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(共31张PPT)
第五章　复数
§1　复数的概念及其几何意义
1.2　复数的几何意义
素养目标　定方向
课标要求 核心素养
1．通过类比实数的几何意义来理解复数的几何意义．
2．理解复数的两种几何意义．
3．了解复数模的意义. 通过本节的学习，培养学生从数量与数量、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征的素养.
必备知识　探新知
知识点1　复平面
知识点2　复数的几何意义
知识点3　复数的模
②几何角度理解：表示复数的点Z到原点的距离．|z1－z2|表示复数z1，z2对应的点之间的距离．
模
知识点4　共轭复数
注意：对共轭复数模的两点说明
①在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等；
②任意一个实数的共轭复数仍是它本身．
相等
相反数
a－bi
关键能力　攻重难
●题型一　复数与复平面内点的关系
1.当实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m2－5m＋6)＋(m2－3m＋2)i的点分别满足下列条件：
(1)与原点重合；
(2)位于直线y＝2x上；
(3)位于第一象限或者第三象限．
【分析】(1)(2)(3)根据复数的几何意义，结合表示的点所处位置，列出相应的方程或不等式，即可求得答案．
(2)当m2－3m＋2＝2(m2－5m＋6)时，表示复数z＝(m2－5m＋6)＋(m2－3m＋2)i的点位于直线y＝2x上，解得m＝2或m＝5.
解集为 ，故m<1或m>3.　　
[归纳提升]
归纳提升：
1．复数与复平面内点的对应关系的实质：复数的实部就是其对应点的横坐标，复数的虚部就是其对应点的纵坐标．
2．已知复数在复平面内对应点满足的条件求参数值(或取值范围)时，可根据复数与点的对应关系，找到复数实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求得参数值(或取值范围)．
〉对点训练1
(1)复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)复数z＝(3m－2)＋(m－1)i(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】　(1)C　(2)B
【解析】　(1)z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限.
●题型二　复数与复平面内向量的关系
2.(1)在复平面内，复数10＋7i，－6＋i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)
A．4＋8i B．16＋6i
C．2＋4i D．8＋3i
(2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i.
②判定△ABC的形状．
【分析】　根据复数与点、复数与向量的关系求解．
【答案】　(1)C　(2)见解析
【解析】　(1)两个复数对应的点分别为A(10，7)，B(－6，1)，则C(2，4)．故其对应的复数为2＋4i.
(2)①由复数的几何意义知：
所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
[归纳提升]
归纳提升：
2．复平面内向量对应的复数可通过向量的坐标运算求得．
3．一个向量不管怎样平移，它所对应的复数是不变的，但其起点与终点对应的复数可能改变．
〉对点训练2
A．－1－2i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
【答案】　(1)A　(2)－6－8i
●题型三　复数的模
(2)已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
【分析】　(1)根据求模公式进行计算；
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a，b.
所以|z1|>|z2|.
即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，∴|z|＝17.
代入z＝2－|z|＋8i得z＝－15＋8i.
[归纳提升]
归纳提升：
(1)复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小．
〉对点训练3
课堂检测　固双基
1．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是(　　)
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
【答案】B
【解析】在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称．
2．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为(　　)
A．1或3 B．1
C．3 D．2
【答案】　A
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】　A
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】　B
5．已知复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，且z1＋z2＝i，求z1，z2的值．
【解析】　由z1＋z2＝i及|z1|＝|z2|＝1，
设z1＝a＋bi(a，b∈R)，
则z2＝i－z1＝－a＋(1－b)i.第五章　§1　1.2
素养作业　提技能
A　组·素养自测
一、选择题
1．已知复数z在复平面上对应的点为(1，－1)，则(　　)
A．z＝－1＋i B．z＝1＋i
C．z＋i是实数 D．z＋i是纯虚数
【答案】　C
【解析】　∵复数z在复平面上对应的点为(1，－1)，∴z＝1－i.∴z＋i＝1－i＋i＝1，∴z＋i是实数．故选C．
2．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是(　　)
A．[2，4) B．[2，4]
C．(2，4) D．[2，4)
【答案】　A
【解析】　由题意解得－3当m＝－1时，|z|最小＝2，
当m＝1时，|z|最大＝4，
∴|z|∈[2，4)．
3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
【答案】　C
【解析】　复数6＋5i对应的点为A(6，5)，复数－2＋3i对应的点为B(－2，3)．利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2，4)，故点C对应的复数为2＋4i.
4．已知0A．(1，) B．(1，)
C．(1，3) D．(1，5)
【答案】　B
【解析】　|z|2＝a2＋1，∵05．设复数z满足|z－3＋i|＝2，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝2
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝2
C．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
D．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
【答案】　C
【解析】　由复数z满足|z－3＋i|＝2，则|z－(3－i)|＝2，由复数的几何意义可知，复数z在复平面内对应的点(x，y)与复数3－i对应的点(3，－1)之间的距离为2.所以(x－3)2＋(y＋1)2＝4.故选C．
二、填空题
6．i为虚数单位，设复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝_________.
【答案】　－2＋3i
【解析】　∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2，3)．∴z2＝－2＋3i.
7．在复平面内，O是原点，向量对应的复数为5＋3i，与关于y轴对称，则点B对应的复数是_________.
【答案】　－5＋3i
【解析】　设向量对应的复数为a＋bi，(a，b∈R)，对应复平面的坐标为(a，b)，因为向量对应的复数为5＋3i，所以对应复平面的坐标为(5，3)，因为与关于y轴对称，所以a＝－5，b＝3.即向量对应的复数为－5＋3i，因为点O为坐标原点，所以点B对应的复数是－5＋3i.故答案为－5＋3i.
8．已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为_________.
【答案】　|y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|
【解析】　由3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，得x＝3，y＝－4.而|1－5i|＝＝，|x－yi|＝|3＋4i|＝＝5，|y＋2i|＝|－4＋2i|＝＝2.∵2<5<，∴|y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|.
三、解答题
9．已知复数z＝(m2＋m－6)＋(m2＋m－2)i(m∈R)，在复平面内所对应的点为A．
(1)若复数z－2m为纯虚数，求实数m的值；
(2)若点A在第二象限，求实数m的取值范围．
【解析】　(1)由已知，z－2m＝(m2－m－6)＋(m2＋m－2)i.
因为复数z－2m为纯虚数，所以有解得m＝3.
(2)根据复数的几何意义，可知A(m2＋m－6，m2＋m－2)．
因为点A在第二象限，所以解得－3B　组·素养提升
一、选择题
1．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i对应的点在虚轴上，则实数m的值是(　　)
A．－1 B．4
C．－1和4 D．－1和6
【答案】　C
【解析】　由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C．
2．复平面内，向量表示的复数为1＋i，将向右平移一个单位后得到向量，则向量与点A′对应的复数分别为(　　)
A．1＋i，1＋i B．2＋i，2＋i
C．1＋i，2＋i D．2＋i，1＋i
【答案】　C
【解析】　向量向右平移一个单位后起点O′(1，0)，∵＝＋＝＋＝(1，0)＋(1，1)＝(2，1)，∴点A′对应复数2＋i，又＝，∴对应复数为1＋i.故选C．
3．若(a－2)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2＝(　　)
A．0 B．2
C．5 D．1
【答案】　D
【解析】　由题意，得解得
∴a2＋b2＝1.
4．(多选)设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中不正确的是(　　)
A．在复平面内，z对应的点在第一象限
B．z一定不是纯虚数
C．在复平面内，z对应的点在实轴上方
D．z一定是实数
【答案】　ABD
【解析】　∵2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，∴A，B，D错误．故选ABD．
二、填空题
5．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则＝_________.
【答案】　＋4i
【解析】　设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则所以所以＝＋4i.
6．在复平面内，已知O为坐标原点，点Z1，Z2分别对应复数z1＝4＋3i，z2＝2a－3i(a∈R)，若⊥，则a＝_________.
【答案】　
【解析】　因为z1＝4＋3i，z2＝2a－3i(a∈R)，所以＝(4，3)，＝(2a，－3)．因为⊥，所以8a＝9，即a＝.
三、解答题
7．在复平面内，O是原点，向量对应的复数z1＝m＋(4－m2)i，(m∈R)．
(1)若点A位于第四象限，求m的取值范围；
(2)若点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；
(3)若z2＝2cos θ＋(λ＋4sin θ)i，且z1＝z2，求λ的取值范围．
【解析】　(1)由题意z1＝m＋(4－m2)i对应点A位于第四象限，
故解得m>2，即m的取值范围m>2.
(2)点A对应的复数为z1＝m＋(4－m2)i，则关于实轴的对称点B对应的复数为z′＝m－(4－m2)i，
则对应的复数为z′－z1＝m－(4－m2)i－[m＋(4－m2)i]＝－2(4－m2)i.
(3)∵z1＝z2，
∴即λ＝4sin2θ－4sin θ＝42－1，
由－1≤sin θ≤1，可知λ＝42－1∈[－1，8]，故λ的取值范围为[－1，8]．
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