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11.1.1　余弦定理
1. 借助向量的数量积运算，探索三角形的边角关系．
2. 掌握余弦定理，并能求解三角形中的边长与角度的大小．
活动一 探索余弦定理
思考
在三角形中，若已知两边及其夹角，如何求第三条边？你能联想到所学的哪个知识，涉及到长度与角度问题？
结论：余弦定理：
活动二　利用余弦定理解三角形　
例1　根据下列条件解三角形．
(1) 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝60°，求a的值；
(2) 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，b＝2，c＝2，求角A的大小．
如三角形中已知两边及夹角，或已知三边，求其他边或角时，常常使用余弦定理解决．
(1) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，求角A的大小；
(2) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b的值．
例2　在△ABC中，A＝120°，BC＝，D是AC的中点．若AB＋AC＝2，求BD的长．
认清余弦定理的特征，求边和角时，要放在恰当的三角形中解决．
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2＝a2＋c2－ac.
(1) 求角B的大小；
(2) 若a＋c＝4，求b的最小值．
1. (2023苏州中学期中)在△ABC中，若BC＝5，CA＝7，AB＝8，则△ABC的最大角与最小角之和是(　　)
A. 90° B. 120° C. 135° D. 150°
2. (教材改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝4，cos C＝，则c的值为(　　)
A. 2 B. 4 C. 16 D. 2
3. (多选)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足B＝，a＋c＝b，则的值为　(　　)
A. 2 B. 3 C. D.
4. (2024山西月考)若用长度分别为1，2，a的三支木棒拼成一个钝角三角形，则实数a的取值范围为________．
5. (教材改编)在△ABC中，已知a＝5，b＝2，C＝.
(1) 求c的值；
(2) 求cos B的值．
11．1.1　余弦定理(1)
【活动方案】
思考：平面向量的数量积．
·＝(＋)·(＋)
＝||2＋2·＋||2
＝||2＋2||||cos (180°－A)＋||2
＝c2－2bc cos A＋b2，即a2＝b2＋c2－2bc cos A.
同理可得b2＝a2＋c2－2ac cos B，
c2＝a2＋b2－2ab cos C.
结论：cos A＝，cos B＝，
cos C＝，a2＝b2＋c2－2bc cos A，
b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.
例1　(1) 在△ABC中，根据余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝9＋1－6×＝7，
所以a＝.
(2) 在△ABC中，根据余弦定理，得cos A＝＝＝－，
所以A＝120°.
跟踪训练　(1) 由b2＋c2＝a2＋bc，
得b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝.
又0°(2) 由A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，得B＝.
又a＋c＝8，ac＝15，
所以a2＋c2＝(a＋c)2－2ac＝64－30＝34.
根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝34－30×＝19，
所以b＝.
例2　在△ABC中，由余弦定理，得
3＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 120°，
则3＝(AB＋AC)2－AB·AC，
所以AB·AC＝1.①
又AB＋AC＝2，②
所以联立①②，解得AB＝AC＝1，
所以在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos A＝1＋－2×1××＝，即BD＝.
跟踪训练　(1) 因为b2＝a2＋c2－ac，
所以cos B＝＝＝.
又因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2) 因为a＋c＝4，所以c＝4－a，则0所以b2＝a2＋c2－ac＝a2＋(4－a)2－a(4－a)＝3a2－12a＋16＝3(a－2)2＋4，
所以当a＝2时，b2有最小值为4，
所以b的最小值为2.
【检测反馈】
1. B　根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5.设长为7的边CA所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°－θ.由余弦定理可得cos θ＝＝.又θ为三角形的内角，所以θ＝60°，则最大角与最小角的和是180°－θ＝120°.
2. B　在△ABC中，a＝2，b＝4，cos C＝，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝22＋42－2×2×4×＝16，解得c＝4.
3. AC　因为B＝，a＋c＝b，所以(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝3b2①.由余弦定理，得a2＋c2－2ac cos ＝b2②，联立①②，可得2a2－5ac＋2c2＝0，即2－5＋2＝0，解得＝2或＝.故选AC.
4. (1，)∪(，3)　如图，设长度分别为1，2，a的三支木棒分别为△ABC的三边AC，AB，BC，则2－1时，由余弦定理可得cos A＝＝<0，解得a<－或a>，则时，由余弦定理可得cos C＝＝<0，解得－5. (1) 在△ABC中，由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，
可得c2＝52＋22－2×5×2×＝19，
解得c＝或c＝－(舍去).
(2) 在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，
可得22＝52＋()2－2×5×cos B，
解得cos B＝.

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