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10．3　几个三角恒等式
1. 通过积化和差公式与和差化积公式的推导，经历数学探索和发现的过程，激发数学发现的欲望和信心．
2. 提高三角恒等变换的能力．
活动一 积化和差与和差化积公式
思考1
你有哪些方法计算sin cos 的值？
思考2
你能将sin αcos β用α＋β和α－β的三角函数值表示吗？
思考3
cosαsinβ呢？cos αcos β呢？sin αsin β呢？
思考4
分别用和替换α和β，得到什么公式？
例1　求下列各式的值：
(1) sin 37.5°cos 7.5°；
(2) sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.
利用积化和差公式，将代数式中的角化为特殊角，从而求出它的值．
sin220°＋cos280°＋sin20°cos 80°＝________．
例2　已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin (α＋β)的值．
根据题干中的特征，利用和差化积公式，先求出tan 的值，再求出α＋β的三角函数值．
已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，求tan (α＋β)的值．
活动二　万能公式　
思考5
你能用tan 表示sin θ，cos θ，tan θ吗？
例3　已知cos θ＝－，并且180°＜θ＜270°，求tan 的值．
　　
已知倍角的三角函数值，求单角的三角函数值，应该想到倍角公式(万能公式也是倍角公式)，通过解方程解决，也可以用tan ＝＝＝＝去解决．
已知α∈，tan α＝2，则sin2(－α)－2cos2α＋1＝________．
活动三　半角公式　
思考6
复习回顾二倍角的余弦公式，你能将的三角函数用α的三角函数来表示吗？
例4　已知sin(α＋β)＝－，cos β＝，<α<π，0<β<，求sin ，cos 和tan 的值．
利用条件先求出cos α的值，再利用二倍角公式的变形公式sin2＝，cos2＝去解决．总之，要灵活使用公式．
已知α，β∈，且α<β，若sin α＝，cos (α－β)＝，求：
(1) cos β的值；
(2) tan 的值．
1. (2023新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin 的值为(　　)
A. B. C. D.
2. (教材改编)已知sin x cos y＋cos x sin y＝，cos 2x－cos 2y＝，则sin (x－y)的值为(　　)
A. B. C. － D. －
3. (多选)(教材改编)下列各式中，一定正确的是(　　)
A. sin 3α－sin 5α＝2sin 4αcos α B. tan ＝
C. cos 2αcos 4α＝(cos 6α＋cos 2α) D. tan 4α＝
4．已知sin －cos ＝－，450°<α<540°，则tan ＝________．
5. 已知cos (α＋β)cos β＋sin (α＋β)sin β＝，α∈，求sin 2α和cos 的值．
10．3　几个三角恒等式
【活动方案】
思考1：方法一：
sin cos ＝sin cos
＝×××＝.
方法二：
sin cos ＝sin cos ＝sin2＝＝.
方法三：
sin cos ＝sin cos ＝cos2＝＝.
思考2：sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)].
思考3：cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]，
cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]，
sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)].
思考4：和差化积公式
sin α＋sin β＝2sin cos ，
sin α－sin β＝2cos sin ，
cos α＋cos β＝2cos cos ，
cos α－cos β＝－2sin sin .
例1　(1) 原式＝sin ·cos ＝(sin 45°＋sin 30°)＝.
(2) 原式＝[sin 90°＋sin (－50°)]－[cos 60°－cos (－40°)]＝－sin 50°－＋cos 40°＝.
跟踪训练　　原式＝＋＋(sin 100°－sin 60°)＝1＋(cos 160°－cos 40°)＋(sin 100°－sin 60°)＝1＋×(－2)×sin 100°·sin 60°＋sin 100°－＝1－sin 100°＋sin 100°－＝.
例2　因为cos α－cos β＝，
所以－2sin sin ＝.
因为sin α－sin β＝－，
所以2cos sin ＝－.
因为sin ≠0，
所以tan ＝，
所以sin (α＋β)＝2sin cos ＝＝.
跟踪训练　由sinα＋sin β＝，
cos α＋cos β＝，
得2sin cos ＝，
2cos cos ＝.
因为cos ≠0，所以两式相除得tan ＝3，
所以tan (α＋β)＝tan ＝＝－.
思考5：sinθ＝，cos θ＝，
tan θ＝.
例3　由cos θ＝＝－，解得tan2＝4.
因为θ∈(180°，270°)，所以∈(90°，135°)，
所以tan＝－2.
跟踪训练　　因为α∈，所以2α∈.因为tan α＝2，所以sin 2α＝＝，cos2α＝＝＝－，sin2(－α)－2cos2α＋1＝－cos 2α＝－cos 2α＝－＝.
思考6：sin ＝±，
cos ＝±，
tan ＝＝＝±.
例4　因为α∈，β∈，
所以α＋β∈，∈，
所以cos (α＋β)＝－，sin β＝，
所以cos α＝cos [(α＋β)－β]＝－，即α＝，
所以sin ＝，cos ＝，tan ＝.
跟踪训练　(1) 因为α，β∈，sin α＝，
所以cos α＝.
因为α<β，所以α－β∈.
又cos (α－β)＝，所以sin (α－β)＝－，
所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝×－×＝.
(2) 因为cos β＝，所以sin β＝，
所以tan ＝＝＝.
【检测反馈】
1. D　因为cos α＝1－2sin2＝，且α为锐角，所以sin＝＝＝.
2. D　因为sin x cos y＋cos x sin y＝sin (x＋y)＝，所以cos 2x－cos 2y＝cos [(x＋y)＋(x－y)]－cos [(x＋y)－(x－y)]＝－2sin (x＋y)sin (x－y)＝－sin (x－y)＝，可得sin (x－y)＝－.
3. BC　由和差化积公式sin α－sin β＝2cos sin ，得sin 3α－sin 5α＝2cos 4αsin (－α)＝－2cos 4αsin α，故A错误；根据半角公式tan ＝，得tan ＝，故B正确；由积化和差公式cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]，得cos 2αcos 4α＝(cos 6α＋cos 2α)，故C正确；当α＝时，等式左边有意义，右边无意义，故D错误．故选BC.
4. 2　因为sin －cos ＝－，所以(sin －cos )2＝1－2sin cos ＝，所以2sin cos ＝sin α＝.又450°<α<540°，所以cos α＝－，所以tan ＝＝＝2.
5. 因为cos (α＋β)cos β＋sin (α＋β)sin β＝cos [(α＋β)－β]＝cos α＝，α∈，
所以sin α＝－＝－，
所以sin2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
因为α∈，所以∈，
所以cos <0，
所以cos ＝－＝－＝－.

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