资源简介

第一节　任意角、弧度制及任意角的三角函数
1.把－1 125°化成α＋2kπ（0≤α＜2π，k∈Z）的形式是（　　）
A.－－6π B.－6π
C.－－8π D.－8π
2.下列各选项中正确的是（　　）
A.sin 300°＞0 B.cos（－305°）＜0
C.tan（－）＞0 D.sin 10＜0
3.使lg（sin θcos θ）＋有意义的θ为（　　）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
4.已知角α的终边经过点P（－3，－8m），且sin α＝－，则m的值为（　　）
A.－ B.
C.－ D.
5. 如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α，则＝（　　）
A.　　 　 B.
C.1　　 　 D.2
6.〔多选〕已知角θ的终边经过点（－2，－），且角θ与角α的终边关于x轴对称，则（　　）
A.sin θ＝－
B.α为钝角
C.cos α＝－
D.点（tan θ，tan α）在第四象限
7.在平面直角坐标系xOy中，点P在角的终边上，且｜OP｜＝2，则点P的坐标为　　　　.
8.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内（不包括边界），则角α用集合可表示为　　　　.
9.若角θ的终边过点P（－4，3）.
（1）求sin θ＋cos θ的值；
（2）试判断cos（sin θ）·sin（cos θ）的符号.
10.给出下列命题：
（1）第二象限角大于第一象限角；
（2）不论是用角度制还是用弧度制度量一个角的大小，都与扇形半径的大小无关；
（3）若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；
（4）若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限角.其中正确命题的个数是（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
11.已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从点A出发，点P沿着直线l向右，点Q沿着圆周按逆时针方向以相同大小的速度运动，当点Q再次运动到点A时，P，Q停止运动.在运动过程中，连接OQ，OP（如图），则阴影部分的面积S1，S2的大小关系是（　　）
A.S1＝S2
B.S1≤S2
C.S1≥S2
D.先S1＜S2再S1＞S2
12.〔多选〕如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为（1，0），∠BOA＝，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（　　）
A.经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3
B.经过 s后，扇形AOB的弧长为
C.经过 s后，扇形AOB的面积为
D.经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
13.已知点P（sin α－cos α，tan α）在第一象限，且α∈[0，2π），则角α的取值范围是　　　　.
14.如图所示，十字形公路的交叉处有一扇形空地，某市规划拟在这块扇形空地上修建一个圆形广场.已知∠AOB＝，的长度为100π m.怎样设计能使广场的占地面积最大？其值是多少？
15.（情境创新）如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边△ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，“蚊香”的长度为（　　）
A.14π　　　 B.18π
C.24π　　　 D.30π
第一节　任意角、弧度制及任意角的三角函数
1.D　－1 125°＝－1 440°＋315°＝－8π＋.故选D.
2.D　300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°＜0，A错误；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos（－305°）＞0，B错误；－＝－8π＋，则－是第二象限角，故tan（－）＜0，C错误；3π＜10＜，则10是第三象限角，故sin 10＜0，D正确.故选D.
3.C　由题意知sin θcos θ＞0且－cos θ≥0.由sin θcos θ＞0知θ为第一、三象限角.又由－cos θ≥0，即cos θ≤0知θ为第二、三象限角或终边在y轴或x轴非正半轴上的角，所以θ为第三象限角.故选C.
4.B　由题意可知，｜OP｜＝＝.因为sin α＝－，P（－3，－8m），所以α是第三象限角，可得＝－，且m＞0，所以4m2＝1，解得m＝.
5.B　设扇形的半径为r，则扇形的面积为αr2，在Rt△POB中，PB＝rtan α，则△POB的面积为r·rtan α，由题意得r·rtan α＝2×αr2，∴tan α＝2α，∴＝.
6.ACD　因为角θ的终边经过点（－2，－），所以sin θ＝－，A正确；因为角θ与角α的终边关于x轴对称，所以角α的终边经过点（－2，），则α为第二象限角，但α不一定为钝角，B错误；cos α＝－，C正确；因为tan θ＝＞0，tan α＝－＜0，所以点（tan θ，tan α）在第四象限，D正确.故选A、C、D.
7.（－1，）　解析：设点P的坐标为（x，y），由三角函数定义得所以所以点P的坐标为（－1，）.
8.{α｜2kπ＋＜α＜2kπ＋，k∈Z}　解析：∵在[0，2π）内，终边落在阴影部分角的集合为（，），∴所求角的集合为{α｜2kπ＋＜α＜2kπ＋，k∈Z}.
9.解：（1）因为角θ的终边过点P（－4，3），所以x＝－4，y＝3，r＝5，所以sin θ＝，cos θ＝－，
所以sin θ＋cos θ＝－＝－.
（2）因为sin θ＝∈，cos θ＝－∈（－，0），所以cos（sin θ）＝cos＞0，sin（cos θ）＝sin（－）＜0，
则cos（sin θ）·sin（cos θ）＜0.
10.A　－210°是第二象限角，10°是第一象限角，但－210°＜10°，故命题（1）错误.根据角的定义可判断命题（2）正确.当α＝，β＝时，sin α＝sin β，此时α，β的终边关于y轴对称，故命题（3）错误.当θ＝π时，cos θ＝－1＜0，此时θ的终边在x轴的负半轴上，故命题（4）错误.故选A.
11.A　设线段OP与圆O交于点B，连接OA（图略），因为直线l与圆O相切，所以OA⊥AP，所以S△AOP＝OA·AP.又因为S扇形AOQ＝·OA，＝AP，所以S扇形AOQ＝S△AOP，所以S扇形AOQ－S扇形AOB＝S△AOP－S扇形AOB，S1＝S2，故选A.
12.ABD　经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为＋3，故A正确；经过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，故扇形AOB的弧长为×1＝，故B正确；经过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，故扇形AOB的面积为S＝××12＝，故C不正确；设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则t（1＋2）＋＝2π，解得t＝（s），故D正确.
13.（，）∪（π，）
解析：因为点P在第一象限，所以
即
由tan α＞0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图.又sin α＞cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分（不包括边界），即角α的取值范围是（，）∪（π，）.
14.解：如图所示，∵∠AOB＝，的长度为100π m，
∴OA＝＝300（m）.
根据题意可知，当☉O1是扇形AOB内切圆时，广场的占地面积最大，设☉O1与OA切于C点，连接O1O，O1C.
则∠O1OC＝，
OO1＝OA－O1C＝300－O1C，
又O1C＝OO1sin，
故O1C＝（300－O1C）×，解得O1C＝100（m）.
此时☉O1的面积为π×1002＝10 000π（m2）.
15.C　由题意知，每段圆弧的圆心角均为，第一段圆弧长度为×1＝，第二段圆弧长度为×（1＋1）＝，第三段圆弧长度为×3＝2π，第四段圆弧长度为×4＝，第五段圆弧长度为×5＝，第六段圆弧长度为×6＝4π，第七段圆弧长度为×7＝，第八段圆弧长度为×8＝，故得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，“蚊香”的长度为＋＋2π＋＋＋4π＋＋＝24π.故选C.
3 / 3第一节　任意角、弧度制及任意角的三角函数
课标要求
1.了解任意角的概念和弧度制.
2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.
3.借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
1.角的概念
（1）定义：角可以看成一条射线绕着它的　　　　旋转所成的图形；
（2）分类：
（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}.
提醒　相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍.
2.弧度制的定义和公式
（1）定义：长度等于　　　　的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示；
（2）公式
角α的弧度数公式 ｜α｜＝（弧长用l表示）
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝　　 　
弧长公式 l＝　　　　　
扇形面积公式 S＝　 　　＝　　　　　　
提醒　角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.
3.任意角的三角函数
（1）定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P（x，y），那么sin α＝　　　　　，cos α＝　　　　　，tan α＝　　　　；
（2）定义的推广：设P（x，y）是角α终边上异于顶点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝（x≠0）；
（3）三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
1.象限角与轴线角
（1）象限角
（2）轴线角
2.α所在象限与所在象限的关系
α所在象限 一 二 三 四
所在象限 一、三 一、三 二、四 二、四
3.若角α∈（0，），则sin α＜α＜tan α.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）锐角是第一象限角，第一象限的角也都是锐角.（　　）
（2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.（　　）
（3）终边相同的角的同一三角函数值相等.（　　）
（4）若sin α＞0，则α是第一或第二象限角.（　　）
2.（人A必修一P176习题4题改编）一条弦的长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为（　　）
A. B.
C. D.π
3.（人A必修一P182练习4题改编）＋＋的值组成的集合为（　　）
A.{3} B.{3，1}
C.{－1，1} D.{3，－1}
4.－135°＝　　　　rad，它是第　　　　象限角.
5.（苏教必修一P181练习1题改编）已知角θ的终边经过点P（－12，5），则sin θ＋cos θ＝　　　　.
象限角与终边相同的角
（基础自学过关）
1.集合{α｜kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（　　）
2.〔多选〕下列四个命题中正确的是（　　）
A.－是第二象限角 B.是第三象限角
C.－400°是第四象限角 D.－315°是第一象限角
3.与－2 026°终边相同的最小正角是　　　　.
4.（人A必修一P176习题7题改编）已知α为第三象限角，则是第　　　　象限角，2α是　　　　的角.
用结论
终边所在象限的判定方法
如图，如果角θ的终边在第n（n＝1，2，3，4）象限，则图中n号区域所在象限即为角的终边所在象限.
（2025·广东实验中学二调）已知sin α＞0，cos α＜0，则角的终边在（　　）
A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限
C.第一、三、四象限 D.第一、二、四象限
练后悟通
1.象限角的2种判断方法
（1）图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；
（2）转化法：先将已知角化为k·360°＋α（0°≤α＜360°，k∈Z）的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.
2.求或nθ（n∈N*）所在象限的步骤
（1）将θ的范围用不等式（含有k，且k∈Z）表示；
（2）两边同除以n或乘以n；
（3）对k进行讨论，得到或nθ（n∈N*）所在的象限.
扇形的弧长及面积公式
（师生共研过关）
（1）已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长为（　　）
A. B.
C. D.
（2）（人A必修一P176习题10题改编）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号.当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的弦长AB与弧长之比为（　　）
A. B.
C. D.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
有关弧长及扇形面积问题的注意点
（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题；
（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
1.若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角为　　　　 rad时，这个扇形的面积最大.
2.数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边△ABC，再分别以A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是　　　　.
三角函数的定义及应用
（定向精析突破）
考向1　三角函数的定义
（1）已知角α的终边过点（x，4），且cos α＝－，则tan α＝　　　　；
（2）已知角α的终边在直线y＝2x上，则sin α＝　　　　.
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解题技法
利用三角函数的定义解决问题的策略
（1）已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值.先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解；
（2）已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值；
（3）已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标.
考向2　三角函数值符号的判定
若sin α·tan α＜0，且＜0，则角α是（　　）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
三角函数值符号的判断方法
　　要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号.如果角不能确定所在象限，就要分类讨论求解.
1.（2024·河南部分学校大联考）已知在平面直角坐标系中，角α（0≤α＜2π）的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点P（sin，cos）为角α终边上的一点，则α＝（　　）
A.　 　B.　 　C.　　　D.
2.sin 2cos 3tan 4的值（　　）
A.小于0 B.大于0
C.等于0 D.不存在
第一节　任意角、弧度制及任意角的三角函数
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.（1）端点　（2）正角　负角　零角　象限　轴线
2.（1）半径长　（2）°　αR（0＜α＜2π）　lR　αR2（0＜α＜2π）
3.（1）y　x　（x≠0）
对点自测诊断
1.（1）×　（2）√　（3）√　（4）×
2.B　3.D　4.－　三　5.－
【考点·分类突破】
考点1
1.C　当k取偶数时，比如k＝0，此时≤α≤，故角的终边在第一象限或y轴正半轴；当k取奇数时，比如k＝1，此时≤α≤，故角的终边在第三象限或y轴的负半轴.综上，角的终边在第一象限或第三象限或y轴上.
2.BCD　－是第三象限角，故A错误；＝π＋，所以是第三象限角，故B正确；－400°＝－360°－40°，所以－400°是第四象限角，故C正确；－315°＝－360°＋45°，所以－315°是第一象限角，故D正确，故选B、C、D.
3.134°　解析：∵－2 026°＝（－6）×360°＋134°，∴134°与－2 026°终边相同.∴与－2 026°终边相同的最小正角是134°.
4.二、四　第一、第二象限或y轴的非负半轴上　解析：因为α是第三象限角，即2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，所以kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，4kπ＋2π＜2α＜4kπ＋3π，k∈Z.当k为偶数时，为第二象限角；当k为奇数时，为第四象限角，而2α的终边落在第一、第二象限或y轴的非负半轴上.
用结论
D　依题意sin α＞0，cos α＜0，所以角α的终边在第二象限，则角的终边在②号区域所在象限，即第一、二、四象限.
考点2
【例1】 （1）C　（2）C　解析：（1）设扇形的半径为r，则××r2＝，解得r＝2.所以扇形的弧长为2×＝.
（2）设扇形的半径为r，如图，取AB的中点D，连接OD，圆心角α为，则∠AOD＝，所以弦长AB＝2AD＝2rsin＝r.又弧长＝r，所以弦长AB与弧长之比为＝.
跟踪训练
1.2　解析：由题意，得l＋2R＝20，∴l＝20－2R.∴S扇＝lR＝（20－2R）R＝－R2＋10R＝－（R－5）2＋25.∴当R＝5 cm时，S扇有最大值25 cm2.此时l＝20－2×5＝10（cm），α＝＝＝2 rad.∴当α＝2 rad时，扇形的面积最大.
2.2π－2
解析：由条件可知，弧长＝＝＝，等边三角形的边长AB＝BC＝AC＝＝2，则以点A，B，C为圆心，圆弧AB，BC，AC所对的扇形面积为××2＝，中间等边△ABC的面积S＝×2×＝.所以莱洛三角形的面积是3×－2＝2π－2.
考点3
【例2】 （1）－　（2）±
解析：（1）∵角α的终边过点（x，4），且cos α＝－，∴x＜0.∵cos α＝＝－，∴x＝－3，∴tan α＝－.
（2）由题意可知，角α的终边落在第一或第三象限，且tan α＝2，若在第一象限，可在α的终边上任取一点（1，2），∴sin α＝＝，若在第三象限，可在α的终边上任取一点（－1，－2），∴sin α＝＝－.
【例3】 C　由sin α·tan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角.由＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角.综上可知，α为第三象限角，故选C.
跟踪训练
1.D　由题意可知P点坐标为（，），tan α＝＝，所以角α是第一象限角，所以0＜α＜，所以α＝.故选D.
2.A　因为＜2＜3＜π＜4＜，所以sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，所以sin 2cos 3tan 4＜0.故选A.
5 / 5(共67张PPT)
第一节　任意角、弧度制及任意角的三角函数
高中总复习·数学
课标要求
1. 了解任意角的概念和弧度制.
2. 能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.
3. 借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 角的概念
（1）定义：角可以看成一条射线绕着它的 旋转所成的图形；
（2）分类：
端点　
（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成
一个集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}.
提醒　相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等.终边相同的
角有无数个，它们之间相差360°的整数倍.
2. 弧度制的定义和公式
（1）定义：长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧
度单位用符号rad表示；
半径长　
（2）公式
角α的弧度数公式 ｜α｜＝ （弧长用l表示）
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝ 　 °　
弧长公式 l＝
扇形面积公式 S＝ 　 lR　＝ 　 αR2（0＜α＜2π）　
提醒　角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，
采用的度量制度必须一致，不可混用.
°　
αR（0＜α＜2π）　
lR　
αR2（0＜α＜2π）　
3. 任意角的三角函数
（1）定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点
P（x，y），那么 sin α＝ ， cos α＝ ，tan α＝
；
（2）定义的推广：设P（x，y）是角α终边上异于顶点的任意一点，其
到原点O的距离为r，则 sin α＝ ， cos α＝ ，tan α＝ （x≠0）；
（3）三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
y　
x　
（x≠0）　
1. 象限角与轴线角
（1）象限角
（2）轴线角
2. α所在象限与 所在象限的关系
α所在象限 一 二 三 四
所在象限 一、三 一、三 二、四 二、四
3. 若角α∈（0， ），则 sin α＜α＜tan α.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）锐角是第一象限角，第一象限的角也都是锐角. （　×　）
（2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关. （　√　）
（3）终边相同的角的同一三角函数值相等. （　√　）
（4）若 sin α＞0，则α是第一或第二象限角. （　×　）
×
√
√
×
2. （人A必修一P176习题4题改编）一条弦的长等于半径，则此弦所对圆
心角的弧度数为（　　）
A. B.
C. D. π
解析： 　因为弦长等于半径，所以弦和与弦的两端点相交的两半径构成
等边三角形，所以弦所对圆心角为60°，即为 .
√
3. （人A必修一P182练习4题改编） ＋ ＋ 的值组
成的集合为（　　）
A. {3} B. {3，1}
C. {－1，1} D. {3，－1}
√
解析： 　当θ是第一象限角时，原式＝ ＋ ＋ ＝3；当θ是第
二象限角时，原式＝ ＋ ＋ ＝－1；当θ是第三象限角时，原
式＝ ＋ ＋ ＝－1；当θ是第四象限角时，原式＝ ＋
＋ ＝－1.综上，选D.
4. －135°＝ rad，它是第 象限角.
解析：－135°＝－135× rad＝－ rad，∵－135°＝225°－360°，
且225°角为第三象限角，故－135°角为第三象限角.
－ 　
三　
5. （苏教必修一P181练习1题改编）已知角θ的终边经过点P（－12，
5），则 sin θ＋ cos θ＝ .
解析：由三角函数的定义可得 sin θ＋ cos θ＝ ＋
＝ － ＝－ .
－ 　
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
象限角与终边相同的角（基础自学过关）
1. 集合{α｜kπ＋ ≤α≤kπ＋ ，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部
分）是（　　）
√
解析： 　当k取偶数时，比如k＝0，此时 ≤α≤ ，故角的终边在第一
象限或y轴正半轴；当k取奇数时，比如k＝1，此时 ≤α≤ ，故角的
终边在第三象限或y轴的负半轴.综上，角的终边在第一象限或第三象限或
y轴上.
2. 〔多选〕下列四个命题中正确的是（　　）
A. － 是第二象限角 B. 是第三象限角
C. －400°是第四象限角 D. －315°是第一象限角
解析： 　－ 是第三象限角，故A错误； ＝π＋ ，所以 是第三
象限角，故B正确；－400°＝－360°－40°，所以－400°是第四象限
角，故C正确；－315°＝－360°＋45°，所以－315°是第一象限角，故
D正确，故选B、C、D.
√
√
√
3. 与－2 026°终边相同的最小正角是 .
解析：∵－2 026°＝（－6）×360°＋134°，∴134°与－2 026°终边
相同.∴与－2 026°终边相同的最小正角是134°.
4. （人A必修一P176习题7题改编）已知α为第三象限角，则 是第
象限角，2α是 的角.
解析：因为α是第三象限角，即2kπ＋π＜α＜2kπ＋ ，k∈Z，所以kπ
＋ ＜ ＜kπ＋ ，k∈Z，4kπ＋2π＜2α＜4kπ＋3π，k∈Z. 当k为偶数
时， 为第二象限角；当k为奇数时， 为第四象限角，而2α的终边落在
第一、第二象限或y轴的非负半轴上.
134°　
二、
四　
第一、第二象限或y轴的非负半轴上　
用结论
终边所在象限的判定方法
如图，如果角θ的终边在第n（n＝1，2，3，4）象限，则图中n号区域所
在象限即为角 的终边所在象限.
（2025·广东实验中学二调）已知 sin α＞0， cos α＜0，则角 的终
边在（　　）
A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限
C. 第一、三、四象限 D. 第一、二、四象限
√
解析： 依题意 sin α＞0， cos α＜0，所以角α的终边在第二象限，则
角 的终边在②号区域所在象限，即第一、二、四象限.
练后悟通
1. 象限角的2种判断方法
（1）图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直
接判断已知角是第几象限角；
（2）转化法：先将已知角化为k·360°＋α（0°≤α＜360°，k∈Z）的
形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已
知角是第几象限角.
2. 求 或nθ（n∈N*）所在象限的步骤
（1）将θ的范围用不等式（含有k，且k∈Z）表示；
（2）两边同除以n或乘以n；
（3）对k进行讨论，得到 或nθ（n∈N*）所在的象限.
扇形的弧长及面积公式（师生共研过关）
（1）已知扇形的圆心角为 ，面积为 ，则扇形的弧长为（　C　）
A. B.
C. D.
C
解析： 设扇形的半径为r，则 × ×r2＝ ，解得r＝2.所以扇形的
弧长为2× ＝ .
（2）（人A必修一P176习题10题改编）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋
朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅
士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号.当折扇所在扇形的圆心角为
时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的弦长AB与
弧长 之比为（　C　）
C
A. B.
C. D.
解析：设扇形的半径为r，如图，取AB的中点D，连接
OD，圆心角α为 ，则∠AOD＝ ，所以弦长AB＝2AD
＝2r sin ＝ r.又弧长 ＝ r，所以弦长AB与弧长 之比为 ＝ .
解题技法
有关弧长及扇形面积问题的注意点
（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题；
（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三
角形.
1. 若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角为 rad时，这个扇形的面积
最大.
解析：由题意，得l＋2R＝20，∴l＝20－2R. ∴S扇＝ lR＝ （20－
2R）R＝－R2＋10R＝－（R－5）2＋25.∴当R＝5 cm时，S扇有最大值
25 cm2.此时l＝20－2×5＝10（cm），α＝ ＝ ＝2 rad.∴当α＝2 rad
时，扇形的面积最大.
2　
2. 数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的
美感.莱洛三角形的画法：先画等边△ABC，再分别以A，B，C为圆心，
线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形
的周长为2π，则其面积是 .
2π－2 　
解析：由条件可知，弧长 ＝ ＝ ＝ ，等边三角形的边长AB＝
BC＝AC＝ ＝2，则以点A，B，C为圆心，圆弧AB，BC，AC所对的
扇形面积为 × ×2＝ ，中间等边△ABC的面积S＝ ×2× ＝ .
所以莱洛三角形的面积是3× －2 ＝2π－2 .
三角函数的定义及应用（定向精析突破）
考向1　三角函数的定义
（1）已知角α的终边过点（x，4），且 cos α＝－ ，则tan α
＝ ；
解析： ∵角α的终边过点（x，4），且 cos α＝－ ，∴x＜0.
∵ cos α＝ ＝－ ，∴x＝－3，∴tan α＝－ .
－ 　
（2）已知角α的终边在直线y＝2x上，则 sin α＝ .
解析： 由题意可知，角α的终边落在第一或第三象限，且tan α＝
2，若在第一象限，可在α的终边上任取一点（1，2），∴ sin α＝
＝ ，若在第三象限，可在α的终边上任取一点（－1，－2），∴ sin α
＝ ＝－ .
± 　
解题技法
利用三角函数的定义解决问题的策略
（1）已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值.先求点P到
原点的距离，再用三角函数的定义求解；
（2）已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数
值，可根据定义中的两个量列方程求参数值；
（3）已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定
义可求角α终边上某特定点的坐标.
考向2　三角函数值符号的判定
若 sin α·tan α＜0，且 ＜0，则角α是（　　）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
解析： 　由 sin α·tan α＜0可知 sin α，tan α异号，则α为第二象限角
或第三象限角.由 ＜0可知 cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第
四象限角.综上可知，α为第三象限角，故选C.
√
解题技法
三角函数值符号的判断方法
　　要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限
角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号.如果角不
能确定所在象限，就要分类讨论求解.
1. （2024·河南部分学校大联考）已知在平面直角坐标系中，角α（0≤α
＜2π）的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点P（ sin ， cos
）为角α终边上的一点，则α＝（　　）
A. B.
解析： 　由题意可知P点坐标为（ ， ），tan α＝ ＝ ，所以角
α是第一象限角，所以0＜α＜ ，所以α＝ .故选D.
√
C. D.
2. sin 2 cos 3tan 4的值（　　）
A. 小于0 B. 大于0
C. 等于0 D. 不存在
解析： 　因为 ＜2＜3＜π＜4＜ ，所以 sin 2＞0， cos 3＜0，tan 4＞
0，所以 sin 2 cos 3tan 4＜0.故选A.
√
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. 把－1 125°化成α＋2kπ（0≤α＜2π，k∈Z）的形式是（　　）
A. － －6π B. －6π
C. － －8π D. －8π
解析： 　－1 125°＝－1 440°＋315°＝－8π＋ .故选D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
20
22
23
24
25
2. 下列各选项中正确的是（　　）
A. sin 300°＞0 B. cos （－305°）＜0
C. tan（－ ）＞0 D. sin 10＜0
解析： 　300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故 sin 300°＜
0，A错误；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故 cos
（－305°）＞0，B错误；－ ＝－8π＋ ，则－ 是第二象限角，故
tan（－ ）＜0，C错误；3π＜10＜ ，则10是第三象限角，故 sin 10＜
0，D正确.故选D.
√
3. 使lg（ sin θ cos θ）＋ 有意义的θ为（　　）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
解析： 　由题意知 sin θ cos θ＞0且－ cos θ≥0.由 sin θ cos θ＞0知
θ为第一、三象限角.又由－ cos θ≥0，即 cos θ≤0知θ为第二、三象限
角或终边在y轴或x轴非正半轴上的角，所以θ为第三象限角.故选C.
√
4. 已知角α的终边经过点P（－3，－8m），且 sin α＝－ ，则m的值
为（　　）
A. － B.
C. － D.
解析： 　由题意可知，｜OP｜＝ ＝ .因
为 sin α＝－ ，P（－3，－8m），所以α是第三象限角，可得
＝－ ，且m＞0，所以4m2＝1，解得m＝ .
√
5. 如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心，OB为半径作圆弧
交OP于点A. 若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α，则 ＝
（　　）
A. B.
C. 1 D. 2
√
解析： 　设扇形的半径为r，则扇形的面积为 αr2，在Rt△POB中，PB
＝rtan α，则△POB的面积为 r·rtan α，由题意得 r·rtan α＝2×
αr2，∴tan α＝2α，∴ ＝ .
6. 〔多选〕已知角θ的终边经过点（－2，－ ），且角θ与角α的终边
关于x轴对称，则（　　）
A. sin θ＝－
B. α为钝角
C. cos α＝－
D. 点（tan θ，tan α）在第四象限
√
√
√
解析： 　因为角θ的终边经过点（－2，－ ），所以 sin θ＝－
，A正确；因为角θ与角α的终边关于x轴对称，所以角α的终边经过
点（－2， ），则α为第二象限角，但α不一定为钝角，B错误； cos
α＝－ ，C正确；因为tan θ＝ ＞0，tan α＝－ ＜0，所以点（tan
θ，tan α）在第四象限，D正确.故选A、C、D.
7. 在平面直角坐标系xOy中，点P在角 的终边上，且｜OP｜＝2，则点
P的坐标为 .
解析：设点P的坐标为（x，y），由三角函数定义得
所以 所以点P的坐标为（－1， ）.
（－1， ）　
8. 已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内（不包括边界），则角α
用集合可表示为 .
解析：∵在[0，2π）内，终边落在阴影部分角的集合为（ ， ），∴所
求角的集合为{α｜2kπ＋ ＜α＜2kπ＋ ，k∈Z}.
{α｜2kπ＋ ＜α＜2kπ＋ ，k∈Z}　
9. 若角θ的终边过点P（－4，3）.
（1）求 sin θ＋ cos θ的值；
解： 因为角θ的终边过点P（－4，3），所以x＝－4，y＝3，r＝
5，所以 sin θ＝ ， cos θ＝－ ，
所以 sin θ＋ cos θ＝ － ＝－ .
（2）试判断 cos （ sin θ）· sin （ cos θ）的符号.
解： 因为 sin θ＝ ∈ ， cos θ＝－ ∈（－ ，0），所以
cos （ sin θ）＝ cos ＞0， sin （ cos θ）＝ sin （－ ）＜0，
则 cos （ sin θ）· sin （ cos θ）＜0.
10. 给出下列命题：
（1）第二象限角大于第一象限角；
（2）不论是用角度制还是用弧度制度量一个角的大小，都与扇形半径的
大小无关；
（3）若 sin α＝ sin β，则α与β的终边相同；
（4）若 cos θ＜0，则θ是第二或第三象限角.其中正确命题的个数是
（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
√
解析： 　－210°是第二象限角，10°是第一象限角，但－210°＜
10°，故命题（1）错误.根据角的定义可判断命题（2）正确.当α＝ ，
β＝ 时， sin α＝ sin β，此时α，β的终边关于y轴对称，故命题
（3）错误.当θ＝π时， cos θ＝－1＜0，此时θ的终边在x轴的负半轴
上，故命题（4）错误.故选A.
11. 已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从点A出发，点P沿着直
线l向右，点Q沿着圆周按逆时针方向以相同大小的速度运动，当点Q再
次运动到点A时，P，Q停止运动.在运动过程中，连接OQ，OP（如
图），则阴影部分的面积S1，S2的大小关系是（　　）
A. S1＝S2 B. S1≤S2
C. S1≥S2 D. 先S1＜S2再S1＞S2
√
解析： 　设线段OP与圆O交于点B，连接OA（图略），因为直线l与
圆O相切，所以OA⊥AP，所以S△AOP＝ OA·AP. 又因为S扇形AOQ＝
·OA， ＝AP，所以S扇形AOQ＝S△AOP，所以S扇形AOQ－S扇形AOB＝
S△AOP－S扇形AOB，S1＝S2，故选A.
12. 〔多选〕如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为（1，
0），∠BOA＝ ，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运
动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（　　）
A. 经过1 s后，∠BOA的弧度数为 ＋3
B. 经过 s后，扇形AOB的弧长为
C. 经过 s后，扇形AOB的面积为
D. 经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
√
√
√
解析： 　经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时∠BOA
的弧度数为 ＋3，故A正确；经过 s后，∠AOB＝ ＋ ＋2× ＝ ，
故扇形AOB的弧长为 ×1＝ ，故B正确；经过 s后，∠AOB＝ ＋
＋2× ＝ ，故扇形AOB的面积为S＝ × ×12＝ ，故C不正确；设
经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则t（1＋2）＋ ＝2π，解得t
＝ （s），故D正确.
13. 已知点P（ sin α－ cos α，tan α）在第一象限，且α∈[0，2π），
则角α的取值范围是 .
解析：因为点P在第一象限，所以
即 由tan α＞0可知角α为第一或第三
象限角，画出单位圆如图.又 sin α＞ cos α，用正弦
线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分（不包括边界），即角α的取值范围是（ ， ）∪（π， ）.
（ ， ）∪（π， ）　
14. 如图所示，十字形公路的交叉处有一扇形空地，某市规划拟在这块扇
形空地上修建一个圆形广场.已知∠AOB＝ ， 的长度为100π m.怎样
设计能使广场的占地面积最大？其值是多少？
解：如图所示，∵∠AOB＝ ， 的长度为100π m，
∴OA＝ ＝300（m）.
根据题意可知，当☉O1是扇形AOB内切圆时，广场的占地面
积最大，设☉O1与OA切于C点，连接O1O，O1C.
则∠O1OC＝ ，OO1＝OA－O1C＝300－O1C，
又O1C＝OO1 sin ，故O1C＝（300－O1C）× ，解得O1C＝100（m）.
此时☉O1的面积为π×1002＝10 000π（m2）.
15. （情境创新）如图为某校数学社团用
数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在
水平直线上取长度为1的线段AB，作一个
等边△ABC，然后以点B为圆心，AB为半
径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，“蚊香”的长度为（　　）
A. 14π B. 18π
C. 24π D. 30π
√
解析： 　由题意知，每段圆弧的圆心角均为 ，第一段圆弧长度为
×1＝ ，第二段圆弧长度为 ×（1＋1）＝ ，第三段圆弧长度为
×3＝2π，第四段圆弧长度为 ×4＝ ，第五段圆弧长度为 ×5＝
，第六段圆弧长度为 ×6＝4π，第七段圆弧长度为 ×7＝ ，第
八段圆弧长度为 ×8＝ ，故得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，“蚊
香”的长度为 ＋ ＋2π＋ ＋ ＋4π＋ ＋ ＝24π.故选C.
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