资源简介

第八节　三角函数与解三角形的实际应用
1.台风中心从A地以每小时40 km的速度向西北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，若城市B在A地正西40 km处，则B城市处于危险区内的时间为（　　）
A.0.5 h　　B.1 h　　C.1.5 h　　D.2 h
2.一个风车的半径为6 m，每12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的距离h（t）（m）与时间t（min）之间的函数关系式是（　　）
A.h（t）＝－6sin t＋6 B.h（t）＝－6cos t＋6
C.h（t）＝－6sin t＋8 D.h（t）＝－6cos t＋8
3.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B'＝45°，∠A'B'C'＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'－CC'约为（≈1.732）（　　）
A.346 B.373
C.446 D.473
4.（2024·临沂一模）在同一平面上有相距14公里的A，B两座炮台，A在B的正东方.某次演习时，A向西偏北θ方向发射炮弹，B则向东偏北θ方向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着A改向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点M，则B炮台与弹着点M的距离为（　　）
A.7公里 B.8公里
C.9公里 D.10公里
5.〔多选〕（2025·兰州高三诊断考试）某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量、迭代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中，一定可以计算出旗杆高度的方案有（　　）
A.在水平地面上任意寻找两点A，B，分别测量旗杆顶端的仰角α，β，再测量A，B两点间的距离
B.在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为h，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和β
C.在地面上任意寻找一点A，测量旗杆顶端的仰角α，再测量A到旗杆底部的距离
D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α，正对旗杆前行5 m到达B处，再次测量旗杆顶端的仰角β
6.（2024·黄冈一模）如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，则这段曲线的函数解析式为　　　　.
7.如图是某商业小区的平面设计图，初步设计该小区边界轮廓是半径为200米，圆心角为的扇形AOB.O为南门位置，C为东门位置，小区里有一条平行于AO的小路CD，若OD＝米，则圆弧的长为　　　　米.
8.如图，一艘海轮从A处出发，沿北偏东75°的方向航行（2－2）n mile到达海岛B，然后从B处出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile到达海岛C.
（1）求点A到海岛C的直线距离AC的长；
（2）如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小.
9.（2025·北京高三阶段练习）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为｜y｜＝（2－·［］）｜sin ωx｜，x≥0，其中[x]表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足ω∈（1，3），经过点M（，）.则该条葫芦曲线与直线x＝交点的纵坐标为（　　）
A.± B.±
C.± D.±1
10.（2025·昆明“三诊一模”质量检测）早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径.假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示.地球在E0位置时，测出∠SE0M＝；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了E1位置，测出∠SE1M＝，∠E1SE0＝.若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：≈1.7）（　　）
A.2.1R B.2.2R
C.2.3R D.2.4R
11.如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点.动点A从初始位置A0（cos，sin）开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0（2，0）开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动.记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.
（1）求t＝时，A，B两点间的距离；
（2）若y＝y1＋y2，求y关于时间t（t＞0）的函数关系式，并求当t∈（0，］时，y的取值范围.
12.（实操应用问题）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足cos α＝，则这块四边形木板周长的最大值为（　　）
A.20 cm B.20 cm 　
C.20 cm 　D.30 cm
13.（方案设计问题）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量.A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图）.飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离.请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.
第八节　三角函数与解三角形的实际应用
1.A　如图所示，过点B作BE⊥AT于点E，由∠BAT＝45°，AB＝40 km，则BE＝ABsin 45°＝20 km，分别使得BD＝BF＝30，由勾股定理得DE＝EF＝＝10 km，故B城市处于危险区内的路径长度为DF＝20 km，则B城市处于危险区内的时间为＝0.5 h.故选A.
2.D　设h（t）＝Acos ωt＋B（A＜0，ω＞0），∵每12 min旋转一周，∴＝12，∴ω＝.由题意得，h（t）的最大值与最小值分别为14，2，∴解得∴h（t）＝－6cos t＋8.
3.B　如图所示，根据题意过C作CE∥C'B'，交BB'于E，过B作BD∥A'B'，交AA'于D，则BE＝100，C'B'＝CE＝.在△A'C'B'中，∠C'A'B'＝75°，则BD＝A'B'＝.又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝，所以高度差AA'－CC'＝AD＋BE＝＋100＝＋100＝＋100＝＋100＝100（＋1）＋100≈373.
4.D　依题意设炮弹第一次命中点为C，则AB＝14，AC＝BC＝AM＝18，∠CBA＝∠CAB＝θ，∠MAB＝，在△ABC中BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos θ，即182＝182＋142－2×18×14cos θ，解得cos θ＝，所以cos θ＝2cos2－1＝，又θ为锐角，解得cos＝（负值舍去），在△ABM中，BM2＝AM2＋AB2－2AM·ABcos ＝182＋142－2×18×14×＝100，所以BM＝10，即B炮台与弹着点M的距离为10公里.故选D.
5.BCD　当A，B两点与旗杆底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不正确；如图1，在△ABD中，由正弦定理求AD，则旗杆的高CD＝h＋ADsin β，故B正确；如图2，在Rt△ADC中，直接利用锐角三角函数求出旗杆的高DC＝ACtan α，故C正确；如图3，在△ABD中，由正弦定理求AD，则旗杆的高CD＝ADsin α，故D正确.故选B、C、D.
6.y＝10sin（x＋）＋20，x∈[6，14]
解析：从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b的半个周期，所以由图可知，A＝10，b＝20，×＝14－6，所以｜ω｜＝.又ω＞0，所以ω＝.又×10＋φ＝2kπ，k∈Z，0＜φ＜π，所以φ＝，所以y＝10sin（x＋）＋20，x∈[6，14].
7.50π　解析：连接OC，因为CD∥OA，所以∠DCO＝∠COA，∠CDO＝π－∠DOA＝.在△OCD中，由正弦定理可得＝，即＝，则sin∠DCO＝＝，因为∠DCO＝∠COA，且0＜∠COA＜，所以∠DCO＝∠COA＝，所以圆弧的长为×200＝50π米.
8.解：（1）依题意，在△ABC中，AB＝2－2，
BC＝4，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，
根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝（2－2）2＋42＋（2－2）×4＝24，
所以AC＝2，
故AC的长为2 n mile.
（2）根据正弦定理得，＝，
所以sin∠CAB＝＝×＝，
又∠CAB为锐角，所以∠CAB＝45°.
9.C　将点M（，）代入葫芦曲线的方程可得（2－［］）｜sinω｜＝，即｜sinω｜＝1，由ω∈（1，3）可得ω＝2，因此曲线方程为｜y｜＝（2－［］）｜sin 2x｜，当x＝时，可得｜y｜＝（2－［］）｜sin 2×｜＝（2－［］）·｜sin｜＝｜sin｜＝，所以交点的纵坐标为±.故选C.
10.A　连接E1E0（图略），由题知∠SE0M＝，∠SE1M＝，∠E1SE0＝，所以∠E1ME0＝.SE1＝SE0＝R，则△SE1E0为等边三角形，E1E0＝R.在△E1ME0中，由正弦定理＝，即＝，解得ME0＝R.在△SE0M中，由余弦定理SM2＝S＋M－2SE0·ME0·cos∠SE0M，即SM2＝R2＋（R）2－2R·R·（－），得SM2＝（＋）R2≈4.2R2，所以SM≈≈2.05R，最接近2.1R，故选A.
11.解：（1）连接AB，OA，OB（图略），
当t＝时，∠xOA＝＋＝，∠xOB＝，
所以∠AOB＝.
又OA＝1，OB＝2，
所以AB2＝12＋22－2×1×2cos＝7，
即A，B两点间的距离为.
（2）依题意，y1＝sin（2t＋），
y2＝－2sin 2t，
所以y＝sin（2t＋）－2sin 2t＝cos 2t－sin 2t＝cos（2t＋），
即函数关系式为y＝cos（2t＋）（t＞0），
当t∈（0，］时，2t＋∈（，］，
所以cos（2t＋）∈［－1，），
故当t∈（0，］时，y的取值范围为［－，）.
12.D　由题图得，圆形木板的直径为＝5（cm）.设截得的四边形木板为ABCD，∠BAD＝α，AB＝c，BD＝a，AD＝b，BC＝n，CD＝m，如图所示.由cos α＝且0＜α＜π，可得sin α＝＝，在△ABD中，由正弦定理得＝5，解得a＝4.在△ABD中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos α，所以80＝b2＋c2－bc＝（b＋c）2－bc≥（b＋c）2－×＝，即（b＋c）2≤400，可得0＜b＋c≤20，当且仅当b＝c＝10时等号成立.在△BCD中，∠BCD＝π－α，由余弦定理可得80＝m2＋n2－2mncos（π－α）＝m2＋n2＋mn＝（m＋n）2－mn≥（m＋n）2－×＝，即（m＋n）2≤100，即0＜m＋n≤10，当且仅当m＝n＝5时等号成立，因此，这块四边形木板周长的最大值为30 cm，故选D.
13.解：方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N两点的俯角α1，β1；B点到M，N两点的俯角α2，β2；A，B间的距离d（如图所示）.
②第一步，计算AM：
在△AMB中，由正弦定理，得AM＝；
第二步，计算AN：
在△ABN中，由正弦定理，得AN＝；
第三步，计算MN：
在△AMN中，由余弦定理，得MN＝.
方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N两点的俯角α1，β1；B点到M，N两点的俯角α2，β2；A，B间的距离d（如图所示）.
②第一步，计算BM：
在△ABM中，由正弦定理，得BM＝；
第二步，计算BN：
在△ABN中，由正弦定理，得BN＝；
第三步，计算MN：
在△BMN中，由余弦定理，得MN＝.
3 / 3第八节　三角函数与解三角形的实际应用
课标要求
1.会运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单的实际问题.
2.会用三角函数解决简单的实际问题.
　测量中的几个有关术语
术语 名称 术语意义 图形表示
仰角与 俯角 在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂面内）所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫做　　　　　，目标视线在水平视线下方的角叫做　　　　
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做　　　.方位角θ的范围是　　　　　　
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）α 例：
坡角与 坡比 坡面与水平面所成锐二面角叫坡角（θ为坡角）；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比（坡度），即i＝＝tan θ
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）东北方向就是北偏东45°的方向.（　　）
（2）从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.（　　）
（3）俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为［0，］.（　　）
（4）方位角与方向角的实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.（　　）
2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（　　）
A.北偏东10°　　　　 B.北偏西10°
C.南偏东10° D.南偏西10°
3.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB＝　　　　.
4.（人A必修二P49例9改编）如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为　　　km.
5.（人A必修一P245例1改编）已知某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数y＝a＋bsin（x＋）（a，b为常数）.若6月份的月平均气温约为22 ℃，12月份的月平均气温约为4 ℃，则该地8月份的月平均气温约为　　　　 ℃.
三角函数模型的应用
（师生共研过关）
〔多选〕（2024·玉溪阶段练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60 s，当t＝0，盛水筒M位于点P0（3，－3），经过t s后运动到点P（x，y），点P的纵坐标满足y＝f（t）＝Rsin（ωt＋φ）（t≥0，ω＞0，｜φ｜＜），则下列叙述正确的是（　　）
A.筒车转动的角速度ω＝ rad/s
B.当筒车旋转10 s时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为0
C.当筒车旋转50 s时，盛水筒M和初始点的水平距离为6
D.盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25 s
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
三角函数模型的实际应用类型及解题关键
（1）已知函数解析式，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系；
（2）函数解析式未知时，需把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.
1.智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向声波抵消噪声（如图）.已知某机器工作时噪声的声波曲线y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的振幅为2，周期为，初相为，则通过听感主动降噪芯片生成的相等的反向声波曲线为（　　）
A.y＝2sin（4x＋） B.y＝2cos（4x＋）
C.y＝2sin（4x＋） D.y＝2cos（4x＋）
2.钱塘江出现过罕见潮景“鱼鳞潮”.“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮.若波状涌潮的图象近似函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω∈N*，｜φ｜＜）的图象，而破碎的涌潮的图象近似f'（x）的图象.已知当x＝2π时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则f（x）＝　　　　.
解三角形应用举例
（定向精析突破）
考向1　测量距离问题
为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在某江的南岸，距离为10 km；基站A，B在江的北岸，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°， 则基站A，B之间的距离为（　　）
A.10 km B.30（－1）km
C.30（－1）km D.10 km
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
测量距离问题的类型及解法
（1）类型：①两点间可视但不可达；②两点间既不可视也不可达；
（2）解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.
考向2　测量高度问题
中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37 m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（　　）
A.74 m B.60 m
C.52 m D.91 m
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
测量高度问题的三个注意点
（1）要理解仰角、俯角、方向（位）角的概念；
（2）在实际问题中，若遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形；
（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.
考向3　测量角度问题
一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°，距离为12海里，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，则此时灯塔C位于游轮的　　　　方向（用方向角作答）.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
1.（2024·西安模拟预测）在100 m高的楼顶A处，测得正西方向地面上B，C两点（B，C与楼底在同一水平面上）的俯角分别是75°和15°，则B，C两点之间的距离为（　　）
A.200 m B.240 m
C.180 m D.200 m
2.〔多选〕一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°方向，之后它以每小时32 n mile的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距8 n mile，则灯塔S可能在B处的（　　）
A.北偏东75° B.南偏东15°
C.东北方向 D.东南方向
第八节　三角函数与解三角形的实际应用
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
仰角　俯角　方位角　0°≤θ＜360°　
对点自测诊断
1.（1）√　（2）×　（3）×　（4）√
2.B　3.a　4.　5.31
【考点·分类突破】
考点1
【例1】 ABD　因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时60 s，所以ω＝＝ rad/s，因此A正确；因为当t＝0时，盛水筒M位于点P0（3，－3），所以R＝＝6，所以有f（0）＝6sin φ＝－3 sin φ＝－，因为｜φ｜＜，所以φ＝－，即f（t）＝6sin（t－），所以f（10）＝6sin（×10－）＝6sin 0＝0，因此B正确；由B可知f（50）＝6sin（×50－）＝－3，所以简车旋转50 s时，盛水筒M的纵坐标为－3，设它的横坐标为x，所以有＝6 x＝±3，因为筒车旋转50 s时，盛水筒M在第三象限，故x＝－3，盛水筒M和初始点P0的水平距离为3－（－3）＝6，因此C错误；因为t－＝ t＝25∈（0，60]，所以筒车在（0，60]s的旋转过程中，盛水筒M第一次到达最高点所需要的时间是25 s，因此D正确.故选A、B、D.
跟踪训练
1.C　由题意可得A＝2，ω＝＝4，φ＝，所以噪声的声波曲线为y＝2sin（4x＋），所以通过听感主动降噪芯片生成的相等的反向声波曲线为y＝－2sin（4x＋）＝2sin（4x＋）.故选C.
2.4sin（x＋）　解析：因为f（x）＝Asin（ωx＋φ），所以f'（x）＝Aωcos（ωx＋φ）.因为当x＝2π时，两潮有一个交叉点，所以Asin（2ωπ＋φ）＝Aωcos（2ωπ＋φ），因为A∈N*，所以tan（2ωπ＋φ）＝ω，因为ω∈N*，所以tan（2ωπ＋φ）＝tan φ＝ω，因为｜φ｜＜，所以－＜tan φ＜，即－＜ω＜，又ω∈N*，所以ω＝1，因为tan φ＝1，所以φ＝.因为破碎的涌潮的波谷为－4，所以Aω＝4，所以A＝4，所以f（x）＝4sin（x＋）.
考点2
【例2】 D　在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，所以∠BCD＝45°，∠CAD＝30°，∠ADC＝∠CAD，所以AC＝CD＝10，在△BDC中，∠CBD＝180°－（30°＋45°＋45°）＝60°，由正弦定理得BC＝＝5＋5，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝（10）2＋（5＋5）2－2×10×（5＋5）cos 75°＝500，所以AB＝10，即基站A，B之间的距离为10 km.
【例3】 A　在Rt△ABC中，AC＝＝，∠ACM＝180°－∠ACB－∠MCN＝105°，∠CAM＝15°＋30°＝45°，在△ACM中，∠CMA＝180°－∠MAC－∠ACM＝30°，由＝，得MC＝·sin 45°＝·sin 45°＝74（m），在Rt△MNC中，MN＝MC·sin 45°＝74（m）.故选A.
【例4】 南偏西60°　解析：如图，
在△ABD中，B＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理得＝＝＝24，解得AD＝24，在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD×cos 30°，因为AC＝12，AD＝24，解得CD＝12，由正弦定理得＝，解得sin ∠CDA＝，故∠CDA＝60°或∠CDA＝120°，因为AD＞AC，故∠CDA为锐角，所以∠CDA＝60°，此时灯塔C位于游轮的南偏西60°方向.
跟踪训练
1.D　由题意，BC＝－＝100×＝100×，而tan 15°tan 75°＝·＝·＝1，所以BC＝100×2＝200（m）.故选D.
2.AB　画出示意图如图，客船半小时航行的路程为32×＝16（n mile），∴AB＝16 n mile.又BS＝8 n mile，∠BAS＝30°，∴＝，∴sin∠ASB＝，∴∠ASB＝45°或∠ASB＝135°.当船在B处时，∠ASB＝45°，∠B'BS＝75°；当船在B'处时，∠ASB'＝135°，∠AB'S＝15°.综上，灯塔S在B处的北偏东75°或南偏东15°，故选A、B.
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第八节　三角函数与解三角形的实际应用
高中总复习·数学
课标要求
1. 会运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单的实际问题.
2. 会用三角函数解决简单的实际问题.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
　测量中的几个有关术语
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与 俯角 在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂面
内）所成的角中，目标视线在水平视线上方
的角叫做 ，目标视线在水平视线下
方的角叫做
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标
方向线之间的夹角叫做 .方位角
θ的范围是
仰角　
俯角　
方位角　
0°≤θ＜360°　
术语名称 术语意义 图形表示
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐
角，通常表达为北（南）偏东（西）α 例：
坡角与 坡比 坡面与水平面所成锐二面角叫坡角（θ为坡
角）；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡
比（坡度），即i＝ ＝tan θ
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）东北方向就是北偏东45°的方向. （　√　）
（2）从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关
系为α＋β＝180°. （　×　）
（3）俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为［0， ］. （　×　）
（4）方位角与方向角的实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的
位置关系. （　√　）
√
×
×
√
2. 两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东
40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（　　）
A. 北偏东10° B. 北偏西10°
C. 南偏东10° D. 南偏西10°
解析： 　灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得
∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－
50°＝10°，即北偏西10°，故选B.
√
3. 如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D
两点测得A点的仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB＝
a 　.
解析：由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝ a，所以
在Rt△ADB中，AB＝ AD＝ a.
a
4. （人A必修二P49例9改编）如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长
度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1
km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为 km.
解析：在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理 ＝ ，得AB＝
＝ ＝ （km）.
　
5. （人A必修一P245例1改编）已知某地的月平均气温y（℃）与月份x
（月）近似地满足函数y＝a＋b sin （ x＋ ）（a，b为常数）.若6月份
的月平均气温约为22 ℃，12月份的月平均气温约为4 ℃，则该地8月份的
月平均气温约为 ℃.
解析：将（6，22），（12，4）代入函数，解得a＝13，b＝－18，所以y
＝13－18 sin （ x＋ ）.当x＝8时，y＝13－18 sin （ ×8＋ ）＝31.
31　
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
〔多选〕（2024·玉溪阶段练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌
溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘
了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个
盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒
车按逆时针方向每旋转一周用时60 s，当t＝0，盛水筒M位于点P0（3，－
3 ），经过t s后运动到点P（x，y），点P的纵坐标满足y＝f（t）＝
R sin （ωt＋φ）（t≥0，ω＞0，｜φ｜＜ ），则下列叙述正确的是（　）
三角函数模型的应用（师生共研过关）
A. 筒车转动的角速度ω＝ rad/s
B. 当筒车旋转10 s时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为0
C. 当筒车旋转50 s时，盛水筒M和初始点的水平距离为6
D. 盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25 s
√
√
√
解析： 　因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时60 s，所以ω＝ ＝
rad/s，因此A正确；因为当t＝0时，盛水筒M位于点P0（3，－3 ），
所以R＝ ＝6，所以有f（0）＝6 sin φ＝－3 sin φ＝
－ ，因为｜φ｜＜ ，所以φ＝－ ，即f（t）＝6 sin （ t－ ），所
以f（10）＝6 sin （ ×10－ ）＝6 sin 0＝0，因此B正确；
由B可知f（50）＝6 sin （ ×50－ ）＝－3 ，所以简车旋转50 s时，
盛水筒M的纵坐标为－3 ，设它的横坐标为x，所以有
＝6 x＝±3，因为筒车旋转50 s时，盛水筒M在第三象限，故x＝－3，
盛水筒M和初始点P0的水平距离为3－（－3）＝6，因此C错误；因为 t
－ ＝ t＝25∈（0，60]，所以筒车在（0，60]s的旋转过程中，盛水筒
M第一次到达最高点所需要的时间是25 s，因此D正确.故选A、B、D.
解题技法
三角函数模型的实际应用类型及解题关键
（1）已知函数解析式，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准
确理解自变量的意义及函数的对应关系；
（2）函数解析式未知时，需把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角
函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.
1. 智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳
机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然
后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向
声波抵消噪声（如图）.已知某机器工作时
噪声的声波曲线y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的振幅为2，周期为 ，初相为 ，则通过听感主动降噪芯片生成的相等的反向声波曲线为（　）
A. y＝2 sin （4x＋ ） B. y＝2 cos （4x＋ ）
C. y＝2 sin （4x＋ ） D. y＝2 cos （4x＋ ）
√
解析： 　由题意可得A＝2，ω＝ ＝4，φ＝ ，所以噪声的声波曲线为
y＝2 sin （4x＋ ），所以通过听感主动降噪芯片生成的相等的反向声波
曲线为y＝－2 sin （4x＋ ）＝2 sin （4x＋ ）.故选C.
2. 钱塘江出现过罕见潮景“鱼鳞潮”.“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，
一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞
一样的涌潮.若波状涌潮的图象近似函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A，
ω∈N*，｜φ｜＜ ）的图象，而破碎的涌潮的图象近似f'（x）的图象.已
知当x＝2π时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则f
（x）＝ .
4 sin （x＋ ）　
解析：因为f（x）＝A sin （ωx＋φ），所以f'（x）＝Aω cos （ωx＋
φ）.因为当x＝2π时，两潮有一个交叉点，所以A sin （2ωπ＋φ）＝Aω
cos （2ωπ＋φ），因为A∈N*，所以tan（2ωπ＋φ）＝ω，因为ω∈N*，所
以tan（2ωπ＋φ）＝tan φ＝ω，因为｜φ｜＜ ，所以－ ＜tan φ＜ ，
即－ ＜ω＜ ，又ω∈N*，所以ω＝1，因为tan φ＝1，所以φ＝ .因为
破碎的涌潮的波谷为－4，所以Aω＝4，所以A＝4，所以f（x）＝4 sin
（x＋ ）.
解三角形应用举例（定向精析突破）
考向1　测量距离问题
为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在某市地面有四
个5G基站A，B，C，D. 已知基站C，D建在某江的南岸，距离为10
km；基站A，B在江的北岸，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，
∠ADC＝30°，∠ADB＝45°， 则基站A，B之间的距离为（　　）
A. 10 km B. 30（ －1）km
C. 30（ －1）km D. 10 km
√
解析： 　在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACB＝75°，∠ACD＝
120°，所以∠BCD＝45°，∠CAD＝30°，∠ADC＝∠CAD，所以AC
＝CD＝10 ，在△BDC中，∠CBD＝180°－（30°＋45°＋45°）＝
60°，由正弦定理得BC＝ ＝5 ＋5 ，在△ABC中，由余弦
定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC· cos ∠ACB＝（10 ）2＋（5 ＋
5 ）2－2×10 ×（5 ＋5 ） cos 75°＝500，所以AB＝10 ，
即基站A，B之间的距离为10 km.
解题技法
测量距离问题的类型及解法
（1）类型：①两点间可视但不可达；②两点间既不可视也不可达；
（2）解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个
三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.
考向2　测量高度问题
中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐
代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀
楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37 m，在
地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M
的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（　　）
A. 74 m
B. 60 m
C. 52 m
D. 91 m
√
解析： 　在Rt△ABC中，AC＝ ＝ ，∠ACM＝180°－
∠ACB－∠MCN＝105°，∠CAM＝15°＋30°＝45°，在△ACM中，
∠CMA＝180°－∠MAC－∠ACM＝30°，由 ＝ ，得MC
＝ · sin 45°＝ · sin 45°＝74 （m），在Rt△MNC中，
MN＝MC· sin 45°＝74（m）.故选A.
解题技法
测量高度问题的三个注意点
（1）要理解仰角、俯角、方向（位）角的概念；
（2）在实际问题中，若遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，最好
画两个图形，一个空间图形，一个平面图形；
（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.
考向3　测量角度问题
一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°，距离为12 海
里，灯塔C在A的北偏西30°，距离为12 海里，该游轮由A沿正北方向
继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，则此时灯塔C位于游
轮的 方向（用方向角作答）.
南偏西60°　
解析：如图，在△ABD中，B＝180°－60°－
75°＝45°，由正弦定理得 ＝ ＝
＝24 ，解得AD＝24，在△ACD中，由余
弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD× cos
30°，因为AC＝12 ，AD＝24，解得CD＝12，由正弦定理得 ＝ ，解得 sin ∠CDA＝ ，故∠CDA＝60°或∠CDA＝120°，因为AD＞AC，故∠CDA为锐角，所以∠CDA＝60°，此时灯塔C位于游轮的南偏西60°方向.
解题技法
测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图
形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角
形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
1. （2024·西安模拟预测）在100 m高的楼顶A处，测得正西方向地面上
B，C两点（B，C与楼底在同一水平面上）的俯角分别是75°和15°，
则B，C两点之间的距离为（　　）
A. 200 m B. 240 m
C. 180 m D. 200 m
√
解析： 　由题意，BC＝ － ＝100× ＝
100× ，而tan 15°tan 75°＝ · ＝ · ＝1，所以BC＝100×2 ＝200 （m）.故选D.
2. 〔多选〕一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°方
向，之后它以每小时32 n mile的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：
00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距8 n mile，则灯塔S可能在B处
的（　　）
A. 北偏东75° B. 南偏东15°
C. 东北方向 D. 东南方向
√
√
解析： 　画出示意图如图，客船半小时航行的路程
为32× ＝16（n mile），∴AB＝16 n mile.又BS＝
8 n mile，∠BAS＝30°，∴ ＝ ，∴
sin ∠ASB＝ ，∴∠ASB＝45°或∠ASB＝135°.当
船在B处时，∠ASB＝45°，∠B'BS＝75°；当船在B'处时，∠ASB'＝135°，∠AB'S＝15°.综上，灯塔S在B处的北偏东75°或南偏东15°，故选A、B.
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. 台风中心从A地以每小时40 km的速度向西北方向移动，离台风中心30
km内的地区为危险区，若城市B在A地正西40 km处，则B城市处于危险区
内的时间为（　　）
A. 0.5 h B. 1 h
C. 1.5 h D. 2 h
√
解析： 　如图所示，过点B作BE⊥AT于点E，由
∠BAT＝45°，AB＝40 km，则BE＝AB sin 45°＝
20 km，分别使得BD＝BF＝30，由勾股定理得DE
＝EF＝ ＝10 km，故B城市处于危险区内的路径长度为DF＝20 km，则B城市处于危险区内的时间为 ＝0.5 h.故选A.
2. 一个风车的半径为6 m，每12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，
风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的距离
h（t）（m）与时间t（min）之间的函数关系式是（　　）
A. h（t）＝－6 sin t＋6 B. h（t）＝－6 cos t＋6
C. h（t）＝－6 sin t＋8 D. h（t）＝－6 cos t＋8
解析： 　设h（t）＝A cos ωt＋B（A＜0，ω＞0），∵每12 min旋转一
周，∴ ＝12，∴ω＝ .由题意得，h（t）的最大值与最小值分别为
14，2，∴ 解得 ∴h（t）＝－6 cos t＋8.
√
3. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8
848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三
角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水
平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B'＝45°，∠A'B'C'＝60°.由C点测得
B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，
则A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'－CC'约为
（ ≈1.732）（　　）
A. 346 B. 373
C. 446 D. 473
√
解析： 　如图所示，根据题意过C作CE∥C'B'，交
BB'于E，过B作BD∥A'B'，交AA'于D，则BE＝100，
C'B'＝CE＝ .在△A'C'B'中，∠C'A'B'＝75°，
则BD＝A'B'＝ .又在B点处测得A点的仰角
为45°，所以AD＝BD＝ ，所以高度差AA'－CC'＝AD＋BE＝ ＋100＝ ＋100＝ ＋100＝ ＋100＝100（ ＋1）＋100≈373.
4. （2024·临沂一模）在同一平面上有相距14公里的A，B两座炮台，A在
B的正东方.某次演习时，A向西偏北θ方向发射炮弹，B则向东偏北θ方
向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目
标，接着A改向西偏北 方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点M，则B
炮台与弹着点M的距离为（　　）
A. 7公里 B. 8公里
C. 9公里 D. 10公里
√
解析： 　依题意设炮弹第一次命中点为C，则AB＝14，
AC＝BC＝AM＝18，∠CBA＝∠CAB＝θ，∠MAB
＝ ，在△ABC中BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos θ，
即182＝182＋142－2×18×14 cos θ，解得 cos θ＝
，所以 cos θ＝2 cos 2 －1＝ ，又θ为锐角，解得 cos ＝ （负值舍
去），在△ABM中，BM2＝AM2＋AB2－2AM·AB cos ＝182＋142－
2×18×14× ＝100，所以BM＝10，即B炮台与弹着点M的距离为10公
里.故选D.
5. 〔多选〕（2025·兰州高三诊断考试）某学校开展测量旗杆高度的数学
建模活动，学生需通过建立模型、实地测量、迭代优化完成此次活动.在
以下不同小组设计的初步方案中，一定可以计算出旗杆高度的方案有（　）
A. 在水平地面上任意寻找两点A，B，分别测量旗杆顶端的仰角α，β，
再测量A，B两点间的距离
B. 在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为h，在该
建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和β
C. 在地面上任意寻找一点A，测量旗杆顶端的仰角α，再测量A到旗杆底
部的距离
D. 在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α，正对旗杆前行5 m到达B
处，再次测量旗杆顶端的仰角β
√
√
√
解析： 　当A，B两点
与旗杆底部不在一条直线上
时，就不能测量出旗杆的高
度，故A不正确；如图1，在
△ABD中，由正弦定理求
AD，则旗杆的高CD＝h＋AD sin β，故B正确；如图2，在Rt△ADC中，直接利用锐角三角函数求出旗杆的高DC＝ACtan α，故C正确；如图3，在△ABD中，由正弦定理求AD，则旗杆的高CD＝AD sin α，故D正确.故选B、C、D.
6. （2024·黄冈一模）如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足
函数y＝A sin （ωx＋φ）＋b，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，则这段曲线的函
数解析式为 .
y＝10 sin （ x＋ ）＋20，x∈[6，14]　
解析：从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝A sin （ωx＋φ）
＋b的半个周期，所以由图可知，A＝10，b＝20， × ＝14－6，
所以｜ω｜＝ .又ω＞0，所以ω＝ .又 ×10＋φ＝2kπ，k∈Z，0＜φ＜
π，所以φ＝ ，所以y＝10 sin （ x＋ ）＋20，x∈[6，14].
7. 如图是某商业小区的平面设计图，初步设计该小区边界轮廓是半径
为200米，圆心角为 的扇形AOB. O为南门位置，C为东门位置，小
区里有一条平行于AO的小路CD，若OD＝ 米，则圆弧 的长
为 米.
50π　
解析：连接OC，因为CD∥OA，所以∠DCO＝∠COA，∠CDO＝π－
∠DOA＝ .在△OCD中，由正弦定理可得 ＝ ，即
＝ ，则 sin ∠DCO＝ ＝ ，因为∠DCO＝∠COA，且0＜
∠COA＜ ，所以∠DCO＝∠COA＝ ，所以圆弧 的长为 ×200＝
50π米.
8. 如图，一艘海轮从A处出发，沿北偏东75°的方向航行（2 －2）n
mile到达海岛B，然后从B处出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile到达
海岛C.
（1）求点A到海岛C的直线距离AC的长；
解： 依题意，在△ABC中，AB＝2 －2，
BC＝4，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，
根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC· cos ∠ABC＝
（2 －2）2＋42＋（2 －2）×4＝24，
所以AC＝2 ，故AC的长为2 n mile.
（2）如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小.
解： 根据正弦定理得， ＝ ，
所以 sin ∠CAB＝ ＝ × ＝ ，
又∠CAB为锐角，所以∠CAB＝45°.
9. （2025·北京高三阶段练习）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也
可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变
化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为｜y｜＝（2－ ·［ ］）｜
sin ωx｜，x≥0，其中[x]表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足ω∈
（1，3），经过点M（ ， ）.则该条葫芦曲线与直线x＝ 交点的纵坐
标为（　　）
A. ± B. ±
C. ± D. ±1
√
解析： 　将点M（ ， ）代入葫芦曲线的方程可得（2－ ［ ］）｜
sin ω｜＝ ，即｜ sin ω｜＝1，由ω∈（1，3）可得ω＝2，因此曲线
方程为｜y｜＝（2－ ［ ］）｜ sin 2x｜，当x＝ 时，可得｜y｜＝
（2－ ［ ］）｜ sin 2× ｜＝（2－ ［ ］）·｜ sin ｜＝｜ sin
｜＝ ，所以交点的纵坐标为± .故选C.
10. （2025·昆明“三诊一模”质量检测）早期天文学家常采用“三角法”
测量行星的轨道半径.假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在
同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示.地球在E0位置
时，测出∠SE0M＝ ；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动
到了E1位置，测出∠SE1M＝ ，∠E1SE0＝ .若地球的轨道半径为R，
则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是
（参考数据： ≈1.7）（　　）
A. 2.1R B. 2.2R
C. 2.3R D. 2.4R
√
解析： 　连接E1E0（图略），由题知∠SE0M＝ ，∠SE1M＝ ，
∠E1SE0＝ ，所以∠E1ME0＝ .SE1＝SE0＝R，则△SE1E0为等边三角
形，E1E0＝R. 在△E1ME0中，由正弦定理 ＝ ，即
＝ ，解得ME0＝ R. 在△SE0M中，由余弦定理SM2＝
S ＋M －2SE0·ME0· cos ∠SE0M，即SM2＝R2＋（ R）2－
2R· R·（－ ），得SM2＝（ ＋ ）R2≈4.2R2，所以SM≈
≈2.05R，最接近2.1R，故选A.
11. 如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点.动
点A从初始位置A0（ cos ， sin ）开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s做
圆周运动，同时点B从初始位置B0（2，0）开始，按顺时针方向以角速度2
rad/s做圆周运动.记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.
（1）求t＝ 时，A，B两点间的距离；
解： 连接AB，OA，OB（图略），
当t＝ 时，∠xOA＝ ＋ ＝ ，∠xOB＝ ，
所以∠AOB＝ .
又OA＝1，OB＝2，
所以AB2＝12＋22－2×1×2 cos ＝7，
即A，B两点间的距离为 .
（2）若y＝y1＋y2，求y关于时间t（t＞0）的函数关系式，并求当t∈
（0， ］时，y的取值范围.
解： 依题意，y1＝ sin （2t＋ ），
y2＝－2 sin 2t，
所以y＝ sin （2t＋ ）－2 sin 2t＝ cos 2t－ sin 2t＝ cos （2t＋ ），
即函数关系式为y＝ cos （2t＋ ）（t＞0），
当t∈（0， ］时，2t＋ ∈（ ， ］，
所以 cos （2t＋ ）∈［－1， ），
故当t∈（0， ］时，y的取值范围为［－ ， ）.
12. （实操应用问题）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句
上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，
是古人用来测量、画圆和方形图案的工具.今有一块圆形木板，以“矩”
量之，如图.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边
形木板的一个内角α满足 cos α＝ ，则这块四边形木板周长的最大值为
（　　）
A. 20 cm B. 20 cm
C. 20 cm D. 30 cm
√
解析： 由题图得，圆形木板的直径为 ＝5 （cm）.
设截得的四边形木板为ABCD，∠BAD＝α，AB＝c，BD＝
a，AD＝b，BC＝n，CD＝m，如图所示.由 cos α＝ 且0＜
α＜π，可得 sin α＝ ＝ ，在△ABD中，由正弦定
理得 ＝5 ，解得a＝4 .在△ABD中，由余弦定理得a2
＝b2＋c2－2bc cos α，所以80＝b2＋c2－ bc＝（b＋c）2－
bc≥（b＋c）2－ × ＝ ，即（b＋c）2≤400，可得0＜b＋c≤20，当且仅当b＝c＝10时等号成立.在△BCD中，∠BCD＝π－α，由余弦定理可得80＝m2＋n2－2mn cos （π－α）＝m2＋n2＋ mn＝（m＋n）2－ mn≥（m＋n）2－ × ＝ ，即（m＋n）2≤100，即0＜m＋n≤10，当且仅当m＝n＝5时等号成立，因此，这块四边形木板周长的最大值为30 cm，故选D.
13. （方案设计问题）为了测量两山顶M，N间的
距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量.A，
B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图）.飞
机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离.请设
计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.
解：方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N两
点的俯角α1，β1；B点到M，N两点的俯角α2，
β2；A，B间的距离d（如图所示）.
②第一步，计算AM：
在△AMB中，由正弦定理，得AM＝ ；
第二步，计算AN：
在△ABN中，由正弦定理，得AN＝ ；
第三步，计算MN：
在△AMN中，由余弦定理，得MN＝
.
方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N两点的
俯角α1，β1；B点到M，N两点的俯角α2，β2；
A，B间的距离d（如图所示）.
②第一步，计算BM：
在△ABM中，由正弦定理，得BM＝ ；
第二步，计算BN：
在△ABN中，由正弦定理，得BN＝ ；
第三步，计算MN：
在△BMN中，由余弦定理，得
MN＝ .
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