵(m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(m3＋1)i是实数，m∈R，∴由a＋bi(a、b∈R)是实数的充要条件是b＝0，得m3＋1＝0，即m＝－1.
A．－i B．i
C．0 D．1
【答案】　A
3．已知复数z满足(2＋i)z＝3＋4i，则z＝(　　)
A．2＋i B．2－i
C．1＋2i D．1－2i
【答案】　A
【答案】　C第五章　§2　 2.2　2.3
素养作业　提技能
A　组·素养自测
一、选择题
1．设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若＝2－i成立，则点P(a，b)在(　　)
A．第一象限　 B．第二象限
C．第三象限　 D．第四象限
【答案】　A
【解析】　∵＝2－i，∴z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，∴a＝3，b＝1，∴点P(a，b)在第一象限．
2．设复数z满足＝i，则|1＋z|＝(　　)
A．0 B．1
C． D．2
【答案】　C
【解析】　因为＝i，所以z＝，所以z＋1＝＋1＝＝1－i，所以|z＋1|＝.
3．已知复数z满足＝，则z＝(　　)
A．－5－2i B．5－2i
C．－5＋2i D．5＋2i
【答案】　B
【解析】　易知i2 024＝1，则＝＝，故z－1＝＝＝＝－2i＋4，得z＝5－2i.故选B．
4．若复数(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．－2 B．4
C．－6 D．6
【答案】　C
【解析】　∵＝＝为纯虚数，∴∴a＝－6.
5．若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
【答案】　D
【解析】　由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.故选D．
6．设i2 023·z＝－i(i为虚数单位)，则|z－i|＝(　　)
A． B．1
C． D．
【答案】　C
【解析】　z＝＝＝＋i，∴z－i＝－i，∴|z－i|＝＝.故选C．
二、填空题
7．已知i是虚数单位，化简的结果为_________.
【答案】　4＋i
【解析】　由题意可得＝＝＝4＋i.
8．设复数z1、z2在复平面内的对应点分别为A、B，点A与B关于x轴对称，若z1(1－i)＝3－i，则|z2|＝_________.
【答案】　
【解析】　∵z1(1－i)＝3－i，∴z1＝＝＝2＋i，∵A与B关于x轴对称，∴z1与z2互为共轭复数，∴z2＝1＝2－i，∴|z2|＝.
9．已知1＋2i是方程x2－mx＋2n＝0(m，n∈R)的一个根，则m＋n＝_________.
【答案】　
【解析】　方法一：将x＝1＋2i代入方程x2－mx＋2n＝0，有(1＋2i)2－m(1＋2i)＋2n＝0，
即(－3－m＋2n)＋(4－2m)i＝0.
由复数相等的充要条件，
得解得
故m＋n＝2＋＝.
方法二：由题意x2－mx＋2n＝0有两个根1＋2i和1－2i，
∴∴m＋n＝.
三、解答题
10．计算：
(1)；
(2)；
(3)6＋.
【解析】　(1)＝＝－1－3i.
(2)＝＝＝＝＋i.
(3)6＋＝6＋＝i6＋i＝－1＋i.
B　组·素养提升
一、选择题
1．设z＝，则＝(　　)
A．1－2i B．1＋2i
C．2－i D．2＋i
【答案】　B
【解析】　由题意可得z＝＝＝＝＝1－2i，则＝1＋2i.故选B．
2．设z＝＋i(i是虚数单位)，则z＋2z2＋3z3＋4z4＋5z5＋6z6＝(　　)
A．6z B．6z2
C．6 D．－6z
【答案】　C
【解析】　z2＝－＋i，z3＝－1，z4＝－－i，z5＝－i，z6＝1，∴原式＝＋(－1＋i)＋(－3)＋(－2－2i)＋＋6＝3－3i＝6＝6.
3．(多选)已知复数z满足|z－i|＝2(其中i是虚数单位)，则下列说法中正确的有(　　)
A．|z|的最大值为3
B．|z|的最小值为1
C．(z－i)2＝4
D．|z－2|＝|z－2i|有且只有两解
【答案】　ABD
【解析】　设z＝x＋yi，(x，y∈R)，因为|z－i|＝2，所以x2＋(y－1)2＝4，点的轨迹是以(0，1)为圆心，以2为半径的圆，|z|的最大值为＋2＝3，最小值2－＝1，A，B正确；只有实数或者纯虚数平方等于实数，所以(z－i)2不一定等于实数4，C错误；由|z－2|＝|z－2i|得，＝，整理得，x＝y①，因为x2＋(y－1)2＝2②，①②联立只有2解，D正确．故选ABD．
4．(多选)下面四个命题中的真命题为(　　)
A．若复数z满足∈R，则z∈R
B．若复数z满足＝，则|z|＝1
C．已知z1，z2∈C，若z1z2∈R，则z1＝2
D．已知z1，z2，z3∈C，若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
【答案】　AB
【解析】　由于∈R，而z是实数的倒数，所以z∈R，故A正确；若＝，z＝x＋yi，则有z·＝(x＋yi)(x－yi)＝x2＋y2＝|z|2，则|z|＝1，故B正确；取z1＝0，z2＝i，显然满足z1z2＝0∈R，但z1＝2不成立，故C错误；z1＝0，z2＝i，z3＝－i，显然有z1z2＝z1z3＝0，但z2＝z3不成立，故D错误．故选AB．
二、填空题
5．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值是_________.
【答案】　－2
【解析】　(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，该复数为纯虚数，所以a＋2＝0，且1－2a≠0，所以a＝－2.
6．若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i，则|z|＝_________.
【答案】　1
【解析】　方法一：因为(3－4i)z＝4＋3i，所以z＝＝＝＝i.则|z|＝1.
方法二：z＝，|z|＝＝＝1.
三、解答题
7．已知复数z满足z(1＋i)＝2i，O为坐标原点，复数z在复平面内对应的向量为.
(1)求|z＋3－4i|；
(2)若向量绕O逆时针旋转得到，对应的复数为z′，求z·z′；
(3)若z是方程x2＋ax＋b＝0(a∈R，b∈R)的一个根，求a＋b的值．
【解析】　(1)由z(1＋i)＝2i得：z＝＝＝i(1－i)＝1＋i，
∴＝＝5.
(2)又z＝1＋i，由复数的几何意义，
向量＝(1，1)绕原点O逆时针旋转得到的＝(－1，1)，
则对应的复数为z′＝－1＋i，则z·z′＝(1＋i)·(－1＋i)＝－2.
(3)由(1)知z＝1＋i，则＝1－i，
依题意有z和是方程x2＋ax＋b＝0(a∈R，b∈R)的两个根，
∴解得
∴a＋b＝0.
8．已知z为复数，z＋2i和均为实数，其中i是虚数单位．
(1)求复数z和|z|；
(2)若复数z1＝＋－i在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．
【解析】　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z＋2i＝a＋(b＋2)i为实数，所以b＋2＝0，
即b＝－2.
又＝＝＝＋i为实数，
所以＝0，所以a＝－2b.
又b＝－2，所以a＝4，所以z＝4－2i，
所以|z|＝＝2.
(2)z1＝＋－i＝4＋＋i＝＋i.
因为z1在复平面内对应的点位于第四象限，
所以，解得－2所以实数m的取值范围为∪.
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