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第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式
1.cos（－）＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
2.设sin 25°＝a，则sin 65°cos 115°tan 205°＝（　　）
A. B.－
C.－a2 D.a2
3.已知cos（＋θ）＝－，则sin（＋θ）＝（　　）
A. B.
C.－ D.－
4.已知x∈（－，0），sin4x＋cos4x＝，则sin x－cos x＝（　　）
A. B.－
C. D.－
5.〔多选〕已知cos α＝，α∈（－，0），则（　　）
A.sin（π＋α）＝ B.cos（＋α）＝－
C.tan（π－α）＝ D.sin（＋α）＝
6.〔多选〕已知＝3，－＜α＜，则（　　）
A.tan α＝2 B.sin α－cos α＝－
C.sin4α－cos4α＝ D.＝
7.已知tan α＝cos α，则－＝　　　　.
8.（2024·苏州部分学校二调）已知x∈（0，π），若＝，则＝　　　　.
9.已知＜α＜π，tan α－＝－.
（1）求tan α的值；
（2）求的值.
10.已知函数f（n）＝2sin（＋）＋1（n∈N*），则f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2 025）＝（　　）
A.2 025 B.2 025＋
C.2 026＋ D.2 026
11.（2025·运城期末）若α，β∈（0，），且4sin2α－sin2β＋＝0，则当2sin α＋cos β取最大值时，sin β的值为（　　）
A. B.
C. D.
12.〔多选〕在△ABC中，已知tan＝sin C，则下列说法中一定正确的是（　　）
A.tan A＝tan B B.1＜sin A＋sin B≤
C.sin2A＋cos2B＝1 D.cos2A＋cos2B＝sin2C
13.sin（π－α）＋cos（π－α）（k∈Z）＝　　　　.
14.已知sin（－θ）cos（＋θ）＝，且0＜θ＜.
（1）求tan θ的值；
（2）求［cos（＋θ）＋sin（θ－）］·[sin（3π－θ）－2cos（π＋θ）]的值.
15.（情境创新）若α∈[0，π]，β∈［－，］，λ∈R，满足：（α－）3－cos α－2λ＝0，4β3＋sin βcos β＋λ＝0，则cos（π－－β）＝　　　　.
第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式
1.C　cos（－）＝cos＝cos（6π＋）＝cos＝.
2.C　因为sin 65°＝cos 25°，cos 115°＝cos（90°＋25°）＝－sin 25°，tan 205°＝tan（180°＋25°）＝tan 25°＝，所以sin 65°cos 115°·tan 205°＝－sin225°＝－a2.
3.B　sin（＋θ）＝sin［（＋θ）－］＝－sin［－（＋θ）］＝－cos（＋θ）＝.
4.B　∵sin4x＋cos4x＝（sin2x＋cos2x）2－2sin2xcos2x＝1－2sin2xcos2x＝，∴sin2xcos2x＝，又x∈（－，0），∴sin x＜0，cos x＞0，即sin xcos x＝－，sin x－cos x＝－
＝－
＝－
＝－.故选B.
5.AC　因为cos α＝，α∈（－，0），所以sin α＝－＝－，则sin（π＋α）＝－sin α＝，cos（＋α）＝－sin α＝，tan（π－α）＝－tan α＝－＝，sin（＋α）＝－cos α＝－，则A、C正确，B、D错误.故选A、C.
6.ACD　因为＝＝3，所以tan α＝2，故A正确；因为tan α＝＝2＞0，且－＜α＜，所以0＜α＜，所以sin α＞0，cos α＞0，由＝3＞0，可得sin α－cos α＞0，故B错误；sin4α－cos4α＝（sin2α－cos2α）·（sin2α＋cos2α）＝sin2α－cos2α＝＝＝＝，故C正确；＝＝＝，故D正确.故选A、C、D.
7.1　解析：因为tan α＝＝cos α，故sin α＝cos2α，则－＝＝＝＝＝1.
8.　解析：由＝知1－cos x≠0，则有＝＝＝＝＝.
9.解：（1）因为＜α＜π，所以tan α＜0，
令tan α＝x，x＜0，则x－＝－，整理得2x2＋3x－2＝0，解得x＝（舍去）或x＝－2，
故tan α＝－2.
（2）＝
＝tan α＋1＝－2＋1＝－1.
10.B　由f（n）＝2sin（＋）＋1（n∈N*）得f（4k＋m）＝2sin（2kπ＋＋）＋1＝2sin（＋）＋1＝f（m）（k，m∈N*），所以f（n）是以4为周期的周期函数，又f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝2sin（＋）＋1＋2sin（＋）＋1＋2sin（＋）＋1＋2sin（＋）＋1＝4，所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋…＋f（2 025）＝4×＋2sin（＋）＋1＝2 025＋.故选B.
11.B　法一 α，β∈（0，），且4sin2α－sin2β＋＝0，则2sin α＝，结合同角三角函数的基本关系得2sin α＋cos β＝＋≤·＝，当且仅当sin2β－＝1－sin2β，即sin β＝时等号成立，所以当2sin α＋cos β取最大值时，sin β的值为.故选B.
法二 已知4sin2α－sin2β＋＝0，则4sin2α－（1－cos2β）＋＝0，即4sin2α＋cos2β＝，即（2sin α）2＋cos2β＝.由基本不等式得2[（2sin α）2＋cos2β]≥（2sin α＋cos β）2，即（2sin α＋cos β）2≤，当且仅当2sin α＝cos β＝时等号成立，此时sin β＝.
12.BD　因为＝2sin·cos，整理得cos＝，所以A＋B＝90°，tan A＝tan B不一定正确，故选项A错误.sin A＋sin B＝sin A＋cos A＝sin（A＋45°），由45°＜A＋45°＜135°得＜sin（A＋45°）≤1，所以选项B正确.sin2A＋cos2B＝sin2A＋sin2A＝2sin2A＝1不一定正确，故选项C不正确.cos2A＋cos2B＝cos2A＋sin2A＝1＝sin2C，所以选项D正确.
13.0　解析：原式＝sin［kπ－（＋α）］＋cos［kπ＋（－α）］.当k为奇数时，设k＝2n＋1（n∈Z），原式＝sin［（2n＋1）π－（＋α）］＋cos［（2n＋1）π＋（－α）］＝sin［π－（＋α）］＋cos［π＋（－α）］＝sin（＋α）－cos（－α）＝sin（＋α）－sin（＋α）＝0.当k为偶数时，设k＝2n（n∈Z），原式＝sin［2nπ－（＋α）］＋cos［2nπ＋（－α）］＝－sin（＋α）＋cos（－α）＝－sin（＋α）＋sin（＋α）＝0.综上所述，原式＝0.
14.解：（1）∵sin（－θ）cos（＋θ）＝cos θsin θ＝，
∴＝＝，
∴12tan2θ－25tan θ＋12＝0，
即（3tan θ－4）（4tan θ－3）＝0.
∵0＜θ＜，∴0＜tan θ＜1，
∴tan θ＝.
（2）［cos（＋θ）＋sin（θ－）］·[sin（3π－θ）－2cos（π＋θ）]＝（sin θ－cos θ）（sin θ＋2cos θ）＝＝＝＝－.
15.－　解析：因为4β3＋sin βcos β＋λ＝0，即（2β）3＋sin 2β＋2λ＝0，又（α－）3－cos α－2λ＝0，即（α－）3－sin（－α）－2λ＝0，即（－α）3＋sin（－α）＋2λ＝0，令f（x）＝x3＋sin x，x∈［－，］，则f'（x）＝3x2＋cos x＞0，又f（－x）＝－x3－sin x＝－f（x），所以f（x）为奇函数且在［－，］上单调递增.因为α∈[0，π]，β∈［－，］，则－α∈［－，］，2β∈［－，］.所以f（－α）＝f（2β）＝－2λ，于是－α＝2β，＋β＝，所以cos（π－－β）＝cos（π－）＝－.
2 / 2第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式
课标要求
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α±，α±π的正弦、余弦、正切）.
3.能够运用同角三角函数基本关系和诱导公式解决相关问题.
1.同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1（α∈R）；
（2）商数关系：tan α＝（α≠kπ＋，k∈Z）.
提醒　平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋（k∈Z）.
2.诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α（k∈Z） π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α sin α cos α
余弦 cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α
提醒　诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋α（k∈Z）”中的k是奇数还是偶数；“变”与“不变”是指函数名称的变化；“符号看象限”指的是在“k·＋α（k∈Z）”中，将α看成锐角时，“k·＋α（k∈Z）”的终边所在的象限.
1.同角三角函数关系式的常见变形
（1）sin2α＝1－cos2α＝（1＋cos α）（1－cos α）；
（2）cos2α＝1－sin2α＝（1＋sin α）（1－sin α）；
（3）（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α；
（4）sin α＝tan αcos α（α≠＋kπ，k∈Z）；
（5）sin2α＝＝，cos2α＝＝.
2.（1）sin（kπ＋α）＝（－1）ksin α（k∈Z）；
（2）cos（kπ＋α）＝（－1）kcos α（k∈Z）.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.（　　）
（2）sin（π＋α）＝－sin α成立的条件是α为锐角.（　　）
（3）若α∈R，则tan α＝恒成立.（　　）
（4）若sin（kπ－α）＝（k∈Z），则sin α＝.（　　）
2.（人A必修一P185习题6（1）题改编）若α为第二象限角，且sin α＝，则tan α＝（　　）
A.2 B.－2
C. D.－
3.〔多选〕已知x∈R，则下列等式恒成立的是（　　）
A.sin（－x）＝sin x
B.sin（－x）＝cos x
C.cos（＋x）＝－sin x
D.cos（x－π）＝－cos x
4.sin 2 490°＝　　　　　，cos＝　　　　.　
5.（人A必修一P195习题9题改编）已知A＝＋（k∈Z），则A的值构成的集合是　　　　.
同角三角函数基本关系式的应用
（定向精析突破）
考向1　“知一求二”问题
（2023·全国乙卷文14题）若θ∈（0，），tan θ＝，则sin θ－cos θ＝　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
利用同角基本关系式“知一求二”的方法
考向2　sin α，cos α的齐次式问题
（2025·沈阳部分学校联考）若＝，则＝（　　）
A.－ B.
C.－ D.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解题技法
利用“齐次化切”求齐次式值的方法
（1）若齐次式为分式，可将分子与分母同除以cos α的n次幂，将分式的分子与分母化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求解；
（2）若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用sin2α＋cos2α替换，再将分子与分母同除以cos2α，化为只含有tan α的式子，代入tan α的值即可求解.
考向3　“sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系
〔多选〕已知sin θ＋cos θ＝，θ∈（0，π），则（　　）
A.sin θcos θ＝－ B.sin θ－cos θ＝
C.sin θ－cos θ＝ D.tan θ＝－
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
“和积互化”解决求值问题
（1）由同角三角函数关系可知：（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α，（sin α＋cos α）2＋（sin α－cos α）2＝2，（sin α－cos α）2＝（sin α＋cos α）2－4sin αcos α，因此已知sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中的任何一个，即可求出另外两个式子的值，这体现了“和积互化”；
（2）求sin α＋cos α，sin α－cos α的值时，需要进行开方运算，因此要注意结合角的范围进行符号的判断.
1.已知＝2，则tan α＝（　　）
A. B.
C.－ D.－
2.〔多选〕已知sin θcos θ＝，＜θ＜2π，则（　　）
A.θ的终边在第三象限
B.sin θ＋cos θ＝
C.sin θ－cos θ＝0
D.tan θ＝－1
3.已知＝－1，则＝　　　　；sin2α＋sin αcos α＋2＝　　　　.
诱导公式的应用
（师生共研过关）
（1）（人A必修一P195习题8题改编）已知sin（α＋）＝，则cos（α＋）＝　　　；sin（－α）＝　　　　；
（2）化简
.
解题技法
1.利用诱导公式解题的一般思路
（1）化绝对值大的角为锐角；
（2）角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍.
2.常见的互余和互补的角
（1）互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等；
（2）互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等.
1.（2025·榆林模拟）已知tan（α－π）＝，则＝（　　）
A. B.3
C.－ D.－3
2.sin（－1 200°）cos 1 290°＝　　　　.
同角关系式与诱导公式的综合应用
（师生共研过关）
（2025·甘肃高考诊断考试）已知f（α）＝
.
（1）化简f（α）；
（2）若α＝－，求f（α）的值；
（3）若cos（－α－）＝，α∈［π，］，求f（α）的值.
解题技法
利用诱导公式与同角关系式求解问题的思路和要求
（1）思路：①分析结构特点，选择恰当的公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式.
（2）要求：①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.
1.已知角α是第二象限角，且满足sin（＋α）＋3cos（α－π）＝1，则tan（π＋α）＝（　　）
A. B.－
C.－ D.－1
2.已知α为锐角，且2tan（π－α）－3cos（＋β）＋5＝0，tan（π＋α）＋6sin（π＋β）－1＝0，则sin α＝（　　）
A. B.
C. D.
第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
2.－sin α　cos α　－cos α　－tan α
对点自测诊断
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）×
2.D　3.CD　4.－　－
5.{－2，2}　
【考点·分类突破】
考点1
【例1】 －　解析：由tan2θ＝＝＝，得cos2θ＝.因为θ∈（0，），所以cos θ＝，则sin θ＝＝，所以sin θ－cos θ＝－.
【例2】 C　∵＝＝，∴tan θ＝，则＝＝＝＝＝＝－，故选C.
【例3】 ACD　对于A，因为sin θ＋cos θ＝，所以（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝，即sin θcos θ＝－，所以A正确；对于B、C，（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝，因为θ∈（0，π），且sin θcos θ＝－＜0，所以sin θ＞0，cos θ＜0，即sin θ－cos θ＞0，所以sin θ－cos θ＝，所以B错误，C正确；对于D，联立解得sin θ＝，cos θ＝－，所以tan θ＝－，所以D正确.故选A、C、D.
跟踪训练
1.B　因为＝2，所以cos α＋2sin α＝2，且cos α≠0，所以cos2α＋4sin αcos α＋4sin2α＝4，即4sin αcos α＝3cos2α，cos α≠0，所以tan α＝.故选B.
2.AC　因为sin θcos θ＝，＜θ＜2π，则θ为第三象限角，A正确；由题意得sin θ＜0，cos θ＜0，B错误；因为（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝0，故sin θ－cos θ＝0，C正确；结合选项C可知tan θ＝1，D错误.
3.－　　解析：由已知得tan α＝，所以＝＝－.sin2α＋sin αcos α＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.
考点2
【例4】 （1）－　　解析：cos（α＋）＝cos（＋α＋）＝－sin（α＋）＝－.sin（π－α）＝sin［π－（α＋）］＝sin（α＋）＝.
（2）解：由诱导公式得，原式＝＝＝tan α.
跟踪训练
1.C　由tan（α－π）＝，解得tan α＝，则＝＝－tan α＝－.
2.　解析：原式＝－sin 1 200°cos 1 290°＝－sin（3×360°＋120°）cos（3×360°＋210°）＝－sin 120°cos 210°＝－sin（180°－60°）cos（180°＋30°）＝sin 60°cos 30°＝×＝.
考点3
【例5】 解：（1）f（α）＝＝－cos α.
（2）若α＝－，则f（α）＝－cos（－）＝－cos ＝－.
（3）由cos（－α－）＝，可得sin α＝－，因为α∈［π，］，所以cos α＝－，所以f（α）＝－cos α＝.
跟踪训练
1.B　由sin（＋α）＋3cos（α－π）＝1，得cos α－3cos α＝1，∴cos α＝－，∵角α是第二象限角，∴sin α＝，∴tan（π＋α）＝tan α＝＝－.
2.C　由已知得消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin2α＝，又α为锐角，则sin α＝.
2 / 4(共61张PPT)
第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式
高中总复习·数学
课标要求
1. 理解同角三角函数的基本关系式： sin 2α＋ cos 2α＝1， ＝tan
α .
2. 借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α± ，α±π的正
弦、余弦、正切）.
3. 能够运用同角三角函数基本关系和诱导公式解决相关问题.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系： sin 2α＋ cos 2α＝1（α∈R）；
（2）商数关系：tan α＝ （α≠kπ＋ ，k∈Z）.
提醒　平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋ （k∈Z）.
2. 诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α （k∈Z） π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α － sin α sin α cos
α
余弦 cos α cos α － cos α sin α － sin α
正切 tan α tan α －tan α
－ sin α
cos α
－ cos α
－tan α
提醒　诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的
是“k· ＋α（k∈Z）”中的k是奇数还是偶数；“变”与“不变”是指
函数名称的变化；“符号看象限”指的是在“k· ＋α（k∈Z）”中，将
α看成锐角时，“k· ＋α（k∈Z）”的终边所在的象限.
1. 同角三角函数关系式的常见变形
（1） sin 2α＝1－ cos 2α＝（1＋ cos α）（1－ cos α）；
（2） cos 2α＝1－ sin 2α＝（1＋ sin α）（1－ sin α）；
（3）（ sin α± cos α）2＝1±2 sin α cos α；
（4） sin α＝tan α cos α（α≠ ＋kπ，k∈Z）；
（5） sin 2α＝ ＝ ， cos 2α＝ ＝ .
2. （1） sin （kπ＋α）＝（－1）k sin α（k∈Z）；
（2） cos （kπ＋α）＝（－1）k cos α（k∈Z）.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若α，β为锐角，则 sin 2α＋ cos 2β＝1. （　×　）
（2） sin （π＋α）＝－ sin α成立的条件是α为锐角. （　×　）
（3）若α∈R，则tan α＝ 恒成立. （　×　）
（4）若 sin （kπ－α）＝ （k∈Z），则 sin α＝ . （　×　）
×
×
×
×
2. （人A必修一P185习题6（1）题改编）若α为第二象限角，且 sin α＝
，则tan α＝（　　）
A. 2 B. －2
C. D. －
解析： 　因为 sin α＝ ，由 sin 2α＋ cos 2α＝1可得 cos α＝± ，又
α为第二象限角，所以 cos α＝－ ，所以tan α＝ ＝－ .故选D.
√
3. 〔多选〕已知x∈R，则下列等式恒成立的是（　　）
A. sin （－x）＝ sin x
B. sin （ －x）＝ cos x
C. cos （ ＋x）＝－ sin x
D. cos （x－π）＝－ cos x
解析： 　 sin （－x）＝－ sin x，故A不成立； sin （ －x）＝－ cos
x，故B不成立； cos （ ＋x）＝－ sin x，故C成立； cos （x－π）＝－
cos x，故D成立.
√
√
4. sin 2 490°＝ 　－ 　， cos ＝ 　－ 　.
解析： sin 2 490°＝ sin （7×360°－30°）＝－ sin 30°＝－ . cos
＝ cos ＝ cos ＝ cos ＝－ cos ＝－ .
－ 　
－ 　
5. （人A必修一P195习题9题改编）已知A＝ ＋
（k∈Z），则A的值构成的集合是 .
解析：因为A＝ ＋ ，①当k为偶数时，A＝ ＋
＝2；②当k为奇数时，A＝ － ＝－2.∴A的值构成的集合是{－
2，2}.
{－2，2}　
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
同角三角函数基本关系式的应用（定向精析突破）
考向1　“知一求二”问题
（2023·全国乙卷文14题）若θ∈（0， ），tan θ＝ ，则 sin θ－
cos θ＝ .
解析：由tan2θ＝ ＝ ＝ ，得 cos 2θ＝ .因为θ∈（0，
），所以 cos θ＝ ，则 sin θ＝ ＝ ，所以 sin θ－ cos
θ＝－ .
－ 　
解题技法
利用同角基本关系式“知一求二”的方法
考向2　 sin α， cos α的齐次式问题
（2025·沈阳部分学校联考）若 ＝ ，则 ＝
（　　）
A. － B.
C. － D.
√
解析： 　∵ ＝ ＝ ，∴tan θ＝ ，则
＝ ＝ ＝ ＝ ＝
＝－ ，故选C.
解题技法
利用“齐次化切”求齐次式值的方法
（1）若齐次式为分式，可将分子与分母同除以 cos α的n次幂，将分式的
分子与分母化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求解；
（2）若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用
sin 2α＋ cos 2α替换，再将分子与分母同除以 cos 2α，化为只含有tan α
的式子，代入tan α的值即可求解.
考向3　“ sin α± cos α， sin α cos α”之间的关系
〔多选〕已知 sin θ＋ cos θ＝ ，θ∈（0，π），则（　　）
A. sin θ cos θ＝－ B. sin θ－ cos θ＝
C. sin θ－ cos θ＝ D. tan θ＝－
√
√
√
解析： 　对于A，因为 sin θ＋ cos θ＝ ，所以（ sin θ＋ cos θ）2
＝1＋2 sin θ cos θ＝ ，即 sin θ cos θ＝－ ，所以A正确；对于B、
C，（ sin θ－ cos θ）2＝1－2 sin θ cos θ＝ ，因为θ∈（0，π），且
sin θ cos θ＝－ ＜0，所以 sin θ＞0， cos θ＜0，即 sin θ－ cos θ＞
0，所以 sin θ－ cos θ＝ ，所以B错误，C正确；对于D，联立
解得 sin θ＝ ， cos θ＝－ ，所以tan θ＝－ ，所
以D正确.故选A、C、D.
解题技法
“和积互化”解决求值问题
（1）由同角三角函数关系可知：（ sin α± cos α）2＝1±2 sin α cos
α，（ sin α＋ cos α）2＋（ sin α－ cos α）2＝2，（ sin α－ cos α）2
＝（ sin α＋ cos α）2－4 sin α cos α，因此已知 sin α＋ cos α， sin α
－ cos α， sin α cos α三个式子中的任何一个，即可求出另外两个式子的
值，这体现了“和积互化”；
（2）求 sin α＋ cos α， sin α－ cos α的值时，需要进行开方运算，因
此要注意结合角的范围进行符号的判断.
1. 已知 ＝2，则tan α＝（　　）
A. B.
C. － D. －
解析： 因为 ＝2，所以 cos α＋2 sin α＝2，且 cos α≠0，所以
cos 2α＋4 sin α cos α＋4 sin 2α＝4，即4 sin α cos α＝3 cos 2α， cos
α≠0，所以tan α＝ .故选B.
√
2. 〔多选〕已知 sin θ cos θ＝ ， ＜θ＜2π，则（　　）
A. θ的终边在第三象限
B. sin θ＋ cos θ＝
C. sin θ－ cos θ＝0
D. tan θ＝－1
解析： 　因为 sin θ cos θ＝ ， ＜θ＜2π，则θ为第三象限角，A正
确；由题意得 sin θ＜0， cos θ＜0，B错误；因为（ sin θ－ cos θ）2＝
1－2 sin θ cos θ＝0，故 sin θ－ cos θ＝0，C正确；结合选项C可知tan
θ＝1，D错误.
√
√
3. 已知 ＝－1，则 ＝ 　－ 　； sin 2α＋ sin α cos α＋2
＝ .
解析：由已知得tan α＝ ，所以 ＝ ＝－ . sin 2α＋ sin α
cos α＋2＝ ＋2＝ ＋2＝ ＋2＝ .
－ 　
　
诱导公式的应用（师生共研过关）
（1）（人A必修一P195习题8题改编）已知 sin （α＋ ）＝ ，则
cos （α＋ ）＝ 　－ 　； sin （ －α）＝ 　 　；
解析： cos （α＋ ）＝ cos （ ＋α＋ ）＝－ sin （α＋ ）＝－ .
sin （ π－α）＝ sin ［π－（α＋ ）］＝ sin （α＋ ）＝ .
－ 　
　
（2）化简 .
解：由诱导公式得，原式＝ ＝ ＝
tan α.
解题技法
1. 利用诱导公式解题的一般思路
（1）化绝对值大的角为锐角；
（2）角中含有加减 的整数倍时，用公式去掉 的整数倍.
2. 常见的互余和互补的角
（1）互余的角： －α与 ＋α； ＋α与 －α； ＋α与 －α等；
（2）互补的角： ＋θ与 －θ； ＋θ与 －θ等.
1. （2025·榆林模拟）已知tan（α－π）＝ ，则
＝（　　）
A. B. 3
C. － D. －3
解析： 　由tan（α－π）＝ ，解得tan α＝ ，则
＝ ＝－tan α＝－ .
√
2. sin （－1 200°） cos 1 290°＝ .
解析：原式＝－ sin 1 200° cos 1 290°＝－ sin （3×360°＋120°） cos
（3×360°＋210°）＝－ sin 120° cos 210°＝－ sin （180°－60°）
cos （180°＋30°）＝ sin 60° cos 30°＝ × ＝ .
　
同角关系式与诱导公式的综合应用（师生共研过关）
（2025·甘肃高考诊断考试）已知f（α）＝
.
（1）化简f（α）；
解： f（α）＝ ＝－ cos α.
（2）若α＝－ ，求f（α）的值；
解： 若α＝－ ，则f（α）＝－ cos （－ ）＝－ cos ＝－ .
（3）若 cos （－α－ ）＝ ，α∈［π， ］，求f（α）的值.
解： 由 cos （－α－ ）＝ ，可得 sin α＝－ ，
因为α∈［π， ］，
所以 cos α＝－ ，
所以f（α）＝－ cos α＝ .
解题技法
利用诱导公式与同角关系式求解问题的思路和要求
（1）思路：①分析结构特点，选择恰当的公式；②利用公式化成单角三
角函数；③整理得最简形式.
（2）要求：①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽
可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.
1. 已知角α是第二象限角，且满足 sin （ ＋α）＋3 cos （α－π）＝1，
则tan（π＋α）＝（　　）
A. B. － C. － D. －1
解析： 　由 sin （ ＋α）＋3 cos （α－π）＝1，得 cos α－3 cos α＝
1，∴ cos α＝－ ，∵角α是第二象限角，∴ sin α＝ ，∴tan（π＋
α）＝tan α＝ ＝－ .
√
2. 已知α为锐角，且2tan（π－α）－3 cos （ ＋β）＋5＝0，tan（π＋
α）＋6 sin （π＋β）－1＝0，则 sin α＝（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　由已知得 消去 sin β，得tan α＝3，
∴ sin α＝3 cos α，代入 sin 2α＋ cos 2α＝1，化简得 sin 2α＝ ，又α
为锐角，则 sin α＝ .
√
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. cos （－ ）＝（　　）
A. － B. －
C. D.
解析： 　 cos （－ ）＝ cos ＝ cos （6π＋ ）＝ cos ＝ .
1
2
3
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19
20
20
22
23
24
25
√
2. 设 sin 25°＝a，则 sin 65° cos 115°tan 205°＝（　　）
A. B. －
C. －a2 D. a2
解析： 　因为 sin 65°＝ cos 25°， cos 115°＝ cos （90°＋25°）＝－
sin 25°，tan 205°＝tan（180°＋25°）＝tan 25°＝ ，所以 sin
65° cos 115°·tan 205°＝－ sin 225°＝－a2.
√
3. 已知 cos （ ＋θ）＝－ ，则 sin （ ＋θ）＝（　　）
A. B.
C. － D. －
解析： 　 sin （ ＋θ）＝ sin ［（ ＋θ）－ ］＝－ sin ［ －（ ＋
θ）］＝－ cos （ ＋θ）＝ .
√
4. 已知x∈（－ ，0）， sin 4x＋ cos 4x＝ ，则 sin x－ cos x＝（　　）
A. B. －
C. D. －
√
解析： 　∵ sin 4x＋ cos 4x＝（ sin 2x＋ cos 2x）2－2 sin 2x cos 2x＝1－2
sin 2x cos 2x＝ ，∴ sin 2x cos 2x＝ ，又x∈（－ ，0），∴ sin x＜0，
cos x＞0，即 sin x cos x＝－ ， sin x－ cos x＝－ ＝－
＝－
＝－ .故选B.
5. 〔多选〕已知 cos α＝ ，α∈（－ ，0），则（　　）
A. sin （π＋α）＝ B. cos （ ＋α）＝－
C. tan（π－α）＝ D. sin （ ＋α）＝
解析： 　因为 cos α＝ ，α∈（－ ，0），所以 sin α＝－
＝－ ，则 sin （π＋α）＝－ sin α＝ ， cos （ ＋α）＝－
sin α＝ ，tan（π－α）＝－tan α＝－ ＝ ， sin （ ＋α）＝－ cos
α＝－ ，则A、C正确，B、D错误.故选A、C.
√
√
6. 〔多选〕已知 ＝3，－ ＜α＜ ，则（　　）
A. tan α＝2 B. sin α－ cos α＝－
C. sin 4α－ cos 4α＝ D. ＝
√
√
√
解析： 　因为 ＝ ＝3，所以tan α＝2，故A正确；因
为tan α＝ ＝2＞0，且－ ＜α＜ ，所以0＜α＜ ，所以 sin α＞0，
cos α＞0，由 ＝3＞0，可得 sin α－ cos α＞0，故B错误； sin
4α－ cos 4α＝（ sin 2α－ cos 2α）·（ sin 2α＋ cos 2α）＝ sin 2α－ cos
2α＝ ＝ ＝ ＝ ，故C正确； ＝
＝ ＝ ，故D正确.故选A、C、D.
7. 已知tan α＝ cos α，则 － ＝ .
解析：因为tan α＝ ＝ cos α，故 sin α＝ cos 2α，则 － ＝
＝ ＝ ＝ ＝1.
1　
8. （2024·苏州部分学校二调）已知x∈（0，π），若 ＝ ，则
＝ 　 　.
解析：由 ＝ 知1－ cos x≠0，则有 ＝ ＝
＝ ＝ ＝ .
　
9. 已知 ＜α＜π，tan α－ ＝－ .
（1）求tan α的值；
解： 因为 ＜α＜π，所以tan α＜0，
令tan α＝x，x＜0，则x－ ＝－ ，整理得2x2＋3x－2＝0，解得x＝
（舍去）或x＝－2，
故tan α＝－2.
（2）求 的值.
解： ＝
＝tan α＋1＝－2＋1＝－1.
10. 已知函数f（n）＝2 sin （ ＋ ）＋1（n∈N*），则f（1）＋f
（2）＋f（3）＋…＋f（2 025）＝（　　）
A. 2 025 B. 2 025＋
C. 2 026＋ D. 2 026
√
解析： 　由f（n）＝2 sin （ ＋ ）＋1（n∈N*）得f（4k＋m）＝2
sin （2kπ＋ ＋ ）＋1＝2 sin （ ＋ ）＋1＝f（m）（k，
m∈N*），所以f（n）是以4为周期的周期函数，又f（1）＋f（2）＋f
（3）＋f（4）＝2 sin （ ＋ ）＋1＋2 sin （ ＋ ）＋1＋2 sin （
＋ ）＋1＋2 sin （ ＋ ）＋1＝4，所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋f
（4）＋…＋f（2 025）＝4× ＋2 sin （ ＋ ）＋1＝2 025＋
.故选B.
11. （2025·运城期末）若α，β∈（0， ），且4 sin 2α－ sin 2β＋ ＝
0，则当2 sin α＋ cos β取最大值时， sin β的值为（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　法一 α，β∈（0， ），且4 sin 2α－ sin 2β＋ ＝0，则2 sin
α＝ ，结合同角三角函数的基本关系得2 sin α＋ cos β＝
＋ ≤ · ＝ ，当且仅当
sin 2β－ ＝1－ sin 2β，即 sin β＝ 时等号成立，所以当2 sin α＋ cos
β取最大值时， sin β的值为 .故选B.
法二 已知4 sin 2α－ sin 2β＋ ＝0，则4 sin 2α－（1－ cos 2β）＋ ＝0，
即4 sin 2α＋ cos 2β＝ ，即（2 sin α）2＋ cos 2β＝ .由基本不等式得
2[（2 sin α）2＋ cos 2β]≥（2 sin α＋ cos β）2，即（2 sin α＋ cos β）
2≤ ，当且仅当2 sin α＝ cos β＝ 时等号成立，此时 sin β＝ .
12. 〔多选〕在△ABC中，已知tan ＝ sin C，则下列说法中一定正确
的是（　　）
A. tan A＝tan B
B. 1＜ sin A＋ sin B≤
C. sin 2A＋ cos 2B＝1
D. cos 2A＋ cos 2B＝ sin 2C
√
√
解析： 　因为 ＝2 sin · cos ，整理得 cos ＝ ，所
以A＋B＝90°，tan A＝tan B不一定正确，故选项A错误. sin A＋ sin B＝
sin A＋ cos A＝ sin （A＋45°），由45°＜A＋45°＜135°得 ＜ sin
（A＋45°）≤1，所以选项B正确. sin 2A＋ cos 2B＝ sin 2A＋ sin 2A＝2
sin 2A＝1不一定正确，故选项C不正确. cos 2A＋ cos 2B＝ cos 2A＋ sin 2A
＝1＝ sin 2C，所以选项D正确.
13. sin （ π－α）＋ cos （ π－α）（k∈Z）＝ .
解析：原式＝ sin ［kπ－（ ＋α）］＋ cos ［kπ＋（ －α）］.当k为
奇数时，设k＝2n＋1（n∈Z），原式＝ sin ［（2n＋1）π－（ ＋
α）］＋ cos ［（2n＋1）π＋（ －α）］＝ sin ［π－（ ＋α）］＋ cos
［π＋（ －α）］＝ sin （ ＋α）－ cos （ －α）＝ sin （ ＋α）－
sin （ ＋α）＝0.当k为偶数时，设k＝2n（n∈Z），原式＝ sin ［2nπ
－（ ＋α）］＋ cos ［2nπ＋（ －α）］＝－ sin （ ＋α）＋ cos （
－α）＝－ sin （ ＋α）＋ sin （ ＋α）＝0.综上所述，原式＝0.
0　
14. 已知 sin （ －θ） cos （ ＋θ）＝ ，且0＜θ＜ .
（1）求tan θ的值；
解： ∵ sin （ －θ） cos （ ＋θ）＝ cos θ sin θ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴12tan2θ－25tan θ＋12＝0，
即（3tan θ－4）（4tan θ－3）＝0.
∵0＜θ＜ ，∴0＜tan θ＜1，∴tan θ＝ .
（2）求［ cos （ ＋θ）＋ sin （θ－ ）］·[ sin （3π－θ）－2 cos （π
＋θ）]的值.
解： ［ cos （ ＋θ）＋ sin （θ－ ）］·[ sin （3π－θ）－2 cos
（π＋θ）]＝（ sin θ－ cos θ）（ sin θ＋2 cos θ）＝
＝ ＝ ＝－ .
15. （情境创新）若α∈[0，π]，β∈［－ ， ］，λ∈R，满足：（α
－ ）3－ cos α－2λ＝0，4β3＋ sin β cos β＋λ＝0，则 cos （π－ －
β）＝ .
－ 　
解析：因为4β3＋ sin β cos β＋λ＝0，即（2β）3＋ sin 2β＋2λ＝0，
又（α－ ）3－ cos α－2λ＝0，即（α－ ）3－ sin （ －α）－2λ＝
0，即（ －α）3＋ sin （ －α）＋2λ＝0，令f（x）＝x3＋ sin x，x∈
［－ ， ］，则f'（x）＝3x2＋ cos x＞0，又f（－x）＝－x3－ sin x＝－
f（x），所以f（x）为奇函数且在［－ ， ］上单调递增.因为α∈[0，
π]，β∈［－ ， ］，则 －α∈［－ ， ］，2β∈［－ ， ］.所
以f（ －α）＝f（2β）＝－2λ，于是 －α＝2β， ＋β＝ ，所以
cos （π－ －β）＝ cos （π－ ）＝－ .
THANKS
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