资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题6.2.2 反比例函数的图象和性质（二）六大题型（一课一讲）
（内容：反比例函数的性质以及应用）
【浙教版】
题型一：比较反比例函数的值或自变量的大小
【经典例题1】（24-25八年级下·全国·课后作业）若和是反比例函数的图像上两个点的坐标，且，则与的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．不能确定
【变式训练1-1】（24-25八年级下·全国·期末）已知点都在反比例函数的图像上，则之间的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】（24-25八年级下·全国·单元测试）点都在反比例函数的图像上，并且，下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】（24-25八年级下·福建泉州·期中）已知点，，在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】（2025·浙江杭州·一模）函数图象上有两点（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式训练1-5】（2025·浙江杭州·一模）反比例函数的图象上有，，三点，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式训练1-6】（2025·浙江宁波·一模）已知 是反比例函数 图象上的三个点，若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型二：已知比例系数求特殊图像面积
【经典例题2（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）点在反比例函数图象上的位置如图所示，分别过这三个点作轴、轴的平行线．图中所构成的3个阴影部分矩形面积从左到右依次记为，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点A、B、C在反比例函数的图像上，过这三点分别向x轴作垂线，垂足分别为、、，则的面积之间的关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，其中、在轴上，则的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练2-3】（2025·广西桂林·一模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，将正比例函数的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，连接，则四边形的面积为（ ）
A．5 B． C． D．3
【变式训练2-4】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，点A、B在反比例函数的图像上，过点A、B分别向x轴、y轴作垂线段，已知阴影部分的面积等于1，则 ．
【变式训练2-5】（2025·安徽芜湖·一模）如图，点均在反比例函数图象上，横轴上垂足分别为，若、是的三等分点，则图中阴影部分的面积为 ．

【变式训练2-6】（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，连接，，过作轴于点，交于点，设点的横坐标为．若，则的值是 ．
题型三：根据图像面积求比例系数
【经典例题3】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，一次函数与反比例函数的图像交于两点，过点作轴，垂足为．已知的面积，则等于（ ）．
A． B．2 C．4 D．
【变式训练3-1】（24-25九年级下·重庆长寿·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，反比例函数的图像经过顶点A，若，，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【变式训练3-2】（2025·安徽合肥·二模）如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点．与反比例函数的图象在第一象限内交于点，过点作轴，轴．垂足分别为点，．当矩形的面积是的面积的2倍时，的值为 ．
【变式训练3-3】（2025·浙江舟山·一模）如图，点B，C在反比例函数的图象上，点A在x轴上，连结交y轴于点E，延长交x轴于点D．已知点，且，．若△ABC面积为10，则k的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式训练3-4】（2025·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，△ABC是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数（，）的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为，则的值为（ ）
A． B． C．6 D．
【变式训练3-5】（2025·山西临汾·一模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线交轴于点，交反比例函数的图象于点，过点作轴的平行线交轴于点，交的延长线于点，若，则的值为 ．
【变式训练3-6】（2025·安徽·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点作坐标轴的平行线分别交反比例函数的图像于，两点，连接，，．若阴影部分的面积为8，则的值为 ．
题型四：求反比例函数解析式
【经典例题4】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于点，一次函数的图像与y轴的交点为C．
(1)求反比例函数表达式和一次函数表达式；
(2)当x取何值时，？
(3)求的面积．
【变式训练4-1】（24-25八年级下·重庆万州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与x轴相交于点C．
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接，求的面积；
(3)根据图象直接写出当时，x的取值范围．
【变式训练4-2】（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．
(1)反比例函数 达式为_________，一次函数的表达式为________；
(2)求的面积；
(3)当时．根据图象直接写出的取值范围．
【变式训练4-3】（24-25九年级下·江西九江·期中）如图，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限内交于点，且与x轴、y轴分别交于B，C两点，已知．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若有一点P在x轴上，且的面积等于5，求点P的坐标．
【变式训练4-4】（2025·湖北·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，．
(1)求一次函数的解析式及n的值；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值都小于一次函数的值，直接写出的取值范围．
【变式训练4-5】（2025·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于P，Q两点，且点P的纵坐标为3，点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)请直接写出关于x的不等式的解集；
(3)若点M在x轴上，且的面积是的面积的3倍，求点的坐标．
题型五：反比例函数性质综合（选择题）
【经典例题5】（24-25八年级下·全国·课后作业）对于反比例函数，下列说法中，正确的是（ ）
A．点在它的图像上 B．它的图像经过原点
C．它的图像在第二、四象限 D．当时，y随x的增大而减小
【变式训练5-1】（2025·上海奉贤·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（ ）
A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大
C．图像不经过第二象限 D．图像不经过第四象限
【变式训练5-2】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）下列关于反比例函的图象与性质的说法中，正确的是（　　）
A．图象关于轴对称 B．当时，随的增大而减少
C．图象位于第二、四象限 D．当时，则
【变式训练5-3】（2025·江西·模拟预测）有下列三个判断，其中正确的是（ ）
①点是原点，射线分别交反比例函数与的图象于点，点，则．
②点在双曲线上．
③双曲线的两支在所在象限内，随的增大而减小．
A．①② B．②③ C．① D．③
【变式训练5-4】（2025·山西阳泉·二模）已知反比例函数，下列关于它的图象和性质的描述正确的是（ ）
A．图象位于第二、四象限 B．图象经过点
C．图象越来越靠近坐标轴，最终相交 D．y随x的增大而减小
【变式训练5-5】（24-25九年级下·山西朔州·期中）点，，在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．图象分别位于第一、第三象限
【变式训练5-6】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）设是反比例函数图象上的任意四点，现有以下结论不正确的是（ ）
A．四边形可以是平行四边形 B．四边形可能是矩形
C．四边形可能是菱形 D．四边形不可能是正方形
题型六：反比例函数与几何综合
【经典例题6】（2025·河南周口·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点P，若，求平移距离d．
【变式训练6-1】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，已知，一个反比例函数的图像经过点．
(1)求点的坐标和该反比例函数的表达式．
(2)将向上平移个单位长度，再向右也平移个单位长度，得到，若此时点恰好落在反比例函数的图像上，求满足的表达式．
(3)若将沿直线翻折，得到，则点是否在反比例函数的图像上？为什么？
【变式训练6-2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在矩形中，边在x轴上，E是对角线的中点，函数的图像经过点A、E，点E的纵坐标为m．
(1)求点A的纵坐标（用m表示）：
(2)当时，求m的值．
【变式训练6-3】（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中放置一块角的三角板，，A，B两点分别落在x轴和y轴上，直线的解析式为，右侧有一条直线且过的中点．
(1)求点C的坐标；
(2)用尺规作出直线l（保留作图痕迹，不写作法）；
(3)若直线l与边交于点D，双曲线经过点D，求出k的值．
【变式训练6-4】（2025·四川绵阳·二模）如图，在矩形中，，，反比例函数的图象与矩形两边，分别交于点E，F．
(1)若E是的中点，求反比例函数的解析式；
(2)若，将沿直线对折，点B落在x轴上的点D处，求点D的坐标．
【变式训练6-5】（2025·湖北鄂州·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求的值和反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出当时，不等式的解集；
(3)在反比例函数图象的第一象限上点右边有一动点，当时，直接写出点纵坐标的取值范围．
【变式训练6-6】（2025·贵州·一模）如图，将等腰直角三角形的一条直角边放在轴上，点，斜边与反比例函数交于点．
(1)求的值；
(2)若在该反比例函数上有一点，过作轴的平行线，分别交于点．当时，求点的坐标．
【变式训练6-7】（2025·湖北襄阳·一模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)设直线交轴于点，点是正半轴上的一个动点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，．若，直接写出的取值范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题6.2.2 反比例函数的图象和性质（二）六大题型（一课一讲）
（内容：反比例函数的性质以及应用）
【浙教版】
题型一：比较反比例函数的值或自变量的大小
【经典例题1】（24-25八年级下·全国·课后作业）若和是反比例函数的图像上两个点的坐标，且，则与的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．不能确定
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，根据反比例函数的图像与性质判断即可，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键．
【详解】∵中，，
∴在每一个象限，随的增大而减小，
当时，；
当时，，
当时，，
∴与的大小关系不能确定，
故选：．
【变式训练1-1】（24-25八年级下·全国·期末）已知点都在反比例函数的图像上，则之间的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键．根据题意易得反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，由此问题可求解．
【详解】解：∵，
∴该函数图像在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点都在反比例函数的图像上，，
∴．
故选：D．
【变式训练1-2】（24-25八年级下·全国·单元测试）点都在反比例函数的图像上，并且，下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是反比例函数图象性质，熟练掌握反比例函数图象性质是解答此题的关键．先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论．
【详解】解：反比例函数中，
函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大．
∵，
点在第二象限，B、点在第四象限，
∴，，
．
故选：B．
【变式训练1-3】（24-25八年级下·福建泉州·期中）已知点，，在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查的是反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据，得出在每个象限内，y随x的增大而增大，根据，得出，再进行比较即可．
【详解】解：∵，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点，，在函数的图象上，且，
∴，
即，
故选：C．
【变式训练1-4】（2025·浙江杭州·一模）函数图象上有两点（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
据此对每个选项进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，且在每一个象限内，y随着x的增大而增大，
A、时，则，则在第二象限，
∵y随着x的增大而增大，
∴，故A错误，不符合题意；
B、可举反例，若，则，则在第二象限，
∵y随着x的增大而增大，
∴，故B错误，不符合题意；
C、可举反例，若，则，则在第四象限，
∵y随着x的增大而增大，
∴，故C错误，不符合题意；
D、若，则，则在第四象限，
∵y随着x的增大而增大，
∴，故D错误，符合题意；
故选：D．
【变式训练1-5】（2025·浙江杭州·一模）反比例函数的图象上有，，三点，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据反比例函数的图象上有，，三点，计算如下：，，，于是，结合性质和m的符号分类解答即可．
本题考查了反比例函数的性质，有理数的大小比较，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：根据反比例函数的图象上有，，三点，得：，，，
故，
当或时，无法比较；
当时，，得根据分子相同，分母大的反而小，
得；
当时，，根据分子相同，分母大的反而小，
得，
故
故；
故选：D．
【变式训练1-6】（2025·浙江宁波·一模）已知 是反比例函数 图象上的三个点，若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．注意是在每个象限内，随的增大而减小．不能直接根据的大小关系确定的大小关系．
先判断出函数图象在二，四象限，在每个象限内，随的增大而增大，再根据，判断出的大小．
【详解】解：∵反比例函数中，，
∴该反比例函数的图象在第二，四象限，在这两个象限内，随的增大而增大，
又 ∵，
，
故选：D．
题型二：已知比例系数求特殊图像面积
【经典例题2（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）点在反比例函数图象上的位置如图所示，分别过这三个点作轴、轴的平行线．图中所构成的3个阴影部分矩形面积从左到右依次记为，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的系数的几何意义，掌握以上性质是解题的关键．
利用反比例函数系数的几何意义，及求解，然后利用列方程求解即可得到答案．
【详解】解：由题意知：矩形的面积，
，
，
同理：矩形，矩形的面积都为，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【变式训练2-1】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点A、B、C在反比例函数的图像上，过这三点分别向x轴作垂线，垂足分别为、、，则的面积之间的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】该题考查了反比例函数中k的几何意义，由于A、B、C是反比例函数的图象上的三点，根据反比例函数比例系数k的几何意义，可知图象上的点与原点所连的线段，坐标轴，向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即，是个恒等值，即可得出结果．
【详解】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段，坐标轴，向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即，所以．
故选：A．
【变式训练2-2】（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，其中、在轴上，则的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的几何应用、平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
设点的坐标为，则，，从而可得，再利用平行四边形的面积公式进行计算即可得．
【详解】解：由题意，设点的坐标为，则，
轴，交反比例函数的图象于点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
故选：D．
【变式训练2-3】（2025·广西桂林·一模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，将正比例函数的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，连接，则四边形的面积为（ ）
A．5 B． C． D．3
【答案】B
【分析】本题考查的是一次函数的平移，反比例函数的图象与性质，反比例函数比例系数k的几何意义；先求解反比例函数为：，正比例函数为，直线为，，再进一步求解即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，
∴，，
解得：，
∴反比例函数为：，正比例函数为，
∵将正比例函数的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数的图象交于点，
∴，即，一次函数为，
∴，
解得：，
∴直线为，
当时，，
∴，
如图，过作轴于，作轴于，过作轴于，
∴五边形的面积为，
∴四边形的面积为；
故选：B．
【变式训练2-4】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，点A、B在反比例函数的图像上，过点A、B分别向x轴、y轴作垂线段，已知阴影部分的面积等于1，则 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查反比例函数图像上的点的坐标特征，根据反比例函数图像上点的坐标特征解决此题．
【详解】解：由题意得，，
，
，
，
故答案为：4．
【变式训练2-5】（2025·安徽芜湖·一模）如图，点均在反比例函数图象上，横轴上垂足分别为，若、是的三等分点，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是能设出点的坐标，然后根据、是的三等分点设出、的坐标．
由题意，设，因为、是的三等分点，所以，，再根据，计算即可得出答案．
【详解】解：由题意，设，
、是的三等分点，
，，
，
故答案为：．
【变式训练2-6】（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，连接，，过作轴于点，交于点，设点的横坐标为．若，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象交点问题，对称的性质，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
先求出一次函数解析式为，作于，于，由反比例函数，一次函数都是关于直线对称，则，，，记面积为，则面积为，四边形面积为，和面积都是，面积为，又由对称性可知：，，，，通过性质求出点坐标，然后代入，最后解方程即可．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，且点的横坐标为，
∴点的纵坐标为，即点的坐标为，
令一次函数中，则，
∴，即，
∴一次函数解析式为，
作于，于，如下图所示，
∵反比例函数，一次函数都是关于直线对称，
∴，，，
记面积为，则面积为，四边形面积为，和面积都是，面积为，
∴，
由对称性可知：，，，，
∴，
∴，
∴点坐标，代入直线得，
整理得，
∴或，
∵，
∴，
故答案为：．
题型三：根据图像面积求比例系数
【经典例题3】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，一次函数与反比例函数的图像交于两点，过点作轴，垂足为．已知的面积，则等于（ ）．
A． B．2 C．4 D．
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数，解题的关键是熟知反比例函数中系数的几何意义．
由反比例函数图象的对称性和反比例函数系数的几何意义可得：的面积为面积的 2 倍，．
【详解】解：由题意得：，
则，
∵，
则
故选：A．
【变式训练3-1】（24-25九年级下·重庆长寿·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，反比例函数的图像经过顶点A，若，，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及反比例函数k的几何意义．
过点A作轴于点C，根据等腰三角形的性质以及反比例函数k的几何意义，可得，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点A作轴于点C，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【变式训练3-2】（2025·安徽合肥·二模）如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点．与反比例函数的图象在第一象限内交于点，过点作轴，轴．垂足分别为点，．当矩形的面积是的面积的2倍时，的值为 ．
【答案】
【分析】分别求出矩形与的面积，再根据“矩形的面积是的面积的2倍”列出方程求解即可．
【详解】解：∵一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，
∴取，则；取，则，解得：．
∴点的坐标为，点的坐标为，
∵，
∴，，
，
∵点是反比例函数的图象在第一象限内一点，
∴矩形的面积为，
当矩形的面积是的面积的2倍时，，
解得：（舍去）或．
故答案为：．
【变式训练3-3】（2025·浙江舟山·一模）如图，点B，C在反比例函数的图象上，点A在x轴上，连结交y轴于点E，延长交x轴于点D．已知点，且，．若△ABC面积为10，则k的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线的性质，熟练掌握以上知识点是关键．如图，连接、，由题意得，是的中位线，则，可得，再根据反比例函数值的几何意义解答即可．
【详解】解：如图，连接、，
∵，面积为10，
∴，
∵，．
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【变式训练3-4】（2025·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，△ABC是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数（，）的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为，则的值为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
作轴于点，轴于点，可证明，得到，设，得到，设直线的函数解析式为，求出直线的函数解析式为，得到，，求出，得到，即可得到答案．
【详解】解∶如图，作轴于点，轴于点，
，
，
，
，
，
，
，
点、点在函数（，）的图象上，
设，
，
，
，，
，
，
，
设直线的函数解析式为，
将代入得
解得，
直线的函数解析式为，
，
，
，
，
解得或，
经检验或是原方程的解，
当时轴，点在轴上，不符合题意，舍去，
，
，
故选：C．
【变式训练3-5】（2025·山西临汾·一模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线交轴于点，交反比例函数的图象于点，过点作轴的平行线交轴于点，交的延长线于点，若，则的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握k的几何意义是解题的关键；根据k的几何意义求出，进而求出，再根据k的几何意义即可得解．
【详解】解：由题意知：四边形是矩形，
点在的图象上，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：4．
【变式训练3-6】（2025·安徽·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点作坐标轴的平行线分别交反比例函数的图像于，两点，连接，，．若阴影部分的面积为8，则的值为 ．
【答案】14
【分析】本题主要考查了反比例函数的k的几何意义，
延长，分别交轴、轴于点，，过点作轴于点，过点作轴于点，先根据，再结合阴影部分的面积为，可得，求出解即可.
【详解】解：如图，延长，分别交轴、轴于点，，过点作轴于点，过点作轴于点．
∵，
∴.
∵阴影部分的面积为，
∴，
解得．
故答案为：14．
题型四：求反比例函数解析式
【经典例题4】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于点，一次函数的图像与y轴的交点为C．
(1)求反比例函数表达式和一次函数表达式；
(2)当x取何值时，？
(3)求的面积．
【答案】(1)，；(2)或．(3)
【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求解析式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
（1）由反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，首先求得反比例函数表达式，继而求得点的坐标，然后由待定系数法即可求得一次函数表达式；
（2）观察图象，即可求得当取何值时；
（3）首先求得点的坐标，继而求得的面积．
【详解】（1）解：将点代入反比例函数得：，
解得：，
∴反比例函数表达式为：；
将代入反比例函数得：，
∴点的坐标为：，
将点与代入一次函数得：，
解得：，
∴一次函数表达式为：；
（2）解：如图，当或时，；
（3）解：∵点是一次函数与轴的交点，
，
．
【变式训练4-1】（24-25八年级下·重庆万州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与x轴相交于点C．
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接，求的面积；
(3)根据图象直接写出当时，x的取值范围．
【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为
(2)6(3)或
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法，根据图形直观得出不等式的解集是数形结合数学的实际应用．
（1）把代入，可求出反比例函数的关系式，求出点B坐标，进而确定一次函数关系式；
（2）先求得点C的坐标，利用即可求解；
（3）根据两个函数的交点坐标，结合图象直观得出答案．
【详解】（1）解：把代入，
得：，
∴反比例函数的解析式为，
把点代入，
得：，
∴．
把，代入，可得，
，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：如图：
令，则，
∴，
∵
；
（3）当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，
∴当时，或．
【变式训练4-2】（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．
(1)反比例函数 达式为_________，一次函数的表达式为________；
(2)求的面积；
(3)当时．根据图象直接写出的取值范围．
【答案】(1)；(2)(3)或
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解含义解析式，坐标与图形面积，利用函数图象解不等式；熟练的利用数形结合的思想解题是关键．
（1）将A点坐标代入反比例函数可得反比例函数解析式，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）令直线与x轴的交点为M．由，再计算即可；
（3）直接利用函数图象解答即可．
【详解】（1）解：将代入反比例函数得，．
∴反比例函数的解析式为．
将、两点坐标代入一次函数解析式得，
，解得．
∴一次函数解析式为．
故答案为：；．
（2）解：将代入一次函数解析式得，
即点的坐标为．
∴，，
故．
（3）解：由函数图象可知，当时，x的取值范围是：或．
【变式训练4-3】（24-25九年级下·江西九江·期中）如图，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限内交于点，且与x轴、y轴分别交于B，C两点，已知．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若有一点P在x轴上，且的面积等于5，求点P的坐标．
【答案】(1)，(2)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：待定系数法，三角形的面积的计算方法，求出点B坐标是解本题的关键．
（1）由一次函数与轴、轴分别交于B，C两点，得到，得到，把两函数的交点A的坐标分别代入，可得到两函数解析式；
（2）设点的坐标为，利用三角形面积公式得到，然后求出t得到P点坐标．
【详解】（1）解：一次函数与轴、轴分别交于B，C两点，
当；
当，
解得：，
．
，
∴，
解得：（舍负），
∴，
一次函数的解析式为；
点在一次函数上，
∴，
点．
把点代入，得，
反比例函数的解析式为；
（2）解：设点的坐标为．
当时，，解得，则点．
的面积等于5，
，
解得或，
点的坐标为或．
【变式训练4-4】（2025·湖北·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，．
(1)求一次函数的解析式及n的值；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值都小于一次函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握函数图象法和待定系数法是解题关键．
（1）先将点代入可得反比例函数的解析式，再点代入反比例函数的解析式可得的值，然后利用待定系数法求解即可得；
（2）先求出反比例函数的图象经过点，一次函数的图象必经过点，再分两种情况：①和②，结合函数图象求解即可得．
【详解】（1）解：将点代入反比例函数得：，
∴，
将点代入得：，
∴，
将点，代入得：，解得，
∴一次函数的解析式．
（2）解：由（1）已得：反比例函数的解析式为，
当时，，
即反比例函数的图象经过点，
将代入一次函数得：，
∴一次函数的图象必经过点，
①如图，当时，
此时，当时，对于的每一个值，函数的值都大于一次函数的值，不符合题意；
②如图，当时，
将点代入一次函数得：，解得，
结合函数图象可知，当时，对于的每一个值，函数的值都小于一次函数的值，则；
综上，的取值范围为．
【变式训练4-5】（2025·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于P，Q两点，且点P的纵坐标为3，点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)请直接写出关于x的不等式的解集；
(3)若点M在x轴上，且的面积是的面积的3倍，求点的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为(2)或
(3)点的坐标为或
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标．
（1）利用待定系数法求出，再求得点P的坐标为，利用待定系数法即可解决问题；
（2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可解决问题；
（3）根据，求出的面积，再根据的面积是面积的一半，构建方程求得的长，即可解决问题．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
∵点P的纵坐标为3，且点P也在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴点P的坐标为，
∵一次函数的图象经过点，，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：观察图象，不等式的解集为：或；
（3）解：令，，
∴点的坐标为，
∴，
由题意得，即，
∴，
∴点的坐标为或．
题型五：反比例函数性质综合（选择题）
【经典例题5】（24-25八年级下·全国·课后作业）对于反比例函数，下列说法中，正确的是（ ）
A．点在它的图像上 B．它的图像经过原点
C．它的图像在第二、四象限 D．当时，y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，根据反比例函数的图像和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，故点不在它的图像上；故A选项错误；
∵，
∴它的图像不经过原点；故B选项错误；
∵，
∴图像过一，三象限，当时，y随x的增大而减小；故C选项错误，D选项正确；
故选D．
【变式训练5-1】（2025·上海奉贤·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（ ）
A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大
C．图像不经过第二象限 D．图像不经过第四象限
【答案】C
【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质、描点法等知识点，掌握相关知识是解答本题的关键．
根据题意得到，那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，即可判断A、B，再结合反比例函数性质得到经过的象限即可判断C、D．
【详解】解：，，
即，
那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，故A、B选项错误，不符合题意；
图像不经过第二象限，经过第四象限，
故C正确，符合题意；D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【变式训练5-2】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）下列关于反比例函的图象与性质的说法中，正确的是（　　）
A．图象关于轴对称 B．当时，随的增大而减少
C．图象位于第二、四象限 D．当时，则
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：A、反比例函数图象关于原点对称，故选项不符合题意；
B、C、∵，
∴图象在二、四象限，
∴当时，随的增大而增大，故B选项不符合题意，C选项符合题意；
D、当时，需分情况讨论：
当，，
当时，，
∴当时，不一定小于，故D选项不符合题意；
故选：C．
【变式训练5-3】（2025·江西·模拟预测）有下列三个判断，其中正确的是（ ）
①点是原点，射线分别交反比例函数与的图象于点，点，则．
②点在双曲线上．
③双曲线的两支在所在象限内，随的增大而减小．
A．①② B．②③ C．① D．③
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数图象与其系数的关系，系数符号相同的两个反比例函数，在同一个象限内，系数绝对值大的函数图象在另一个函数的图象上方，据此可判断①；根据反比例函数自变量不为0可判断②；根据增减性与系数的关系可判断③．
【详解】解：∵，
∴在第二象限时反比例的函数图象在反比例函数的图象的下方，在第四象限时反比例的函数图象在反比例函数的图象的上方，
∵点是原点，射线分别交反比例函数与的图象于点，点，
∴，故①错误；
∵反比例函数的自变量不为0，
∴点不在双曲线上，故②错误；
∵，
∴双曲线的两支在所在象限内，随的增大而减小，故③正确；
故选：D．
【变式训练5-4】（2025·山西阳泉·二模）已知反比例函数，下列关于它的图象和性质的描述正确的是（ ）
A．图象位于第二、四象限 B．图象经过点
C．图象越来越靠近坐标轴，最终相交 D．y随x的增大而减小
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，增减性，根据解析式可得经过的象限和增减性可判断A、B、D；再根据反比例函数自变量不为0，可知函数与坐标轴不会相交可判断C．
【详解】解；∵反比例函数解析式为，，
∴反比例函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，且图象越来越靠近坐标轴，但不会相交，
在中，当时，，则图象经过点，
∴四个选项中只有B选项正确，符合题意，
故选：B．
【变式训练5-5】（24-25九年级下·山西朔州·期中）点，，在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．图象分别位于第一、第三象限
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质是关键．
根据题意，把代入反比例函数解析式可得反比例函数解析式为，由此得到反比例函数图象经过第二、四象限，每个象限，随的增大而增大，反比例函数图象关于原点对称，由此即可求解．
【详解】解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
解得，，
∴反比例函数解析式为，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，每个象限，随的增大而增大，故D选项错误，不符合题意；
∴，故A选项错误，不符合题意；
当时，；当时，；故B选项错误，不符合题意；
∵反比例函数图象关于原点对称，
∴当，则，故C选项正确，符合题意；
故选：C ．
【变式训练5-6】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）设是反比例函数图象上的任意四点，现有以下结论不正确的是（ ）
A．四边形可以是平行四边形 B．四边形可能是矩形
C．四边形可能是菱形 D．四边形不可能是正方形
【答案】C
【分析】本题考查的是平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，反比例函数的对称性，掌握以上知识是解题的关键．
利用反比例函数的对称性，画好图形，结合平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定可以得到结论，特别是对C的判断可以利用反证法．
【详解】解：如图， 反比例函数的图象关于原点成中心对称，
，，
四边形是平行四边形，故A不符合题意，
如图，若四边形是菱形，
则，
，
显然：，
所以四边形不可能是菱形，故C不正确，符合题意，
如图， 反比例函数的图象关于直线成轴对称，
当垂直于对称轴时，
，
，
，
，
四边形是矩形，故B不符合题意，
四边形不可能是菱形，
四边形不可能是正方形，故D不符合题意，
故选：C．
题型六：反比例函数与几何综合
【经典例题6】（2025·河南周口·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点P，若，求平移距离d．
【答案】(1)，(2)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）先将点代入一次函数，求得一次函数解析式，再求出点，即可求出把比例函数解析式；
（2）作轴交直线于点，根据，即可求．
【详解】（1）解：点在一次函数的图象上，
，
，
∴一次函数的表达式为；
点在直线上，
，
．
，
把代入得，
解得：，
反比例函数的表达式为；
（2）解：作轴交直线于点，
，
，
，
，
．
【变式训练6-1】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，已知，一个反比例函数的图像经过点．
(1)求点的坐标和该反比例函数的表达式．
(2)将向上平移个单位长度，再向右也平移个单位长度，得到，若此时点恰好落在反比例函数的图像上，求满足的表达式．
(3)若将沿直线翻折，得到，则点是否在反比例函数的图像上？为什么？
【答案】(1)，(2)(3)点在反比例函数的图像上，见解析
【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键.
（1）根据平行四边形的性质求出点的坐标，待定系数法求出反比例函数的表达式即可；
（2）求出平移后的点的坐标，根据点恰好落在反比例函数的图像上，列出表示式即可；
（3）根据翻折的性质求出的坐标，判断即可．
【详解】（1）解：∵在中，已知，
∴，
∴轴，
∴，即：，
设反比例函数的解析式为，
∴，
∴；
（2）由题意，平移后，
∵点恰好落在反比例函数的图像上，
∴，
∴；
（3）点在反比例函数的图像上，理由如下：
连接，交与点，
∵翻折，
∴垂直平分，
∴，为的中点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点在反比例函数的图像上．
【变式训练6-2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在矩形中，边在x轴上，E是对角线的中点，函数的图像经过点A、E，点E的纵坐标为m．
(1)求点A的纵坐标（用m表示）：
(2)当时，求m的值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，矩形的性质，利用平方根解方程等知识，解题应用了数形结合的思想．
（1）过点作交于点，易知，求出即可求出点的纵坐标，代入即可求出点的横坐标；
（2）当时，，可求出，代入求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点作交于点，
点是对角线的中点，四边形是矩形，
点是与的交点，
又，
，
，
，即点的纵坐标为；
（2）解：当时，，
点的纵坐标为，
，，
，
，
，
则，即，
解得：，（舍去），
，
【变式训练6-3】（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中放置一块角的三角板，，A，B两点分别落在x轴和y轴上，直线的解析式为，右侧有一条直线且过的中点．
(1)求点C的坐标；
(2)用尺规作出直线l（保留作图痕迹，不写作法）；
(3)若直线l与边交于点D，双曲线经过点D，求出k的值．
【答案】(1)；(2)作图见解析；(3)．
【分析】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）过点作轴于点，则，求出点的坐标，得到，证明，得到，，求出，即可求解；
（2）作的垂直平分线，则直线即为所求；
（3）根据直线且过的中点，得到点为中点，求出点的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，则，
由题意可得，，，
当时，，
∴，
∴，
当时，，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵直线且过的中点，，
∴直线为的垂直平分线，
作的垂直平分线，则直线即为所求，如图：
（3）解：如图：
∵直线且过的中点，
∴点为中点，
∵，，
∴，，
∴，
∵双曲线经过点D，
∴．
【变式训练6-4】（2025·四川绵阳·二模）如图，在矩形中，，，反比例函数的图象与矩形两边，分别交于点E，F．
(1)若E是的中点，求反比例函数的解析式；
(2)若，将沿直线对折，点B落在x轴上的点D处，求点D的坐标．
【答案】(1)(2)
【分析】该题考查反比例函数的几何综合题，还涉及了勾股定理，解题的关键是理解题意．
（1）根据点坐标求出的值，即可得出反比例函数解析式；
（2）过点做轴于点，若，则点，得出，根据翻折可得，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】（1）解：矩形中，是中点，
，
∵点在双曲线上，
，
；
（2）解：过点做轴于点，
若，则反比例函数为，
∴点，
∴，
根据翻折可得，
，
∴，
即．
【变式训练6-5】（2025·湖北鄂州·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求的值和反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出当时，不等式的解集；
(3)在反比例函数图象的第一象限上点右边有一动点，当时，直接写出点纵坐标的取值范围．
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】本题是反比例函数综合题，考查了函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，难度适中．利用数形结合是解题的关键．
（1）先将点代入，求出的值，得到点的坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；
（2）结合函数图象找到直线在双曲线上方对应的的取值范围即可；
（3）过点作的平行线，交反比例函数的图象于点，则，由直线的解析式可得出直线的解析式，联立直线和反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点的坐标，结合函数图象及，可知在的右边，进而求出点纵坐标的取值范围．
【详解】（1）解：直线过点，
，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
（2）解：，
，
在点右边，即时，直线在双曲线上方，
所以不等式的解集是；
（3）解：如图，过点作的平行线，交反比例函数的图象于点，则．
直线的解析式为，
直线的解析式为．
由，解得，
点的坐标为；
，且点在点右边，
点纵坐标的取值范围是．
【变式训练6-6】（2025·贵州·一模）如图，将等腰直角三角形的一条直角边放在轴上，点，斜边与反比例函数交于点．
(1)求的值；
(2)若在该反比例函数上有一点，过作轴的平行线，分别交于点．当时，求点的坐标．
【答案】(1)，(2)
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）设直线的函数表达式为，根据是等腰直角三角形得到，求出直线的函数表达式为，得到，从而求出的值；
（2）设，，根据可得，根据点在直线上和点在反比例图像上，即可求解．
【详解】（1）解：设直线的函数表达式为，
，，是等腰直角三角形，
，
则，
，
解得，
直线的函数表达式为，
在上，
，
，
则；
（2）解：设，，
，
，则，则，
将代入得，，即，
在反比例函数上，
，
，
解得，（舍），
．
【变式训练6-7】（2025·湖北襄阳·一模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)设直线交轴于点，点是正半轴上的一个动点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，．若，直接写出的取值范围．
【答案】(1)反比例函数为，一次函数的解析式为；(2)．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，比例系数的几何意义，利用待定系数法求解析式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）将点，点坐标代入反比例函数的解析式，可求和的值，利用待定系数法可求一次函数解析式；
（）先求出点坐标，由面积关系列出不等式即可求解.
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过于，两点，
∴，解得：，，
∴反比例函数为，，
∵一次函数的图象相交，两点，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：∵直线交于点，
∴当时，，
∴，
∴，
∵点是正半轴上的一个动点，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑