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第六节　余弦定理和正弦定理
1.（2025·朝阳区期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝，A＝，cos C＝－，则c＝（　　）
A. B.
C. D.
2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos C＝a（2－c），且B＝，则a＝（　　）
A.1 B.
C. D.2
3.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，a＝2，c＝b，则△ABC的面积为（　　）
A.2 B.
C. D.2
4.在△ABC中，已知＝，且cos（A－B）－cos（A＋B）＝1－cos 2C，则△ABC是（　　）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
5.〔多选〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足1－≤，则角C的可能取值是（　　）
A. B.
C. D.
6.〔多选〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（　　）
A.若A＝45°，a＝，b＝，则△ABC有两解
B.若a2＋b2＜c2，则△ABC是钝角三角形
C.若△ABC为锐角三角形，则sin A＞cos B
D.若＝，则△ABC为等腰三角形
7.已知△ABC的周长为＋1，且sin A＋sin B＝sin C，则边AB＝　　　　.
8.在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，则cos B＝　　　　.
9.（2024·清远阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos A＝，a＝4，6sin B＝5sin C.
（1）求b的值；
（2）求△ABC的面积.
10.（2025·韶关二模）在△ABC中，tan A＝，tan B＝.若△ABC最长边的长为，则最短边的长为（　　）
A. B.
C.2 D.
11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2＋c2－b2－ac＝0，△ABC的外接圆半径R＝，△ABC的周长为9，则ac＝（　　）
A.6 B.9
C.16 D.24
12.〔多选〕在△ABC中，点D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3.若CB＝2CD，cos∠CDB＝－，则（　　）
A.sin∠CDB＝
B.△ABC的面积为8
C.△ABC的周长为8＋4
D.△ABC为钝角三角形
13.（情境创新）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在△ABC中，若AF＝1，FD＝2，则AB＝　　　　.
14.（2025·鄂东南省级高中联考）记△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
（1）求角A；
（2）若点D是BC边上一点，且AB⊥AD，CD＝2BD，求sin∠ADB的值.
15.（创新知识交汇）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是　　　（填序号）.
①若ab＞c2，则C＜；
②若a＋b＞2c，则C＜；
③若a3＋b3＝c3，则C＜；
④若（a＋b）c＜2ab，则C＞；
⑤若（a2＋b2）c2＜2a2b2，则C＞.
第六节　余弦定理和正弦定理
1.D　易知C∈（0，π），由cos C＝－可得sin C＝.利用正弦定理＝可得c＝·a＝×＝.故选D.
2.A　因为2bcos C＝a（2－c），所以由余弦定理得，2b＝a（2－c），即a2＋b2－c2＝a2（2－c），即a2＋c2－b2＝a2c，所以cos B＝＝＝，又因为B＝，所以＝，解得a＝1，故选A.
3.C　由余弦定理的推论得cos ＝＝－，因为c＝b，所以b＝2（负值舍去），c＝2，所以S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝.故选C.
4.A　因为cos（A－B）－cos（A＋B）＝1－cos 2C，所以cos Acos B＋sin Asin B－cos Acos B＋sin Asin B＝1－1＋2sin2C，所以sin Asin B＝sin2C，由正弦定理可得ab＝c2，＝，可化为（a＋b）（sin B－sin A）＝asin B，所以由正弦定理得（a＋b）（b－a）＝ab，故b2－a2＝ab，所以b2－a2＝c2，即b2＝c2＋a2，所以△ABC为直角三角形.故选A.
5.ABC　由1－≤得a（a＋c）＋b（b＋c）≥（b＋c）（a＋c），化简得a2＋b2－c2≥ab，同除以2ab，利用余弦定理得cos C≥，所以0＜C≤.
6.ABC　由所以△ABC有两解，故A正确；由余弦定理：c2＝a2＋b2－2abcos C＞a2＋b2 cos C＜0，所以C为钝角，即△ABC为钝角三角形，故B正确；因为△ABC为锐角三角形，所以A＋B＞90° 90°－B＜A＜90° sin（90°－B）＜sin A，即cos B＜sin A，故C正确；因为＝，由正弦定理得：＝ sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，所以△ABC为等腰或直角三角形，故D错误.故选A、B、C.
7.1　解析：由题意及正弦定理得AB＋BC＋AC＝＋1，BC＋AC＝AB，两式相减得AB＝1.
8.　解析：设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，因为sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，所以a∶b∶c＝3∶2∶4，设a＝3k，b＝2k，c＝4k，k＞0，则cos B＝＝＝＝.
9.解：（1）由6sin B＝5sin C及正弦定理得6b＝5c，∴b＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得16＝c2＋c2－2××c×，
∴c2＝36，∴c＝6（负值舍去），∴b＝×6＝5.
（2）∵0＜A＜π，∴sin A＝＝＝，
∴S△ABC＝bcsin A＝×5×6×＝.
10.A　在△ABC中，tan（A＋B）＝＝1，因为tan A＜tan B＜1，所以A＜B＜45°，所以最短边为BC，且A＋B＝45°，则C＝135°，最长边为AB，由tan A＝得sin A＝.由＝得BC＝＝，即最短边的长为，故选A.
11.B　在△ABC中，由a2＋c2－b2－ac＝0，可得a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝＝，由0＜B＜π可得B＝，所以b＝2Rsin B＝2×＝3.因为△ABC的周长为9，所以a＋c＝9－b＝9－3＝6，由a2＋c2－b2－ac＝0，可得（a＋c）2－3ac＝b2＝9，所以3ac＝27，所以ac＝9.
12.BCD　由cos∠CDB＝－，可得sin∠CDB＝，故A项错误.设CD＝x，则由题意知CB＝2x.在△CBD中，由余弦定理得cos∠CDB＝，解得x＝，即CD＝，CB＝2，所以S△ABC＝S△BCD＋S△ADC＝×3××＋×5××＝8，故B项正确.在△BCD和△BCA中，分别由余弦定理得cos B＝＝，解得AC＝2，故△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝8＋2＋2＝8＋4，故C项正确.由余弦定理得cos C＝＝－＜0，故C为钝角，故D项正确.
13.　解析：由题意△EFD为等边三角形，则∠EDA＝，所以∠BDA＝，根据条件△AFC≌△BDA，所以BD＝AF＝1，在△ABD中，AD＝3，BD＝1，AB2＝AD2＋BD2－2×AD×BD×cos∠BDA＝32＋12－2×3×1×＝13，所以AB＝.
14.解：（1）由＝及正弦定理得＝，
即a2＝b2＋c2＋bc.
又a2＝b2＋c2－2bccos A，∴cos A＝－，
∵0＜A＜π，∴A＝.
（2）∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝，
记∠ADB＝α，α∈（0，），
则C＝α－∠DAC＝α－.
在Rt△ABD中，AD＝BDcos α. ①
在△ADC中，由正弦定理得＝. ②
由①②及CD＝2BD得＝，
即＝4，解得tan α＝.
由tan α＝，sin2α＋cos2α＝1，α∈（0，），解得sin α＝.
故sin∠ADB＝.
15.①②③　解析：①ab＞c2 cos C＝＞＝ C＜；②a＋b＞2c cos C＝＞≥ C＜；③当C≥时，c2≥a2＋b2 c3≥a2c＋b2c＞a3＋b3与a3＋b3＝c3矛盾；④取a＝b＝2，c＝1满足（a＋b）c＜2ab但C＜；⑤取a＝b＝2，c＝1满足（a2＋b2）c2＜2a2b2但C＜.综上所述，①②③正确.
2 / 2第六节　余弦定理和正弦定理
课标要求
　　借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理.
1.余弦定理、正弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝ a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝　　　　　　　； c2＝a2＋b2－2abcos C
变形 设△ABC外接圆半径为R，则 ＝＝2R， a＝2Rsin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝
2.在△ABC中，已知a，b和A时解的情况
A为锐角 A为钝角 或直角
图形
关系 式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b
解的 个数 1 2 1 1
3.三角形的面积公式
（1）S△ABC＝aha（ha为边a上的高）；
（2）S△ABC＝absin C＝　　　　　　　＝　　　　　　；
（3）S△ABC＝r（a＋b＋c）（r为△ABC内切圆半径）；
（4）S△ABC＝＝2R2sin Asin Bsin C（R为△ABC外接圆半径）.
1.三角形中的三角函数关系：（1）sin（A＋B）＝sin C；（2）cos（A＋B）＝－cos C；（3）sin＝cos；（4）cos＝sin.
2.在△ABC中，海伦公式：
S＝（其中p＝（a＋b＋c））.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.（　　）
（2）当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形.（　　）
（3）在△ABC中，已知a，b，A，则三角形有唯一解.（　　）
（4）在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3.（　　）
2.（人A必修二P47例8改编）已知△ABC中，a＝1，b＝，B＝45°，则A＝（　　）
A.150°　 　B.90°　 　C.60°　 　D.30°
3.（人A必修二P44练习1（2）题改编）在△ABC中，b＝，a＝1，B＝，则c＝　　　　.
4.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则A＝　　　　.　
利用正、余弦定理解三角形
（师生共研过关）
（2024·天津高考16题节选）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知cos B＝，b＝5，＝.
（1）求a的值；
（2）求sin A的值.
解题技法
利用正弦、余弦定理解题的技巧
（1）求边：利用正弦定理变形公式a＝等或余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A等求解；
（2）求角：利用正弦定理变形公式sin A＝等或余弦定理推论公式cos A＝等求解.
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，则B＝（　　）
A.30° B.45°
C.30°或150° D.45°或135°
2.（2024·安康模拟预测）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos（B＋）＝bsin A，若a＝，c＝2，则b＝（　　）
A.1 B.2 C.2 D.4
判断三角形的形状
（师生共研过关）
在△ABC中，已知＝且a（sin A－sin B）＝（c－b）（sin C＋sin B），试判断△ABC的形状.
解题技法
判定三角形形状的两种常用途径
提醒　“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系.
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＜cos A，则△ABC为（　　）
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，则△ABC的形状为（　　）
A.等腰三角形或直角三角形
B.等腰直角三角形
C.等腰三角形
D.直角三角形
与三角形面积有关的问题
（师生共研过关）
（2024·北京高考16题改编）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A为钝角，a＝7，sin 2B＝bcos B.
（1）求∠A；
（2）若csin A＝，求△ABC的面积.
解题技法
三角形面积问题的常见类型
（1）求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等，求出角与边，再求面积；
（2）已知三角形面积解三角形，常选用已知邻边求出其夹角，或利用已知角求出角的两边间的关系；
（3）已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作为面积公式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形.
1.（人A必修二P53习题10题改编）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝c，B＝，△ABC的面积为，则b＝（　　）
A. B.2
C. D.3
2.（2025·八省联考）在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝，则△ABC的面积为（　　）
A.6 B.8
C.24 D.48
第六节　余弦定理和正弦定理
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.c2＋a2－2accos B
3.（2）bcsin A　acsin B
对点自测诊断
1.（1）√　（2）×　（3）×　（4）×
2.D　3.2　4.　
【考点·分类突破】
考点1
【例1】 解：（1）由＝得a＝c，
由余弦定理得a2＋c2－b2＝2accos B，即c2＋c2－25＝2·c·c·，
得c2－25＝c2，得c＝6，故a＝c＝4.
（2）因为cos B＝，所以sin B＝＝，
由正弦定理得＝，即＝，
得sin A＝.
跟踪训练
1.D　根据正弦定理＝，得sin B＝＝＝.由于b＝＞1＝a，所以B＝45°或B＝135°.
2.A　acos（B＋）＝bsin A，由正弦定理得sin Acos（B＋）＝sin Bsin A，又A∈（0，π），sin A＞0，所以cos（B＋）＝sin B，即cos B－sin B＝sin B，得cos B＝sin B，即tan B＝，又0＜B＜π，所以B＝，而a＝，c＝2，由余弦定理得b＝＝＝1.故选A.
考点2
【例2】 解：由＝及正弦定理得＝，即ac＋a2＝b2＋bc，
∴a2－b2＋ac－bc＝0，
∴（a－b）（a＋b＋c）＝0，∴a＝b.
由a（sin A－sin B）＝（c－b）（sin C＋sin B）及正弦定理，得a（a－b）＝（c－b）（c＋b），即a2＋b2－c2＝ab.
∴cos C＝＝，
又C∈（0，π），∴C＝.
∴△ABC为等边三角形.
跟踪训练
1.A　由＜cos A，得＜cos A.又B∈（0，π），所以sin B＞0，所以sin C＜sin Bcos A，即sin（A＋B）＜sin Bcos A，所以sin Acos B＜0.因为sin A＞0，所以cos B＜0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.
2.A　因为＝，所以＝，由正弦定理可得＝，即sin Bcos B＝sin Ccos C，则sin 2B＝sin 2C，所以2B＝2C或2B＋2C＝π，所以B＝C或B＋C＝，所以△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形.故选A.
考点3
【例3】 解：（1）由题知，2sin Bcos B＝bcos B.
又A为钝角，所以B为锐角，
故cos B≠0，所以2sin B＝b.
又＝＝＝，所以sin A＝.
又A为钝角，所以A＝.
（2）由题知c·＝，所以c＝5.
由a2＝b2＋c2－2bccos A得，49＝b2＋25＋5b，即（b＋8）（b－3）＝0，
解得b＝3（负值舍去）.
所以S△ABC＝bcsin A＝×3×5×＝.
跟踪训练
1.C　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac×，因为a＝c，所以b2＝4c2－3c2，得b＝c，又S△ABC＝acsin B＝×c2×＝，所以c＝，故b＝c＝，故选C.
2.C　设AB＝x，根据余弦定理BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，已知BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝，代入可得：82＝102＋x2－2×10×x×，即x2－12x＋36＝0，解得x＝6，由于BC2＋AB2＝64＋36＝100＝AC2，则△ABC为直角三角形，则S＝×6×8＝24.故选C.
3 / 4(共57张PPT)
第六节　余弦定理和正弦定理
高中总复习·数学
课标要求
　　借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正
弦定理.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 余弦定理、正弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝ ＝ a2＝b2＋c2－2bc cos A；
b2＝ ；
c2＝a2＋b2－2ab cos C
c2＋a2－2ac cos B　
定理 正弦定理 余弦定理
变形 设△ABC外接圆半径为R，则 ＝ ＝2R， a＝2R sin A，b＝2R sin B， c＝2R sin C；a∶b∶c＝ sin A∶
sin B∶ sin C cos A＝ ；
cos B＝ ；
cos C＝
2. 在△ABC中，已知a，b和A时解的情况
A为锐角 A为钝角
或直角
图形
关系式 a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 1 2 1 1
3. 三角形的面积公式
（1）S△ABC＝ aha（ha为边a上的高）；
（2）S△ABC＝ ab sin C＝ 　 bc sin A　＝ 　 ac sin B　；
（3）S△ABC＝ r（a＋b＋c）（r为△ABC内切圆半径）；
（4）S△ABC＝ ＝2R2 sin A sin B sin C（R为△ABC外接圆半径）.
bc sin A　
ac sin B　
1. 三角形中的三角函数关系：（1） sin （A＋B）＝ sin C；（2） cos
（A＋B）＝－ cos C；（3） sin ＝ cos ；（4） cos ＝ sin .
2. 在△ABC中，海伦公式：
S＝ （其中p＝ （a＋b＋c））.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在△ABC中，若 sin A＞ sin B，则A＞B. （　√　）
（2）当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形. （　×　）
（3）在△ABC中，已知a，b，A，则三角形有唯一解. （　×　）
（4）在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3.
（　×　）
√
×
×
×
2. （人A必修二P47例8改编）已知△ABC中，a＝1，b＝ ，B＝45°，
则A＝（　　）
A. 150° B. 90°
C. 60° D. 30°
解析： 　由正弦定理，得 ＝ ，得 sin A＝ .又a＜b，∴A＜
B＝45°.∴A＝30°.故选D.
√
3. （人A必修二P44练习1（2）题改编）在△ABC中，b＝ ，a＝1，B
＝ ，则c＝ 　2 　.
解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即c2＋c－6＝0，解得c＝2
（c＝－3舍去）.
4. 在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则A＝ 　 .　
解析：在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理
得 cos A＝ ＝ ＝－ ，因为A为△ABC的内角，所以A＝
.
2
　
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
（2024·天津高考16题节选）在△ABC中，角A，B，C所对的边分
别是a，b，c.已知 cos B＝ ，b＝5， ＝ .
利用正、余弦定理解三角形（师生共研过关）
（1）求a的值；
解： 由 ＝ 得a＝ c，
由余弦定理得a2＋c2－b2＝2ac cos B，即 c2＋c2－25＝2· c·c· ，
得 c2－25＝ c2，得c＝6，故a＝ c＝4.
（2）求 sin A的值.
解： 因为 cos B＝ ，
所以 sin B＝ ＝ ，
由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，
得 sin A＝ .
解题技法
利用正弦、余弦定理解题的技巧
（1）求边：利用正弦定理变形公式a＝ 等或余弦定理a2＝b2＋c2－
2bc cos A等求解；
（2）求角：利用正弦定理变形公式 sin A＝ 等或余弦定理推论公式
cos A＝ 等求解.
1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝
，A＝30°，则B＝（　　）
A. 30° B. 45°
C. 30°或150° D. 45°或135°
解析： 　根据正弦定理 ＝ ，得 sin B＝ ＝ ＝ .由于b
＝ ＞1＝a，所以B＝45°或B＝135°.
√
2. （2024·安康模拟预测）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，且a cos （B＋ ）＝b sin A，若a＝ ，c＝2，则b＝
（　　）
A. 1 B. 2
C. 2 D. 4
√
解析： 　a cos （B＋ ）＝b sin A，由正弦定理得 sin A cos （B＋ ）＝
sin B sin A，又A∈（0，π）， sin A＞0，所以 cos （B＋ ）＝ sin B，即
cos B－ sin B＝ sin B，得 cos B＝ sin B，即tan B＝ ，又0＜B＜π，
所以B＝ ，而a＝ ，c＝2，由余弦定理得b＝ ＝
＝1.故选A.
判断三角形的形状（师生共研过关）
在△ABC中，已知 ＝ 且a（ sin A－ sin B）＝（c－
b）（ sin C＋ sin B），试判断△ABC的形状.
解：由 ＝ 及正弦定理得 ＝ ，即ac＋a2＝b2＋bc，
∴a2－b2＋ac－bc＝0，
∴（a－b）（a＋b＋c）＝0，∴a＝b.
由a（ sin A－ sin B）＝（c－b）（ sin C＋ sin B）及正弦定理，得a（a
－b）＝（c－b）（c＋b），即a2＋b2－c2＝ab.
∴ cos C＝ ＝ ，
又C∈（0，π），∴C＝ .
∴△ABC为等边三角形.
解题技法
判定三角形形状的两种常用途径
提醒　“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；
“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式
推出角的关系.
1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ＜ cos A，则
△ABC为（　　）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 等边三角形
解析： 　由 ＜ cos A，得 ＜ cos A. 又B∈（0，π），所以 sin B
＞0，所以 sin C＜ sin B cos A，即 sin （A＋B）＜ sin B cos A，所以
sin A cos B＜0.因为 sin A＞0，所以 cos B＜0，即B为钝角，所以
△ABC为钝角三角形.
√
2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ＝ ，则
△ABC的形状为（　　）
A. 等腰三角形或直角三角形
B. 等腰直角三角形
C. 等腰三角形
D. 直角三角形
√
解析： 　因为 ＝ ，所以 ＝ ，由正弦定理可得
＝ ，即 sin B cos B＝ sin C cos C，则 sin 2B＝ sin 2C，所
以2B＝2C或2B＋2C＝π，所以B＝C或B＋C＝ ，所以△ABC的形状
为等腰三角形或直角三角形.故选A.
与三角形面积有关的问题（师生共研过关）
（2024·北京高考16题改编）在△ABC中，内角A，B，C的对边分
别为a，b，c，∠A为钝角，a＝7， sin 2B＝ b cos B.
（1）求∠A；
解： 由题知，2 sin B cos B＝ b cos B.
又A为钝角，所以B为锐角，故 cos B≠0，所以2 sin B＝ b.
又 ＝ ＝ ＝ ，所以 sin A＝ .
又A为钝角，所以A＝ .
（2）若c sin A＝ ，求△ABC的面积.
解： 由题知c· ＝ ，所以c＝5.
由a2＝b2＋c2－2bc cos A得，49＝b2＋25＋5b，即（b＋8）（b－3）＝
0，
解得b＝3（负值舍去）.
所以S△ABC＝ bc sin A＝ ×3×5× ＝ .
解题技法
三角形面积问题的常见类型
（1）求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差
的三角函数公式等，求出角与边，再求面积；
（2）已知三角形面积解三角形，常选用已知邻边求出其夹角，或利用已
知角求出角的两边间的关系；
（3）已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作为面积公
式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形.
1. （人A必修二P53习题10题改编）已知△ABC的内角A，B，C的对边分
别为a，b，c，若a＝ c，B＝ ，△ABC的面积为 ，则b＝
（　　）
A. B. 2
解析： 　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac× ，因为a＝ c，所以b2＝
4c2－3c2，得b＝c，又S△ABC＝ ac sin B＝ × c2× ＝ ，所以c＝
，故b＝c＝ ，故选C.
C. D. 3
√
2. （2025·八省联考）在△ABC中，BC＝8，AC＝10， cos ∠BAC＝ ，
则△ABC的面积为（　　）
A. 6 B. 8
C. 24 D. 48
解析： 　设AB＝x，根据余弦定理BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB· cos
∠BAC，已知BC＝8，AC＝10， cos ∠BAC＝ ，代入可得：82＝102＋
x2－2×10×x× ，即x2－12x＋36＝0，解得x＝6，由于BC2＋AB2＝64＋
36＝100＝AC2，则△ABC为直角三角形，则S＝ ×6×8＝24.故选C.
√
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. （2025·朝阳区期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，
b，c，若a＝ ，A＝ ， cos C＝－ ，则c＝（　　）
A. B.
解析： 　易知C∈（0，π），由 cos C＝－ 可得 sin C＝ .利用正弦定
理 ＝ 可得c＝ ·a＝ × ＝ .故选D.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
16
17
18
19
20
20
22
23
24
25
2. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos C＝a
（2－c），且B＝ ，则a＝（　　）
A. 1 B. C. D. 2
解析： 　因为2b cos C＝a（2－c），所以由余弦定理得，
2b ＝a（2－c），即a2＋b2－c2＝a2（2－c），即a2＋c2－b2
＝a2c，所以 cos B＝ ＝ ＝ ，又因为B＝ ，所以 ＝ ，
解得a＝1，故选A.
√
3. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝ ，a＝
2 ，c＝ b，则△ABC的面积为（　　）
A. 2 B.
C. D. 2
解析： 　由余弦定理的推论得 cos ＝ ＝－ ，因为c＝
b，所以b＝2（负值舍去），c＝2 ，所以S△ABC＝ bc sin A＝
×2×2 × ＝ .故选C.
√
4. 在△ABC中，已知 ＝ ，且 cos （A－B）－ cos （A＋
B）＝1－ cos 2C，则△ABC是（　　）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
√
解析： 　因为 cos （A－B）－ cos （A＋B）＝1－ cos 2C，所以 cos A
cos B＋ sin A sin B－ cos A cos B＋ sin A sin B＝1－1＋2 sin 2C，所以 sin A sin
B＝ sin 2C，由正弦定理可得ab＝c2， ＝ ，可化为（a＋b）
（ sin B－ sin A）＝a sin B，所以由正弦定理得（a＋b）（b－a）＝
ab，故b2－a2＝ab，所以b2－a2＝c2，即b2＝c2＋a2，所以△ABC为直角
三角形.故选A.
5. 〔多选〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足1－
≤ ，则角C的可能取值是（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　由1－ ≤ 得a（a＋c）＋b（b＋c）≥（b＋c）
（a＋c），化简得a2＋b2－c2≥ab，同除以2ab，利用余弦定理得 cos
C≥ ，所以0＜C≤ .
√
√
√
6. 〔多选〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结
论正确的是（　　）
A. 若A＝45°，a＝ ，b＝ ，则△ABC有两解
B. 若a2＋b2＜c2，则△ABC是钝角三角形
C. 若△ABC为锐角三角形，则 sin A＞ cos B
D. 若 ＝ ，则△ABC为等腰三角形
√
√
√
解析： 　由 所以△ABC有两解，故A
正确；由余弦定理：c2＝a2＋b2－2ab cos C＞a2＋b2 cos C＜0，所以C
为钝角，即△ABC为钝角三角形，故B正确；因为△ABC为锐角三角形，
所以A＋B＞90° 90°－B＜A＜90° sin （90°－B）＜ sin A，即
cos B＜ sin A，故C正确；因为 ＝ ，由正弦定理得： ＝
sin 2A＝ sin 2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝
90°，所以△ABC为等腰或直角三角形，故D错误.故选A、B、C.
7. 已知△ABC的周长为 ＋1，且 sin A＋ sin B＝ sin C，则边AB
＝ .
解析：由题意及正弦定理得AB＋BC＋AC＝ ＋1，BC＋AC＝
AB，两式相减得AB＝1.
1　
8. 在△ABC中， sin A∶ sin B∶ sin C＝3∶2∶4，则 cos B＝ .
解析：设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，因为 sin A∶ sin B∶ sin
C＝3∶2∶4，所以a∶b∶c＝3∶2∶4，设a＝3k，b＝2k，c＝4k，k
＞0，则 cos B＝ ＝ ＝ ＝ .
　
9. （2024·清远阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，
b，c.已知 cos A＝ ，a＝4，6 sin B＝5 sin C.
（1）求b的值；
解： 由6 sin B＝5 sin C及正弦定理得6b＝5c，∴b＝ .
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得16＝ c2＋c2－2× ×c× ，
∴c2＝36，∴c＝6（负值舍去），∴b＝ ×6＝5.
（2）求△ABC的面积.
解： ∵0＜A＜π，∴ sin A＝ ＝ ＝ ，
∴S△ABC＝ bc sin A＝ ×5×6× ＝ .
10. （2025·韶关二模）在△ABC中，tan A＝ ，tan B＝ .若△ABC最长边
的长为 ，则最短边的长为（　　）
A. B.
C. 2 D.
√
解析： 　在△ABC中，tan（A＋B）＝ ＝1，因为tan A＜tan B
＜1，所以A＜B＜45°，所以最短边为BC，且A＋B＝45°，则C＝
135°，最长边为AB，由tan A＝ 得 sin A＝ .由 ＝ 得BC＝
＝ ，即最短边的长为 ，故选A.
11. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2＋c2－
b2－ac＝0，△ABC的外接圆半径R＝ ，△ABC的周长为9，则ac＝
（　　）
A. 6 B. 9
C. 16 D. 24
√
解析： 　在△ABC中，由a2＋c2－b2－ac＝0，可得a2＋c2－b2＝ac，
所以 cos B＝ ＝ ，由0＜B＜π可得B＝ ，所以b＝2R sin B＝
2 × ＝3.因为△ABC的周长为9，所以a＋c＝9－b＝9－3＝6，由
a2＋c2－b2－ac＝0，可得（a＋c）2－3ac＝b2＝9，所以3ac＝27，所
以ac＝9.
12. 〔多选〕在△ABC中，点D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3.若CB
＝2CD， cos ∠CDB＝－ ，则（　　）
A. sin ∠CDB＝
B. △ABC的面积为8
C. △ABC的周长为8＋4
D. △ABC为钝角三角形
√
√
√
解析： 　由 cos ∠CDB＝－ ，可得 sin ∠CDB＝ ，故A项错误.
设CD＝x，则由题意知CB＝2x.在△CBD中，由余弦定理得 cos ∠CDB
＝ ，解得x＝ ，即CD＝ ，CB＝2 ，所以S△ABC＝S△BCD
＋S△ADC＝ ×3× × ＋ ×5× × ＝8，故B项正确.在△BCD
和△BCA中，分别由余弦定理得 cos B＝ ＝ ，解
得AC＝2 ，故△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝8＋2 ＋2 ＝8＋
4 ，故C项正确.由余弦定理得 cos C＝ ＝－ ＜0，故C为钝
角，故D项正确.
13. （情境创新）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀
算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与
一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示.类比“赵爽弦图”，可构
造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼
成的一个大等边三角形.在△ABC中，若AF＝1，FD＝2，则AB
＝ .
　
解析：由题意△EFD为等边三角形，则∠EDA＝ ，所以∠BDA＝ ，根
据条件△AFC≌△BDA，所以BD＝AF＝1，在△ABD中，AD＝3，BD＝
1，AB2＝AD2＋BD2－2×AD×BD× cos ∠BDA＝32＋12－
2×3×1× ＝13，所以AB＝ .
14. （2025·鄂东南省级高中联考）记△ABC的角A，B，C的对边分别为
a，b，c，已知 ＝ .
（1）求角A；
解： 由 ＝ 及正弦定理得 ＝ ，
即a2＝b2＋c2＋bc.
又a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴ cos A＝－ ，
∵0＜A＜π，∴A＝ .
（2）若点D是BC边上一点，且AB⊥AD，CD＝2BD，求 sin ∠ADB的
值.
解： ∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝ ，
记∠ADB＝α，α∈（0， ），
则C＝α－∠DAC＝α－ .
在Rt△ABD中，AD＝BD cos α. ①
在△ADC中，由正弦定理得 ＝ . ②
由①②及CD＝2BD得 ＝ ，
即 ＝4，解得tan α＝ .
由tan α＝ ， sin 2α＋ cos 2α＝1，α∈（0， ），解得 sin α＝ .
故 sin ∠ADB＝ .
15. （创新知识交汇）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，则下列命题正确的是 （填序号）.
①若ab＞c2，则C＜ ；
②若a＋b＞2c，则C＜ ；
③若a3＋b3＝c3，则C＜ ；
④若（a＋b）c＜2ab，则C＞ ；
⑤若（a2＋b2）c2＜2a2b2，则C＞ .
①②③　
解析：①ab＞c2 cos C＝ ＞ ＝ C＜ ；②a＋b＞
2c cos C＝ ＞ ≥ C＜ ；③当C≥
时，c2≥a2＋b2 c3≥a2c＋b2c＞a3＋b3与a3＋b3＝c3矛盾；④取a＝b＝
2，c＝1满足（a＋b）c＜2ab但C＜ ；⑤取a＝b＝2，c＝1满足（a2
＋b2）c2＜2a2b2但C＜ .综上所述，①②③正确.
THANKS
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