资源简介

第2课时　简单的三角恒等变换
1.＝（　　）
A. B.
C. D.2
2.已知α是第二象限角，且终边经过点（－4，3），则tan＝（　　）
A.3 B.
C.2 D.或2
3.已知α为锐角，且cos α（1＋·tan 10°）＝1，则α的值为（　　）
A.20° B.40°
C.50° D.70°
4.黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形.已知在顶角为36°的黄金三角形中，36°角对应边与72°角对应边的比值为≈0.618，这个值被称为黄金比例.若t＝，则＝（　　）
A.　 　B.　　C.　 　D.
5.已知α，β∈（0，），2tan α＝，则tan（2α＋β＋）＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
6.〔多选〕已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α＝，cos（α＋β）＝－，则（　　）
A.cos α＝－ B.sin α－cos α＝
C.β－α＝ D.cos αcos β＝－
7.写出一个使等式＋＝2成立的α的值为　　　　.
8.（2024·泰安阶段练习）已知0＜β＜α＜，cos（α－β）＝，cos αcos β＝，则－＝　　　　.
9.已知sin（α－β）＝，sin（α＋β）＝.
（1）证明：tan α＋5tan β＝0；
（2）计算的值.
10.在平面直角坐标系xOy中，锐角θ的大小如图所示，则＝（　　）
A.－2 B.2
C. D.3
11.若α，β∈（，π），且（1－cos 2α）（1＋sin β）＝sin 2αcos β，则下列结论正确的是（　　）
A.2α＋β＝ B.2α－β＝
C.α＋β＝ D.α－β＝
12.已知tan（α＋15°）＝7tan（α－15°），则sin（α－15°）·cos（α＋15°）＝（　　）
A. B.
C. D.
13.设a，x，y都是实数，x，y∈［－，］，满足x3＋sin x＝2a，4y3＋sin ycos y＝－a，则3sin（＋y）＝　　　　.
14.已知sin α＝4sin2－2.
（1）求的值；
（2）已知α∈（0，π），β∈（0，），tan2β＋6tan β－1＝0，求α＋2β的值.
15.（推理论证与数学表达）（1）推导sin 3α，cos 3α公式（用sin α或cos α表示）；
（2）利用（1）的结论证明：sin α·sin（60°＋α）·sin（60°－α）＝sin 3α，cos α·cos（60°＋α）·cos（60°－α）＝cos 3α，tan α·tan（60°＋α）·tan（60°－α）＝tan 3α.
第2课时　简单的三角恒等变换
1.C　＝＝＝.故选C.
2.A　∵α是第二象限角，且终边经过点（－4，3），∴sin α＝，cos α＝－，∴tan＝＝＝＝＝3.故选A.
3.B　由cos α（1＋tan 10°）＝1可得cos α·＝1，所以cos α·＝1，所以cos α＝＝＝＝cos 40°，又α为锐角，所以α＝40°，选B.
4.D　依题意，得t＝＝＝2cos 72°，则＝＝＝＝＝.
5.B　∵2tan α＝，∴2＝＝，∴sin α＋sin αsin β＝cos αcos β，∴sin α＝cos αcos β－sin αsin β＝cos（α＋β），∵α，β∈（0，），∴α＋α＋β＝，∴tan（2α＋β＋）＝tan＝－，故选B.
6.BC　因为≤α≤π，所以≤2α≤2π，又sin 2α＝＞0，故有≤2α≤π，≤α≤，解出cos 2α＝－＝2cos2α－1 cos2α＝ cos α＝，故A错误；（sin α－cos α）2＝1－sin 2α＝，又≤α≤，所以sin α≥cos α，所以sin α－cos α＝，故B正确；因为≤α≤，π≤β≤，所以≤α＋β≤2π，又cos（α＋β）＝－＜0，所以≤α＋β≤，解得sin（α＋β）＝－，所以cos（β－α）＝cos[（α＋β）－2α]＝－×＋×＝－，又因为≤α＋β≤，－π≤－2α≤－，所以≤β－α≤π，有β－α＝，故C正确；由cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝－，cos（β－α）＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，两式联立得cos αcos β＝－，故D错误.故选B、C.
7.（答案不唯一）
解析：由＋＝2得，
＝2，所以sin（2α＋）＝sin（2α＋），所以（2α＋）＋（2α＋）＝π＋2kπ，k∈Z，即α＝＋，k∈Z时，等式可成立.
8.－2　解析：由题意可知cos（α－β）＝＝cos αcos β＋sin αsin β，所以sin αsin β＝，即tan αtan β＝＝，又0＜β＜α＜，所以＞α－β＞0，sin（α－β）＝＝，则tan（α－β）＝＝，所以tan α－tan β＝，所以－＝＝＝－2.
9.解：（1）证明：法一 由条件sin（α－β）＝，sin（α＋β）＝，得2sin（α－β）＝3sin（α＋β），
即2sin αcos β－2cos αsin β＝3sin αcos β＋3cos αsin β，
整理得sin αcos β＝－5cos αsin β，
即tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0得证.
法二 由条件sin（α－β）＝，sin（α＋β）＝，
即sin αcos β－cos αsin β＝， ①
sin αcos β＋cos αsin β＝， ②
由①②，得sin αcos β＝，cos αsin β＝－，
从而可得tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0得证.
（2）由于tan（α－β）＝ tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β），
所以
＝
＝
＝－＝.
10.B　由题图及正切函数的定义可知，tan（θ＋）＝＝5，即＝5，解得tan θ＝.所以＝＝＝＝2，故选B.
11.A　∵α，β∈（，π），∴sin α≠0，∵（1－cos 2α）（1＋sin β）＝sin 2αcos β，∴2sin2α（1＋sin β）＝2sin αcos αcos β，即sin α（1＋sin β）＝cos αcos β.∴sin α＝cos αcos β－sin αsin β＝cos（α＋β），∴cos（α＋β）＝cos（－α），∵α，β∈（，π），∴π＜α＋β＜2π，且－＜－α＜0，∴α＋β＝－α＋2π，解得2α＋β＝.
12.D　由tan（α＋15°）＝7tan（α－15°） ＝7· sin（α＋15°）cos（α－15°）＝7sin（α－15°）cos（α＋15°），设A＝sin（α＋15°）cos（α－15°），B＝cos（α＋15°）sin（α－15°），则A＝7B①，又A－B＝sin 30°＝②，联立①②，解得A＝，B＝，故sin（α－15°）cos（α＋15°）＝.
13.3　解析：因为4y3＋sin ycos y＝－a，所以8y3＋2sin ycos y＝－2a，即（－2y）3＋sin（－2y）＝2a，则2a＝x3＋sin x＝（－2y）3＋sin（－2y）.构造函数f（x）＝x3＋sin x，所以f（x）＝f（－2y）.又因为f（x）在［－，］上单调递增，所以x＝－2y，则3sin（＋y）＝3sin（＋＋y）＝3cos（＋y）＝3cos 0＝3.
14.解：（1）∵sin α＝4sin2－2＝4×－2＝－2cos α，∴tan α＝－2.
∴＝
＝sin α（sin α－cos α）
＝
＝＝.
（2）由（1）知tan α＝－2.
∵tan2β＋6tan β－1＝0，
∴tan 2β＝ ＝.
∴tan（α＋2β）＝＝＝－1.
∵α∈（0，π），β∈（0，），由tan α＝－2，得α∈（，π），
由tan 2β＝，得2β∈（0，），
∴α＋2β∈（，）.
由tan（α＋2β）＝－1，得α＋2β＝.
15.解：（1）sin 3α＝sin（2α＋α）＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α＝2sin αcos α·cos α＋（1－2sin2α）·sin α＝2sin α·（1－sin2α）＋（1－2sin2α）·sin α＝3sin α－4sin3 α.
cos 3α＝cos（2α＋α）＝cos 2αcos α－sin 2αsin α＝（2cos2α－1）cos α－2sin αcos α·sin α＝（2cos2α－1）cos α－2（1－cos2α）·cos α＝4cos3α－3cos α.
（2）证明：sin 3α＝3sin α－4sin3α＝4sin α（－sin2α）
＝4sin α（sin260°－sin2α）
＝4sin α（－）
＝4sin α·（cos 2α－cos 120°）
＝4sin α·{cos[（60°＋α）－（60°－α）]－cos[（60°＋α）＋（60°－α）]}
＝4sin α·sin（60°＋α）·sin（60°－α）.
所以sin α·sin（60°＋α）·sin（60°－α）＝sin 3α.
同理cos α·cos（60°＋α）·cos（60°－α）＝cos 3α.　
由此得tan α·tan（60°＋α）·tan（60°－α）＝tan 3α.
2 / 2第2课时　简单的三角恒等变换
三角函数式的化简
（师生共研过关）
（1）化简：·；
（2）已知α∈（0，π），化简：
.
解题技法
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
1.化简sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）＝　　　　.
2.已知＜α＜2π，化简＝　　　　.
三角函数式求值
（定向精析突破）
考向1　给角求值
（1）求值：＝（　　）
A.1 B.2
C. D.
（2）求值：＝　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
给角求值问题的求解策略
　　观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍、半角公式等将非特殊角的三角函数值转化为：
（1）特殊角的三角函数值；
（2）正、负相消的项和特殊角的三角函数值；
（3）可约分的项和特殊角的三角函数值等.
考向2　给值（式）求值
（1）（2024·九省联考）已知θ∈（，π），tan 2θ＝－4tan（θ＋），则＝（　　）
A.　　　B.　　　C.1　　　D.
（2）（2024·新高考Ⅱ卷13题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin（α＋β）＝　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　用结论
万能公式
（1）sin α＝；（2）cos α＝；
（3）tan α＝.
上述三个公式统称为万能公式.
已知α，β∈（0，π），tan＝，sin（α－β）＝，则cos β＝　　　　.
解题技法
给值求值问题的求解思路
（1）化简所求式子或已知条件；
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）；
（3）将已知条件代入所求式子，化简求值.
考向3　给值求角
（2025·九江二模）已知α，β∈（0，），cos（α－β）＝，tan αtan β＝，则α＋β＝（　　）
A. B.
C. D.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
　　“给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围），在选取函数时，遵循以下原则：
（1）已知正切函数值，选正切函数；
（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是（0，π），选余弦函数；若角的范围为，选正弦函数.
1.（2025·石家庄质量检测三）已知角α，β满足tan α＝，2sin β＝cos（α＋β）sin α，则tan β＝（　　）
A. B.
C. D.2
2.（2024·江西阶段练习）已知sin α＋cos α＝，则＝（　　）
A.－ B.
C. D.－
三角恒等变换的综合应用
（师生共研过关）
已知3sin α＝2sin2－1.
（1）求sin 2α＋cos 2α的值；
（2）已知α∈（0，π），β∈（，π），2tan2β－tan β－1＝0，求α＋β的值.
解题技法
　　进行三角恒等变换要抓住变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系，注意公式的逆用和变形使用.
已知0＜α＜，0＜β＜，cos α＝，cos（β＋α）＝.
（1）求sin β的值；
（2）求的值.
第2课时　简单的三角恒等变换
【考点·分类突破】
考点1
【例1】 解：（1）原式＝tan（90°－2α）·＝·＝·＝.
（2）因为α∈（0，π），所以∈（0，），所以原式＝
＝
＝＝cos α.
跟踪训练
1.0　解析：令θ＋15°＝α，原式＝sin（α＋60°）＋cos（α＋30°）－cos α＝sin αcos 60°＋cos αsin 60°＋cos αcos 30°－sin αsin 30°－cos α＝sin α＋cos α＋cos α－sin α－cos α＝0.
2.－cos　解析：∵＜α＜2π，∴＜＜π，∴cos α＞0，cos＜0，则＝＝＝cos＝－cos.
考点2
【例2】 （1）C　（2）－4　解析：（1）原式＝
＝
＝
＝
＝
＝＝.
（2）原式＝
＝
＝
＝＝－4.
【例3】 （1）A　（2）－　解析：（1）因为θ∈（，π），所以tan θ∈（－1，0）.由tan 2θ＝－4tan（θ＋）得＝－4，化简整理得2tan2θ＋5tan θ＋2＝0，解得tan θ＝－2（舍去）或tan θ＝－，所以＝＝＝＝.故选A.
（2）法一 由题意得tan（α＋β）＝＝＝－2，因为α∈（2kπ，2kπ＋），β∈（2mπ＋π，2mπ＋），k，m∈Z，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋π，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，又因为tan（α＋β）＝－2＜0，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，则sin（α＋β）＜0，则＝－2，联立sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）＝1，解得sin（α＋β）＝－.
法二 由法一得tan（α＋β）＜0，sin（α＋β）＜0，故α＋β为第四象限角.不妨在角α＋β的终边上选取一点P（1，－2），则r＝｜OP｜＝＝3，所以sin（α＋β）＝－.
法三　易得tan（α＋β）＝＝＝－2.又tan α＋tan β＝＋＝＝4，所以sin（α＋β）＝4cos αcos β.由α为第一象限角，β为第三象限角，得cos α＞0，cos β＜0，所以sin（α＋β）＝4cos αcos β＜0.由tan（α＋β）＝－2，结合sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）＝1，得sin（α＋β）＝－.
用结论
　解析：∵tan＝，∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝，∵α，β∈（0，π），cos α＞0，∴α∈（0，），∴α－β∈（－π，），∵sin（α－β）＝＞0，∴α－β∈（0，），∴cos（α－β）＝，∴cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos（α－β）·cos α＋sin（α－β）sin α＝×＋×＝.
【例4】 A　因为cos（α－β）＝，tan αtan β＝，所以
解得
所以cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝，又α，β∈（0，），所以α＋β∈（0，π），所以α＋β＝.
跟踪训练
1.C　因为2sin β＝cos（α＋β）sin α，即2sin[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）sin α，所以2sin（α＋β）cos α－2cos（α＋β）sin α＝cos（α＋β）sin α，整理得2sin（α＋β）cos α＝3cos（α＋β）sin α，变形得tan（α＋β）＝tan α＝，所以tan β＝tan[（α＋β）－α]＝＝.故选C.
2.D　因为sin α＋cos α＝，则（sin α＋cos α）2＝1＋sin 2α＝，可得sin 2α＝－，所以＝＝＝＝－.故选D.
考点3
【例5】 解：（1）因为3sin α＝2sin2－1，
所以3sin α＝－cos α，所以tan α＝－，
所以sin 2α＋cos 2α＝＝＝＝.
（2）因为β∈（，π），所以tan β＜0，
因为2tan2β－tan β－1＝（2tan β＋1）（tan β－1）＝0，
所以tan β＝－，
又因为α∈（0，π），tan α＝－，所以＜α＜π.
所以tan（α＋β）＝＝＝－1，
由得π＜α＋β＜2π，所以α＋β＝.
跟踪训练
解：（1）由0＜α＜，0＜β＜，cos α＝，cos（β＋α）＝，
得sin α＝，sin（β＋α）＝.
所以sin β＝sin[（β＋α）－α]＝sin（β＋α）·cos α－cos（β＋α）sin α＝×－×＝.
（2）因为cos α＝，sin α＝，
所以＝＝＝12.
3 / 3(共60张PPT)
第2课时　简单的三角恒等变换
高中总复习·数学
目 录
CONTENTS
考点·分类突破
01.
课时·跟踪检测
02.
PART 01
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
三角函数式的化简（师生共研过关）
（1）化简： · ；
解： 原式＝tan（90°－2α）· ＝ · ＝
· ＝ .
（2）已知α∈（0，π），化简：
.
解： 因为α∈（0，π），所以 ∈（0， ），所以原式＝
＝
＝ ＝ cos α.
解题技法
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
1. 化简 sin （θ＋75°）＋ cos （θ＋45°）－ cos （θ＋15°）
＝ .
解析：令θ＋15°＝α，原式＝ sin （α＋60°）＋ cos （α＋30°）－
cos α＝ sin α cos 60°＋ cos α sin 60°＋ cos α cos 30°－ sin α sin
30°－ cos α＝ sin α＋ cos α＋ cos α－ sin α－ cos α＝0.
0　
2. 已知 ＜α＜2π，化简 ＝ 　－ cos 　.
解析：∵ ＜α＜2π，∴ ＜ ＜π，∴ cos α＞0， cos ＜0，则
＝ ＝ ＝| cos ＝－ cos .
－ cos 　
三角函数式求值（定向精析突破）
考向1　给角求值
（1）求值： ＝（　C　）
A. 1 B. 2
C. D.
C
解析： 原式＝
＝ ＝
＝ ＝
＝ ＝ .
（2）求值： ＝ 　－4 　.
解析： 原式＝
＝
＝
＝ ＝－4 .
－4 　
解题技法
给角求值问题的求解策略
　　观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍、半角公式等将非
特殊角的三角函数值转化为：
（1）特殊角的三角函数值；
（2）正、负相消的项和特殊角的三角函数值；
（3）可约分的项和特殊角的三角函数值等.
考向2　给值（式）求值
（1）（2024·九省联考）已知θ∈（ ，π），tan 2θ＝－4tan（θ
＋ ），则 ＝（　A　）
A. B.
C. 1 D.
A
解析： 因为θ∈（ ，π），所以tan θ∈（－1，0）.由tan 2θ＝－
4tan（θ＋ ）得 ＝－4 ，化简整理得2tan2θ＋5tan θ＋2＝
0，解得tan θ＝－2（舍去）或tan θ＝－ ，所以 ＝
＝ ＝ ＝ .故选A.
（2）（2024·新高考Ⅱ卷13题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，
tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝ ＋1，则 sin （α＋β）＝ 　－ 　.
－ 　
解析： 法一 由题意得tan（α＋β）＝ ＝ ＝－
2 ，因为α∈（2kπ，2kπ＋ ），β∈（2mπ＋π，2mπ＋ ），k，
m∈Z，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋π，（2m＋2k）π＋2π），k，
m∈Z，又因为tan（α＋β）＝－2 ＜0，则α＋β∈（（2m＋2k）π
＋ ，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，则 sin （α＋β）＜0，则
＝－2 ，联立 sin 2（α＋β）＋ cos 2（α＋β）＝1，解得
sin （α＋β）＝－ .
法二 由法一得tan（α＋β）＜0， sin （α＋β）＜0，故α＋β为第四象
限角.不妨在角α＋β的终边上选取一点P（1，－2 ），则r＝｜OP｜
＝ ＝3，所以 sin （α＋β）＝－ .
法三　易得tan（α＋β）＝ ＝ ＝－2 .又tan α＋tan β
＝ ＋ ＝ ＝4，所以 sin （α＋β）＝4 cos α cos
β.由α为第一象限角，β为第三象限角，得 cos α＞0， cos β＜0，所以
sin （α＋β）＝4 cos α cos β＜0.由tan（α＋β）＝－2 ，结合 sin 2
（α＋β）＋ cos 2（α＋β）＝1，得 sin （α＋β）＝－ .
用结论
万能公式
（1） sin α＝ ；
（2） cos α＝ ；
（3）tan α＝ .
上述三个公式统称为万能公式.
已知α，β∈（0，π），tan ＝ ， sin （α－β）＝ ，则 cos β
＝ .
解析：∵tan ＝ ，∴ sin α＝ ＝ ＝ ， cos α＝
＝ ＝ ，∵α，β∈（0，π）， cos α＞0，∴α∈（0， ），
∴α－β∈（－π， ），∵ sin （α－β）＝ ＞0，∴α－β∈（0，
），∴ cos （α－β）＝ ，∴ cos β＝ cos [α－（α－β）]＝ cos
（α－β） cos α＋ sin （α－β） sin α＝ × ＋ × ＝ .
　
解题技法
给值求值问题的求解思路
（1）化简所求式子或已知条件；
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）；
（3）将已知条件代入所求式子，化简求值.
考向3　给值求角
（2025·九江二模）已知α，β∈（0， ）， cos （α－β）＝ ，
tan αtan β＝ ，则α＋β＝（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　因为 cos （α－β）＝ ，tan αtan β＝ ，所以
解得
所以 cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ ，又α，β∈（0，
），所以α＋β∈（0，π），所以α＋β＝ .
解题技法
　　“给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角
函数值来求角（注意角的范围），在选取函数时，遵循以下原则：
（1）已知正切函数值，选正切函数；
（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是 ，
选正、余弦函数皆可；若角的范围是（0，π），选余弦函数；若角的范围
为 ，选正弦函数.
1. （2025·石家庄质量检测三）已知角α，β满足tan α＝ ，2 sin β＝
cos （α＋β） sin α，则tan β＝（　　）
A. B.
C. D. 2
√
解析： 　因为2 sin β＝ cos （α＋β） sin α，即2 sin [（α＋β）－
α]＝ cos （α＋β） sin α，所以2 sin （α＋β） cos α－2 cos （α＋
β） sin α＝ cos （α＋β） sin α，整理得2 sin （α＋β） cos α＝3 cos
（α＋β） sin α，变形得tan（α＋β）＝ tan α＝ ，所以tan β＝
tan[（α＋β）－α]＝ ＝ .故选C.
2. （2024·江西阶段练习）已知 sin α＋ cos α＝ ，则
＝（　　）
A. － B.
C. D. －
√
解析： 　因为 sin α＋ cos α＝ ，则（ sin α＋ cos α）2＝1＋ sin 2α
＝ ，可得 sin 2α＝－ ，所以 ＝
＝ ＝ ＝－ .故选D.
三角恒等变换的综合应用（师生共研过关）
已知3 sin α＝2 sin 2 －1.
（1）求 sin 2α＋ cos 2α的值；
解： 因为3 sin α＝2 sin 2 －1，
所以3 sin α＝－ cos α，所以tan α＝－ ，
所以 sin 2α＋ cos 2α＝ ＝ ＝
＝ .
（2）已知α∈（0，π），β∈（ ，π），2tan2β－tan β－1＝0，求α＋
β的值.
解： 因为β∈（ ，π），所以tan β＜0，
因为2tan2β－tan β－1＝（2tan β＋1）（tan β－1）＝0，
所以tan β＝－ ，
又因为α∈（0，π），tan α＝－ ，所以 ＜α＜π.
所以tan（α＋β）＝ ＝ ＝－1，
由 得π＜α＋β＜2π，所以α＋β＝ .
解题技法
　　进行三角恒等变换要抓住变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间
的关系，注意公式的逆用和变形使用.
已知0＜α＜ ，0＜β＜ ， cos α＝ ， cos （β＋α）＝ .
（1）求 sin β的值；
解： 由0＜α＜ ，0＜β＜ ， cos α＝ ， cos （β＋α）＝ ，
得 sin α＝ ， sin （β＋α）＝ .
所以 sin β＝ sin [（β＋α）－α]＝ sin （β＋α） cos α－ cos （β＋
α） sin α＝ × － × ＝ .
（2）求 的值.
解：（2）因为 cos α＝ ， sin α＝ ，
所以 ＝ ＝ ＝12.
PART 02
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. ＝（　　）
A. B.
C. D. 2
解析： 　 ＝ ＝ ＝ .故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
20
22
23
24
25
√
2. 已知α是第二象限角，且终边经过点（－4，3），则tan ＝（　　）
A. 3 B. C. 2 D. 或2
解析： 　∵α是第二象限角，且终边经过点（－4，3），∴ sin α＝ ，
cos α＝－ ，∴tan ＝ ＝ ＝ ＝ ＝3.故选A.
√
3. 已知α为锐角，且 cos α（1＋ ·tan 10°）＝1，则α的值为（　　）
A. 20° B. 40°
C. 50° D. 70°
解析： 　由 cos α（1＋ tan 10°）＝1可得 cos α·
＝1，所以 cos α· ＝1，所以 cos α＝ ＝ ＝
＝ cos 40°，又α为锐角，所以α＝40°，选B.
√
4. 黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为
108°的等腰三角形.已知在顶角为36°的黄金三角形中，36°角对应边与
72°角对应边的比值为 ≈0.618，这个值被称为黄金比例.若t＝ ，
则 ＝（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　依题意，得t＝ ＝ ＝2 cos 72°，则 ＝
＝ ＝ ＝
＝ .
5. 已知α，β∈（0， ），2tan α＝ ，则tan（2α＋β＋ ）
＝（　　）
A. － B. －
C. D.
√
解析： 　∵2tan α＝ ，∴2 ＝ ＝ ，∴ sin
α＋ sin α sin β＝ cos α cos β，∴ sin α＝ cos α cos β－ sin α sin β
＝ cos （α＋β），∵α，β∈（0， ），∴α＋α＋β＝ ，∴tan
（2α＋β＋ ）＝tan ＝－ ，故选B.
6. 〔多选〕已知 ≤α≤π，π≤β≤ ， sin 2α＝ ， cos （α＋β）＝
－ ，则（　　）
A. cos α＝－ B. sin α－ cos α＝
C. β－α＝ D. cos α cos β＝－
√
√
解析： 　因为 ≤α≤π，所以 ≤2α≤2π，又 sin 2α＝ ＞0，故有
≤2α≤π， ≤α≤ ，解出 cos 2α＝－ ＝2 cos 2α－1 cos 2α＝
cos α＝ ，故A错误；（ sin α－ cos α）2＝1－ sin 2α＝ ，又
≤α≤ ，所以 sin α≥ cos α，所以 sin α－ cos α＝ ，故B正确；
因为 ≤α≤ ，π≤β≤ ，所以 ≤α＋β≤2π，又 cos （α＋β）＝
－ ＜0，所以 ≤α＋β≤ ，解得 sin （α＋β）＝－ ，所以 cos
（β－α）＝ cos [（α＋β）－2α]＝－ × ＋ × ＝－ ，
又因为 ≤α＋β≤ ，－π≤－2α≤－ ，所以 ≤β－α≤π，有β－
α＝ ，故C正确；由 cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝－
， cos （β－α）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝－ ，两式联立得
cos α cos β＝－ ，故D错误.故选B、C.
7. 写出一个使等式 ＋ ＝2成立的α的值为 　 （答
.
解析：由 ＋ ＝2得，
＝2，所以 sin （2α＋ ）＝ sin （2α＋
），所以（2α＋ ）＋（2α＋ ）＝π＋2kπ，k∈Z，即α＝ ＋ ，
k∈Z时，等式可成立.
（答
案不唯一）　
8. （2024·泰安阶段练习）已知0＜β＜α＜ ， cos （α－β）＝ ， cos
α cos β＝ ，则 － ＝ .
－2　
解析：由题意可知 cos （α－β）＝ ＝ cos α cos β＋ sin α sin β，所
以 sin α sin β＝ ，即tan αtan β＝ ＝ ，又0＜β＜α＜ ，所
以 ＞α－β＞0， sin （α－β）＝ ＝ ，则tan（α
－β）＝ ＝ ，所以tan α－tan β＝ ，所以 － ＝
＝ ＝－2.
9. 已知 sin （α－β）＝ ， sin （α＋β）＝ .
（1）证明：tan α＋5tan β＝0；
解： 证明：法一 由条件 sin （α－β）＝ ， sin （α＋β）＝ ，
得2 sin （α－β）＝3 sin （α＋β），
即2 sin α cos β－2 cos α sin β＝3 sin α cos β＋3 cos α sin β，
整理得 sin α cos β＝－5 cos α sin β，
即tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0得证.
法二 由条件 sin （α－β）＝ ， sin （α＋β）＝ ，
即 sin α cos β－ cos α sin β＝ ， ①
sin α cos β＋ cos α sin β＝ ， ②
由①②，得 sin α cos β＝ ， cos α sin β＝－ ，
从而可得tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0得证.
（2）计算 的值.
解： 由于tan（α－β）＝ tan α－tan β＝tan（α－β）
（1＋tan αtan β），所以
＝
＝
＝－ ＝ .
10. 在平面直角坐标系xOy中，锐角θ的大小如图所示，则 ＝（　　）
A. －2 B. 2
C. D. 3
√
解析： 　由题图及正切函数的定义可知，tan（θ＋ ）＝ ＝5，即
＝5，解得tan θ＝ .所以 ＝ ＝ ＝
＝2，故选B.
11. 若α，β∈（ ，π），且（1－ cos 2α）（1＋ sin β）＝ sin 2α cos
β，则下列结论正确的是（　　）
A. 2α＋β＝ B. 2α－β＝
C. α＋β＝ D. α－β＝
√
解析： 　∵α，β∈（ ，π），∴ sin α≠0，∵（1－ cos 2α）（1＋
sin β）＝ sin 2α cos β，∴2 sin 2α（1＋ sin β）＝2 sin α cos α cos
β，即 sin α（1＋ sin β）＝ cos α cos β.∴ sin α＝ cos α cos β－ sin
α sin β＝ cos （α＋β），∴ cos （α＋β）＝ cos （ －α），∵α，
β∈（ ，π），∴π＜α＋β＜2π，且－ ＜ －α＜0，∴α＋β＝ －
α＋2π，解得2α＋β＝ .
12. 已知tan（α＋15°）＝7tan（α－15°），则 sin （α－15°）· cos
（α＋15°）＝（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　由tan（α＋15°）＝7tan（α－15°） ＝
7· sin （α＋15°） cos （α－15°）＝7 sin （α－
15°） cos （α＋15°），设A＝ sin （α＋15°） cos （α－15°），B
＝ cos （α＋15°） sin （α－15°），则A＝7B①，又A－B＝ sin 30°
＝ ②，联立①②，解得A＝ ，B＝ ，故 sin （α－15°） cos （α＋
15°）＝ .
13. 设a，x，y都是实数，x，y∈［－ ， ］，满足x3＋ sin x＝2a，
4y3＋ sin y cos y＝－a，则3 sin （ ＋y）＝ .
解析：因为4y3＋ sin y cos y＝－a，所以8y3＋2 sin y cos y＝－2a，即（－
2y）3＋ sin （－2y）＝2a，则2a＝x3＋ sin x＝（－2y）3＋ sin （－
2y）.构造函数f（x）＝x3＋ sin x，所以f（x）＝f（－2y）.又因为f
（x）在［－ ， ］上单调递增，所以x＝－2y，则3 sin （ ＋y）＝
3 sin （ ＋ ＋y）＝3 cos （ ＋y）＝3 cos 0＝3.
3　
14. 已知 sin α＝4 sin 2 －2.
（1）求 的值；
解： ∵ sin α＝4 sin 2 －2＝4× －2＝－2 cos α，∴tan α＝－2.
∴ ＝
＝ sin α（ sin α－ cos α）＝
＝ ＝ .
（2）已知α∈（0，π），β∈（0， ），tan2β＋6tan β－1＝0，求α＋
2β的值.
解： 由（1）知tan α＝－2.
∵tan2β＋6tan β－1＝0，∴tan 2β＝ ＝ .
∴tan（α＋2β）＝ ＝ ＝－1.
∵α∈（0，π），β∈（0， ），由tan α＝－2，得α∈（ ，π），
由tan 2β＝ ，得2β∈（0， ），
∴α＋2β∈（ ， ）.
由tan（α＋2β）＝－1，得α＋2β＝ .
15. （推理论证与数学表达）（1）推导 sin 3α， cos 3α公式（用 sin α或
cos α表示）；
解： sin 3α＝ sin （2α＋α）＝ sin 2α cos α＋ cos 2α sin α＝2
sin α cos α· cos α＋（1－2 sin 2α）· sin α＝2 sin α·（1－ sin 2α）＋
（1－2 sin 2α）· sin α＝3 sin α－4 sin 3 α.
cos 3α＝ cos （2α＋α）＝ cos 2α cos α－ sin 2α sin α＝（2 cos 2α－
1） cos α－2 sin α cos α· sin α＝（2 cos 2α－1） cos α－2（1－ cos
2α）· cos α＝4 cos 3α－3 cos α.
（2）利用（1）的结论证明： sin α· sin （60°＋α）· sin （60°－α）
＝ sin 3α， cos α· cos （60°＋α）· cos （60°－α）＝ cos 3α，tan
α·tan（60°＋α）·tan（60°－α）＝tan 3α.
解： 证明： sin 3α＝3 sin α－4 sin 3α＝4 sin α（ － sin 2α）
＝4 sin α（ sin 260°－ sin 2α）
＝4 sin α（ － ）
＝4 sin α· （ cos 2α－ cos 120°）
＝4 sin α· { cos [（60°＋α）－（60°－α）]－ cos [（60°＋α）＋
（60°－α）]}
＝4 sin α· sin （60°＋α）· sin （60°－α）.
所以 sin α· sin （60°＋α）· sin （60°－α）＝ sin 3α.
同理 cos α· cos （60°＋α）· cos （60°－α）＝ cos 3α.　
由此得tan α·tan（60°＋α）·tan（60°－α）＝tan 3α.
THANKS
演示完毕 感谢观看

展开更多......

收起↑