资源简介

第1课时　三角函数的图象与性质（一）
1.（2025·绵阳阶段练习）y＝lg（tan x－1）的定义域为（　　）
A.{x｜＋kπ＞x＞＋kπ，k∈Z}
B.{x｜x＞＋kπ，x≠＋kπ，k∈Z}
C.{x｜x＞＋kπ，k∈Z}
D.{x｜x＞＋，k∈Z}
2.（2024·天津高考7题）已知函数f（x）＝sin 3（ωx＋）的最小正周期为π，则f（x）在［－，］的最小值为（　　）
A.－ B.－
C.0 D.
3.设α，β均为锐角，则“α＞2β”是“sin（α－β）＞sin β”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知函数f（x）＝cos（2x－），则f（x）在[－2，0]上（　　）
A.单调递增 B.单调递减
C.先增后减 D.先减后增
5.〔多选〕（2024·南通开学考试）下列函数中，在区间（，）上单调递减的函数是（　　）
A.y＝sin（x＋） B.y＝sin x－cos x
C.y＝｜sin 2x｜ D.y＝cos（x－）
6.〔多选〕已知函数f（x）＝sin x＋cos x，下列说法正确的是（　　）
A.f（x）的最小正周期为2π
B.f（x）的最大值为＋1
C.f（x）在区间［，］上单调递减
D.为f（x）的一个零点
7.比较大小：sin　　　　sin.
8.已知函数f（x）＝sin（ωx－）（ω＞0），x∈［0，］的值域是［－，1］，则ω的取值范围为　　　　.
9.已知函数f（x）＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx－1（其中0＜ω＜1），若点（－，0）是函数f（x）图象的一个对称中心.
（1）求ω的值；
（2）求出函数f（x）的单调递增区间.
10.已知函数f（x）＝cos x，若A，B是锐角三角形的两个内角，则一定有（　　）
A.f（sin A）＞f（sin B）
B.f（cos A）＞f（cos B）
C.f（sin A）＞f（cos B）
D.f（cos A）＞f（sin B）
11.若f（x）＝cos x－sin x在[－m，m]上单调递减，则m的最大值为（　　）
A. B.
C. D.
12.（情境创新）〔多选〕高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也叫取整函数.下列叙述正确的是（　　）
A.［cos］＝0
B.函数y＝cos x－[cos x]有3个零点
C.y＝[cos x]的最小正周期为2π
D.y＝[cos x]的值域为{－1，0，1}
13.已知函数f（x）＝2sin（x＋），若对于任意实数x都有f（x）≤f（x0）和f'（x）≤f'（x1）成立，则｜x0－x1｜的最小值为　　　　.
14.已知函数f（x）＝x2＋2xtan θ－1，其中θ≠＋kπ，k∈Z.
（1）当θ＝－，x∈[－1，]时，求函数f（x）的最大值与最小值；
（2）求使y＝f（x）在区间[－1，]上是单调函数的θ的取值范围.
15.（创新考查角度）（2025·福建名校联盟联考）方程2cos 2x（cos 2x－cos）＝cos 4x－1所有正根的和为　　　　.
第四节　三角函数的图象与性质
第1课时　三角函数的图象与性质（一）
1.A　令y＝lg t，t＝tan x－1，函数t＝tan x－1的定义域为x｜x≠＋kπ，k∈Z，函数y＝lg t的定义域为t＞0，则tan x－1＞0，即x｜＋kπ＞x＞＋kπ，k∈Z，所以y＝lg（tan x－1）的定义域为{x｜＋kπ＞x＞＋kπ，k∈Z}，故选A.
2.A　由f（x）的最小正周期为π，可得π＝，所以ω＝，所以f（x）＝sin（2x＋π）＝－sin 2x.当x∈［－，］时，2x∈［－，］，sin 2x∈［－，］，－sin 2x∈［－，］，所以f（x）min＝－，故选A.
3.C　因为α，β均为锐角，所以0＜α＜，0＜β＜.当α＞2β时，＞α－β＞β＞0，因为函数y＝sin x在（－，）上单调递增，所以sin（α－β）＞sin β，故“α＞2β”是“sin（α－β）＞sin β”的充分条件；当sin（α－β）＞sin β时，由0＜α＜，0＜β＜，得－＜α－β＜，因为函数y＝sin x在（－，）上单调递增，所以α－β＞β，即α＞2β，故“α＞2β”是“sin（α－β）＞sin β”的必要条件.综上所述，“α＞2β”是“sin（α－β）＞sin β”的充要条件.
4.D　令2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z），单调递减区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z），所以f（x）在［－2，－］上单调递减，在［－，0］上单调递增，即f（x）在[－2，0]上先减后增，故选D.
5.AC　A选项，对于y＝sin（x＋），由＜x＜，得＜x＋＜，所以y＝sin（x＋）在区间（，）上单调递减，A项正确；B选项，对于y＝sin x－cos x＝2sin（x－），由＜x＜，得＜x－＜，所以y＝sin x－cos x在区间（，）上单调递增，B项不符合题意；C选项，由＜x＜，得＜2x＜π，且y＝｜sin 2x｜＝sin 2x，所以y＝｜sin 2x｜在区间（，）上单调递减，C项正确；D选项，对于y＝cos（x－），由＜x＜，得－＜x－＜，所以y＝cos（x－）在区间（，）上不单调，D项不符合题意，故选A、C.
6.ACD　f（x）＝sin x＋cos x＝2sin（x＋），f（x）的最小正周期为2π，故A正确；当sin（x＋）＝1时，f（x）的最大值为2，故B错误；因为x∈［，］，所以x＋∈［，］ ［，］，所以f（x）在区间［，］上单调递减，故C正确；f（）＝2sin（＋）＝2sin π＝0，所以为f（x）的一个零点，故D正确.
7.＞　解析：因为y＝sin x在上单调递增且0＞－＞－＞－，故sin＞sin.
8.［，3］　解析：因为x∈［0，］，ω＞0，所以ωx－∈［－，－］.又当x∈［0，］时，f（x）∈［－，1］，所以≤－≤，解得≤ω≤3.
9.解：（1）f（x）＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx－1＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2（sin 2ωx＋cos 2ωx）＝2sin（2ωx＋），
因为点（－，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，
所以－＋＝kπ（k∈Z），ω＝－3k＋（k∈Z），
因为0＜ω＜1，所以当k＝0时，可得ω＝.
（2）由（1）知f（x）＝2sin（x＋）.
令2kπ－≤x＋≤2kπ＋（k∈Z），解得2kπ－≤x≤2kπ＋（k∈Z），所以函数的单调递增区间为［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z）.
10.D　∵A，B是锐角三角形的两个内角，∴A＋B＞，∴0＜－B＜A＜，∵y＝sin x在上单调递增，∴0＜sin＝cos B＜sin A＜1，又函数f（x）＝cos x在[0，1]上单调递减，∴f（cos B）＞f（sin A），同理f（cos A）＞f（sin B），∴C错，D对；∵A，B的大小关系不确定，∴A、B项不确定.故选D.
11.B　f（x）＝cos x－sin x＝cos（x＋），令2kπ≤x＋≤π＋2kπ（k∈Z），解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ（k∈Z），f（x）的单调递减区间为［－＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z.∵0∈[－m，m]，∴0∈［－，］，∴[－m，m] ［－，］，∴m的最大值为.故选B.
12.ACD　由［cos］＝［］＝0，A正确；当x＝＋kπ（k∈Z）时cos x＝0，∴y＝cos x－[cos x]在R上有无数个零点，B错误；在区间[0，2π]上，当y＝[cos x]＝1时，x＝0，2π；当y＝[cos x]＝0时，x∈（0，］∪［，2π）；当y＝[cos x]＝－1时，x∈（，π）.
则函数y＝[cos x]在[0，2π]上的图象如图所示，∴y＝[cos x]最小正周期为2π，值域为{－1，0，1}，C、D都正确.
13.　解析：f（x）＝2sin（x＋），因为f（x）≤f（x0）恒成立，所以x0＋＝＋2kπ，k∈Z，解得x0＝＋2kπ，k∈Z；f'（x）＝2cos（x＋），因为f'（x）≤f'（x1）恒成立，所以x1＋＝2k1π，k1∈Z，解得x1＝－＋2k1π，k1∈Z，所以｜x0－x1｜＝｜＋2kπ－（－＋2k1π）｜＝｜＋2（k－k1）π｜（k，k1∈Z），当k－k1＝0时，｜x0－x1｜取得最小值，最小值为.
14.解：（1）当θ＝－时，f（x）＝x2－x－1＝（x－）2－.
∵x∈[－1，]，且f（x）的图象开口向上，
∴当x＝时，f（x）min＝－；
当x＝－1时，f（x）max＝.
（2）函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝－tan θ.
∵f（x）在区间[－1，]上是单调函数，
∴－tan θ≥或－tan θ≤－1，
即tan θ≤－或tan θ≥1，
∴－＋kπ＜θ≤－＋kπ或＋kπ≤θ＜＋kπ，k∈Z，故θ的取值范围是（－＋kπ，－＋kπ］∪［＋kπ，＋kπ），k∈Z.
15.1 080π　解析：2cos 2x（cos 2x－cos）＝cos 4x－1＝2cos22x－2，令a＝cos 2x，b＝cos，则2a（a－b）＝2a2－2，即ab＝1，因为a＝cos 2x，所以a∈[－1，1]，同理b∈[－1，1]，所以a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1，当a＝1，b＝1时，cos 2x＝1，cos＝1，所以x＝kπ，k∈Z，x＝，k1∈Z，因为1 007＝1×19×53，所以x＝π，19π，53π，1 007π；当a＝－1，b＝－1时，cos 2x＝－1，cos＝－1，则x＝，k2∈Z，x＝，k3∈Z，令＝，k2，k3∈Z，得（2k2＋1）·（2k3＋1）＝4 028，k2，k3∈Z，方程无解，所以方程所有正根的和为π＋19π＋53π＋1 007π＝1 080π.
2 / 2第1课时　三角函数的图象与性质（一）
三角函数的定义域
（基础自学过关）
1.函数f（x）＝tan（2x＋）的定义域为　　　　.　
2.函数y＝的定义域为　　　　.　
3.函数y＝lg（sin x）＋的定义域为　　　　.
练后悟通
三角函数定义域的求法
　　求三角函数的定义域，实际上是构造简单的三角不等式（组），解三角不等式（组）常借助三角函数的图象，对于有限集、无限集求交集可借助数轴.
三角函数的值域（最值）
（师生共研过关）
（1）（人A必修一P214习题16题改编）函数f（x）＝3sin在区间上的值域为（　　）
A.　　　　B.
C. D.
（2）若函数f（x）＝sin x－cos 2x，则f（x）的值域为　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
求解三角函数的值域（最值）常见的几种类型
（1）形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin（ωx＋φ）＋c的形式，再求值域（最值）；
（2）形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcos x＋b（sin x±cos x）＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域（最值）.
1.函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为（　　）
A.［－，1］ B.［1，＋］
C.［－－，1］ D.［－＋，1］
2.若函数f（x）＝3sin（2x－）的定义域是[0，m]，值域为［－，3］，则m的最大值是（　　）
A. B.
C. D.
三角函数的单调性
（定向精析突破）
考向1　求三角函数的单调区间
（1）函数y＝｜tan x｜在（－，）上的单调递减区间为　　　　；
（2）函数y＝sin（－2x＋）的单调递减区间为　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
已知三角函数解析式求单调区间的方法
（1）代换法：将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角，利用复合函数的单调性列不等式求解；
（2）图象法：画出三角函数的图象，结合图象求函数的单调区间.
提醒 要注意求函数y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间时ω的符号，若ω＜0，那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数，同时切莫忘记考虑函数自身的定义域.
考向2　根据三角函数的单调性求参数
已知函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）在区间［－，］上单调递增，则ω的取值范围是　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
已知单调区间求参数的三种方法
（1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是该区间的子集，列不等式（组）求解；
（2）求补集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解；
（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过个周期列不等式（组）求解.
1.若f（x）＝2sin2x，则f（x）满足（　　）
A.在[0，π]上单调递增
B.在[0，π]上单调递减
C.在［0，］上单调递增
D.在［0，］上单调递减
2.已知函数f（x）＝2cos（x＋），设a＝f（），b＝f（），c＝f（），则a，b，c的大小关系是（　　）
A.a＞b＞c B.a＞c＞b
C.c＞a＞b D.b＞a＞c
第1课时　三角函数的图象与性质（一）
【考点·分类突破】
考点1
1.x｜x≠＋，k∈Z　解析：要使函数f（x）＝tan（2x＋）有意义，则需满足2x＋≠kπ＋，k∈Z，解得x≠＋，k∈Z，所以函数f（x）的定义域为x｜x≠＋，k∈Z.
2.{x｜2kπ＋≤x≤＋2kπ，k∈Z}　解析：法一 要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示.
在[0，2π]内，满足sin x≥cos x的x范围为［，］，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为{x｜2kπ＋≤x≤＋2kπ，k∈Z}.
法二 令sin x－cos x＝sin（x－）≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ（k∈Z），解得2kπ＋≤x≤2kπ＋（k∈Z），所以定义域为{x｜2kπ＋≤x≤＋2kπ，k∈Z}.
3.
解析：要使函数有意义，则有
解得（k∈Z），所以2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z，所以函数的定义域为.
考点2
【例1】 （1）B　（2）［－，2］　解析：（1）当x∈时，2x－∈，sin∈，故3sin∈，∴函数f（x）的值域为.
（2）f（x）＝sin x－cos 2x＝sin x－（1－2sin2x）＝2sin2x＋sin x－1，设t＝sin x∈[－1，1]，则y＝2t2＋t－1，t∈[－1，1]，当t∈［－1，－）时，y＝2t2＋t－1单调递减，当t∈［－，1］时，y＝2t2＋t－1单调递增，∴当t＝－时，ymin＝－；当t＝1时，ymax＝2.∴f（x）的值域为［－，2］.
跟踪训练
1.C　设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，sin xcos x＝，且－≤t≤.∴y＝－＋t＋＝－（t－1）2＋1，t∈[－，].当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－.∴函数的值域为［－－，1］.
2.A　∵x∈[0，m]，∴2x－∈［－，2m－］.∵f（x）的值域为［－，3］，∴≤2m－≤，解得≤m≤，∴m的最大值为.故选A.
考点3
【例2】 （1）（－，0］和（，π］
（2）［kπ－，kπ＋］，k∈Z
解析：（1）如图，观察图象可知，y＝｜tan x｜在（－，）上的单调递减区间为（－，0］和（，π］.
（2）y＝－sin（2x－）的单调递减区间即为y＝sin（2x－）的单调递增区间.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故其单调递减区间为［kπ－，kπ＋］，k∈Z.
【例3】 （0，］　解析：因为x∈［－，］，所以ωx∈［－，］，因为0∈［－，］且y＝sin x在［－，］上单调递增，所以［－，］ ［－，］，即有解得0＜ω≤.
跟踪训练
1.C　因为f（x）＝2sin2x＝1－cos 2x，当x∈[0，π]时2x∈[0，2π]，因为y＝cos x在[0，2π]上不单调，所以f（x）在[0，π]上不单调，故A、B错误；当x∈［0，］时2x∈[0，π]，因为y＝cos x在[0，π]上单调递减，所以f（x）在［0，］上单调递增，故C正确，D错误.故选C.
2.A　a＝f（）＝2cos，b＝f（）＝2cos，c＝f（）＝2cos，因为y＝cos x在[0，π]上单调递减，＜＜，所以a＞b＞c.
2 / 2(共49张PPT)
第1课时　三角函数的图象与性质（一）
高中总复习·数学
目 录
CONTENTS
考点·分类突破
01.
课时·跟踪检测
02.
PART 01
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
三角函数的定义域（基础自学过关）
1. 函数f（x）＝tan（2x＋ ）的定义域为 　{x｜x≠ ＋ ，k∈Z}　.
解析：要使函数f（x）＝tan（2x＋ ）有意义，则需满足2x＋ ≠kπ＋
，k∈Z，解得x≠ ＋ ，k∈Z，所以函数f（x）的定义域为{x｜
x≠ ＋ ，k∈Z}.
{x｜x≠ ＋ ，k∈Z}　
2. 函数y＝ 的定义域为 　{x｜2kπ＋ ≤x≤ ＋2kπ，
.
解析：法一 要使函数有意义，必须使 sin x－ cos
x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y
＝ sin x和y＝ cos x的图象，如图所示.在[0，2π]
内，满足 sin x≥ cos x的x范围为［ ， ］，再
结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为{x｜2kπ＋ ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z}.
法二 令 sin x－ cos x＝ sin （x－ ）≥0，将x－ 视为一个整体，由正弦函数y＝ sin x的图象和性质可知2kπ≤x－ ≤π＋2kπ（k∈Z），解得2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ （k∈Z），所以定义域为{x｜2kπ＋ ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z}.
{x｜2kπ＋ ≤x≤ ＋2kπ，
k∈Z}　
3. 函数y＝lg（ sin x）＋ 的定义域为
　 .
解析：要使函数有意义，则有 解得
（k∈Z），所以2kπ＜x≤ ＋2kπ，k∈Z，所
以函数的定义域为 .
练后悟通
三角函数定义域的求法
　　求三角函数的定义域，实际上是构造简单的三角不等式（组），解三
角不等式（组）常借助三角函数的图象，对于有限集、无限集求交集可借
助数轴.
三角函数的值域（最值）（师生共研过关）
（1）（人A必修一P214习题16题改编）函数f（x）＝3 sin
在区间 上的值域为（　B　）
A. B.
C. D.
B
解析： 当x∈ 时，2x－ ∈ ， sin
∈ ，故3 sin ∈ ，∴函数f（x）的值域为
.
（2）若函数f（x）＝ sin x－ cos 2x，则f（x）的值域为
.
解析： f（x）＝ sin x－ cos 2x＝ sin x－（1－2 sin 2x）＝2 sin 2x＋
sin x－1，设t＝ sin x∈[－1，1]，则y＝2t2＋t－1，t∈[－1，1]，当t∈
［－1，－ ）时，y＝2t2＋t－1单调递减，当t∈［－ ，1］时，y＝2t2
＋t－1单调递增，∴当t＝－ 时，ymin＝－ ；当t＝1时，ymax＝2.∴f
（x）的值域为［－ ，2］.
［－ ，
2］　
解题技法
求解三角函数的值域（最值）常见的几种类型
（1）形如y＝a sin x＋b cos x＋c的三角函数化为y＝A sin （ωx＋φ）＋c
的形式，再求值域（最值）；
（2）形如y＝a sin 2x＋b sin x＋c的三角函数，可先设 sin x＝t，化为关
于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝a sin x cos x＋b（ sin x± cos x）＋c的三角函数，可先设t＝
sin x± cos x，化为关于t的二次函数求值域（最值）.
1. 函数y＝ sin x－ cos x＋ sin x cos x的值域为（　　）
A. ［ － ，1］ B. ［1， ＋ ］
C. ［－ － ，1］ D. ［－ ＋ ，1］
解析： 　设t＝ sin x－ cos x，则t2＝ sin 2x＋ cos 2x－2 sin x cos x， sin x
cos x＝ ，且－ ≤t≤ .∴y＝－ ＋t＋ ＝－ （t－1）2＋1，
t∈[－ ， ].当t＝1时，ymax＝1；当t＝－ 时，ymin＝－ － .
∴函数的值域为［－ － ，1］.
√
2. 若函数f（x）＝3 sin （2x－ ）的定义域是[0，m]，值域为［－ ，
3］，则m的最大值是（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　∵x∈[0，m]，∴2x－ ∈［－ ，2m－ ］.∵f（x）的值
域为［－ ，3］，∴ ≤2m－ ≤ ，解得 ≤m≤ ，∴m的最大值
为 .故选A.
√
三角函数的单调性（定向精析突破）
考向1　求三角函数的单调区间
（1）函数y＝｜tan x｜在（－ ， ）上的单调递减区间为
；
解析： 如图，观察图象可知，y＝｜tan x｜在
（－ ， ）上的单调递减区间为（－ ，0］和
（ ，π］.
（－
，0］和（ ，π］　
（2）函数y＝ sin （－2x＋ ）的单调递减区间为 　［kπ－ ，kπ＋
.
解析： y＝－ sin （2x－ ）的单调递减区间即为y＝ sin （2x－ ）
的单调递增区间.令2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z，得kπ－
≤x≤kπ＋ ，k∈Z. 故其单调递减区间为［kπ－ ，kπ＋ ］，
k∈Z.
［kπ－ ，kπ＋
］，k∈Z　
解题技法
已知三角函数解析式求单调区间的方法
（1）代换法：将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个
角，利用复合函数的单调性列不等式求解；
（2）图象法：画出三角函数的图象，结合图象求函数的单调区间.
提醒 要注意求函数y＝A sin （ωx＋φ）的单调区间时ω的符号，若ω＜0，
那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数，同时切莫忘记考虑函数自身的
定义域.
考向2　根据三角函数的单调性求参数
已知函数f（x）＝ sin ωx（ω＞0）在区间［－ ， ］上单调递
增，则ω的取值范围是 .
解析：因为x∈［－ ， ］，所以ωx∈［－ ， ］，因为0∈［－
， ］且y＝ sin x在［－ ， ］上单调递增，所以［－ ， ］
［－ ， ］，即有 解得0＜ω≤ .
（0， ］　
解题技法
已知单调区间求参数的三种方法
（1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是该区间的子
集，列不等式（组）求解；
（2）求补集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、
余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解；
（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过
个周期列不等式（组）求解.
1. 若f（x）＝2 sin 2x，则f（x）满足（　　）
A. 在[0，π]上单调递增 B. 在[0，π]上单调递减
C. 在［0， ］上单调递增 D. 在［0， ］上单调递减
解析： 　因为f（x）＝2 sin 2x＝1－ cos 2x，当x∈[0，π]时2x∈[0，
2π]，因为y＝ cos x在[0，2π]上不单调，所以f（x）在[0，π]上不单
调，故A、B错误；当x∈［0， ］时2x∈[0，π]，因为y＝ cos x在
[0，π]上单调递减，所以f（x）在［0， ］上单调递增，故C正确，D
错误.故选C.
√
2. 已知函数f（x）＝2 cos （x＋ ），设a＝f（ ），b＝f（ ），c＝
f（ ），则a，b，c的大小关系是（　　）
A. a＞b＞c B. a＞c＞b
C. c＞a＞b D. b＞a＞c
解析： 　a＝f（ ）＝2 cos ，b＝f（ ）＝2 cos ，c＝f（ ）＝
2 cos ，因为y＝ cos x在[0，π]上单调递减， ＜ ＜ ，所以a＞
b＞c.
√
PART 02
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. （2025·绵阳阶段练习）y＝lg（tan x－1）的定义域为（　　）
A. {x｜ ＋kπ＞x＞ ＋kπ，k∈Z}
B. {x｜x＞ ＋kπ，x≠ ＋kπ，k∈Z}
C. {x｜x＞ ＋kπ，k∈Z}
D. {x｜x＞ ＋ ，k∈Z}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
20
22
23
24
25
√
解析： 　令y＝lg t，t＝tan x－1，函数t＝tan x－1的定义域为{x｜x≠
＋kπ，k∈Z}，函数y＝lg t的定义域为t＞0，则tan x－1＞0，即{x｜ ＋
kπ＞x＞ ＋kπ，k∈Z}，所以y＝lg（tan x－1）的定义域为{x｜ ＋kπ
＞x＞ ＋kπ，k∈Z}，故选A.
2. （2024·天津高考7题）已知函数f（x）＝ sin 3（ωx＋ ）的最小正周
期为π，则f（x）在［－ ， ］的最小值为（　　）
A. － B. －
C. 0 D.
√
解析： 　由f（x）的最小正周期为π，可得π＝ ，所以ω＝ ，所以f
（x）＝ sin （2x＋π）＝－ sin 2x.当x∈［－ ， ］时，2x∈［－ ，
］， sin 2x∈［－ ， ］，－ sin 2x∈［－ ， ］，所以f（x）min＝
－ ，故选A.
3. 设α，β均为锐角，则“α＞2β”是“ sin （α－β）＞ sin β”的
（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
√
解析： 　因为α，β均为锐角，所以0＜α＜ ，0＜β＜ .当α＞2β
时， ＞α－β＞β＞0，因为函数y＝ sin x在（－ ， ）上单调递增，
所以 sin （α－β）＞ sin β，故“α＞2β”是“ sin （α－β）＞ sin
β”的充分条件；当 sin （α－β）＞ sin β时，由0＜α＜ ，0＜β＜
，得－ ＜α－β＜ ，因为函数y＝ sin x在（－ ， ）上单调递增，
所以α－β＞β，即α＞2β，故“α＞2β”是“ sin （α－β）＞ sin
β”的必要条件.综上所述，“α＞2β”是“ sin （α－β）＞ sin β”的
充要条件.
4. 已知函数f（x）＝ cos （2x－ ），则f（x）在[－2，0]上（　　）
A. 单调递增 B. 单调递减
C. 先增后减 D. 先减后增
√
解析： 　令2kπ－π≤2x－ ≤2kπ，k∈Z，得kπ－ ≤x≤kπ＋ ，
k∈Z，令2kπ≤2x－ ≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋ ≤x≤kπ＋ ，
k∈Z，则f（x）的单调递增区间为［kπ－ ，kπ＋ ］（k∈Z），单
调递减区间为［kπ＋ ，kπ＋ ］（k∈Z），所以f（x）在［－2，－
］上单调递减，在［－ ，0］上单调递增，即f（x）在[－2，0]上先
减后增，故选D.
5. 〔多选〕（2024·南通开学考试）下列函数中，在区间（ ， ）上单调
递减的函数是（　　）
A. y＝ sin （x＋ ） B. y＝ sin x－ cos x
C. y＝｜ sin 2x｜ D. y＝ cos （x－ ）
√
√
解析： 　A选项，对于y＝ sin （x＋ ），由 ＜x＜ ，得 ＜x＋
＜ ，所以y＝ sin （x＋ ）在区间（ ， ）上单调递减，A项正确；B
选项，对于y＝ sin x－ cos x＝2 sin （x－ ），由 ＜x＜ ，得 ＜x
－ ＜ ，所以y＝ sin x－ cos x在区间（ ， ）上单调递增，B项不符
合题意；C选项，由 ＜x＜ ，得 ＜2x＜π，且y＝｜ sin 2x｜＝ sin
2x，所以y＝｜ sin 2x｜在区间（ ， ）上单调递减，C项正确；D选
项，对于y＝ cos （x－ ），由 ＜x＜ ，得－ ＜x－ ＜ ，所以y＝
cos （x－ ）在区间（ ， ）上不单调，D项不符合题意，故选A、C.
6. 〔多选〕已知函数f（x）＝ sin x＋ cos x，下列说法正确的是
（　　）
A. f（x）的最小正周期为2π
B. f（x）的最大值为 ＋1
C. f（x）在区间［ ， ］上单调递减
D. 为f（x）的一个零点
√
√
√
解析： 　f（x）＝ sin x＋ cos x＝2 sin （x＋ ），f（x）的最小
正周期为2π，故A正确；当 sin （x＋ ）＝1时，f（x）的最大值为2，故
B错误；因为x∈［ ， ］，所以x＋ ∈［ ， ］ ［ ， ］，所
以f（x）在区间［ ， ］上单调递减，故C正确；f（ ）＝2 sin （
＋ ）＝2 sin π＝0，所以 为f（x）的一个零点，故D正确.
7. 比较大小： sin sin .
解析：因为y＝ sin x在 上单调递增且0＞－ ＞－ ＞－ ，故
sin ＞ sin .
＞　
8. 已知函数f（x）＝ sin （ωx－ ）（ω＞0），x∈［0， ］的值域是
［－ ，1］，则ω的取值范围为 　［ ，3］　.
解析：因为x∈［0， ］，ω＞0，所以ωx－ ∈［－ ， － ］.又当
x∈［0， ］时，f（x）∈［－ ，1］，所以 ≤ － ≤ ，解得
≤ω≤3.
［ ，3］　
解： f（x）＝2 sin ωx cos ωx＋2 cos 2ωx－1＝ sin 2ωx＋ cos
2ωx＝2（ sin 2ωx＋ cos 2ωx）＝2 sin （2ωx＋ ），
因为点（－ ，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，
所以－ ＋ ＝kπ（k∈Z），ω＝－3k＋ （k∈Z），
因为0＜ω＜1，所以当k＝0时，可得ω＝ .
9. 已知函数f（x）＝2 sin ωx cos ωx＋2 cos 2ωx－1（其中0＜ω＜
1），若点（－ ，0）是函数f（x）图象的一个对称中心.
（1）求ω的值；
（2）求出函数f（x）的单调递增区间.
解： 由（1）知f（x）＝2 sin （x＋ ）.
令2kπ－ ≤x＋ ≤2kπ＋ （k∈Z），解得2kπ－ ≤x≤2kπ＋
（k∈Z），所以函数的单调递增区间为［2kπ－ ，2kπ＋ ］
（k∈Z）.
10. 已知函数f（x）＝ cos x，若A，B是锐角三角形的两个内角，则一定
有（　　）
A. f（ sin A）＞f（ sin B） B. f（ cos A）＞f（ cos B）
C. f（ sin A）＞f（ cos B） D. f（ cos A）＞f（ sin B）
解析： 　∵A，B是锐角三角形的两个内角，∴A＋B＞ ，∴0＜ －B
＜A＜ ，∵y＝ sin x在 上单调递增，∴0＜ sin ＝ cos B＜
sin A＜1，又函数f（x）＝ cos x在[0，1]上单调递减，∴f（ cos B）＞f
（ sin A），同理f（ cos A）＞f（ sin B），∴C错，D对；∵A，B的大小
关系不确定，∴A、B项不确定.故选D.
11. 若f（x）＝ cos x－ sin x在[－m，m]上单调递减，则m的最大值为
（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　f（x）＝ cos x－ sin x＝ cos （x＋ ），令2kπ≤x＋ ≤π
＋2kπ（k∈Z），解得－ ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ（k∈Z），f（x）的单
调递减区间为［－ ＋2kπ， ＋2kπ］，k∈Z. ∵0∈[－m，m]，
∴0∈［－ ， ］，∴[－m，m] ［－ ， ］，∴m的最大值为 .故
选B.
12. （情境创新）〔多选〕高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之
一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设
x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也叫取
整函数.下列叙述正确的是（　　）
A. ［ cos ］＝0
B. 函数y＝ cos x－[ cos x]有3个零点
C. y＝[ cos x]的最小正周期为2π
D. y＝[ cos x]的值域为{－1，0，1}
√
√
√
解析： 　由［ cos ］＝［ ］＝0，A正确；当x
＝ ＋kπ（k∈Z）时 cos x＝0，∴y＝ cos x－[ cos x]
在R上有无数个零点，B错误；在区间[0，2π]上，当y
＝[ cos x]＝1时，x＝0，2π；当y＝[ cos x]＝0时，x∈（0， ］∪［ ，2π）；当y＝[ cos x]＝－1时，x∈（ ， π）.则函数y＝[ cos x]在[0，2π]上的图象如图所示，∴y＝[ cos x]最小正周期为2π，值域为{－
1，0，1}，C、D都正确.
13. 已知函数f（x）＝2 sin （x＋ ），若对于任意实数x都有f（x）≤f
（x0）和f'（x）≤f'（x1）成立，则｜x0－x1｜的最小值为 .
解析：f（x）＝2 sin （x＋ ），因为f（x）≤f（x0）恒成立，所以x0
＋ ＝ ＋2kπ，k∈Z，解得x0＝ ＋2kπ，k∈Z；f'（x）＝2 cos （x＋
），因为f'（x）≤f'（x1）恒成立，所以x1＋ ＝2k1π，k1∈Z，解得x1＝
－ ＋2k1π，k1∈Z，所以｜x0－x1｜＝｜ ＋2kπ－（－ ＋2k1π）｜＝｜
＋2（k－k1）π｜（k，k1∈Z），当k－k1＝0时，｜x0－x1｜取得最小
值，最小值为 .
　
14. 已知函数f（x）＝x2＋2xtan θ－1，其中θ≠ ＋kπ，k∈Z.
（1）当θ＝－ ，x∈[－1， ]时，求函数f（x）的最大值与最小值；
解： θ＝－ 时，f（x）＝x2－ x－1＝（x－ ）2－ .
∵x∈[－1， ]，且f（x）的图象开口向上，
∴当x＝ 时，f（x）min＝－ ；
当x＝－1时，f（x）max＝ .
（2）求使y＝f（x）在区间[－1， ]上是单调函数的θ的取值范围.
解： 函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝－tan θ.
∵f（x）在区间[－1， ]上是单调函数，
∴－tan θ≥ 或－tan θ≤－1，
即tan θ≤－ 或tan θ≥1，
∴－ ＋kπ＜θ≤－ ＋kπ或 ＋kπ≤θ＜ ＋kπ，k∈Z，故θ的取值范
围是（－ ＋kπ，－ ＋kπ］∪［ ＋kπ， ＋kπ），k∈Z.
15. （创新考查角度）（2025·福建名校联盟联考）方程2 cos 2x（ cos 2x
－ cos ）＝ cos 4x－1所有正根的和为 .
1 080π　
解析：2 cos 2x（ cos 2x－ cos ）＝ cos 4x－1＝2 cos 22x－2，令a
＝ cos 2x，b＝ cos ，则2a（a－b）＝2a2－2，即ab＝1，因为a
＝ cos 2x，所以a∈[－1，1]，同理b∈[－1，1]，所以a＝1，b＝1或a
＝－1，b＝－1，当a＝1，b＝1时， cos 2x＝1， cos ＝1，所以x
＝kπ，k∈Z，x＝ ，k1∈Z，因为1 007＝1×19×53，所以x＝π，
19π，53π，1 007π；
当a＝－1，b＝－1时， cos 2x＝－1， cos ＝－1，则x＝
，k2∈Z，x＝ ，k3∈Z，令 ＝ ，k2，
k3∈Z，得（2k2＋1）·（2k3＋1）＝4 028，k2，k3∈Z，方程无解，所以方
程所有正根的和为π＋19π＋53π＋1 007π＝1 080π.
THANKS
演示完毕 感谢观看

展开更多......

收起↑