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第九节　三角函数与解三角形中的最值（范围）问题
1.若函数f（x）＝（1＋tan x）cos x，0≤x＜，则f（x）的最大值为（　　）
A.1 B.2
C.＋1 D.＋2
2.记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，B＝2A，则b的取值范围是（　　）
A.（0，4） B.（2，2）
C.（2，4） D.（2，4）
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin A＋2csin C＝2bsin Ccos A，则角A的最大值为（　　）
A. B.
C. D.
4.（2025·连云港阶段性调研）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos B＝c－a.当取最小值时，则A＝（　　）
A. B.
C. D.
5.（2024·台州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acos C＝2ccos A，则的最大值为（　　）
A.　　　 B.
C.　　　 D.3
6.〔多选〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设BC边上的中点为M，△ABC的面积为S，其中a＝2，b2＋c2＝24，则下列说法中正确的是（　　）
A.若A＝，则S＝3
B.S的最大值为3
C.AM＝3
D.角A的最小值为
7.函数y＝的最大值是　　　　，最小值是　　　　.
8.（2024·合肥第一次教学质量检测）已知函数f（x）＝2sin（3x＋φ）（－π＜φ＜0）图象的一条对称轴为x＝，当x∈[0，t]时，f（x）的最小值为－，则t的最大值为　　　　.
9.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足asin（B＋C）＝（b－c）sin B＋csin C.
（1）求A；
（2）若点D在边BC上，a＝2，且AD⊥BC，求AD的最大值.
10.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且（2＋b）（sin A－sin B）＝（c－b）sin C.
（1）求A；
（2）求△ABC周长的取值范围.
11.已知函数f（x）＝sin（2x＋）－cos（2x＋）＋（1－2sin2x）.
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）记a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且f（）＝，BC的中线AD＝3，求△ABC面积的最大值.
12.（创新解题路径）在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的“金桥”中，用二分法求方程的近似解是其中璀璨的一座.已知A为锐角△ABC的内角，满足sin A－2cos A＋tan A＝1，则A的取值范围是（　　）
A.（0，） B.（，）
C.（，） D.（，）
13.（新定义）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，△ABC的面积为S，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin C＝.
（1）证明：△ABC是倍角三角形；
（2）若c＝9，当S取最大值时，求tan B.
第九节　三角函数与解三角形中的最值（范围）问题
1.B　f（x）＝（1＋·）cos x＝cos x＋sin x＝2sin（x＋），∴当x＝时，f（x）取得最大值2.
2.C　因为a＝2，B＝2A，所以解得0＜A＜，所以＜cos A＜1，由正弦定理得＝＝，得b＝4cos A，所以2＜4cos A＜4，所以2＜b＜4.故选C.
3.A　因为asin A＋2csin C＝2bsin Ccos A，由正弦定理可得a2＋2c2＝2bccos A，所以cos A＝　①，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A　②，由①②可得2a2＝b2－c2，所以cos A＝＝＝，因为b2＋3c2≥2＝2bc，当且仅当b＝c时取等号，所以cos A≥＝，又A∈（0，π），所以角A的最大值为.故选A.
4.B　因为2acos B＝c－a，结合余弦定理得，2a·＝c－a，整理得c＝－a，所以＝＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即b＝a时，等号成立，此时c＝－a＝a，此时cos A＝＝＝，又因为A∈（0，π），所以A＝，故选B.
5.C　因为acos C＝2ccos A，所以由余弦定理的推论得a·＝2c·，整理可得3a2＝b2＋3c2，所以3a2＝b2＋3c2≥2bc，即≤，当且仅当b＝c时等号成立，即的最大值为.故选C.
6.ABC　若A＝，根据a2＝b2＋c2－2bccos A，可得bc＝12，所以S＝bcsin A＝×12×＝3，故选项A正确；因为24＝b2＋c2≥2bc，则bc≤12，当且仅当b＝c＝2时等号成立，由余弦定理可得cos A＝＝＝，则S＝bc·sin A＝bc＝≤＝3，故选项B正确；因为2＝＋，所以4｜｜2＝c2＋b2＋2bccos A＝c2＋b2＋2bc·＝2（b2＋c2）－a2＝2×24－12＝36，解得｜｜＝3，故选项C正确；因为24＝b2＋c2≥2bc，则bc≤12，所以cos A＝≥，当且仅当b＝c＝2时取等号，所以角A的最大值为，故选项D错误.故选A、B、C.
7.6　　解析：法一 原函数可化为sin x＝，而－1≤sin x≤1，所以－1≤≤1，所以≤y≤6，因此原函数的最大值是6，最小值是.
法二 y＝＝－1.当sin x＝1时，ymax＝－1＝6；当sin x＝－1时，ymin＝－1＝.因此原函数的最大值是6，最小值是.
8.　解析：因为函数f（x）＝2sin（3x＋φ）图象的一条对称轴为x＝，所以3×＋φ＝kπ＋（k∈Z），所以φ＝kπ－（k∈Z），因为－π＜φ＜0，所以k＝0，φ＝－，所以函数f（x）＝2sin（3x－），当x∈[0，t]时，3x－∈［－，3t－］，因为函数f（x）的最小值为－，所以－＜3t－≤，解得0＜t≤，所以t的最大值为.
9.解：（1）由asin（B＋C）＝（b－c）sin B＋csin C可得asin A＝（b－c）sin B＋csin C，
根据正弦定理可得，a2＝（b－c）b＋c2＝b2＋c2－bc，
根据余弦定理可得，cos A＝＝＝，又A∈（0，π），故A＝.
（2）由（1）知，b2＋c2－bc＝a2＝4，
根据基本不等式，b2＋c2－bc＝a2＝4≥2bc－bc＝bc，故bc≤4，
于是S△ABC＝bcsin A＝bc≤，当b＝c＝2时取得等号，
又S△ABC＝×a×AD，所以AD≤，故AD的最大值为.
10.解：（1）因为a＝2，（2＋b）（sin A－sin B）＝（c－b）sin C，所以由正弦定理得（a＋b）（a－b）＝（c－b）c，即b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝，因为A∈（0，π），所以A＝.
（2）由正弦定理可知＝＝＝＝，
故△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋（sin B＋sin C）＝2＋［sin B＋sin（－B）］＝2＋（sin B＋cos B）＝2＋4sin（B＋），
因为0＜B＜，所以＜B＋＜，所以＜sin（B＋）≤1，则2＋4sin（B＋）∈（4，6]，故△ABC周长的取值范围是（4，6].
11.解：（1）f（x）＝sin（2x＋）－cos（2x＋）＋（1－2sin2x）＝sin 2x＋cos 2x－cos 2x＋sin 2x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝2（sin 2x＋cos 2x）＝2sin（2x＋），
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ（k∈Z），
解得－＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z），
所以f（x）的单调递增区间为［－＋kπ，＋kπ］（k∈Z）.
（2）因为f（）＝，可得sin（A＋）＝，
因为A∈（0，π），所以A＋＝，即A＝，
由＝＋及AD＝3可得，
＝9＝＋＋·＝c2＋b2＋cbcos A＝（b2＋c2＋bc），
所以b2＋c2＋bc＝36，所以36＝b2＋c2＋bc≥2bc＋bc，
即bc≤12，当且仅当b＝c＝2时取等号，
所以S△ABC＝bcsin A＝bc≤3，
故△ABC面积的最大值为3.
12.C　设f（x）＝sin x－2cos x＋tan x－1，x∈（0，），易知f（x）在（0，）上单调递增，又f（0）＝－3＜0，f（）＝－＋－1＜0，f（）＝－＋1－1＜0，f（）＝－1＋－1＞0，当x→时，f（x）→＋∞，由A是f（x）的零点且f（）·f（）＜0，知A∈（，），故选C.
13.解：（1）证明：因为sin C＝＝＝，又sin C≠0，所以＝1，则b2＝c2－ab，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得2ccos B＝a＋b，
由正弦定理，得2sin Ccos B＝sin A＋sin B.
sin A＝sin（B＋C）＝sin Bcos C＋cos Bsin C，　
代入上式可得sin Ccos B＝sin Bcos C＋sin B，
即sin Ccos B－sin Bcos C＝sin B，
sin（C－B）＝sin B，
则有C－B＝B，C＝2B，或C－B＋B＝π（舍去），
故△ABC是倍角三角形.
（2）因为C＝2B，所以A＝π－B－C＝π－3B＞0，
故0＜B＜，则tan B∈（0，），
由＝，得a＝＝＝，
则S＝acsin B＝asin B
＝··sin B＝·
＝·
＝（sin 2B＋cos 2Btan B）
＝（＋·tan B）
＝·，
设x＝tan B，x∈（0，），f（x）＝，
则f'（x）
＝＝，
令f'（x）＝0，得x2＝2－3或x2＝－2－3（舍去），
当0＜x2＜2－3时，f'（x）＞0，
当2－3＜x2＜3时，f'（x）＜0，
则f（x）在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，
故当x＝时，f（x）取最大值，则S也取最大值，
此时tan B＝.
2 / 2第九节　三角函数与解三角形中的最值（范围）问题
重点解读
　　三角函数与解三角形中的最值（范围）问题是高考的热点，主要涉及两类：一是三角函数式的最值（范围）问题；二是三角形中的最值（范围）问题，其求解方法多样，常用的方法有：（1）利用三角函数的性质求最值（范围）；（2）构造转化为新元函数求最值（范围）；（3）利用基本不等式求最值（范围）；（4）利用导数求最值（范围）等.
利用三角函数的性质求最值（范围）
（师生共研过关）
（2025·遵义模拟预测）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin B＋cos B＝1.
（1）求B；
（2）若b＝3，求△ABC的周长的取值范围.
解题技法
　　先利用正弦定理化边为角，再利用三角形内角和定理和辅助角公式，将目标函数转化为只含一个角的三角函数，最后利用三角函数的性质求解.
　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin＝bsin A.
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围.
利用基本不等式求最值（范围）
（师生共研过关）
已知在△ABC中，－sin A＝0.
（1）求A的值；
（2）若点D是边BC上一点，BD＝2DC，△ABC的面积为，求AD的最小值.
解题技法
　　求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a＋b，ab，a2＋b2之间的等量关系与不等关系，然后利用基本不等式求解.
　记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos C＋（cos B－2sin B）cos A＝0.
（1）求cos A的值；
（2）若b＋c＝1，求a的取值范围.
构造转化为初等函数求最值（范围）
（师生共研过关）
△ABC的三个内角为A，B，C，求当A为何值时，cos A＋2cos取得最大值，并求出这个最大值.
解题技法
　　将待求问题构造转化为熟知的函数（如一次函数，二次函数，指数函数，对数函数，三角函数等），利用函数的单调性、最值、有界性等求待求量的最值（范围）.
　（人A必修一P256复习参考题25题改编）如图，直线l1∥l2，线段DE与l1，l2均垂直，垂足分别是E，D，点A在DE上，且AE＝1，AD＝2.C，B分别是l1，l2上的动点，且满足∠BAC＝.设∠ABD＝x，△ABC面积为S（x）.
（1）写出函数解析式S（x）；
（2）求S（x）的最小值.
利用导数求最值（范围）
（师生共研过关）
函数f（x）＝cos x＋（x＋1）sin x＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为（　　）
A.－， B.－，
C.－，＋2 D.－，＋2
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
用导数法求解三角函数最值的两种方法
（1）单调性法：通过换元，借用导数判断函数的单调性，得出函数的最值；
（2）比较法：计算出函数在所求区间内所有使f'（x）＝0的点处的函数值和区间端点处的函数值，然后比较大小，即可得出三角函数的最值.
　函数f（x）＝2sin（x＋）＋cos 2x的最大值为　　　　.
第九节　三角函数与解三角形中的最值（范围）问题
【考点·分类突破】
技法1
【例1】 解：（1）因为sin B＋cos B＝1，所以2sin（B＋）＝1，即sin（B＋）＝，
因为B∈（0，π），所以B＋＝，即B＝.
（2）因为B＝，b＝3，由正弦定理得＝＝＝＝2，
则a＝2sin A，c＝2sin C，又A＋B＋C＝π，则C＝π－B－A＝－A，且A∈（0，），
所以a＋b＋c＝2sin A＋2sin（－A）＋3＝2sin A＋3cos A－sin A＋3＝sin A＋3cos A＋3＝2sin（A＋）＋3，
因为A∈（0，），所以A＋∈（，），则sin（A＋）∈（，1］，
所以a＋b＋c∈（6，2＋3]，
综上可知，△ABC的周长的取值范围是（6，2＋3].
跟踪训练
解：（1）由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A.
因为sin A≠0，所以sin＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，
故cos＝2sincos.
因为cos≠0，故sin＝，所以B＝60°.
（2）由题设及（1）知S△ABC＝a.
由（1）知A＋C＝120°，
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°.结合A＋C＝120°，得30°＜C＜90°，故＜a＜2，
从而＜S△ABC＜.
因此，△ABC面积的取值范围是（，）.
技法2
【例2】 解：（1）由题设及二倍角的余弦公式得＝sin A，
又A∈（0，π），所以∈（0，），所以sin＞0，
则sin＝2sincos，
所以cos＝，
所以＝，A＝.
（2）因为BD＝2DC，所以＝＋.
因为△ABC的面积为，所以AB·AC·sin∠BAC＝，所以AB·AC＝4，
则AD2＝｜｜2＝＝（＋）2＝＋＋·＝AB2＋AC2－AB·AC≥AB·AC－AB·AC＝，
当且仅当AB＝2AC，即AB＝2，AC＝时取“＝”号，
所以AD的最小值是.
跟踪训练
解：（1）因为cos C＋（cos B－2sin B）·cos A＝0，cos C＝－cos（A＋B）＝－cos Acos B＋sin Asin B，
所以－cos Acos B＋sin Asin B＋cos Acos B－2sin Bcos A＝0，
即sin Asin B－2sin Bcos A＝0.
又0＜B＜π，0＜A＜π，所以sin B≠0，sin A＝2cos A＞0，A为锐角，
所以9cos2A＝1，cos A＝.
（2）由余弦定理知，a2＝b2＋c2－2bccos A＝（b＋c）2－bc.
因为bc≤（）2，所以a2≥（b＋c）2＝，所以a≥，
当且仅当b＝c＝时，等号成立.
又a＜b＋c＝1，所以a的取值范围为［，1）.
技法3
【例3】 解：由A＋B＋C＝π，得＝－，
则cos＝sin.
所以cos A＋2cos＝cos A＋2sin＝1－2sin2＋2sin.
令t＝sin，由0＜A＜π，可得0＜＜，t∈（0，1），则原式可看作关于t的二次函数，即y＝－2（t－）2＋.
当t＝，即sin＝，A＝时，cos A＋2cos取得最大值，最大值为.
跟踪训练
解：（1）结合题图可知，若∠ABD＝x，则x∈（0，），∠DAB＝－x，又∠BAC＝，所以∠CAE＝π－（－x）－＝＋x，
在Rt△ACE中，AC＝＝，
在Rt△ABD中，AB＝＝，
所以S（x）＝···
＝，x∈（0，）.
（2）由（1）知，S（x）＝
＝
＝.
因为x∈（0，），所以2x＋∈（，），
所以2sin（2x＋）－1的取值范围是（0，1]，
所以当x＝时，S（x）取得最小值2.
技法4
【例4】 D　f（x）＝cos x＋（x＋1）sin x＋1，x∈[0，2π]，则f'（x）＝－sin x＋sin x＋（x＋1）cos x＝（x＋1）cos x.令f'（x）＝0，解得x＝－1（舍去）或x＝或x＝.因为f＝cos ＋sin ＋1＝2＋，f＝cos ＋·sin ＋1＝－，又f（0）＝cos 0＋（0＋1）sin 0＋1＝2，f（2π）＝cos 2π＋（2π＋1）sin 2π＋1＝2，所以f（x）max＝f＝2＋，f（x）min＝f＝－.故选D.
跟踪训练
　解析：f（x）＝2sin（x＋）＋cos 2x＝2sin（x＋）＋sin［2（x＋）］，设θ＝x＋，g（θ）＝2sin θ＋sin 2θ，所以g'（θ）＝2cos θ＋2cos 2θ＝2cos θ＋2（2cos2θ－1）＝4cos2θ＋2cos θ－2＝2（2cos θ－1）（cos θ＋1）.因为cos θ＋1≥0恒成立，所以令2cos θ－1＞0，解得θ∈（2kπ－，2kπ＋）（k∈Z），此时函数g（θ）单调递增，令2cos θ－1＜0，解得θ∈（2kπ＋，2kπ＋）（k∈Z），此时函数g（θ）单调递减，所以当θ＝2kπ＋（k∈Z）时，g（θ）取得最大值，所以g（θ）max＝g（＋2kπ）＝2×＋＝，即f（x）的最大值为.
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第九节　
三角函数与解三角形中的最值（范围）问题
高中总复习·数学
重点解读
　　三角函数与解三角形中的最值（范围）问题是高考的热点，主要涉及
两类：一是三角函数式的最值（范围）问题；二是三角形中的最值（范
围）问题，其求解方法多样，常用的方法有：（1）利用三角函数的性质
求最值（范围）；（2）构造转化为新元函数求最值（范围）；（3）利用
基本不等式求最值（范围）；（4）利用导数求最值（范围）等.
目 录
CONTENTS
考点·分类突破
01.
课时·跟踪检测
02.
PART 01
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
利用三角函数的性质求最值（范围）（师生共研过关）
（2025·遵义模拟预测）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，且 sin B＋ cos B＝1.
（1）求B；
解： 因为 sin B＋ cos B＝1，所以2 sin （B＋ ）＝1，即 sin （B
＋ ）＝ ，
因为B∈（0，π），所以B＋ ＝ ，即B＝ .
（2）若b＝3，求△ABC的周长的取值范围.
解： 因为B＝ ，b＝3，由正弦定理得 ＝ ＝ ＝ ＝
2 ，
则a＝2 sin A，c＝2 sin C，又A＋B＋C＝π，则C＝π－B－A＝
－A，且A∈（0， ），
所以a＋b＋c＝2 sin A＋2 sin （ －A）＋3＝2 sin A＋3 cos A－
sin A＋3＝ sin A＋3 cos A＋3＝2 sin （A＋ ）＋3，
因为A∈（0， ），所以A＋ ∈（ ， ），则 sin （A＋ ）∈（ ，
1］，
所以a＋b＋c∈（6，2 ＋3]，
综上可知，△ABC的周长的取值范围是（6，2 ＋3].
解题技法
　　先利用正弦定理化边为角，再利用三角形内角和定理和辅助角公
式，将目标函数转化为只含一个角的三角函数，最后利用三角函数的
性质求解.
　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin ＝b sinA.
（1）求B；
解： 由题设及正弦定理得 sin A sin ＝ sin B sin A. 　
因为 sin A≠0，所以 sin ＝ sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得 sin ＝ cos ，故 cos ＝2 sin cos .
因为 cos ≠0，故 sin ＝ ，所以B＝60°.
（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围.
解： 由题设及（1）知S△ABC＝ a.
由（1）知A＋C＝120°，
由正弦定理得a＝ ＝ ＝ ＋ .
由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°.结合A＋C
＝120°，得30°＜C＜90°，故 ＜a＜2，
从而 ＜S△ABC＜ .
因此，△ABC面积的取值范围是（ ， ）.
利用基本不等式求最值（范围）（师生共研过关）
已知在△ABC中， － sin A＝0.
（1）求A的值；
解： 由题设及二倍角的余弦公式得 ＝ sin A，
又A∈（0，π），所以 ∈（0， ），所以 sin ＞0，
则 sin ＝2 sin cos ，所以 cos ＝ ，
所以 ＝ ，A＝ .
（2）若点D是边BC上一点，BD＝2DC，△ABC的面积为 ，求AD的
最小值.
解： 因为BD＝2DC，所以 ＝ ＋ .
因为△ABC的面积为 ，所以 AB·AC· sin ∠BAC＝ ，所以AB·AC
＝4，
则AD2＝｜ ｜2＝ ＝（ ＋ ）2＝ ＋ ＋
· ＝ AB2＋ AC2－ AB·AC≥ AB·AC－ AB·AC＝ ，
当且仅当AB＝2AC，即AB＝2 ，AC＝ 时取“＝”号，
所以AD的最小值是 .
解题技法
　　求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正
弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a＋b，ab，a2＋b2之间的等
量关系与不等关系，然后利用基本不等式求解.
　记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 cos C＋（ cos
B－2 sin B） cos A＝0.
（1）求 cos A的值；
解： 因为 cos C＋（ cos B－2 sin B） cos A＝0， cos C＝－ cos
（A＋B）＝－ cos A cos B＋ sin A sin B，
所以－ cos A cos B＋ sin A sin B＋ cos A cos B－2 sin B cos A＝0，
即 sin A sin B－2 sin B cos A＝0.
又0＜B＜π，0＜A＜π，所以 sin B≠0， sin A＝2 cos A＞0，A为锐角，
所以9 cos 2A＝1， cos A＝ .
（2）若b＋c＝1，求a的取值范围.
解： 由余弦定理知，a2＝b2＋c2－2bc cos A＝（b＋c）2－ bc.
因为bc≤（ ）2，所以a2≥ （b＋c）2＝ ，所以a≥ ，
当且仅当b＝c＝ 时，等号成立.
又a＜b＋c＝1，所以a的取值范围为［ ，1）.
构造转化为初等函数求最值（范围）（师生共研过关）
△ABC的三个内角为A，B，C，求当A为何值时， cos A＋2 cos
取得最大值，并求出这个最大值.
解：由A＋B＋C＝π，得 ＝ － ，则 cos ＝ sin .
所以 cos A＋2 cos ＝ cos A＋2 sin ＝1－2 sin 2 ＋2 sin .
令t＝ sin ，由0＜A＜π，可得0＜ ＜ ，t∈（0，1），则原式可看作关
于t的二次函数，即y＝－2（t－ ）2＋ .
当t＝ ，即 sin ＝ ，A＝ 时， cos A＋2 cos 取得最大值，最大值
为 .
解题技法
　　将待求问题构造转化为熟知的函数（如一次函数，二次函数，指数函
数，对数函数，三角函数等），利用函数的单调性、最值、有界性等求待
求量的最值（范围）.
　（人A必修一P256复习参考题25题改编）如图，直线l1∥l2，线段DE与
l1，l2均垂直，垂足分别是E，D，点A在DE上，且AE＝1，AD＝2.C，
B分别是l1，l2上的动点，且满足∠BAC＝ .设∠ABD＝x，△ABC面积
为S（x）.
（1）写出函数解析式S（x）；
解： 结合题图可知，若∠ABD＝x，则x∈（0， ），∠DAB＝
－x，又∠BAC＝ ，所以∠CAE＝π－（ －x）－ ＝ ＋x，
在Rt△ACE中，AC＝ ＝ ，
在Rt△ABD中，AB＝ ＝ ，
所以S（x）＝ · · ·
＝ ，x∈（0， ）.
（2）求S（x）的最小值.
解： 由（1）知，S（x）＝ ＝ ＝
.
因为x∈（0， ），所以2x＋ ∈（ ， ），
所以2 sin （2x＋ ）－1的取值范围是（0，1]，
所以当x＝ 时，S（x）取得最小值2 .
利用导数求最值（范围）（师生共研过关）
函数f（x）＝ cos x＋（x＋1） sin x＋1在区间[0，2π]的最小值、最
大值分别为（　　）
A. － ， B. － ，
C. － ， ＋2 D. － ， ＋2
√
解析： 　f（x）＝ cos x＋（x＋1） sin x＋1，x∈[0，2π]，则f'（x）
＝－ sin x＋ sin x＋（x＋1） cos x＝（x＋1） cos x.令f'（x）＝0，解得x
＝－1（舍去）或x＝ 或x＝ .因为f ＝ cos ＋ sin ＋1＝2＋
，f ＝ cos ＋ sin ＋1＝－ ，又f（0）＝ cos 0＋（0＋
1） sin 0＋1＝2，f（2π）＝ cos 2π＋（2π＋1） sin 2π＋1＝2，所以f
（x）max＝f ＝2＋ ，f（x）min＝f ＝－ .故选D.
解题技法
用导数法求解三角函数最值的两种方法
（1）单调性法：通过换元，借用导数判断函数的单调性，得出函数的
最值；
（2）比较法：计算出函数在所求区间内所有使f'（x）＝0的点处的函数值
和区间端点处的函数值，然后比较大小，即可得出三角函数的最值.
　函数f（x）＝2 sin （x＋ ）＋ cos 2x的最大值为 　 　.
　
解析：f（x）＝2 sin （x＋ ）＋ cos 2x＝2 sin （x＋ ）＋ sin ［2（x＋ ）］，设θ＝x＋ ，g（θ）＝2 sin θ＋ sin 2θ，所以g'（θ）＝2 cos θ＋2 cos 2θ＝2 cos θ＋2（2 cos 2θ－1）＝4 cos 2θ＋2 cos θ－2＝2（2 cos θ－1）（ cos θ＋1）.因为 cos θ＋1≥0恒成立，所以令2 cos θ－1＞0，解得θ∈（2kπ－ ，2kπ＋ ）（k∈Z），此时函数g（θ）单调递增，令2 cos θ－1＜0，解得θ∈（2kπ＋ ，2kπ＋ ）（k∈Z），此时函数g（θ）单调递减，所以当θ＝2kπ＋ （k∈Z）时，g（θ）取得最大值，所以g（θ）max＝g（ ＋2kπ）＝2× ＋ ＝ ，即f（x）的最大值为 .
PART 02
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. 若函数f（x）＝（1＋ tan x） cos x，0≤x＜ ，则f（x）的最大值
为（　　）
A. 1 B. 2
C. ＋1 D. ＋2
解析： 　f（x）＝（1＋ · ） cos x＝ cos x＋ sin x＝2 sin （x＋
），∴当x＝ 时，f（x）取得最大值2.
√
2. 记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，B＝
2A，则b的取值范围是（　　）
A. （0，4） B. （2，2 ）
C. （2，4） D. （2 ，4）
解析： 　因为a＝2，B＝2A，所以 解得0＜A＜ ，
所以 ＜ cos A＜1，由正弦定理得 ＝ ＝ ，得b＝4 cos A，
所以2＜4 cos A＜4，所以2＜b＜4.故选C.
√
3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin A＋2c sin C
＝2b sin C cos A，则角A的最大值为（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　因为a sin A＋2c sin C＝2b sin C cos A，由正弦定理可得a2＋2c2
＝2bc cos A，所以 cos A＝ 　①，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc
cos A　②，由①②可得2a2＝b2－c2，所以 cos A＝ ＝
＝ ，因为b2＋3c2≥2 ＝2 bc，当且仅
当b＝ c时取等号，所以 cos A≥ ＝ ，又A∈（0，π），所以角
A的最大值为 .故选A.
4. （2025·连云港阶段性调研）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，且2a cos B＝c－a.当 取最小值时，则A＝（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　因为2a cos B＝c－a，结合余弦定理得，2a· ＝c－
a，整理得c＝ －a，所以 ＝ ＝ ＋ ≥2 ＝4 ，
当且仅当 ＝ ，即b＝ a时，等号成立，此时c＝ －a＝a，此时
cos A＝ ＝ ＝ ，又因为A∈（0，π），所以A＝ ，
故选B.
5. （2024·台州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
c.若a cos C＝2c cos A，则 的最大值为（　　）
A. B.
解析： 　因为a cos C＝2c cos A，所以由余弦定理的推论得a· ＝
2c· ，整理可得3a2＝b2＋3c2，所以3a2＝b2＋3c2≥2 bc，即
≤ ，当且仅当b＝ c时等号成立，即 的最大值为 .故选C.
√
C. D. 3
6. 〔多选〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设BC
边上的中点为M，△ABC的面积为S，其中a＝2 ，b2＋c2＝24，则下
列说法中正确的是（　　）
A. 若A＝ ，则S＝3 B. S的最大值为3
C. AM＝3 D. 角A的最小值为
√
√
√
解析： 　若A＝ ，根据a2＝b2＋c2－2bc cos A，可得bc＝12，所以S
＝ bc sin A＝ ×12× ＝3 ，故选项A正确；因为24＝b2＋c2≥2bc，
则bc≤12，当且仅当b＝c＝2 时等号成立，由余弦定理可得 cos A＝
＝ ＝ ，则S＝ bc· sin A＝ bc ＝
≤ ＝3 ，故选项B正确；因为2 ＝ ＋
，所以4｜ ｜2＝c2＋b2＋2bc cos A＝c2＋b2＋2bc· ＝2（b2
＋c2）－a2＝2×24－12＝36，解得｜ ｜＝3，故选项C正确；因为24＝b2＋c2≥2bc，则bc≤12，所以 cos A＝ ≥ ，当且仅当b＝c＝2 时取等号，所以角A的最大值为 ，故选项D错误.故选A、B、C.
7. 函数y＝ 的最大值是 ，最小值是 　 　.
解析：法一 原函数可化为 sin x＝ ，而－1≤ sin x≤1，所以－1≤
≤1，所以 ≤y≤6，因此原函数的最大值是6，最小值是 .
法二 y＝ ＝ －1.当 sin x＝1时，ymax＝ －1＝6；当 sin
x＝－1时，ymin＝ －1＝ .因此原函数的最大值是6，最小值是 .
6　
　
8. （2024·合肥第一次教学质量检测）已知函数f（x）＝2 sin （3x＋φ）
（－π＜φ＜0）图象的一条对称轴为x＝ ，当x∈[0，t]时，f（x）的最
小值为－ ，则t的最大值为 　 　.
解析：因为函数f（x）＝2 sin （3x＋φ）图象的一条对称轴为x＝ ，所
以3× ＋φ＝kπ＋ （k∈Z），所以φ＝kπ－ （k∈Z），因为－π＜φ＜
0，所以k＝0，φ＝－ ，所以函数f（x）＝2 sin （3x－ ），当x∈[0，
t]时，3x－ ∈［－ ，3t－ ］，因为函数f（x）的最小值为－ ，所
以－ ＜3t－ ≤ ，解得0＜t≤ ，所以t的最大值为 .
　
9. △ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足a sin （B＋
C）＝（b－c） sin B＋c sin C.
（1）求A；
解： 由a sin （B＋C）＝（b－c） sin B＋c sin C可得a sin A＝（b
－c） sin B＋c sin C，
根据正弦定理可得，a2＝（b－c）b＋c2＝b2＋c2－bc，
根据余弦定理可得， cos A＝ ＝ ＝ ，又A∈（0，π），故A
＝ .
（2）若点D在边BC上，a＝2，且AD⊥BC，求AD的最大值.
解： 由（1）知，b2＋c2－bc＝a2＝4，
根据基本不等式，b2＋c2－bc＝a2＝4≥2bc－bc＝bc，
故bc≤4，
于是S△ABC＝ bc sin A＝ bc≤ ，当b＝c＝2时取得等号，又S△ABC＝ ×a×AD，所以AD≤ ，故AD的最大值为 .
10. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且（2
＋b）（ sin A－ sin B）＝（c－b） sin C.
（1）求A；
解： 因为a＝2，（2＋b）（ sin A－ sin B）＝（c－b） sin C，所以
由正弦定理得（a＋b）（a－b）＝（c－b）c，即b2＋c2－a2＝bc，所
以 cos A＝ ＝ ，因为A∈（0，π），所以A＝ .
（2）求△ABC周长的取值范围.
解： 由正弦定理可知 ＝ ＝ ＝ ＝ ，
故△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋ （ sin B＋ sin C）＝2＋ ［ sin B＋
sin （ －B）］＝2＋ （ sin B＋ cos B）＝2＋4 sin （B＋ ），
因为0＜B＜ ，所以 ＜B＋ ＜ ，所以 ＜ sin （B＋ ）≤1，则2＋
4 sin （B＋ ）∈（4，6]，故△ABC周长的取值范围是（4，6].
11. 已知函数f（x）＝ sin （2x＋ ）－ cos （2x＋ ）＋ （1－2 sin2x）.
（1）求f（x）的单调递增区间；
解： f（x）＝ sin （2x＋ ）－ cos （2x＋ ）＋ （1－2 sin 2x）
＝ sin 2x＋ cos 2x－ cos 2x＋ sin 2x＋ cos 2x＝ sin 2x＋ cos
2x＝2（ sin 2x＋ cos 2x）＝2 sin （2x＋ ），
由－ ＋2kπ≤2x＋ ≤ ＋2kπ（k∈Z），
解得－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ（k∈Z），
所以f（x）的单调递增区间为［－ ＋kπ， ＋kπ］（k∈Z）.
（2）记a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且f（ ）＝
，BC的中线AD＝3，求△ABC面积的最大值.
解： 因为f（ ）＝ ，可得 sin （A＋ ）＝ ，
因为A∈（0，π），所以A＋ ＝ ，即A＝ ，
由 ＝ ＋ 及AD＝3可得，
＝9＝ ＋ ＋ · ＝ c2＋ b2＋ cb cos A＝ （b2＋c2＋
bc），
所以b2＋c2＋bc＝36，所以36＝b2＋c2＋bc≥2bc＋bc，
即bc≤12，当且仅当b＝c＝2 时取等号，
所以S△ABC＝ bc sin A＝ bc≤3 ，
故△ABC面积的最大值为3 .
12. （创新解题路径）在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的“金
桥”中，用二分法求方程的近似解是其中璀璨的一座.已知A为锐角△ABC
的内角，满足 sin A－2 cos A＋tan A＝1，则A的取值范围是（　　）
A. （0， ） B. （ ， ）
C. （ ， ） D. （ ， ）
√
解析： 　设f（x）＝ sin x－2 cos x＋tan x－1，x∈（0， ），易知f
（x）在（0， ）上单调递增，又f（0）＝－3＜0，f（ ）＝ － ＋
－1＜0，f（ ）＝ － ＋1－1＜0，f（ ）＝ －1＋ －1＞0，
当x→ 时，f（x）→＋∞，由A是f（x）的零点且f（ ）·f（ ）＜0，
知A∈（ ， ），故选C.
13. （新定义）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，
那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，△ABC的面积为S，三个内角A，
B，C所对的边分别为a，b，c，且 sin C＝ .
（1）证明：△ABC是倍角三角形；
解： 证明：因为 sin C＝ ＝ ＝ ，
又 sin C≠0，所以 ＝1，则b2＝c2－ab，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得2c cos B＝a＋b，
由正弦定理，得2 sin C cos B＝ sin A＋ sin B.
sin A＝ sin （B＋C）＝ sin B cos C＋ cos B sin C，
代入上式可得 sin C cos B＝ sin B cos C＋ sin B，
即 sin C cos B－ sin B cos C＝ sin B，
sin （C－B）＝ sin B，
则有C－B＝B，C＝2B，或C－B＋B＝π（舍去），
故△ABC是倍角三角形.
（2）若c＝9，当S取最大值时，求tan B.
解： 因为C＝2B，所以A＝π－B－C＝π－3B＞0，
故0＜B＜ ，则tan B∈（0， ），
由 ＝ ，得a＝ ＝ ＝ ，
则S＝ ac sin B＝ a sin B
＝ · · sin B＝ ·
＝ ·
＝ （ sin 2B＋ cos 2Btan B）
＝ （ ＋ ·tan B）
＝ · ，
设x＝tan B，x∈（0， ），f（x）＝ ，
则f'（x）＝ ＝ ，
令f'（x）＝0，得x2＝2 －3或x2＝－2 －3（舍去），
当0＜x2＜2 －3时，f'（x）＞0，
当2 －3＜x2＜3时，f'（x）＜0，
则f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ， ）上单
调递减，
故当x＝ 时，f（x）取最大值，则S也取最大值，
此时tan B＝ .
THANKS
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