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(共75张PPT)
第五节　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用
高中总复习·数学
课标要求
1. 结合具体实例，了解y＝A sin （ωx＋φ）的实际意义；能借助图象理解
参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.
2. 会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事
物周期变化的数学模型.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 函数y＝A sin （ωx＋φ）的有关概念
y＝A sin （ωx＋φ）（A＞
0，ω＞0） 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝ ＝

ωx＋φ
φ
2. 用“五点法”画y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的
简图
用“五点法”画y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图
时，要找五个关键点，如表所示：
ωx＋φ 0 π 2π
x －
y＝ A sin （ωx＋
φ） 0 0 0
－

－

A
－A
3. 函数y＝ sin x的图象通过变换得到y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象的两种途径
提醒　（1）先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是｜φ｜个单
位长度；（2）先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是
（ω＞0）个单位长度.
1. 函数y＝A sin （ωx＋φ）＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下
减”.
2. 在函数y＝A sin （ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）中，若其最大值、最
小值分别为M，m，则A＝ ，b＝ .
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）把y＝ sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，所
得图象对应的函数解析式为y＝ sin x. （　×　）
（2）将y＝ sin 2x的图象向右平移 个单位长度，得到y＝ sin （2x－ ）
的图象. （　×　）
（3）函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A≠0）的最大值为A，最小值为－
A. （　×　）
（4）y＝2 sin （ x－ ）的初相为－ . （　√　）
×
×
×
√
2. （人A必修一P239练习2（2）题改编）为了得到函数y＝3 sin （2x－
）的图象，只需把函数y＝3 sin （x－ ）的图象上所有的点（　　）
A. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B. 横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D. 纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变
解析： 　将函数y＝3 sin （x－ ）图象上所有点的横坐标缩短到原来的
，可得函数y＝3 sin （2x－ ）的图象.
√
3. 函数y＝2 sin （2x＋ ）的振幅、频率和初相分别为（　　）
A. 2， ， B. 2， ，
C. 2， ， D. 2， ，－
解析： 　由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2 sin （2x＋ ）的
振幅为2，频率为 ，初相为 .故选A.
√
4. （人A必修一P241习题5题改编）将函数f（x）＝3 sin （2x＋ ）的图
象向左平移 个单位长度后得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）＝
.
解析：g（x）＝f（x＋ ）＝3 sin ［2（x＋ ）＋ ］＝3 sin （2x＋
π）.
3
sin （2x＋ π）　
5. 已知函数f（x）＝2 sin （ωx＋φ） 的部分图象如图所
示，则ω＝ .
解析：设f（x）的最小正周期为T，根据题图可知， ＝ ，所以T＝π，
故ω＝2.
2　
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
函数y＝A sin （ωx＋φ）的图象及变换（师生共研过关）
已知函数f（x）＝2 sin .
（1）作出f（x）在[0，π]上的图象；
解： 因为x∈[0，π]，所以2x＋ ∈ .
列表如下：
2x＋ π 2π
x 0 π
f（x） 1 2 0 －2 0 1
描点、连线得图象：
（2）函数y＝f（x）的图象可由函数y＝ sin x的图象经过怎样的变换得
到？
解： 将y＝ sin x图象上的所有点向左平移 个单位长度，得到函数y
＝ sin 的图象，再将y＝ sin 图象上所有点的横坐标缩短到原
来的 （纵坐标不变），得到函数y＝ sin 的图象，再将y＝ sin
图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到f
（x）＝2 sin 的图象.
解题技法
1. 函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象的两种作法
五点法 设z＝ωx＋φ，由z取0， ，π， ，2π来求出相应的x，通过
列表，计算得出五点坐标，描点连线后得出图象
图象变 换法 由函数y＝ sin x的图象通过变换得到y＝A sin （ωx＋φ）的图
象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”
2. 函数y＝A sin （ωx＋φ）图象变换的两个注意点
（1）由y＝ sin ωx的图象到y＝ sin （ωx＋φ）的图象的变换：向左平移
（ω＞0，φ＞0）个单位长度而非φ个单位长度；
（2）如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱
导公式化为同名函数，另外ω为负时应先变成正值.
1. （2024·新高考Ⅰ卷7题）当x∈[0，2π]时，曲线y＝ sin x与y＝2 sin
（3x－ ）的交点个数为（　　）
A. 3 B. 4
C. 6 D. 8
解析：C　因为函数y＝ sin x的最小正周期为T＝
2π，函数y＝2 sin （3x－ ）的最小正周期为T
＝ ，所以在x∈[0，2π]上函数y＝2 sin （3x－
）的图象恰有三个周期，在坐标系中结合五点法
画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数
图象有6个交点.故选C.
2. 把函数y＝f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不
变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数y＝ sin （x－ ）的
图象，则f（x）＝（　　）
A. sin （ － ） B. sin （ ＋ ）
C. sin （2x－ ） D. sin （2x＋ ）
√
解析： 　依题意，将y＝ sin （x－ ）的图象向左平移 个单位长度，再
将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f（x）的图象，所
以y＝ sin （x－ ） y＝ sin （x＋ ）的图象
f（x）＝ sin （ ＋ ）的图象.
求函数y＝A sin （ωx＋φ）的解析式（师生共研过关）
（1）已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜ ），y
＝f（x）的部分图象如图所示，则f（x）＝ ；
tan（2x＋ ）　
解析： 由图象可知， ＝ － ，即 ＝ ，所以ω＝2，再结合图
象，可得2× ＋φ＝kπ＋ ，k∈Z，即｜φ｜＝｜kπ＋ ｜＜ ，所以－
＜k＜ ，又k∈Z，所以k＝0，所以φ＝ ，又图象过点（0，1），代入得
Atan ＝1，所以A＝1，函数的解析式为f（x）＝tan（2x＋ ）.
（2）（2023·新高考Ⅱ卷16题）已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ），
如图，A，B是直线y＝ 与曲线y＝f（x）的两个交点，若｜AB｜＝ ，
则f（π）＝ .
－ 　
解析： 由题图设点A（x1， ），B（x2， ），则｜AB｜＝x2－x1
＝ .由题图可知 其中k∈Z，则ω（x2－x1）＝
，解得ω＝4.因为函数f（x）的图象过点（ ，0），所以4× ＋φ＝
2kπ，k∈Z，则φ＝2kπ－ ，k∈Z，所以f（x）＝ sin （4x＋2kπ－
）＝ sin （4x－ ＋2kπ）＝ sin （4x－ ），k∈Z. 故f（π）＝ sin
（4π－ ）＝ sin ＝－ .
解题技法
　　已知f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象求其解析
式时，关键是求ω和φ，常用以下两种方法：
（1）由T可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升
（或下降）的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0（或ωx0＋φ＝π），
即可求出φ；
（2）代入图象中已知点的坐标，利用已知点的坐标或零点、最高点、最
低点，再结合图象解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的取值范围有要求，
则可用诱导公式变换使其符合要求.
〔多选〕（2025·南京、盐城调研测试）设M，N，P为函数f（x）＝A
sin （ωx＋φ）图象上三点，其中A＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ，已知M，N是
函数f（x）的图象与x轴相邻的两个交点，P是图象在M，N之间的最高
点，若 ＋2 · ＝0，△MNP的面积是 ，M点的坐标是（－
，0），则（　　）
A. A＝ B. ω＝
C. φ＝ D. 函数f（x）在M，N间的图象上存在点Q，使得 · ＜0
√
√
√
解析： 　记f（x）的最小正周期为T. 如图，显然
＝（ ，0）， ＝（ ，A）， ＝（－ ，
A），∴ ＋2 · ＝（ ）2＋A2－ ＝0，
∴A2＝ ，A＝ .∵△MNP的面积是 ，∴ × ×A＝ ，即AT＝4 ，联立得 解得 故A错误；由T＝4＝ ，得ω＝ ，故B正确；由M（－ ，0），得 sin ［ ×（－ ）＋φ］＝0，解得φ
＝ ，故C正确；易得｜ ｜＝2，N（ ，0），P（ ， ），MN的中点为（ ，0），故以MN为直径的圆在点P的下方，作出以MN为直径的圆，记以MN为直径的圆与f（x）的图象有交点Q1，Q2，故当点Q位于f（x）图象上的曲线段MQ1或曲线段Q2N上时，有∠MQN＞ ，从而f（x）在M，N间的图象上存在点Q，使得 · ＜0，故D正确.综上，选B、C、D.
三角函数图象与性质的综合应用（定向精析突破）
考向1　图象与性质的综合问题
已知函数f（x）＝A sin 2（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜ ），
且f（x）的最大值为2，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为2，并过点
（1，2），则φ＝ ，f（1）＋f（2）＋…＋f（2 025）＝ .
　
2 026　
解析：f（x）＝A sin 2（ωx＋φ）＝ － cos （2ωx＋2φ），由f（x）的
最大值为2，A＞0，得 ＋ ＝2，即A＝2.又f（x）的图象的相邻两条对
称轴之间的距离为2，且ω＞0，所以 × ＝2，解得ω＝ ，所以f（x）
＝1－ cos （ x＋2φ）.又f（x）的图象过点（1，2），所以1－ cos （
＋2φ）＝2，即 cos （ ＋2φ）＝－1，所以 sin 2φ＝1，则2φ＝2kπ＋ ，
k∈Z，所以φ＝kπ＋ ，k∈Z.
又0＜φ＜ ，所以φ＝ ，则f（x）＝1－ cos （ x＋ ）＝1＋ sin ，所
以f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝2＋1＋0＋1＝4.又函数f（x）的周
期为4，且2 025＝4×506＋1，所以f（1）＋f（2）＋…＋f（2 025）＝
506×4＋2＝2 026.
解题技法
解决三角函数图象与性质的综合问题的关键
　　首先正确地将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后根据数形
结合思想研究函数的性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性）.
考向2　三角函数的零点（方程根）
已知函数f（x）＝2 sin （2x－ ），且关于x的方程f（x）＝t
（t∈R）在区间［0， ］上有唯一解，则t的取值范围是
.
解析：因为x∈［0， ］，所以2x－ ∈［－ ， ］，
所以2 sin （2x－ ）∈[－1，2]，且当x＝ 时，f（ ）
＝1，所以其函数图象如图所示.因为关于x的方程f（x）
＝t（t∈R）在区间［0， ］上有唯一解，所以y＝f
（x）与y＝t只有一个交点，结合函数图象可知－1≤t＜1
或t＝2.
[－1，1）
∪{2}　
解题技法
巧用图象解决三角函数中的零点（方程根）问题
　　解决三角函数中的零点（方程根）问题的关键是根据条件作出对应函
数的图象，然后再将方程根的问题转化为图象的交点问题，利用数形结合
思想解决.
1. （2025·温州高三统一测试）已知函数f（x）＝ cos x，若关于x的方程f
（x）＝a在［－ ， ］上有两个不同的根，则实数a的取值范围是
（　　）
A. ［ ，1） B. ［ ，1］
C. ［ ，1） D. ［ ，1］
√
解析： 如图，作出函数y＝ cos x，x∈［－ ， ］
的图象及直线y＝a，由图可知，当a∈［ ，1）时，直
线y＝a与曲线y＝ cos x，x∈［－ ， ］有两个交点，即关于x的方程f（x）＝a在区间［－ ， ］上有两个不同的根.故选C.
2. 〔多选〕（2024·深圳二模）已知函数f（x）＝ sin ωx＋a cos ωx
（x∈R，ω＞0）的最大值为2，其部分图象如图所示，则（　　）
A. a＝
B. 函数f（x－ ）为偶函数
C. 满足条件的正实数ω存在且唯一
D. f（x）是周期函数，且最小正周期为π
√
√
√
解析： 　f（x）max＝ ＝2，∴a＝± ，∵f（0）＝a＞0，
∴a＝ ，A正确；f（x）＝ sin ωx＋ cos ωx＝2 sin （ωx＋ ），
∵f（x）的图象过点（ ，1），∴1＝2 sin （ π＋ ），即 sin （ π＋
）＝ ，则 π＋ ＝2kπ＋ π，k∈Z，ω＝8k＋2，k∈Z，又由题图知
＞ ，即 ＞ ，则ω＜4，又ω＞0，∴ω＝2，故C正确；f（x）＝2 sin
（2x＋ ），f（x－ ）＝2 sin ［2（x－ ）＋ ］＝2 sin 2x，是奇函
数，B错误；f（x）的最小正周期为π，D正确.故选A、C、D.
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. 函数y＝ sin （2x－ ）在区间［－ ，π］上的简图是（　　）
√
解析： 　令x＝0，得y＝ sin （－ ）＝－ ，排除B、D项；当x∈
［－ ，0］时，－ ≤2x－ ≤－ ，在此区间上函数不会出现最高点，
排除C项，故选A.
2. 要得到函数y＝ cos 2x的图象，只需将函数y＝ sin （2x＋ ）的
图象（　　）
A. 向左平移 个单位长度
B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度
D. 向右平移 个单位长度
√
解析： 　y＝ cos 2x＝ sin （2x＋ ）＝ sin ［2（x＋ ）］，y
＝ sin （2x＋ ）＝ sin ［2（x＋ ）］，所以y＝ sin （2x＋ ）
的图象向左平移 个单位长度可得到函数y＝ cos 2x的图象.
3. （2025·龙岩阶段练习）已知函数f（x）＝3 sin （ ＋ ），g（x）＝
3 cos ，则下列命题正确的是（　　）
A. 函数g（x）的最小正周期为π
B. 直线x＝π是f（x）图象的一条对称轴
C. 函数f（x）在区间（－π， ）上单调递减
D. 将f（x）的图象向左平移 个单位长度后得到g（x）的图象
√
解析： 　对于A，g（x）＝3 cos 的最小正周期为 ＝4π，A错误；对
于B，f（π）＝3 sin （ ＋ ）＝3 sin ＝ ≠3，直线x＝π不是f（x）图
象的对称轴，B错误；对于C，当x∈（－π， ）时，－ ＜ ＋ ＜ ，
而正弦函数y＝ sin x在（－ ， ）上单调递增，因此函数f（x）在区间
（－π， ）上单调递增，C错误；对于D，f（x＋ ）＝3 sin ［ （x＋
）＋ ］＝3 sin （ ＋ ）＝3 cos ＝g（x），D正确.故选D.
4. 方程2 sin （2x＋ ）＝1在区间[－2π，2π）上的解的个数是（　　）
A. 4 B. 6
解析： 　原方程化为 sin
（2x＋ ）＝ ，在同一坐
标系内作出函数y＝ sin （2x＋ ），x∈[－2π，2π）与直线y＝ 的图象，如图，观察图象知：在x∈[－2π，2π）时函数y＝ sin （2x＋ ）的图象与直线y＝ 有8个公共点，所以方程2 sin （2x＋ ）＝1在区间[－2π，2π）上有8个解.故选C.
√
C. 8 D. 9
5. 已知函数f（x）＝2 sin （ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜ ）的图象过点B
（0，－1），且在区间（ ， ）上单调，f（x）的图象向左平移π个单
位长度后和原来的图象重合.当x1，x2∈（－ ，－ ），且x1≠x2时，
f（x1）＝f（x2），则f（x1＋x2）＝（　　）
A. B. －
C. 1 D. －1
√
解析： 　因为函数f（x）的图象过点B（0，－1），所以2 sin φ＝－1.
又｜φ｜＜ ，故φ＝－ .因为函数f（x）在区间（ ， ）上单调，且图
象向左平移π个单位长度后和原来的图象重合，所以 解
得 又ω＞0，所以ω＝2，于是f（x）＝2 sin （2x－ ）.
令2x－ ＝mπ＋ ，m∈Z，解得x＝ ＋ ，m∈Z，所以函数的对称
轴方程为x＝ ＋ ，m∈Z.
因为当x1，x2∈（－ ，－ ），且x1≠x2时，f（x1）＝f（x2），所
以x1＋x2∈（－ ，－ ），且 ＝ ＋ ，m∈Z，所以当m＝－
3时符合题意，此时 ＝ ＋ ＝ ，即x1＋x2＝－ ，因此有f
（x1＋x2）＝2 sin （－ ）＝2×（－ ）＝－1.故选D.
6. 〔多选〕已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜
）的部分图象如图所示，且图中阴影部分的面积为4π，则下列选项中正
确的有（　　）
A. f（x）＝2 sin （x＋ ）
B. f（x）＝2 sin （2x＋ ）
C. 直线x＝ 是曲线y＝f（x）的一条对称轴
D. 函数f（x－ ）是奇函数
√
√
解析： 　设函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）的最小正周期为T，由题图
可知A＝2，4T＝4π，则T＝π，由T＝ ＝π，得ω＝2.由题图得f（0）＝
1，所以2 sin φ＝1，即 sin φ＝ ，又－ ＜φ＜ ，所以φ＝ ，所以f（x）
＝2 sin （2x＋ ），故A错误，B正确；因为f（ ）＝2 sin （ ＋ ）
＝2 sin ＝2，为f（x）的最大值，所以直线x＝ 是曲线y＝f（x）的
一条对称轴，C正确；f（x－ ）＝2 sin ［2（x－ ）＋ ］＝2 sin （2x
－ ），该函数图象不关于原点对称，D错误.故选B、C.
7. 已知函数y＝A sin （ωx＋φ）＋n的最大值为4，最小值是0，最小正周
期是 ，直线x＝ 是其图象的一条对称轴，若A＞0，ω＞0，0＜φ＜ ，
则函数解析式为 .
解析：依题意，得A＝ ＝2，n＝ ＝2，ω＝ ＝4，所以y＝2 sin
（4x＋φ）＋2，所以4× ＋φ＝kπ＋ ，k∈Z，即φ＝kπ－ ，k∈Z.
因为0＜φ＜ ，所以k＝1，φ＝ .所以函数解析式为y＝2 sin （4x＋ ）
＋2.
y＝2 sin （4x＋ ）＋2　
8. 设函数f（x）＝ sin （ωx－ ），其中0＜ω＜3，且f（ ）＝0，将
y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将
得到的图象向左平移 个单位长度，得到y＝g（x）的图象，则y＝g
（x）在区间［－ ， ］上的最小值为 　－ 　.
－ 　
解析：因为f（ ）＝0，所以f（ ）＝ sin （ ω－ ）＝0，所以 ω－
＝kπ，k∈Z，解得ω＝2＋6k，k∈Z，因为0＜ω＜3，所以ω＝2，所以
f（x）＝ sin （2x－ ），将y＝f（x）图象上各点的横坐标伸长为原
来的2倍（纵坐标不变），可得y＝ sin （x－ ）的图象，再将得到的
图象向左平移 个单位长度，得到y＝g（x）的图象，则g（x）＝ sin
（x＋ － ）＝ sin （x－ ），因为x∈［－ ， ］，所以x－ ∈
［－ ， ］，所以当x－ ＝－ ，即x＝－ 时，y＝g（x）取得最小
值，为g（x）min＝ sin （－ ）＝－ .
9. 已知函数y＝h（x）＝2 sin （2x－ ）＋1.
（1）求函数y＝h（x）的最小正周期和单调递增区间；
解： 由函数y＝h（x）＝2 sin ＋1，
则函数y＝h（x）的最小正周期T＝ ＝π，
令－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ（k∈Z），得－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ
（k∈Z），
故函数y＝h（x）的单调递增区间是［－ ＋kπ， ＋kπ］（k∈Z）.
（2）画出函数y＝h（x）在区间 上的大致图象.
解： 列表如下：
x － － －
2x－ － －π － 0
sin 0 －1 0 1
h（x） 2 1 －1 1 3 2
故y＝h（x）在区间 上的大致图象是：
10. 定义区间[a，b]的长度为b－a.若区间［ ， ］是函数f（x）＝ sin
（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜π）的一个长度最大的单调递减区间，则
（　　）
A. ω＝8，φ＝ B. ω＝8，φ＝－
C. ω＝4，φ＝ D. ω＝4，φ＝－
√
解析： 　若区间［ ， ］是函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）的一个长度最
大的单调递减区间，则函数f（x）的最小正周期为2（ － ）＝ ，∴ω
＝4，且函数f（x）在x＝ 时取得最大值，∴f（ ）＝ sin （π＋φ）＝
1，∴π＋φ＝2kπ＋ （k∈Z），∴φ＝2kπ－ （k∈Z），又｜φ｜＜π，
∴φ＝－ ，故选D.
11. 〔多选〕已知函数f（x）＝ cos （ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜ ）的图
象在y轴上的截距为 ， 是该函数的最小正零点，则（　　）
A. φ＝
B. f（x）＋f'（x）≤2恒成立
C. f（x）在（0， ）上单调递减
D. 将y＝f（x）的图象向右平移 个单位长度，得到的图象关于y轴对称
√
√
解析： 　由f（x）＝ cos （ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜ ）的图象在y轴
上的截距为 ，得f（0）＝ cos φ＝ ，又0＜φ＜ ，解得φ＝ ，A正确；
又 是该函数的最小正零点，所以 ω＋ ＝ ，解得ω＝2，所以f（x）
＝ cos （2x＋ ），所以f（x）＋f'（x）＝ cos （2x＋ ）－2 sin （2x
＋ ）＝ sin （2x＋ ＋θ），其中tan θ＝－ ，故f（x）＋f'（x）的
最大值为 ＞2，B错误；当x∈（0， ）时，f'（x）＝－2 sin （2x＋
）＜0恒成立，所以f（x）在（0， ）上单调递减，C正确；原图象向右平移 个单位长度，得到g（x）＝ cos （2x－ ）的图象，由余弦函数性质知，该函数不是偶函数，其图象不关于y轴对称，D错误.故选A、C.
12. （创新命题设置）〔多选〕已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞
0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的图
象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列选项中正确的有（　　）
A. 函数f（x）的最小正周期是π
B. 函数f（x）在（－ ，－ ）上单调递减
C. 曲线y＝f（x）向左平移 个单位长度后关于直线
x＝ 对称
D. 若圆C的半径为 ，则f（x）＝ sin （2x＋ ）
√
√
√
解析： 　对于选项A，由题图可知C点的横坐标为 ＝ ，设f
（x）的最小正周期为T，则 ＝ －（－ ）＝ ，∴T＝π，A正确；
对于选项B，∵ω＞0且ω＝ ＝2，∴f（x）＝A sin （2x＋φ）①，由图
知f（x）的图象过点（－ ，0），将（－ ，0）代入①得A sin （－ ＋φ）
＝0，∴－ ＋φ＝2kπ（k∈Z），∴φ＝ ＋2kπ（k∈Z），又∵0＜φ＜π，
∴φ＝ ，∴f（x）＝A sin （2x＋ ），当－ ＜x＜－ 时，－ ＜2x
＋ ＜－ ，又∵y＝A sin z在z∈（－ ，－ ）上不单调，∴f（x）＝
A sin （2x＋ ）在（－ ，－ ）上不单调，故B错误；
对于选项C，f（x）的图象向左平移 个单位长度后所得图象对应的函数
g（x）＝A sin ［2（x＋ ）＋ ］＝A sin （2x＋ ）＝A cos 2x，∴g
（ ）＝A cos π＝－A＝g（x）最小值，∴g（x）关于x＝ 对称，C正确；
对于选项D，圆C的半径为 ，连接CM（图略），在Rt△OMC中，OC2
＋OM2＝CM2，∴OM＝ ，将点M（0， ）代入f（x）＝A sin （2x＋
），∴A＝ ，∴f（x）＝ sin （2x＋ ），故D正确.
13. 已知函数f（x）＝2 cos （ωx＋φ）的部分图象如图所示，则满足条件
［f（x）－f（－ ）］·［f（x）－f（ ）］＞0的最小正整数x
为 .
2　
解析：设函数f（x）的最小正周期为T，则 T＝ － ＝ ，解得T＝
π，则 ＝π，解得｜ω｜＝2，不妨取ω＝2，此时f（x）＝2 cos （2x
＋φ）.
将（ ，0）代入得2 cos （ ＋φ）＝0，则 ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z，∴φ
＝－ ＋2kπ，k∈Z，取φ＝－ ，∴f（x）＝2 cos （2x－ ），∴f（－
）＝2 cos （－ － ）＝2 cos ＝1，f（ ）＝2 cos （ － ）＝2
cos ＝0，∴不等式可化为[f（x）－1]f（x）＞0，解得f（x）＞1或f
（x）＜0.由f（x）＞1，得2 cos （2x－ ）＞1，即 cos （2x－ ）＞ 　
①，由f（x）＜0，得 cos （2x－ ）＜0　
②，由①得－ ＋2kπ＜2x－ ＜ ＋2kπ，k∈Z，解得－ ＋kπ＜x＜
＋kπ，k∈Z，欲使x为最小正整数，则k＝1，此时， ＜x＜ ；由②
得 ＋2kπ＜2x－ ＜ ＋2kπ，k∈Z，解得 ＋kπ＜x＜ ＋kπ，k∈Z，
欲使x为最小正整数，则k＝0，此时， ＜x＜ .综上，最小正整数x为2.
14. （2025·绵阳一诊）已知函数f（x）＝tan（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜
）的最小正周期为 ，且f（ ）＝1.
（1）求函数f（x）的解析式；
解： 因为T＝ ＝ ，且ω＞0，解得ω＝ .
因为f（ ）＝tan（ ＋φ）＝1，所以 ＋φ＝ ＋kπ，k∈Z，
解得φ＝ ＋kπ，k∈Z，且｜φ｜＜ ，可得k＝0，φ＝ ，
所以f（x）＝tan（ x＋ ）.
（2）函数y＝g（x）的图象是由函数y＝f（x）的图象向左平移λ（λ
＞0）个单位长度得到的，若g（ ）＝－f（0），求λ的最小值.
解： 由题意可知g（x）＝tan（ x＋ λ＋ ），
因为－f（0）＝－tan ＝tan（－ ），由g（ ）＝－f（0），
即tan（ λ＋ ）＝tan（－ ），可知 λ＋ ＝－ ＋kπ，k∈Z，解得
λ＝－ ＋ ，k∈Z，且λ＞0，所以λ的最小值为 .
15. （创新知识交汇）（2025·三明质量检测）已知函数f（x）＝ sin ωx＋
cos （ωx＋ ）（其中ω＞0）图象的两条相邻对称轴间的距离为 .
（1）若f（x）在（0，m）上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；
解： f（x）＝ sin ωx＋ cos ωx＝ sin （ωx＋ ），
因为函数图象相邻两条对称轴间的距离为 ，
所以周期T＝2× ＝π，所以ω＝ ＝2，
因此f（x）＝ sin （2x＋ ），
当x∈（0，m）时，2x＋ ∈（ ，2m＋ ），
若f（x）在（0，m）上有最大值无最小值，则由正弦函数图象得 ＜2m
＋ ≤ ，解得 ＜m≤ ，即m的取值范围为（ ， ］.
（2）将函数f（x）的图象向右平移 个单位长度，再将图象上所有点的
横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到g（x）的图象，设h（x）
＝g（x）＋ ，求h（x）在（－2π，π）上的极大值点.
解： 将f（x）的图象向右平移 个单位长度得y＝ sin ［2（x－ ）
＋ ］＝ sin 2x的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐
标不变）得到g（x）＝ sin x的图象，
所以h（x）＝g（x）＋ ＝ sin x＋ ，
h'（x）＝ cos x＋ ，x∈（－2π，π），
令h'（x）＝0，得 cos x＝－ ，则x＝－ 或x＝－ 或x＝ ，
当x∈（－2π，－ ）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
当x∈（－ ，－ ）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（－ ， ）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
当x∈（ ，π）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h（x）的极大值点为－ 和 .
THANKS
演示完毕 感谢观看第五节　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用
1.函数y＝sin（2x－）在区间［－，π］上的简图是（　　）
2.要得到函数y＝cos 2x的图象，只需将函数y＝sin（2x＋）的图象（　　）
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
3.（2025·龙岩阶段练习）已知函数f（x）＝3sin（＋），g（x）＝3cos，则下列命题正确的是（　　）
A.函数g（x）的最小正周期为π
B.直线x＝π是f（x）图象的一条对称轴
C.函数f（x）在区间（－π，）上单调递减
D.将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到g（x）的图象
4.方程2sin（2x＋）＝1在区间[－2π，2π）上的解的个数是（　　）
A.4　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.9
5.已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的图象过点B（0，－1），且在区间（，）上单调，f（x）的图象向左平移π个单位长度后和原来的图象重合.当x1，x2∈（－，－），且x1≠x2时，f（x1）＝f（x2），则f（x1＋x2）＝（　　）
A. B.－
C.1 D.－1
6.〔多选〕已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，且图中阴影部分的面积为4π，则下列选项中正确的有（　　）
A.f（x）＝2sin（x＋）
B.f（x）＝2sin（2x＋）
C.直线x＝是曲线y＝f（x）的一条对称轴
D.函数f（x－）是奇函数
7.已知函数y＝Asin（ωx＋φ）＋n的最大值为4，最小值是0，最小正周期是，直线x＝是其图象的一条对称轴，若A＞0，ω＞0，0＜φ＜，则函数解析式为　　　　.
8.设函数f（x）＝sin（ωx－），其中0＜ω＜3，且f（）＝0，将y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，得到y＝g（x）的图象，则y＝g（x）在区间［－，］上的最小值为　　　　.
9.已知函数y＝h（x）＝2sin（2x－）＋1.
（1）求函数y＝h（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）画出函数y＝h（x）在区间上的大致图象.
10.定义区间[a，b]的长度为b－a.若区间［，］是函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜π）的一个长度最大的单调递减区间，则（　　）
A.ω＝8，φ＝　　　　 B.ω＝8，φ＝－
C.ω＝4，φ＝ D.ω＝4，φ＝－
11.〔多选〕已知函数f（x）＝cos（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象在y轴上的截距为，是该函数的最小正零点，则（　　）
A.φ＝
B.f（x）＋f'（x）≤2恒成立
C.f（x）在（0，）上单调递减
D.将y＝f（x）的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于y轴对称
12.（创新命题设置）〔多选〕已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列选项中正确的有（　　）
A.函数f（x）的最小正周期是π
B.函数f（x）在（－，－）上单调递减
C.曲线y＝f（x）向左平移个单位长度后关于直线x＝对称
D.若圆C的半径为，则f（x）＝sin（2x＋）
13.已知函数f（x）＝2cos（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则满足条件［f（x）－f（－）］·［f（x）－f（）］＞0的最小正整数x为　　　.
14.（2025·绵阳一诊）已知函数f（x）＝tan（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的最小正周期为，且f（）＝1.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）函数y＝g（x）的图象是由函数y＝f（x）的图象向左平移λ（λ＞0）个单位长度得到的，若g（）＝－f（0），求λ的最小值.
15.（创新知识交汇）（2025·三明质量检测）已知函数f（x）＝sin ωx＋cos（ωx＋）（其中ω＞0）图象的两条相邻对称轴间的距离为.
（1）若f（x）在（0，m）上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到g（x）的图象，设h（x）＝g（x）＋，求h（x）在（－2π，π）上的极大值点.
第五节　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用
1.A　令x＝0，得y＝sin（－）＝－，排除B、D项；当x∈［－，0］时，－≤2x－≤－，在此区间上函数不会出现最高点，排除C项，故选A.
2.A　y＝cos 2x＝sin（2x＋）＝sin［2（x＋）］，y＝sin（2x＋）＝sin［2（x＋）］，所以y＝sin（2x＋）的图象向左平移个单位长度可得到函数y＝cos 2x的图象.
3.D　对于A，g（x）＝3cos的最小正周期为＝4π，A错误；对于B，f（π）＝3sin（＋）＝3sin＝≠3，直线x＝π不是f（x）图象的对称轴，B错误；对于C，当x∈（－π，）时，－＜＋＜，而正弦函数y＝sin x在（－，）上单调递增，因此函数f（x）在区间（－π，）上单调递增，C错误；对于D，f（x＋）＝3sin［（x＋）＋］＝3sin（＋）＝3cos＝g（x），D正确.故选D.
4.C　原方程化为sin（2x＋）＝，在同一坐标系内作出函数y＝sin（2x＋），x∈[－2π，2π）与直线y＝的图象，如图，观察图象知：在x∈[－2π，2π）时函数y＝sin（2x＋）的图象与直线y＝有8个公共点，所以方程2sin（2x＋）＝1在区间[－2π，2π）上有8个解.故选C.
5.D　因为函数f（x）的图象过点B（0，－1），所以2sin φ＝－1.又｜φ｜＜，故φ＝－.因为函数f（x）在区间（，）上单调，且图象向左平移π个单位长度后和原来的图象重合，所以
解得又ω＞0，所以ω＝2，于是f（x）＝2sin（2x－）.令2x－＝mπ＋，m∈Z，解得x＝＋，m∈Z，所以函数的对称轴方程为x＝＋，m∈Z.因为当x1，x2∈（－，－），且x1≠x2时，f（x1）＝f（x2），所以x1＋x2∈（－，－），且＝＋，m∈Z，所以当m＝－3时符合题意，此时＝＋＝，即x1＋x2＝－，因此有f（x1＋x2）＝2sin（－）＝2×（－）＝－1.故选D.
6.BC　设函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的最小正周期为T，由题图可知A＝2，4T＝4π，则T＝π，由T＝＝π，得ω＝2.由题图得f（0）＝1，所以2sin φ＝1，即sin φ＝，又－＜φ＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（2x＋），故A错误，B正确；因为f（）＝2sin（＋）＝2sin＝2，为f（x）的最大值，所以直线x＝是曲线y＝f（x）的一条对称轴，C正确；f（x－）＝2sin［2（x－）＋］＝2sin（2x－），该函数图象不关于原点对称，D错误.故选B、C.
7.y＝2sin（4x＋）＋2
解析：依题意，得A＝＝2，n＝＝2，ω＝＝4，所以y＝2sin（4x＋φ）＋2，所以4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z.因为0＜φ＜，所以k＝1，φ＝.所以函数解析式为y＝2sin（4x＋）＋2.
8.－　解析：因为f（）＝0，所以f（）＝sin（ω－）＝0，所以ω－＝kπ，k∈Z，解得ω＝2＋6k，k∈Z，因为0＜ω＜3，所以ω＝2，所以f（x）＝sin（2x－），将y＝f（x）图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得y＝sin（x－）的图象，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到y＝g（x）的图象，则g（x）＝sin（x＋－）＝sin（x－），因为x∈［－，］，所以x－∈［－，］，所以当x－＝－，即x＝－时，y＝g（x）取得最小值，为g（x）min＝sin（－）＝－.
9.解：（1）由函数y＝h（x）＝2sin＋1，
则函数y＝h（x）的最小正周期T＝＝π，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ（k∈Z），得－＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z），
故函数y＝h（x）的单调递增区间是［－＋kπ，＋kπ］（k∈Z）.
（2）列表如下：
x － － －
2x－ － －π － 0
sin 0 －1 0 1
h（x） 2 1 －1 1 3 2
故y＝h（x）在区间上的大致图象是：
10.D　若区间［，］是函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的一个长度最大的单调递减区间，则函数f（x）的最小正周期为2（－）＝，∴ω＝4，且函数f（x）在x＝时取得最大值，∴f（）＝sin（π＋φ）＝1，∴π＋φ＝2kπ＋（k∈Z），∴φ＝2kπ－（k∈Z），又｜φ｜＜π，∴φ＝－，故选D.
11.AC　由f（x）＝cos（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象在y轴上的截距为，得f（0）＝cos φ＝，又0＜φ＜，解得φ＝，A正确；又是该函数的最小正零点，所以ω＋＝，解得ω＝2，所以f（x）＝cos（2x＋），所以f（x）＋f'（x）＝cos（2x＋）－2sin（2x＋）＝sin（2x＋＋θ），其中tan θ＝－，故f（x）＋f'（x）的最大值为＞2，B错误；当x∈（0，）时，f'（x）＝－2sin（2x＋）＜0恒成立，所以f（x）在（0，）上单调递减，C正确；原图象向右平移个单位长度，得到g（x）＝cos（2x－）的图象，由余弦函数性质知，该函数不是偶函数，其图象不关于y轴对称，D错误.故选A、C.
12.ACD　对于选项A，由题图可知C点的横坐标为＝，设f（x）的最小正周期为T，则＝－（－）＝，∴T＝π，A正确；对于选项B，∵ω＞0且ω＝＝2，∴f（x）＝Asin（2x＋φ）①，由图知f（x）的图象过点（－，0），将（－，0）代入①得Asin（－＋φ）＝0，∴－＋φ＝2kπ（k∈Z），∴φ＝＋2kπ（k∈Z），又∵0＜φ＜π，∴φ＝，∴f（x）＝Asin（2x＋），当－＜x＜－时，－＜2x＋＜－，又∵y＝Asin z在z∈（－，－）上不单调，∴f（x）＝Asin（2x＋）在（－，－）上不单调，故B错误；对于选项C，f（x）的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数g（x）＝Asin［2（x＋）＋］＝Asin（2x＋）＝Acos 2x，∴g（）＝Acos π＝－A＝g（x）最小值，∴g（x）关于x＝对称，C正确；对于选项D，圆C的半径为，连接CM（图略），在Rt△OMC中，OC2＋OM2＝CM2，∴OM＝，将点M（0，）代入f（x）＝Asin（2x＋），∴A＝，∴f（x）＝sin（2x＋），故D正确.
13.2　解析：设函数f（x）的最小正周期为T，则T＝－＝，解得T＝π，则＝π，解得｜ω｜＝2，不妨取ω＝2，此时f（x）＝2cos（2x＋φ）.将（，0）代入得2cos（＋φ）＝0，则＋φ＝＋2kπ，k∈Z，∴φ＝－＋2kπ，k∈Z，取φ＝－，∴f（x）＝2cos（2x－），∴f（－）＝2cos（－－）＝2cos＝1，f（）＝2cos（－）＝2cos＝0，∴不等式可化为[f（x）－1]f（x）＞0，解得f（x）＞1或f（x）＜0.由f（x）＞1，得2cos（2x－）＞1，即cos（2x－）＞　①，由f（x）＜0，得cos（2x－）＜0　②，由①得－＋2kπ＜2x－＜＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，欲使x为最小正整数，则k＝1，此时，＜x＜；由②得＋2kπ＜2x－＜＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，欲使x为最小正整数，则k＝0，此时，＜x＜.综上，最小正整数x为2.
14.解：（1）因为T＝＝，且ω＞0，解得ω＝.
因为f（）＝tan（＋φ）＝1，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，
解得φ＝＋kπ，k∈Z，且｜φ｜＜，可得k＝0，φ＝，
所以f（x）＝tan（x＋）.
（2）由题意可知g（x）＝tan（x＋λ＋），
因为－f（0）＝－tan＝tan（－），由g（）＝－f（0），
即tan（λ＋）＝tan（－），可知λ＋＝－＋kπ，k∈Z，解得λ＝－＋，k∈Z，且λ＞0，所以λ的最小值为.
15.解：（1）f（x）＝sin ωx＋cos ωx＝sin（ωx＋），
因为函数图象相邻两条对称轴间的距离为，
所以周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2，
因此f（x）＝sin（2x＋），
当x∈（0，m）时，2x＋∈（，2m＋），
若f（x）在（0，m）上有最大值无最小值，则由正弦函数图象得＜2m＋≤，解得＜m≤，
即m的取值范围为（，］.
（2）将f（x）的图象向右平移个单位长度得y＝sin［2（x－）＋］＝sin 2x的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到g（x）＝sin x的图象，
所以h（x）＝g（x）＋＝sin x＋，
h'（x）＝cos x＋，x∈（－2π，π），
令h'（x）＝0，得cos x＝－，
则x＝－或x＝－或x＝，
当x∈（－2π，－）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
当x∈（－，－）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（－，）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
当x∈（，π）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h（x）的极大值点为－和.
3 / 3第五节　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用
课标要求
1.结合具体实例，了解y＝Asin（ωx＋φ）的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
1.函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念
y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0） 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝
2.用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图
用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图时，要找五个关键点，如表所示：
ωx＋φ 0 π 2π
x －
y＝ Asin（ωx＋φ） 0 0 0
3.函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象的两种途径
提醒　（1）先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是｜φ｜个单位长度；（2）先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位长度.
1.函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2.在函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）中，若其最大值、最小值分别为M，m，则A＝，b＝.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sinx.（　　）
（2）将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin（2x－）的图象.（　　）
（3）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A≠0）的最大值为A，最小值为－A.（　　）
（4）y＝2sin（x－）的初相为－.（　　）
2.（人A必修一P239练习2（2）题改编）为了得到函数y＝3sin（2x－）的图象，只需把函数y＝3sin（x－）的图象上所有的点（　　）
A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
3.函数y＝2sin（2x＋）的振幅、频率和初相分别为（　　）
A.2，， B.2，，
C.2，， D.2，，－
4.（人A必修一P241习题5题改编）将函数f（x）＝3sin（2x＋）的图象向左平移个单
位长度后得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）＝　　　　.
5.已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，则ω＝　　　　.
函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换
（师生共研过关）
已知函数f（x）＝2sin.
（1）作出f（x）在[0，π]上的图象；
（2）函数y＝f（x）的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
解题技法
1.函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象的两种作法
五点法 设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点连线后得出图象
图象变 换法 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”
2.函数y＝Asin（ωx＋φ）图象变换的两个注意点
（1）由y＝sin ωx的图象到y＝sin（ωx＋φ）的图象的变换：向左平移（ω＞0，φ＞0）个单位长度而非φ个单位长度；
（2）如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，另外ω为负时应先变成正值.
1.（2024·新高考Ⅰ卷7题）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x－）的交点个数为（　　）
A.3 B.4
C.6 D.8
2.把函数y＝f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin（x－）的图象，则f（x）＝（　　）
A.sin（－） B.sin（＋）
C.sin（2x－） D.sin（2x＋）
求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
（师生共研过关）
（1）已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜），y＝f（x）的部分图象如图所示，则f（x）＝　　　　；
（2）（2023·新高考Ⅱ卷16题）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ），如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f（x）的两个交点，若｜AB｜＝，则f（π）＝　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
　　已知f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象求其解析式时，关键是求ω和φ，常用以下两种方法：
（1）由T可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0（或ωx0＋φ＝π），即可求出φ；
（2）代入图象中已知点的坐标，利用已知点的坐标或零点、最高点、最低点，再结合图象解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的取值范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
〔多选〕（2025·南京、盐城调研测试）设M，N，P为函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）图象上三点，其中A＞0，ω＞0，｜φ｜＜，已知M，N是函数f（x）的图象与x轴相邻的两个交点，P是图象在M，N之间的最高点，若＋2·＝0，△MNP的面积是，M点的坐标是（－，0），则（　　）
A.A＝
B.ω＝
C.φ＝
D.函数f（x）在M，N间的图象上存在点Q，使得·＜0
三角函数图象与性质的综合应用
（定向精析突破）
考向1　图象与性质的综合问题
已知函数f（x）＝Asin2（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜），且f（x）的最大值为2，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为2，并过点（1，2），则φ＝　　　　，f（1）＋f（2）＋…＋f（2 025）＝　　　　.
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解决三角函数图象与性质的综合问题的关键
　　首先正确地将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后根据数形结合思想研究函数的性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性）.
考向2　三角函数的零点（方程根）
已知函数f（x）＝2sin（2x－），且关于x的方程f（x）＝t（t∈R）在区间［0，］上有唯一解，则t的取值范围是　　　　.
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巧用图象解决三角函数中的零点（方程根）问题
　　解决三角函数中的零点（方程根）问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后再将方程根的问题转化为图象的交点问题，利用数形结合思想解决.
1.（2025·温州高三统一测试）已知函数f（x）＝cos x，若关于x的方程f（x）＝a在［－，］上有两个不同的根，则实数a的取值范围是（　　）
A.［，1） B.［，1］
C.［，1） D.［，1］
2.〔多选〕（2024·深圳二模）已知函数f（x）＝sin ωx＋acos ωx（x∈R，ω＞0）的最大值为2，其部分图象如图所示，则（　　）
A.a＝
B.函数f（x－）为偶函数
C.满足条件的正实数ω存在且唯一
D.f（x）是周期函数，且最小正周期为π
第五节　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.ωx＋φ　φ
2.－　　－　　A　－A　
3.｜φ｜　　　　A　A
对点自测诊断
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）√
2.B　3.A　4.3sin（2x＋π）　5.2
【考点·分类突破】
考点1
【例1】 解：（1）因为x∈[0，π]，所以2x＋∈.
列表如下：
2x＋ π 2π
x 0 π
f（x） 1 2 0 －2 0 1
描点、连线得图象：
（2）将y＝sin x图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到f（x）＝2sin的图象.
跟踪训练
1.C　因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，函数y＝2sin（3x－）的最小正周期为T＝，所以在x∈[0，2π]上函数y＝2sin（3x－）的图象恰有三个周期，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点.故选C.
2.B　依题意，将y＝sin（x－）的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f（x）的图象，所以y＝sin（x－）y＝sin（x＋）的图象f（x）＝sin（＋）的图象.
考点2
【例2】 （1）tan（2x＋）　（2）－
解析：（1）由图象可知，＝－，即＝，所以ω＝2，再结合图象，可得2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即｜φ｜＝｜kπ＋｜＜，所以－＜k＜，又k∈Z，所以k＝0，所以φ＝，又图象过点（0，1），代入得Atan＝1，所以A＝1，函数的解析式为f（x）＝tan（2x＋）.
（2）由题图设点A（x1，），B（x2，），则｜AB｜＝x2－x1＝.由题图可知其中k∈Z，则ω（x2－x1）＝，解得ω＝4.因为函数f（x）的图象过点（，0），所以4×＋φ＝2kπ，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z，所以f（x）＝sin（4x＋2kπ－）＝sin（4x－＋2kπ）＝sin（4x－），k∈Z.故f（π）＝sin（4π－）＝sin＝－.
跟踪训练
BCD　记f（x）的最小正周期为T.如图，显然＝（，0），＝（，A），＝（－，A），∴＋2·＝（）2＋A2－＝0，∴A2＝，A＝.∵△MNP的面积是，∴××A＝，即AT＝4，联立得解得故A错误；由T＝4＝，得ω＝，故B正确；由M（－，0），得sin［×（－）＋φ］＝0，解得φ＝，故C正确；易得｜｜＝2，N（，0），P（，），MN的中点为（，0），故以MN为直径的圆在点P的下方，作出以MN为直径的圆，记以MN为直径的圆与f（x）的图象有交点Q1，Q2，故当点Q位于f（x）图象上的曲线段MQ1或曲线段Q2N上时，有∠MQN＞，从而f（x）在M，N间的图象上存在点Q，使得·＜0，故D正确.综上，选B、C、D.
考点3
【例3】 　2 026　解析：f（x）＝Asin2（ωx＋φ）＝－cos（2ωx＋2φ），由f（x）的最大值为2，A＞0，得＋＝2，即A＝2.又f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2，且ω＞0，所以×＝2，解得ω＝，所以f（x）＝1－cos（x＋2φ）.又f（x）的图象过点（1，2），所以1－cos（＋2φ）＝2，即cos（＋2φ）＝－1，所以sin 2φ＝1，则2φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ＝kπ＋，k∈Z.又0＜φ＜，所以φ＝，则f（x）＝1－cos（x＋）＝1＋sin，所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝2＋1＋0＋1＝4.又函数f（x）的周期为4，且2 025＝4×506＋1，所以f（1）＋f（2）＋…＋f（2 025）＝506×4＋2＝2 026.
【例4】 [－1，1）∪{2}
解析：因为x∈［0，］，所以2x－∈［－，］，所以2sin（2x－）∈[－1，2]，且当x＝时，f（）＝1，所以其函数图象如图所示.因为关于x的方程f（x）＝t（t∈R）在区间［0，］上有唯一解，所以y＝f（x）与y＝t只有一个交点，结合函数图象可知－1≤t＜1或t＝2.
跟踪训练
1.C　如图，作出函数y＝cos x，x∈［－，］的图象及直线y＝a，由图可知，当a∈［，1）时，直线y＝a与曲线y＝cos x，x∈［－，］有两个交点，即关于x的方程f（x）＝a在区间［－，］上有两个不同的根.故选C.
2.ACD　f（x）max＝＝2，∴a＝±，∵f（0）＝a＞0，∴a＝，A正确；f（x）＝sin ωx＋cos ωx＝2sin（ωx＋），∵f（x）的图象过点（，1），∴1＝2sin（π＋），即sin（π＋）＝，则π＋＝2kπ＋π，k∈Z，ω＝8k＋2，k∈Z，又由题图知＞，即＞，则ω＜4，又ω＞0，∴ω＝2，故C正确；f（x）＝2sin（2x＋），f（x－）＝2sin［2（x－）＋］＝2sin 2x，是奇函数，B错误；f（x）的最小正周期为π，D正确.故选A、C、D.
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