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10．1.4　两角和与差的三角函数习题课
1. 能用正弦、余弦、正切的和(差)角公式进行三角函数式的求值，化简及恒等式的证明．
2. 体会化归思想的作用．
活动一 化简求值
例1　化简求值：
(1) cos 705°＝________；
(2) sin (－1 560°)cos (－930°)－cos (－1 380°)·sin 1 410°＝________；
(3) ＝________．
在三角表达式中，化简与求值，就是利用三角公式，把题中的三角式化到最简式或化为特殊角的三角函数值．
(1) 计算：＝________；
(2) tan 22°＋tan 23°＋tan 22°tan 23°＝________．
活动二　给值求值　
例2　(1) 若α∈，tan ＝，则sin α＝________；
(2) 已知tan α＋tan β＝－6，tan (α＋β)＝－1，则的值为__________．
对于给值求值问题，从角和函数名称两方面出发，让条件与结论取得联系．
已知sin ＝，cos ＝－，且α－为第二象限角，－β为第三象限角，求tan 的值．
活动三 给值求角
例3　(1) 已知α，β为三角形的两个内角，cos α＝，sin (α＋β)＝，则β＝________；
(2) 已知α与β均为锐角，且(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β＝________．
给值求角时，先看角的范围，再求出这个角的恰当的三角函数值，从而问题得以解决．
已知在△ABC中，tan A＝，tan B＝，则 C＝________．
活动四 公式在三角形中的应用　　
例4　在△ABC中，已知sin B cos A＝3sin A cos B，且cos C＝，求角A的大小．
从给出的条件和所求的式子的特征(角和函数名称)入手，选择适合的公式去解决问题．
已知在锐角三角形ABC中，sin (A＋B)＝，sin (A－B)＝.求证：tan A＝2tan B.
1. (2024新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)等于(　　)
A. －3m B. － C. D. 3m
2. (2023朝阳一中期中)已知函数f(x)＝sin x－cos x的定义域为[a，b]，值域为[－1，2]，则b－a的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)下列化简结果中，正确的是(　　)
A. cos 22°sin 52°－sin 22°cos 52°＝－ B. ＝
C. sin －cos ＝－ D. sin 105°＝
4. (教材改编)若角α，β满足α－β＝，且cos 2β－cos 2α＝，则sin (α＋β)＝________．
5. 在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，已知sin ＝2cos A.
(1) 求角A的大小；
(2) 若B∈，且cos (A－B)＝，求sin B的值．
10．1.4　两角和与差的三角函数习题课
【活动方案】
例1　(1) 　cos 705°＝cos (－15°)＝cos 15°＝cos (45°－30°)＝×＋×＝.
(2) 1　原式＝sin (－120°)cos 150°－cos 60°sin (－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝sin 90°＝1.
(3) 　原式＝＝＝.
跟踪训练　(1) 　　原式＝＝
＝2cos ＝.
(2) 1　原式＝tan (22°＋23°)(1－tan 22°·tan 23°)＋tan 22°tan 23°＝1.　
例2　(1) 　tan α＝tan ＝＝－.因为α∈，所以sin α＝.　
(2) 　由tan (α＋β)＝＝－1，代入tan α＋tan β＝－6，解得tan αtan β＝－5，所以＝＝＝＝.
跟踪训练　由题意，得cos ＝－，sin (－β)＝－，
所以tan ＝－，tan ＝，
所以tan ＝tan ＝＝－.
例3　(1) 　在三角形中，因为cos α＝，所以sin α＝.因为sin (α＋β)＝，所以cos (α＋β)＝±，所以sin β＝或sin β＝－(舍去).又<，所以β<α，所以β＝.
(2) 　因为(tan α－1)(tan β－1)＝2，所以tan αtan β－(tan α＋tan β)＝1，即 tan αtan β－1＝tan α＋tan β，所以tan (α＋β)＝＝－1.又α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
跟踪训练　　由题意，得tan C＝tan [π－(A＋B)]＝－tan (A＋B)＝－＝－＝－1，因为C为△ABC的内角，所以C＝.
例4　由题意，得sin (A＋B)＝4sin A cos B，
sin (B－A)＝2sin A cos B.
由cos C＝，得sin C＝，
所以sin (A＋B)＝，
所以sin A cos B＝，
所以sin (B－A)＝＝cos C，
所以B－A＋C＝.
又因为A＋B＋C＝π，所以A＝.
跟踪训练　因为sin (A＋B)＝，sin (A－B)＝，
所以sin A cos B＋cos A sin B＝，
sin A cos B－cos A sin B＝，
整理，得sin A cos B＝，cos A sin B＝，
所以tan A＝2tan B.
【检测反馈】
1. A　因为cos (α＋β)＝m，所以cos αcos β－sin αsin β＝m.又tan αtan β＝＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，则cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，从而sin αsin β＝－2m，故cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m.
2. D　f(x)＝sin x－cos x＝2sin (x－)，由－1≤f(x)≤2，得－≤sin ≤1，得2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以(b－a)max＝2kπ＋－2kπ＝(k∈Z)，(b－a)min＝＝(k∈Z)，所以b－a的取值范围是.
3. BCD　对于A，cos 22°sin 52°－sin 22°cos 52°＝sin (52°－22°)＝sin 30°＝，故A错误；对于B，＝tan (24°＋36°)＝tan 60°＝，故B正确；对于C，sin －cos ＝2(sin －cos )＝2(cos sin －sin cos )＝2sin (－)＝2sin ＝－2sin ＝－，故C正确；对于D，sin 105°＝sin (60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝×＋×＝，故D正确．故选BCD.
4. 　因为cos 2β＝cos [(β＋α)＋(β－α)]＝cos (β＋α)cos (β－α)－sin (β＋α)sin (β－α)，cos 2α＝cos [(β＋α)－(β－α)]＝cos (β＋α)cos (β－α)＋sin (β＋α)sin (β－α)，所以cos 2β－cos 2α＝－2sin (α＋β)sin (β－α)＝.又α－β＝，可得sin (β－α)＝sin ＝－，所以sin (α＋β)＝.
5. (1) 因为sin ＝2cos A，
所以sin A＋cos A＝2cos A，
即sin A＝cos A.
因为A∈(0，π)，且cos A≠0，
所以tan A＝，所以A＝.
(2) 因为B∈，
所以A－B＝－B∈.
因为cos (A－B)＝，
所以sin (A－B)＝，
所以sin B＝sin [A－(A－B)]＝sin A cos (A－B)－cos A sin (A－B)＝.

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