资源简介 10.1.1 两角和与差的余弦1. 经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程,体会向量和三角函数间的关系.2. 能用两角差的余弦公式推出两角和的余弦公式,理解化归思想在三角变换中的作用.3. 能用两角和与差的余弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明.活动一 掌握两角和与差的余弦公式的推导探究1:(1) 设向量a=(cos 75°,sin 75°),b=(cos 15°,sin 15°),则向量a与向量b的夹角θ是多少?(2) 分别用公式a·b=|a|·|b|cos θ及 a·b=x1x2+y1y2计算a·b的值,比较两次计算的结果,你能发现什么?(3) 上述结论能否进行推广?即已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),你能得到什么结论?探究2:如何根据两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式?思考 两角差与两角和的余弦公式的结构特征.活动二 掌握两角和与差的余弦公式的简单应用 例1 利用两角和(差)的余弦公式证明以下诱导公式:(1) cos =sin α;(2) cos =sin α.例2 求cos 105°的值.使用两角和与差的余弦公式时,一定要注意公式中前后的运算符号.求cos 15°,cos 75°的值.活动三 掌握两角和与差的余弦公式的综合应用 例3 已知sin α=,α∈,cos β=-,β是第三象限角,求cos (α-β)的值.在使用公式时,涉及两个角的正余弦值时,一定要注意两个角所在的象限,从而在使用同角的平方关系时,确定开方后的符号.已知sin α=,且α是第二象限角,则cos (-α)=________.例4 (2023淮安期末)已知sin α=,sin (α+β)=,0<β<<α<π.求:(1) cos 的值;(2) cos 的值.了解简单的配角关系,如α=-,2α=(α+β)+(α-β)等,在解决问题时,看清条件中的角和所求角之间的关系,有时要将α+看成整体,而不是看成两角的和.已知α∈,且cos =,求cos α的值.1. (教材改编)cos 121°cos 61°+sin 121°sin 61°的值为( )A. 1 B. - C. D.2. (2024湖南月考)2cos 80°-cos 20°等于( )A. sin 20° B. sin 20° C. -sin 20° D. -sin 20°3. (多选)如图,在平面直角坐标系xOy中,角α,β的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,它们的终边分别与单位圆相交于点A,B,若点A,B的坐标分别为和,则下列结论中正确的是( )A. cos α= B. cos β=C. cos (α+β)=0 D. cos (α-β)=04. (教材改编)若cos (α+β)=,cos (α-β)=,则tan αtan β=________.5. (2024中山月考)已知sin α=-,α∈.(1) 求cos 的值;(2) 若sin (α+β)=-,β∈,求角β的值.10.1.1 两角和与差的余弦【活动方案】探究1:(1) 60°(2) a·b=cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°,|a|=1,|b|=1,则a·b=1×1×cos 60°=cos 60°=cos (75°-15°),所以cos (75°-15°)=cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°.(3) cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β.探究2:cos (α+β)=cos [α-(-β)]=cos αcos (-β)+sin αsin (-β)=cos αcos β-sin αsin β.思考:同名三角函数相乘,符号相反.例1 (1) cos =cos cos α+sin sin α=sin α.(2) cos =cos cos α-sin sin α=sin α.例2 cos 105°=cos (60°+45°)=cos 60°cos 45°-sin 60°sin 45°=×-×=.跟踪训练 cos 15°=cos (45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=.cos 75°=cos (45°+30°)=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°=.例3 因为α∈,β是第三象限角,所以cos α=-=-,sin β=-=-,所以cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-.跟踪训练 因为sin α=,且α是第二象限角,所以cos α=-,所以cos =cos cos α+sin sin α=. 例4 (1) 因为<α<π,所以cos α=-=-,所以cos =cos αcos +sin αsin =-×+×=-.(2) 因为<α<π,所以<α-<,由(1)可得sin ==.因为0<β<<α<π,所以α+β∈,所以cos(α+β)=-=-,所以cos =cos =cos (α+β)·cos +sin (α+β)sin (α-)=-×+×=.跟踪训练 因为α∈,所以-α∈,所以sin =-=-,所以cos α=cos =cos cos (-α)+sin sin=-.【检测反馈】1. C cos 121°cos 61°+sin 121°sin 61°=cos (121°-61°)=cos 60°=.2. C 由题意,得2cos 80°-cos 20°=2cos (60°+20°)-cos 20°=2cos 60°cos 20°-2sin 60°sin 20°-cos 20°=cos 20°-sin 20°-cos 20°=-sin 20°.3. AD 由三角函数定义,得cos α=,sin α=,cos β=-,sin β=,故A正确,B错误;cos (α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-,cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=0,故C错误,D正确.故选AD.4. 由题意,得所以所以tan αtan β==.5. (1) 因为sin2α+cos2α=1,sinα=-<0,α∈,所以α∈,且cos α=,则cos =cos αcos -sin αsin =.(2) 因为α∈,β∈,所以-<α+β<.又sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,sin(α+β)=-,所以-<α+β<0,所以cos (α+β)=,则cos β=cos [(α+β)-α]=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α=×+×=.因为β∈,所以β=. 展开更多...... 收起↑ 资源预览