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(共35张PPT)
8.5 数学与投资
第 讲 数学案例
八
数学与投资
5
情景引入
新知探究
典型例题
布置作业
归纳小结
4
3
1
2
数学与投资
情景引入
情景引入
新知探究
货币的单利和复利计算公式分别为
S=P(1+mr)
S=P(1+r)n
典型例题
例1
银行年利率为2.25%，一年结息一次，若三年后要得到本利和600元，则应存入多少钱(结果保留小数点后两位)
解: 设存入的本金为P，将复利公式S=P(1+r)n移项得
把S=600，r=0.022 5和n=3代入，利用计算器计算得
典型例题
因此，应存入561.27元.
新知探究
(1) 终值:现有货币(面值P)在”期后的数值，计算公式为S=P (1+r)n.
(2) 现值: n期后持有的货币(面值S)现在的价值，计算公式为
典型例题
例2
一处房产价格为21 万元，据预测，3年后价格将上涨到23万元，某人欲向银行贷款来进行此项投资.设银行贷款利率为5%，按复利计算，此项投资能否盈利( 结果保留小数点后两位)
解法一: 3年后23万元的现值是
现值小于21万元的投资额，不能盈利.
典型例题
解法二:投资额21万元3年后的终值为
S=P(1+r)n=21×(1 +0.05)3≈24.31 (万元).
终值大于23万元，即3年后归还银行的本利和超过那时房屋的价值，不能盈利.
新知探究
设初始投资为I (元)，下面引入毛收益、净收益和投资回报率这几个概念.
(1)毛收益是指投资行为结束时回收的收益，记为V.
(2)净收益是指毛收益中扣除本金后的收益，记为f，且f=V-I.
(3)投资回报率是指单位投资的净收益，记为R， 且
典型例题
例3
现有两套房产，一套报价100万元，据评估3年后升值为110万元;另一套报价50万元，3年后值56万元.哪项投资更优
解:记I1，V1，R1和I2，V2，R2分别为两个投资项目的投资额、毛收益和回报率，则投资回报率分别为
典型例题
因为R2>R1，所以第二项投资的回报率高，优于第一项投资.
新知探究
资产组合是指使用不同的证券和其他资产所构成的集合.
资产组合的预期收益是指组合中各种证券的预期收益ri,的加权平均数、其中，每一证券的权重wi等于该证券在整个组合中所占的投资比例.
若组合中包含n种证券，则投资组合的收益率R和预期收益率E分别为
新知探究
新知探究
证券之间相互影响产生的收益的不确定性可用协方差Cov和相关系数ρ来表示资产组合的协方差是测度两种资产收益互补程度的指标，它测量的是两个风险资产收益相互影响的方向与程度，协方差的计算公式为
新知探究
资产组合的风险(方差D)为
新知探究
马克维茨最优投资组合模型
哈里 马克维茨等人于1952年建立了资产组合模型，其目的是寻找有效边界.通过期望收益和方差来评价组合，投资者是理性的，即害怕风险和期待收益.因此，可将投资组合视为一个优化问题，其模型分为以下两种类型.
新知探究
(1) 给定收益的条件下，风险最小化.
新知探究
(2) 给定风险的条件下，收益最大化.
典型例题
例3
投资组合及风险分析.
(1)情境导入: A, B, C三种股票在过去5年(2017~2021年)的年收益见表.假设你在2022年时有一笔资金准备投资这三种股票.
请解决以下两个问题.
问题一:若这笔资金按20%，30%，50%的比例投资，计算该投资组合的收益率和风险.
问题二:如果要求年收益率至少达到20%，那么你应当如何投资来确保风险最低
典型例题
(2)问题分析:本案例的问题称为投资组合问题.一般来说， 人们投资股票的收益是不确定的，是一个随机变量，因此，除了考虑收益，我们还应当考虑风险.风险可用方差(或标准差)来衡量，方差越大，则认为风险越大，反之风险越小.直接将数据代入对应的公式，即可求解第一个问题，而第二个问题是在收益率至少达到20%的条件下，求风险最低，即方差最小的优化模型.
典型例题
(3)模型建立及求解:
记股票A，B, C每年的收益率分别为r1，r2和r3，则ri (i=1,2, 3)是一个随机变量， 用E和D分别表示随机变量的数学期望和方差，用Cov表示两个随机变量的协方差.
典型例题
问题一:根据表给出的数据，可计算出三种股票的年平均收益率分别为
典型例题
投资组合的风险用方差表示，而方差与协方差有关，因此，先计算这三种股票的协方差，利用Excel表格的“COVAR”命令可计算任意两种股票的协方差，因此，三种股票的协方差矩阵为
典型例题
因此，资产组合的风险(方差D)为
典型例题
问题二:设三种股票的权重分别为x1，x2和x3，建立投资风险最低的模型为
典型例题
其中，
典型例题
这是线性规划问题，可利用LINGO软件求解，用LINGO软件输入上述模型:
典型例题
典型例题
单击求解模型键 ，运行结果报告如下(下面仅列出LINGO求解的目标值和决策变量值):
典型例题
结果显示:当x1=23.13%，x2=66. 96%，x3=9. 91%时，此时的风险是满足收益为20%时的最优解，即风险D≈0.01528.
由这两个问题可以看出，收益与风险往往成正比，风险低，收益也低;风险高，收益才可能高.因此，在投资时，要充分考虑收益与风险.
归纳小结
1.本节课你学习了哪些内容？
2.本节课学习的用途？
布置作业
阅读
教材章节10.2
书写
教材P228思考与练习
思考
如何用数学知识进行投资
作
业
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