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(共28张PPT)
8.3 数学与军事
第 讲 数学案例
八
数学与军事
5
情景引入
新知探究
典型例题
布置作业
归纳小结
4
3
1
2
数学与军事
情景引入
海
湾
战
争
物理学家和数学家利用流体力学的基本方程以及热量传递的方程建立数学模型，经过计算机仿真，得出结论，点燃所有的油井后果是严重的，但只会波及到海湾地区以至伊朗南部、印度和巴基斯坦北部，不至于产生全球性的后果.
情景引入
数学家帮助军队保卫莫斯科，特别是防卫德军的空袭.英国的数学家维纳和苏联的柯尔莫戈洛夫几乎同时着手研究滤波理论与火炮自动控制问题.维纳给军方提供了准确的数学模型来指挥火炮，使火炮的命中率大大提高.
情景引入
数学模型
新知探究
战争中的数学模型
假设红军和蓝军两支军队在某个战场上交战，记交战的初始时刻为t0， 红、蓝两军初始参战兵力分别为X0和Y0， 在交战后某时刻t时，红、蓝两军兵力分别为x(t)和y(t) .事实上，很多因素可以影响兵力的强弱，如士兵的数量、装备、作战环境等，这里将其简化，认为双方的战士素质、武器装备、指挥员的训练都相差不大，可以认为旗鼓相当，即双方兵力强弱用土兵的数量来衡量.此时，兵力的变化率公式为
新知探究
战争中的数学模型
兵力的变化率=-(战斗损耗率十自然损耗率)十增援率
其中，战斗损耗率为
红军战斗损耗率=b(t)×蓝方参加战斗人数=b(t)y(t)
式中，b(t)>0，表示蓝军每个战士所造成的红军的损耗率，称为战斗效果系数.
新知探究
为讨论简洁起见，我们将战争理想化，即没有增援，没有自然损耗，双方的战斗效果系数均为常数，则战斗的平方律模型为
新知探究
模型图像如图
新知探究
由图可知
(3) K=0，此时对应的直线与坐标轴交点为(0，0)，这表示随着战斗的继续进行，双方将同归于尽，出现平局，即双方兵力相当.
(1)K<0，这时对应的双曲线与x轴相交于点 ，即当红军还有士兵数 ，蓝军的士兵数为0，因此红军胜.
(2) K>0,此时蓝军胜，并且当战斗结束时(x=0)， 蓝军还有士兵数
新知探究
射击效率
每一件射击类武器，在射击时受到种种因素影响，弹着点与瞄准的目标往往并不一致.经过大量的统计发现，在同一条件下进行重复射击，弹着点总是围绕着某一点散落，其散布服从正态分布规律，如图所示.
新知探究
击毁率定义
G(K)=1-(1-α)K
式中，α表示一次发射击中目标时的目标被毁率，或目标致命部位的相对面积; K表示击中的弹的发数.
若用A表示“击毁目标”事件，则该事件的概率记作w=P(A).假设对某单个目标射击n次(互不相容)而有m发弹击中目标的概率是Pm,n, 则
典型例题
例1
击毁概率.
(1) 情境导入:设某军事设施由三个区域构成，其中I区为要害部分，占30%，只需1枚某型号导弹即可将该设施摧毁; Ⅱ区为次要部分，占20%，需2枚同型号导弹即可将该设施摧毁;Ⅲ区为非致命部分，占50%，至少需3枚同型号导弹才可将该设施摧毁.现向该设施发射4枚同型号导弹，命中率分别为P1.4=0.3, P2,4=0.35，P3,4=0.2, P4,4=0.15,计算该军事设施被毁的概率W.
典型例题
(2) 问题分析:实际上，只要分别算出G(K)(K=1, 2, 3, 4)，代入公式，便可得到W.
(3) 问题求解:因为I区占30%，且只需1枚某型号导弹击中即可将该设施摧毁，因此
G(1)=1-(1一0.3)'=0. 3.
II区占20%，发射2枚导弹时，必须至少有1枚击中I区或2枚都击中I区，才能将该设施摧毁，故
典型例题
G(2)=2X0.3X0.2+2X0.3X0.5+0.2X0.2+0.3X0.3=0.55.
3枚命中而该设施未被击毁的情况，只有在1枚击中I区，而2枚击中Ⅲ区时才可能出现，因此
G(3)=1-3X0.2X0.52=0.85.
由于击中川区3枚以上即可击毁该设施，因此只要4枚均命中，在任何情况下该设施均被摧毁，因此
典型例题
G(4)=1.
因此击中目标的概率为
新知探究
密码学在军事中的应用
密码学包含的两部分主要内容:一是为保护自己的通信安全而进行加密算法的设计和研究;二是为窃取对方情报而进行密码分析，即密码破译技术.军用密码的运作过程所示.
典型例题
例2
一封军事情报.
(1)情境导入:某军总司令部截获-份秘密情报.经过初步破译得知，下月初，敌军的三个师团士兵将分东、西两路再次发动进攻.在东路集结的部队人数为“ETWQ”， 从西路进攻的部队人数为“FEFQ”，东、西两路的总兵力为“AWQQQ"，但无从得知到底有多少人.该如何破译呢
典型例题
(2) 问题分析:这是一道有趣的游戏题，只要借助数学知识就很容易解决.把该情报看作东、西两路部队相加，列式如下:
E T W Q
+ F E F Q
A W Q Q Q
典型例题
(3) 问题求解:显然Q+Q=Q,因此Q=0.
同样地，①W+F=10;②T+ E+1=10;③A=1,且E+F+1=10+W,即E+F=9十W;
由①和③两式知，2W=E+1,故E为单数(即1,3,5,7,9五数之一).
由③式知，E+F>9.
由②式知，E+T=9，T不是0，因此E不可能是9(即1,3,5,7四数之一).
典型例题
当E=1时，W=1,不成立;
当E=3时，W=2，则F=8，T=6，因此3620+8380=12000;
当E=5时，W=3，则F=7, T=4,因此5430+7570=13000;
当E=7时，W=4，则F=6, T=2，因此7240+6760=14000.
因此，总人数是12 000，13000, 14 000这三个数之一.
新知探究
军事运筹学
军事运筹学是应用数学土具和现代计算技术对军事问题进行定量分析，为决策提供数量依据的一种科学方法.
《史记.孙子吴起列传》载:战国齐将田忌与齐威王赛马，二人各拥有上、中、下三个等级的马，但齐王各等级的马均略优于田忌同等级的马，如依次按同等级的马对赛，田忌必连负三局.田忌根据孙膑的运筹，以自己的下、上、中马分别与齐王的上、中、下马对赛，结果是二胜一负.
新知探究
毛泽东指出:“对于情况和问题，一定要注意到它们的数量方面，要有基本的数量的分析.任何质量都表现为一定的数量，没有数量，也就没有质量.”毛泽东还根据实战中敌我双方兵力消耗情况，从中找出规律性，用以指导战争，并预测了消灭国民党军队的时间.解放战争的实践证明了他的预测的正确性.
典型案例
1914年，兰彻斯特完成了一篇关于战斗的数学模型论文，建立了战斗损耗方程，第一次应用微分方程分析兵力与胜负的关系，定量地论证了集中兵力原则的正确性.他用现代数学来研究红、蓝双方兵力损耗，经他计算，假设红方有100人，蓝方有80人，在天、地、人、战术、武器、装备条件均等的情况下，当蓝方被全歼时，红方应剩60人.
典型案例
1940年8月，挪威诺贝尔物理学奖获得者布莱凯特带领11名人员成立了第一个运筹学小组，其中只有1名军官，其他人都是自然科学学者，包括2名数学家、2名理论物理学家、1名测量员、1名天体物理学家、3名生理学家.他们运用自然科学方法评估战斗效能，提出战术建议.较为著名的事例是通过舰载炸弹、飞机投射炸弹试验研究，将深水炸弹的爆炸深度从35英尺加深到70英尺，使德军潜艇被炸沉的数量成倍增加.
归纳小结
1.本节课你学习了哪些内容？
2.本节课学习的用途？
布置作业
阅读
教材章节8.4
书写
教材P214思考与练习
思考
如何用数学知识应用于军事
作
业
Thanks

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