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11．1.2　余弦定理
1. 熟练掌握利用余弦定理解三角形．
2. 能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
活动一 巩固余弦定理
1. 回顾余弦定理(两种形式)：
2. 用余弦定理证明：
在△ABC中，当C是锐角时，a2＋b2＞c2；当C是钝角时，a2＋b2＜c2.
思考1
上述结论反过来也成立吗？
若C为最大角，且a2＋b2>c2，则△ABC是锐角三角形；
若a2＋b2若a2＋b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
活动二 利用余弦定理判断三角形的形状
例1　在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6，试判断△ABC的形状．
判断三角形的形状，可以用边之间的关系去判断(如满足勾股定理就是直角三角形)，也可以用角(包括三角函数值)去判断．
已知在钝角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且B＞90°，a＝2x－5，b＝x＋1，c＝4，求实数x的取值范围．
活动三　利用余弦定理证明三角形中的有关结论　
例2　如图，AM是△ABC中BC边上的中线，求证：AM＝.
思考2
本题还有其他解法吗？
三角形中边之间的关系，主要依靠余弦定理来连接．
平面四边形ABCD如图所示，其中△ABD为锐角三角形，AB＝4，BC＝1，CD＝3，C＝2A，cos A＝，求AD的长．
活动四　利用余弦定理解决一些实际问题　
例3　A，B两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C，测得CA＝182m，CB＝126m，∠ACB＝60°，求A，B两地之间的距离．(精确到1m)
对于实际问题，先构造三角形，然后利用余弦定理，解决边角问题，最后回到实际中去．
在长江某渡口处，江水以5km/h的速度向东流. 一渡船从长江南岸的A码头出发，预定要在0.1h后到达江北岸的B码头．设为正北方向，已知B码头在A码头北偏东15°的方向上，并与A码头相距1.2km.该渡船应按什么方向航行？速度是多少？(角度精确到0.1°，速度精确到0.1km/h)
1. (教材改编)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3，c＝2，则 cos B 的值为(　　)
A. － B. C. － D.
2. (2024茂名期中)甲船在岛B的正南方A处，AB＝10 km，甲船以每小时4 km的速度向正北航行，同时乙船自岛B出发以每小时6 km的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是(　　)
A. h B. h C. h D. h
3. (多选)(教材改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由下列条件解△ABC，只有一解的是(　　)
A. b＝20，A＝45°，C＝80° B. a＝30，c＝28，B＝60°
C. a＝14，c＝16，A＝45° D. a＝6，c＝10，A＝60°
4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos A＋b cos B＝c cos C，则△ABC的形状是____________.
5. (2023深圳期中)已知在△ABC中，AC＝4，AB＝3，∠BAC＝60°，AD是△ABC的角平分线，求AD的长．
11．1.2　余弦定理(2)
【活动方案】
1. 形式一：
a2＝b2＋c2－2bc cos A
b2＝a2＋c2－2ac cos B
c2＝a2＋b2－2ab cos C
形式二：
cos A＝
cos B＝
cos C＝
2. 当C是锐角时，
cos C＝>0，则a2＋b2－c2>0，
即a2＋b2>c2.
当C是钝角时，
cos C＝<0，则a2＋b2－c2<0，
即a2＋b2思考1：成立
例1　在△ABC中，AB所以角B最大．
又cos B＝＝>0，
所以角B为锐角，
故△ABC为锐角三角形．
跟踪训练　在△ABC中，根据余弦定理，得
cos B＝＝＝<0，
所以解得综上所述，实数x的取值范围为.
例2　在△ABM中，AB2＝AM2＋BM2－2AM·BM cos ∠AMB.①
在△ACM中，AC2＝AM2＋CM2－2AM·CM·cos ∠AMC＝AM2＋BM2＋2AM·BM cos ∠AMB.②
①＋②，得AB2＋AC2＝2AM2＋2BM2，
即AB2＋AC2＝2AM2＋BC2，
所以AM＝.
思考2：作BD∥AC，交AM的延长线于点D，
所以∠ACB＝∠MBD，∠CAM＝∠D.
因为BM＝CM，所以△ACM≌△DBM，
所以AC＝DB，AM＝DM，
所以cos ∠BAC＝，
cos ∠ABD＝
＝.
因为∠BAC＋∠ABD＝180°，
所以cos ∠BAC＋cos ∠ABD＝0，
所以＋＝0，
所以4AM2＝2AB2＋2AC2－BC2，
所以AM＝.
跟踪训练　由题意，得cos C＝cos 2A＝2cos2A－1＝2×－1＝－.
在△BCD中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cosC＝12＋32－2×1×3×＝12.
在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos A，
即12＝16＋AD2－AD，
解得AD＝2或AD＝.
若AD＝，则AD2＋BD290°，
不合题意，舍去，
若AD＝2，则在△ABC中，∠ADB最大，且AD2＋BD2>AB2，∠ADB<90°，符合题意．
故AD＝2.
例3　在△ABC中，根据余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB
＝1822＋1262－2×182×126×
＝26 068，
所以AB≈161 m.
故A，B两地之间的距离为161 m.
跟踪训练　取的方向为水流方向，以AC为一边，AB为对角线作平行四边形ACBD，则船按方向航行，
其中AB＝1.2 km，AC＝5×0.1＝0.5(km).
在△ABC中，根据余弦定理，得
BC2＝1.22＋0.52－2×1.2×0.5×cos (90°－15°)≈1.38，
所以BC≈1.17 km，
所以船的航行速度为1.17÷0.1＝11.7(km/h).
在△ABC中，根据余弦定理，得
cos ∠ABC＝＝≈0.911 3，
所以∠ABC≈24.3°，
因为四边形ACBD为平行四边形，
所以∠DAB＝∠ABC，
所以∠DAN＝∠DAB－∠NAB≈9.3°，
故渡船应按北偏西9.3°的方向，并以11.7km/h的速度航行．
【检测反馈】
1. B　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝9＋4－2×2×3×＝7，解得a＝，故cos B＝＝＝.
2. A　如图，假设经过xh两船相距最近，且甲、乙分别行至C，D处，则BC＝10－4x，BD＝6x，∠CBD＝120°.由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2BC×BD×cos ∠CBD＝(10－4x)2＋36x2＋2×(10－4x)×6x×＝28x2－20x＋100，根据二次函数的性质可知，当x＝时，CD取得最小值，此时甲、乙两船相距最近．
3. AB　对于A，因为A＝45°，b＝20，C＝80°，所以根据三角形的全等(ASA)可知，△ABC存在且唯一，故A正确；对于B，因为a＝30，B＝60°，c＝28，所以根据三角形的全等(SAS)可知，△ABC存在且唯一，故B正确；对于C，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，可得142＝b2＋162－32b×，整理得b2－16b＋60＝0，解得b＝8－2>0或b＝8＋2>0，所以满足条件的三角形有两个，故C错误；对于D，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，可得62＝b2＋102－20b×，整理得b2－10b＋64＝0，则Δ＝100－4×64＝－156<0，方程无解，所以此时三角形不存在，故D错误．故选AB.
4. 直角三角形　因为a cos A＋b cos B＝c cos C，所以a·＋b·＝c·，整理，得＝0，即＝0，所以b2＝a2＋c2或a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形.
5. 设AD＝x(x>0).
因为AD是角平分线，所以＝＝.
又由已知得BD2＝9＋x2－6x cos 30°＝9＋x2－3x，
同理CD2＝16＋x2－4x，
所以＝＝，解得x＝.

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