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第九章 数学广角
考点知识梳理
1. 推理
常用的推理方法有：直接推理判断、排除法、假设法、列表法、图解法。
2. 植树问题
(1)在直线距离上植树(栽一旁)：间隔数=总长÷间隔距离
①两端都栽：棵数=间隔数+1
②只栽一端：棵数=间隔数
③两端都不栽：棵数=间隔数-1
(2)在圆形等封闭的线路中植树：棵数=间隔数
3. 鸡兔同笼问题
(1)假设全是鸡，则有：
兔的只数＝(总足数－总头数×2)÷2
鸡的只数＝总头数－兔的只数
(2)假设全是兔，则有：
鸡的只数＝(总头数×4－总足数)÷2
兔的只数＝总头数－鸡的只数
4. 优化
(1)合理安排时间
①在花时较长的环节中，同步做其他事情。
②让花时更多的人排在后面，先快后慢，可以使等待时间最短。
(2)烙饼问题
烙饼总时间=烙饼总面数(饼数×2)÷每次烙饼的面数×每次烙饼时间
如果用公式除不尽的话，就要先算出所得的商，加上余下来的面数(看作1次)，再乘每次烙饼时间。如：每次同时烙3张饼，每次要烙5分钟，要烙7张饼。先算出烙的次数：7×2÷3=4(次)……2(面)，即4+1=5次，5×4=20分钟。
5. 找次品
解决方法：把数量尽量平均分成3份，假如不能平均分，3份间尽量只相差1。
6. 鸽巢问题
鸽巢问题又称抽屉原理。抽屉原理形式:
形式一：把m个物体任意分放进n个空抽屉里(m＞n，n是非0自然数)，那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。
形式二：把多于kn个物体任意分放进n个空抽屉里(k是正整数)，那么一定有一个抽屉中放进了至少(k+1)个物体。
形式三：把相同数量的不同物体任意放在同一个抽屉里，要确保取出两个相同的物体，则至少要取出(物体种类+1)个物体。
典例精析及训练
【例1】星期六，丽丽在家做家务。整理房间要8分钟，烧开水要20分钟，洗衣服要12分钟，泡茶要1分钟，丽丽做完这些家务最少需要( )分钟。
题型一
精析：本题属于优化问题，根据题干，烧开水要20分钟，烧开水的同时可以完成整理房间和洗衣服两件事情，最后泡茶1分钟。所以做完这些家务最少需要21分钟。
答案：2 1
23
小羊
小猪
乌龟
【例2】园林工人在一条长240米的公路两侧，每隔6米种一棵树(两端都要种)，一共要种多少棵树？
精析：这是非封闭线路的植树问题，两端都要种，则根据棵数＝全长÷株距＋1可得公路一侧要种的树的棵数，因为两侧都要种，所以还要将所得的数乘2才能得出答案。
答案：240÷6＋1＝41(棵) 41×2＝82(棵)
答：一共要种82棵树。
题型二
400÷4＝100(棵)
答：一共能栽100棵白杨树。

【例3】9个小球，其中8个一样重，比其他的轻的是次品，用天平称，至少称 ( ) 次就可以找出次品。
题型三
精析：第一步：把9个球分成3份，每份3个，任取两份放在天平上。若平衡，则取剩下的3个做第二步分析；若不平衡，则取较轻的3个做第二步分析。第二步：取3个球分成3份，每份1个，任取两个放在天平两端。若平衡，则剩下1个为次品；若不平衡，轻的一个就是次品。
答案：2
3
4
【例4】32只鸽子飞回7个鸽舍，至少有( )只鸽子要飞进同一个鸽舍。
精析：把7个鸽舍看作7个抽屉，把32个鸽子看作32个元素，那么每个抽屉需要放32÷7=4……4(个)，所以每个抽屉需要放4个，剩下的4个不论怎么放，总有一个抽屉里至少有4＋1=5(个)。所以，至少有一个鸽舍要飞进5只鸽子。 答案：5
题型四
40
4
2
【例5】某养殖场里养的鸡和兔共28只，共有78只脚，养殖场里养了鸡和兔各多少只？
精析：这是一个很典型的鸡兔同笼的问题，已知总的头数和足数，可以先假设全部是鸡，则兔的只数=(总足数-总头数×2)÷2，鸡的只数=总头数-兔的只数。
题型五
答案：
兔的只数： (78-28×2)÷2=11(只)
鸡的只数： 28-11=17(只)
答：养殖场里养了鸡17只，兔11只。
112÷14×20=160(个)
(160-112)÷(20-12)=6(天)
答：这几天当中有6天有雨。
解：设兔有x只，则鸡有(20+x)只。
4x-(20+x)×2=200
4x-2x=240
x=120
120+20=140(只)
答：鸡有140只，兔有120只。
易错归纳及训练
【例】北顺小学举办数学竞赛，试卷共有20道题，每做对一道得5分，错一道倒扣2分。思远做了所有的题，共得了79分，他做对了几道题？
类型一
错解：20－(20×5－79)÷(5－2)
=20－21÷3
=13(道)
答：他做对了13道题。
分析：此题错在答对一道题和答错一道题相差的不是(5-2)分，而是5＋2=7(分)。在用假设法解答鸡兔同笼类型的实际问题时，要注意假设前后两个数之间相差的数，有时相差的数是两数之和。
正解：20－(20×5－79)÷(5＋2)
=20－21÷7
=17(道)
答：他做对了17道题。
自行车越野赛全程 220千米，全程被分为20个路段，其中一部分路段长14千米，其余的长9千米。长9千米的路段有多少个？
(14×20-220)÷(14-9)
=(280-220)÷5
=60÷5
=12(个)
答：长9千米的路段有12个。
小考复习训练
12
5
210
4
5
C
A
C
B
C
(12-1)×5=55(米)
答：从第一块到最后一块之间这条道路长55米。
答：小华下了两盘，分别是和甲、乙两人下的。
11×6=66(人) (66-52)÷(6-4)=7(只)
11-7=4(只)
答：大船有4只，小船有7只。

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