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(共28张PPT)
8.4 数学与天文
第 讲 数学案例
八
数学与天文
5
情景引入
新知探究
典型例题
布置作业
归纳小结
4
3
1
2
数学与天文
情景引入
问题：大家知道海王星是怎么发现的？
海王星的发现是在数学计算过程中发现的，天文望远镜的观测只是验证了人们的推论.
情景引入
1812年，法国人布瓦德在计算天王星的运动轨道时，发现理论计算值同观测资料发生了一系列误差.这使许多天文学家纷纷致力这个问题的研究，进而发现天王星的脱轨与一个未知的引力的存在相关.也就是说有一个未知的天体作用于天王星.
1846年9月23日，柏林天文台收到来自法国巴黎的一封快信.发信人就是勒威耶.信中，勒威耶预告了一颗以往没有发现的新星：在摩羯座8星东约5度的地方，有一颗8等小星，每天退行69角秒.
情景引入
当夜，柏林天文台的加勒把巨大的天文望远镜对准摩羯座，果真在那里发现了一颗新的8等星.又过了—天，再次找到了这颗8等星，它的位置比前一天后退了70角秒.这与勒威耶预告的相差甚微.
全世界都震动了.人们依照勒威耶的建议，按天文学惯例，用神话里的名字把这颗星命名为“海王星”.
新知探究
新知探究
用一个平面去截一个正圆锥，会得到不同的截口.没圆锥母线与对称轴的交角为α、平面与圆锥轴线的交角为θ,那么就有如下公式.
(1)当θ=90°时，截口曲线为圆，如图所示.
在直角坐标系中，圆的标准方程式是
其中，(a, b)是圆心，r是半径.
新知探究
(2)当α<θ<90°时，截口曲线为椭圆，如图所示.
在直角坐标系中，椭圆的标准方程式是
其中，a是半长轴长，b是半短轴长.
新知探究
(3)当θ=α时，截口曲线为抛物线，如图所示.
在直角坐标系中，抛物线的标准方程式是
其中，p为焦点到定直线的距离.
新知探究
(4)当0<θ<α时，截口曲线为双曲线，如图所示.
在直角坐标系中，双曲线的标准方程式是
典型例题
例1
小行星轨道模型.
(1)情境导入:某天文学家要确定一个小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位(一天文单位为地球到太阳的平均距离: 1.495 978 7X1011 m).在5个不同的时间对小行星进行了5次观察，观察数据见表
典型例题
(2) 问题分析:由开普勒(Kepler)第一定律知，小行星轨道是椭圆形的，因此，将5次观察数据代入椭圆方程，求出待定系数即可.
(3) 问题求解:设小行星的椭圆轨道模型为
典型例题
代入得
典型例题
利用Excel解线性方程组，解得
A=0.0380，B=0.0195，C=-0.046 9，D=-0.387 8, E=0.218 8.
因此，小行星的椭圆轨道模型为
典型例题
新知探究
经过天文学家的长期研究发现，大行星、小行星、月球以及人造卫星的轨道，尽管偏心率有变化，但它们都在椭圆轨道上运行.
在椭圆轨道上运行的彗星称为周期彗星，如哈雷彗星.
新知探究
人造卫星发射速度与运行轨道，如图所示
新知探究
对于人造卫星轨道的形状、大小和在空间的方位，以及卫星在特定时刻所处的位置，人们通常用一些特殊的量来描述，这些量称为轨道参数，其中最常用的是经典轨道常数，即开普勒轨道常数.以下六个常数可以递推出卫星在过去或将来的位置.
(1) 轨道倾角i一赤道平面与卫星轨道平面间的夹角;
新知探究
(2)升交点赤经Ω一从春分点到卫星升交点的经度;
(3)近地点幅角w一地心与升交点的连线和地心与近地点连线间的夹角;
(4)椭圆半长轴a;
(5)椭圆偏心率e;
(6)卫星通过近地点的时刻t.
新知探究
人造卫星的周期公式为
新知探究
根据人造卫星距离地面的高度，可将人造卫星的周期大致分为以下几种:
(1)距地面高度180~500 km,运行周期约90分钟;
(2)距地面高度1X10 km,运行周期约6小时;
(3)距地面高度3.6X10' km,运行周期约24小时;
新知探究
(4)运行周期为24小时的卫星称为“同步卫星”;
(5)相对地面静止(运转方向和地球自转方向相同，轨道在赤道上空)的同步卫星称为地球同步卫星;
新知探究
同天气预报一样，我们时常会在新闻等媒体上看到这样的信息: XX年XX月XX日XX时XX分在XX地方可以看到日全食(或流星雨、彗星)等奇观，这就是天文预测.这是根据历史数据，利用数学的方法计算出来的.
典型例题
例2
月上柳梢头.
(1)情境导入:“月上柳梢头，人约黄昏后”是北宋学者欧阳修的名句，写的是与佳人相约的情景.请用天文学的观点赏析该名句，并进行如下讨论:(1) 定义“月上柳梢头”时月亮在空中的角度和时间为“黄昏后”.根据天文学的基本知识，在适当简化的基础上，建立数学模型，分别确定月上柳梢头” 和“人约黄昏后” 发生的日期与时间，并根据已有的天文资料(如太阳和月亮在天空中的位置、日出日落时刻、月出月落时刻)验证所建模型的合理性.
典型例题
(2) 根据所建立的模型，分析2016年北京地区“月上柳梢头，人约黄昏后”发生的日期与时间.根据模型判断2016年在哈尔滨、上海、广州、昆明、成都、乌鲁木齐能否发生这一情景 如果能，请给出相应的日期与时间;如果不能，请说明原因.
备注:案例来源于2015年“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛题目中的C题.
归纳小结
1.本节课你学习了哪些内容？
2.本节课学习的用途？
布置作业
阅读
教材章节8.5
书写
教材P220思考与练习
思考
如何用数学知识解决天文问题
作
业
Thanks

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