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第2课时　三角函数的图象与性质（二）
1.已知f（x）＝sin2（x＋）－，则f（x）是（　　）
A.奇函数且最小正周期为π
B.偶函数且最小正周期为π
C.奇函数且最小正周期为2π
D.偶函数且最小正周期为2π
2.已知函数f（x）＝cos［ω（x－）＋］（ω＞0）的图象关于原点中心对称，则ω的最小值为（　　）
A. B.
C. D.
3.已知函数f（x）＝tan（2x－），则（　　）
A.f（x）是奇函数
B.f（x）在区间（0，）上单调递减
C.（，0）为其图象的一个对称中心
D.f（x）的最小正周期为π
4.函数f（x）＝2sin（ω＞0）图象的相邻两对称轴之间的距离为，若该函数图象关于点（m，0）中心对称，则当m∈时，m的值为（　　）
A. B.
C. D.
5.〔多选〕已知函数f（x）＝sin4x－cos4x，则下列说法正确的是（　　）
A.f（x）的最小正周期为π
B.f（x）的最大值为2
C.f（x）的图象关于y轴对称
D.f（x）在区间［，］上单调递增
6.〔多选〕若直线x＝是函数f（x）＝asin x＋bcos x（ab≠0）图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（　　）
A.b＝a
B.直线x＝－是函数f（x）图象的一条对称轴
C.点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心
D.函数f（x）在（，）上单调递减
7.若函数f（x）＝（ω＞0）的最小正周期为π，则f＝　　　　.
8.函数f（x）＝3sin（2x－＋φ）＋1，φ∈（0，π），且f（x）为偶函数，则φ＝　　　　，f（x）图象的对称中心为　　　　.
9.已知函数f（x）＝sin ωx－cos ωx（ω＞0）的最小正周期为π.
（1）求函数y＝f（x）图象的对称轴方程；
（2）讨论函数f（x）在上的单调性.
10.（2025·广州一模）已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（　　）
A.f（x）＝sin（tan x） B.f（x）＝tan（sin x）
C.f（x）＝cos（tan x） D.f（x）＝tan（cos x）
11.若函数f（x）＝2sin （n＞0）图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆O：x2＋y2＝n2上，则f（1）＝（　　）
A.　　B.2
C.－2　　D.－
12.〔多选〕已知函数f（x）＝｜sin x｜＋cos x，下列结论正确的是（　　）
A.f（x）为偶函数
B.f（x）的值域为[－1，]
C.f（x）在[0，π]上单调递减
D.f（x）的图象关于直线x＝对称
13.已知函数f（x）＝sin（2x＋φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（，0）对称，则f（x）在（－，）上的极值点为　　　　.
14.已知函数f（x）＝sin ωx－cos ωx，ω＞0.
（1）若函数f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，求f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）的图象关于点（，0）对称，且函数f（x）在［0，］上单调，求ω的值.
15.（新定义）若函数y＝f（x）满足f（x）＝f（x＋）且f（＋x）＝f（－x）（x∈R），则称函数y＝f（x）为“M函数”.
（1）试判断f（x）＝sinx是否为“M函数”，并说明理由；
（2）函数f（x）为“M函数”，且当x∈［，π］时，y＝sin x，求y＝f（x）的解析式，并写出y＝f（x）在［0，］上的单调增区间.
第2课时　三角函数的图象与性质（二）
1.A　f（x）＝sin2（x＋）－＝－＝sin 2x，故f（x）为奇函数，且最小正周期T＝＝π，故选A.
2.B　函数f（x）＝cos［ω（x－）＋］的图象关于坐标原点中心对称，则－ω＋＝kπ＋（k∈Z），解得ω＝－3k－.又ω＞0，则当k＝－1时，ω取得最小值，故选B.
3.C　函数y＝tan（2x－）是非奇非偶函数，A错误；在区间（0，）上单调递增，B错误；最小正周期为，D错误；∵当x＝时，tan（2×－）＝0，∴（，0）为其图象的一个对称中心，故选C.
4.D　因为函数f（x）的图象的相邻两对称轴之间的距离为，所以f（x）的最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2，所以f（x）＝2sin.令f（x）＝0，则2x＋＝kπ（k∈Z），得x＝－（k∈Z），又m∈［0，］，当k＝1时，x＝，故m＝，故选D.
5.ACD　∵f（x）＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，∴函数f（x）的最小正周期T＝π，f（x）的最大值为1.∵f（－x）＝－cos（－2x）＝－cos 2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称.∵y＝cos 2x在［，］上单调递减，∴f（x）＝－cos 2x在［，］上单调递增，故选A、C、D.
6.ABC　对于A，因为直线x＝是函数f（x）图象的一条对称轴，故f（0）＝f（），所以asin 0＋bcos 0＝asin＋bcos，得b＝a，所以A正确；对于B，由A选项可知f（x）＝asin x＋acos x＝2asin（x＋），则f（－）＝2asin（－＋）＝2asin（－）＝－2a，所以直线x＝－是函数f（x）图象的一条对称轴，所以B正确；对于C，因为f（）＝2asin（＋）＝2asin π＝0，所以点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，所以C正确；对于D，当＜x＜时，＜x＋＜，所以当a＞0时，f（x）在（，）上单调递减，当a＜0时，f（x）在（，）上单调递增，所以D错误.
7.　解析：由题设及周期公式得T＝＝π，所以ω＝1，即f（x）＝，所以f＝＝.
8.　（＋，1），k∈Z
解析：若f（x）＝3sin（2x－＋φ）＋1为偶函数，则－＋φ＝kπ＋，k∈Z，则φ＝＋kπ，k∈Z，又∵φ∈（0，π），∴φ＝.∴f（x）＝3sin（2x＋）＋1＝3cos 2x＋1，由2x＝＋kπ，k∈Z得x＝＋，k∈Z，∴f（x）图象的对称中心为（＋，1），k∈Z.
9.解：（1）∵f（x）＝sin ωx－cos ωx＝sin（ωx－），且T＝π，∴ω＝2.
于是，f（x）＝sin.
令2x－＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），
即函数f（x）图象的对称轴方程为x＝＋（k∈Z）.
（2）令2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），得函数f（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）.
注意到x∈，∴令k＝0，得函数f（x）在上的单调递增区间为；
同理，其单调递减区间为.
10.D　根据题图可知函数f（x）的图象关于y轴对称，所以函数f（x）为偶函数，且定义域为R.对于A、C，函数f（x）的定义域均为x｜x≠＋kπ，k∈Z，不满足题意，故排除A、C；对于B，f（－x）＝tan[sin（－x）]＝tan（－sin x）＝－tan（sin x）＝－f（x），f（x）为奇函数，不满足题意，排除B，故选D.
11.A　设f（x）图象上相邻的最高点和最低点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则y1＝2，y2＝－2，又函数f（x）＝2sin （n＞0）为奇函数，∴x1＝－x2，当＝ x＝时，函数取得最大值2，∴x1＝，x2＝－，由题意知，函数f（x）＝2sin （n＞0）图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆O：x2＋y2＝n2上，∴（）2＋（2）2＝n2 n＝4，则f（1）＝2sin ＝.故选A.
12.AB　对于A，函数f（x）的定义域为R，因为f（－x）＝｜sin（－x）｜＋cos（－x）＝｜sin x｜＋cos x＝f（x），所以函数f（x）是偶函数，所以A正确.对于B，f（x）＝＝（k∈Z），当2kπ≤x≤2kπ＋π时，2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，所以sin（x＋）∈[－1，]；当2kπ＋π＜x＜2kπ＋2π时，2kπ＋＜x＋＜2kπ＋，所以cos（x＋）∈（－1，].所以函数f（x）的值域为[－1，]，所以B正确.对于C，当x∈[0，π]时，f（x）＝sin x＋cos x＝sin（x＋），≤x＋≤，则函数f（x）在[0，π]上不单调，所以C错误.对于D，f（－x）＝｜sin（－x）｜＋cos（－x）＝｜cos x｜＋sin x≠f（x），所以函数f（x）的图象不关于直线x＝对称，所以D错误.综上，选A、B.
13.　解析：由题意得，f（）＝sin（＋φ）＝0，∴＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z.又0＜φ＜π，∴φ＝，故f（x）＝sin（2x＋）.当x∈（－，）时，2x＋∈（，），由函数y＝sin x的图象知，函数f（x）只有一个极值点，为极小值点，由2x＋＝，可得极值点为.
14.解：（1）f（x）＝sin ωx－cos ωx
＝2（sin ωx－cos ωx）
＝2sin（ωx－），
因为函数f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，所以T＝π，则T＝2π，
所以T＝＝2π，解得ω＝1，
所以f（x）＝2sin（x－）.
由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
因此f（x）的单调递增区间是［－＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z.
（2）因为f（x）＝2sin（ωx－）的图象关于点（，0）对称，
所以－＝kπ，k∈Z，
所以ω＝2k＋，k∈Z，
因为x∈［0，］，ω＞0，
所以ωx－∈［－，－］，
又函数f（x）在［0，］上单调，
所以解得0＜ω≤2，
由0＜2k＋≤2，k∈Z，
解得k＝0，此时ω＝.
15.解：（1）f（x）＝sinx不是“M函数”，理由如下：
f（x＋）＝sin［（x＋）］＝sin（x＋2π）＝sinx＝f（x），
f（＋x）＝sin［（＋x）］＝sin（＋x），
f（－x）＝sin［（－x）］＝sin（－x），
则f（＋x）≠f（－x），
故f（x）＝sinx不是“M函数”.
（2）函数f（x）满足f（x）＝f（x＋），故f（x）的周期为T＝，
因为f（＋x）＝f（－x），
所以f（x）＝f（－x），
当x∈［kπ＋，kπ＋π］时，f（x）＝f（x－kπ）＝sin（x－kπ），k∈Z，
当x∈［kπ－，kπ＋）时，f（x）＝f［－（x－kπ）］＝sin［－（x－kπ）］＝cos（x－kπ），k∈Z.　
综上：f（x）＝
f（x）＝sin（x－kπ），x∈［kπ＋，kπ＋π］，k∈Z中，
当k＝0时，x∈［，π］，f（x）＝sin x，此时单调递增区间为［，］，
f（x）＝cos（x－kπ），x∈［kπ－，kπ＋），k∈Z中，
当k＝1时，x∈［π，），f（x）＝cos（x－），
则x－π∈［－，），
当x－π∈［－，0］，即x∈［π，］时，函数单调递增，
经检验，其他范围不是单调递增区间，
所以y＝f（x）在［0，］上的单调递增区间为［，］，［π，］.
2 / 2第2课时　三角函数的图象与性质（二）
三角函数的周期性
（师生共研过关）
（1）（人A必修一P214习题12题改编）〔多选〕下列函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上单调递减的是（　　）
A.y＝｜sin x｜ B.y＝2cos x
C.y＝－tan x D.y＝sin 2x
（2）函数f（x）＝sin 2x＋｜sin 2x｜的最小正周期为　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
1.函数y＝4sin（3x＋）＋3cos（3x＋）的最小正周期是（　　）
A.6π B.2π
C. D.
2.函数y＝的最小正周期为　　　　.
三角函数的奇偶性
（师生共研过关）
已知函数f（x）＝cos x－2cos2（－）＋1，则下列说法正确的是（　　）
A.y＝f（x－）为奇函数 B.y＝f（x－）为偶函数
C.y＝f（x＋）－1为奇函数 D.y＝f（x＋）－1为偶函数
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解题技法
三角函数奇偶性的判断
　　判断与三角函数有关的奇偶性，应先对函数解析式进行化简，然后根据奇偶函数的定义进行判断，注意定义域是否关于原点对称.
1.函数f（x）＝（1＋cos 2x）sin2x是（　　）
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数
D.最小正周期为的偶函数
2.使f（x）＝sin（2x＋φ）＋cos（2x＋φ）为奇函数，且在［0，］上单调递减的φ的一个值是（　　）
A.－ B.－
C. D.
三角函数的对称性
（师生共研过关）
（2023·全国乙卷文10题）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）在区间（，）上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f（x）的图象的两条相邻对称轴，则f（－）＝（　　）
A.－ B.－ C. D.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
三角函数图象的对称轴和对称中心的求法
　　求三角函数图象的对称轴及对称中心，须先把所给三角函数式化为y＝Asin（ωx＋φ）＋b或y＝Acos（ωx＋φ）＋b的形式，再把（ωx＋φ）整体看成一个变量.
（1）若求f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω≠0）图象的对称轴，则只需令ωx＋φ＝＋kπ（k∈Z），求x；
（2）若求f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω≠0）图象的对称中心的横坐标，则只需令ωx＋φ＝kπ（k∈Z），求x.
1.（2024·北京高考6题）设函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）.已知f（x1）＝－1，f（x2）＝1，且｜x1－x2｜的最小值为，则ω＝（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.〔多选〕已知函数f（x）＝2sin（2x＋）＋1，则下列结论正确的是（　　）
A.点（，1）是函数f（x）图象的一个对称中心
B.直线x＝是函数f（x）图象的一条对称轴
C.函数f（x）在[0，π]上有两个零点
D.函数f（x）在[0，π]上有三个极值点
三角函数性质的综合应用
（师生共研过关）
（1）〔多选〕（2024·新高考Ⅱ卷9题）对于函数f（x）＝sin 2x和g（x）＝sin（2x－），下列说法中正确的有（　　）
A.f（x）与g（x）有相同的零点
B.f（x）与g（x）有相同的最大值
C.f（x）与g（x）有相同的最小正周期
D.f（x）与g（x）的图象有相同的对称轴
（2）〔多选〕（2024·九省联考）已知函数f（x）＝sin（2x＋）＋cos（2x＋），则（　　）
A.函数f（x－）为偶函数
B.曲线y＝f（x）的对称轴为x＝kπ，k∈Z
C.f（x）在区间（，）单调递增
D.f（x）的最小值为－2
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法
解决三角函数图象与性质综合问题的方法
　　先将y＝f（x）化为y＝asin x＋bcos x的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin（ωx＋φ）的形式，再借助y＝Asin（ωx＋φ）的性质（如周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.
1.已知函数f（x）＝，则下列说法正确的是（　　）
A.f（x）的最小正周期是
B.f（x）的值域是R
C.直线x＝是函数f（x）图象的一条对称轴
D.f（x）的单调递减区间是（2kπ－，2kπ＋］，k∈Z
2.记函数f（x）＝sin（ωx＋）＋b（ω＞0）的最小正周期为T.若＜T＜π，且函数y＝f（x）的图象关于点（，2）中心对称，则f（）＝（　　）
A.1 B.
C. D.3
第2课时　三角函数的图象与性质（二）
【考点·分类突破】
考点1
【例1】 （1）AC　（2）π　解析：（1）对于A，y＝sin x的最小正周期为2π，结合正弦函数的图象知y＝｜sin x｜的最小正周期为π，且y＝｜sin x｜在（，π）上单调递减，故A符合题意；对于B，y＝2cos x的最小正周期为2π，故B不符合题意；对于C，y＝－tan x的最小正周期为π，且结合正切函数的图象知，y＝－tan x在（，π）上单调递减，故C符合题意；对于D，y＝sin 2x的最小正周期为＝π，当x∈（，π）时，2x∈（π，2π），所以y＝sin 2x在（，π）上不单调，故D不符合题意.故选A、C.
（2）作出函数f（x）的大致图象，如图所示.根据图象可知f（x）为周期函数，最小正周期为π.
跟踪训练
1.C　y＝5［sin（3x＋）＋cos（3x＋）］＝5sin（3x＋＋φ）（其中tan φ＝），所以函数y＝4sin（3x＋）＋3cos（3x＋）的最小正周期是T＝，故选C.
2.π　解析：y＝＝tan 2x，x≠kπ±且x≠kπ＋，k∈Z，每π个单位长度的区间上，函数图象要去掉一个点（＋kπ，0），函数图象是每两个个单位长度的区间上，重复出现一次完全相同的图象，所以周期是π.
考点2
【例2】 B　因为f（x）＝cos x－2cos2（－）＋1＝cos x－2×＋1＝cos x－sin x＝cos（x＋），所以f（x－）＝cos［（x－）＋］＝cos x，所以y＝f（x－）为偶函数，故A错误，B正确；又y＝f（x＋）－1＝cos（x＋）－1＝－sin x－1，所以函数y＝f（x＋）－1为非奇非偶函数，故C、D错误.故选B.
跟踪训练
1.D　f（x）＝（1＋cos 2x）sin2x＝2cos2xsin2x＝sin22x＝，则f（x）的最小正周期为T＝＝，且为偶函数.
2.D　∵f（x）为奇函数，∴f（0）＝0，即sin φ＋cos φ＝0，∴tan φ＝－，故排除A、C；又f（x）在［0，］上单调递减，只有D选项满足，故选D.
考点3
【例3】 D　由函数f（x）在区间（，）上单调递增，且直线x＝和x＝是函数f（x）的图象的两条相邻对称轴，得＝2（－），解得ω＝2，则f（）＝sin（＋φ）＝－1，所以φ＝－＋2kπ－＝－＋2kπ，k∈Z，所以f（x）＝sin（2x－＋2kπ），k∈Z，则f（－）＝sin（－＋2kπ）＝sin（－）＝.故选D.
跟踪训练
1.B　因为f（x）＝sin ωx∈[－1，1]，且f（x1）＝－1，f（x2）＝1，｜x1－x2｜min＝，所以f（x）的最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2.
2.AC　对于函数f（x）＝2sin（2x＋）＋1，当x＝时，f（x）＝1，结合正弦函数图象的对称性，可得点（，1）是函数f（x）图象的一个对称中心，故A正确，B错误；当x∈[0，π]时，2x＋∈［，］，故当2x＋＝或时，f（x）＝0，故函数f（x）在[0，π]上有两个零点，C正确；当2x＋＝或时，函数f（x）取得极值，故函数f（x）在[0，π]上有两个极值点，D错误.故选A、C.
考点4
【例4】 （1）BC　（2）AC　解析：（1）A选项，令f（x）＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f（x）零点，令g（x）＝sin（2x－）＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g（x）零点，显然f（x），g（x）零点不同，A选项错误；B选项，显然f（x）max＝g（x）max＝1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f（x），g（x）的周期均为＝π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f（x）的对称轴满足2x＝kπ＋ x＝＋，k∈Z，g（x）的对称轴满足2x－＝kπ＋ x＝＋，k∈Z，显然f（x），g（x）图象的对称轴不同，D选项错误.故选B、C.
（2）f（x）＝sin（2x＋＋）＝－sin 2x.因为f（x－）＝－sin［2（x－）］＝cos 2x，为偶函数，故A正确；令2x＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，对称轴为x＝＋，k∈Z，故B错误；＜2x＜，＜x＜，所以f（x）在区间（，）上单调递增，（，） （，），所以f（x）在区间（，）单调递增，故C正确；f（x）min＝－，故D错误.
跟踪训练
1.D　函数f（x）＝的最小正周期T＝＝2π，故A错误；函数f（x）＝的值域为[0，＋∞），故B错误；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，即直线x＝不是f（x）图象的对称轴，故C错误；令kπ－＜x－≤kπ，k∈Z，解得2kπ－＜x≤2kπ＋，k∈Z，所以函数f（x）的单调递减区间为，k∈Z，故D正确，故选D.
2.A　函数y＝f（x）的图象关于点（，2）中心对称，则有b＝2，且f（）＝2，所以sin（ω＋）＋2＝2，则ω＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝，k∈Z，由T＝，且＜T＜π，所以＜＜π，即＜k＜，又因k∈Z，得k＝4，ω＝，故f（）＝sin（×＋）＋2＝－1＋2＝1.
3 / 3(共59张PPT)
第2课时　三角函数的图象与性质（二）
高中总复习·数学
目 录
CONTENTS
考点·分类突破
01.
课时·跟踪检测
02.
PART 01
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
三角函数的周期性（师生共研过关）
（1）（人A必修一P214习题12题改编）〔多选〕下列函数中，以π为
最小正周期，且在区间（ ，π）上单调递减的是（　AC　）
A. y＝｜ sin x｜ B. y＝2 cos x
C. y＝－tan x D. y＝ sin 2x
AC
解析： 对于A，y＝ sin x的最小正周期为2π，结合正弦函数的图象知
y＝｜ sin x｜的最小正周期为π，且y＝｜ sin x｜在（ ，π）上单调递减，
故A符合题意；对于B，y＝2 cos x的最小正周期为2π，故B不符合题意；
对于C，y＝－tan x的最小正周期为π，且结合正切函数的图象知，y＝－
tan x在（ ，π）上单调递减，故C符合题意；对于D，y＝ sin 2x的最小正
周期为 ＝π，当x∈（ ，π）时，2x∈（π，2π），所以y＝ sin 2x在
（ ，π）上不单调，故D不符合题意.故选A、C.
（2）函数f（x）＝ sin 2x＋｜ sin 2x｜的最小正周期为 .
解析： 作出函数f（x）的大致图象，如图所示.根据图象可知f（x）为周期函数，最小正周期为π.
π　
解题技法
1. 函数y＝4 sin （3x＋ ）＋3 cos （3x＋ ）的最小正周期是（　　）
A. 6π B. 2π
C. D.
解析： 　y＝5［ sin （3x＋ ）＋ cos （3x＋ ）］＝5 sin （3x＋ ＋
φ）（其中tan φ＝ ），所以函数y＝4 sin （3x＋ ）＋3 cos （3x＋ ）的
最小正周期是T＝ ，故选C.
√
2. 函数y＝ 的最小正周期为 .
解析：y＝ ＝tan 2x，x≠kπ± 且x≠kπ＋ ，k∈Z，每π个单位
长度的区间上，函数图象要去掉一个点（ ＋kπ，0），函数图象是每两
个 个单位长度的区间上，重复出现一次完全相同的图象，所以周期是π.
π　
三角函数的奇偶性（师生共研过关）
已知函数f（x）＝ cos x－2 cos 2（ － ）＋1，则下列说法正确的
是（　　）
A. y＝f（x－ ）为奇函数
B. y＝f（x－ ）为偶函数
C. y＝f（x＋ ）－1为奇函数
D. y＝f（x＋ ）－1为偶函数
√
解析： 　因为f（x）＝ cos x－2 cos 2（ － ）＋1＝ cos x－
2× ＋1＝ cos x－ sin x＝ cos （x＋ ），所以f（x－ ）
＝ cos ［（x－ ）＋ ］＝ cos x，所以y＝f（x－ ）为偶函数，
故A错误，B正确；又y＝f（x＋ ）－1＝ cos （x＋ ）－1＝－ sin
x－1，所以函数y＝f（x＋ ）－1为非奇非偶函数，故C、D错误.故选B.
解题技法
三角函数奇偶性的判断
　　判断与三角函数有关的奇偶性，应先对函数解析式进行化简，然后根
据奇偶函数的定义进行判断，注意定义域是否关于原点对称.
1. 函数f（x）＝（1＋ cos 2x） sin 2x是（　　）
A. 最小正周期为π的奇函数
B. 最小正周期为π的偶函数
C. 最小正周期为 的奇函数
D. 最小正周期为 的偶函数
解析： f（x）＝（1＋ cos 2x） sin 2x＝2 cos 2x sin 2x＝ sin 22x＝
，则f（x）的最小正周期为T＝ ＝ ，且为偶函数.
√
2. 使f（x）＝ sin （2x＋φ）＋ cos （2x＋φ）为奇函数，且在［0，
］上单调递减的φ的一个值是（　　）
A. － B. －
C. D.
解析： 　∵f（x）为奇函数，∴f（0）＝0，即 sin φ＋ cos φ＝0，
∴tan φ＝－ ，故排除A、C；又f（x）在［0， ］上单调递减，只有D
选项满足，故选D.
√
三角函数的对称性（师生共研过关）
（2023·全国乙卷文10题）已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）在区间
（ ， ）上单调递增，直线x＝ 和x＝ 为函数y＝f（x）的图象的两
条相邻对称轴，则f（－ ）＝（　　）
A. － B. －
C. D.
√
解析： 　由函数f（x）在区间（ ， ）上单调递增，且直线x＝ 和x
＝ 是函数f（x）的图象的两条相邻对称轴，得 ＝2（ － ），解得
ω＝2，则f（ ）＝ sin （ ＋φ）＝－1，所以φ＝－ ＋2kπ－ ＝－ ＋
2kπ，k∈Z，所以f（x）＝ sin （2x－ ＋2kπ），k∈Z，则f（－ ）
＝ sin （－ ＋2kπ）＝ sin （－ ）＝ .故选D.
解题技法
三角函数图象的对称轴和对称中心的求法
　　求三角函数图象的对称轴及对称中心，须先把所给三角函数式化为y
＝A sin （ωx＋φ）＋b或y＝A cos （ωx＋φ）＋b的形式，再把（ωx＋
φ）整体看成一个变量.
（1）若求f（x）＝A sin （ωx＋φ）（ω≠0）图象的对称轴，则只需令
ωx＋φ＝ ＋kπ（k∈Z），求x；
（2）若求f（x）＝A sin （ωx＋φ）（ω≠0）图象的对称中心的横坐标，
则只需令ωx＋φ＝kπ（k∈Z），求x.
1. （2024·北京高考6题）设函数f（x）＝ sin ωx（ω＞0）.已知f（x1）
＝－1，f（x2）＝1，且｜x1－x2｜的最小值为 ，则ω＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 　因为f（x）＝ sin ωx∈[－1，1]，且f（x1）＝－1，f（x2）＝
1，｜x1－x2｜min＝ ，所以f（x）的最小正周期T＝2× ＝π，所以ω＝
＝2.
√
2. 〔多选〕已知函数f（x）＝2 sin （2x＋ ）＋1，则下列结论正确的是
（　　）
A. 点（ ，1）是函数f（x）图象的一个对称中心
B. 直线x＝ 是函数f（x）图象的一条对称轴
C. 函数f（x）在[0，π]上有两个零点
D. 函数f（x）在[0，π]上有三个极值点
√
√
解析： 　对于函数f（x）＝2 sin （2x＋ ）＋1，当x＝ 时，f（x）
＝1，结合正弦函数图象的对称性，可得点（ ，1）是函数f（x）图象的
一个对称中心，故A正确，B错误；当x∈[0，π]时，2x＋ ∈［ ，
］，故当2x＋ ＝ 或 时，f（x）＝0，故函数f（x）在[0，π]上
有两个零点，C正确；当2x＋ ＝ 或 时，函数f（x）取得极值，故函
数f（x）在[0，π]上有两个极值点，D错误.故选A、C.
三角函数性质的综合应用（师生共研过关）
（1）〔多选〕（2024·新高考Ⅱ卷9题）对于函数f（x）＝ sin 2x和g
（x）＝ sin （2x－ ），下列说法中正确的有（　BC　）
A. f（x）与g（x）有相同的零点
B. f（x）与g（x）有相同的最大值
C. f（x）与g（x）有相同的最小正周期
D. f（x）与g（x）的图象有相同的对称轴
BC
解析： A选项，令f（x）＝ sin 2x＝0，解得x＝ ，k∈Z，即为f
（x）零点，令g（x）＝ sin （2x－ ）＝0，解得x＝ ＋ ，k∈Z，即
为g（x）零点，显然f（x），g（x）零点不同，A选项错误；B选项，
显然f（x）max＝g（x）max＝1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f
（x），g（x）的周期均为 ＝π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的
性质f（x）的对称轴满足2x＝kπ＋ x＝ ＋ ，k∈Z，g（x）的对
称轴满足2x－ ＝kπ＋ x＝ ＋ ，k∈Z，显然f（x），g（x）图
象的对称轴不同，D选项错误.故选B、C.
（2）〔多选〕（2024·九省联考）已知函数f（x）＝ sin （2x＋ ）＋
cos （2x＋ ），则（　AC　）
A. 函数f（x－ ）为偶函数
B. 曲线y＝f（x）的对称轴为x＝kπ，k∈Z
C. f（x）在区间（ ， ）单调递增
D. f（x）的最小值为－2
AC
解析： f（x）＝ sin （2x＋ ＋ ）＝－ sin 2x.因为f（x－ ）＝
－ sin ［2（x－ ）］＝ cos 2x，为偶函数，故A正确；令2x＝ ＋
kπ，k∈Z，所以x＝ ＋ ，k∈Z，对称轴为x＝ ＋ ，k∈Z，故B错
误； ＜2x＜ ， ＜x＜ ，所以f（x）在区间（ ， ）上单调递
增，（ ， ） （ ， ），所以f（x）在区间（ ， ）单调递增，故
C正确；f（x）min＝－ ，故D错误.
解题技法
解决三角函数图象与性质综合问题的方法
　　先将y＝f（x）化为y＝a sin x＋b cos x的形式，然后用辅助角公式化
为y＝A sin （ωx＋φ）的形式，再借助y＝A sin （ωx＋φ）的性质（如周
期性、对称性、单调性等）解决相关问题.
1. 已知函数f（x）＝ ，则下列说法正确的是（　　）
A. f（x）的最小正周期是
B. f（x）的值域是R
C. 直线x＝ 是函数f（x）图象的一条对称轴
D. f（x）的单调递减区间是 ，k∈Z
√
解析： 　函数f（x）＝ 的最小正周期T＝ ＝2π，故A错
误；函数f（x）＝ 的值域为[0，＋∞），故B错误；当x＝
时， x－ ＝ ≠ ，k∈Z，即直线x＝ 不是f（x）图象的对称
轴，故C错误；令kπ－ ＜ x－ ≤kπ，k∈Z，解得2kπ－ ＜x≤2kπ
＋ ，k∈Z，所以函数f（x）的单调递减区间为 ，
k∈Z，故D正确，故选D.
2. 记函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）＋b（ω＞0）的最小正周期为T. 若
＜T＜π，且函数y＝f（x）的图象关于点（ ，2）中心对称，则f（ ）
＝（　　）
A. 1 B.
C. D. 3
√
解析： 　函数y＝f（x）的图象关于点（ ，2）中心对称，则有b＝
2，且f（ ）＝2，所以 sin （ ω＋ ）＋2＝2，则 ω＋ ＝kπ，
k∈Z，解得ω＝ ，k∈Z，由T＝ ，且 ＜T＜π，所以 ＜ ＜
π，即 ＜k＜ ，又因k∈Z，得k＝4，ω＝ ，故f（ ）＝ sin （ ×
＋ ）＋2＝－1＋2＝1.
PART 02
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. 已知f（x）＝ sin 2（x＋ ）－ ，则f（x）是（　　）
A. 奇函数且最小正周期为π
B. 偶函数且最小正周期为π
C. 奇函数且最小正周期为2π
D. 偶函数且最小正周期为2π
解析：A　f（x）＝ sin 2（x＋ ）－ ＝ － ＝ sin 2x，
故f（x）为奇函数，且最小正周期T＝ ＝π，故选A.
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2. 已知函数f（x）＝ cos ［ω（x－ ）＋ ］（ω＞0）的图象关于原点
中心对称，则ω的最小值为（　　）
A. B. C. D.
解析： 　函数f（x）＝ cos ［ω（x－ ）＋ ］的图象关于坐标原点中
心对称，则－ ω＋ ＝kπ＋ （k∈Z），解得ω＝－3k－ .又ω＞0，则
当k＝－1时，ω取得最小值 ，故选B.
√
3. 已知函数f（x）＝tan（2x－ ），则（　　）
A. f（x）是奇函数
B. f（x）在区间（0， ）上单调递减
C. （ ，0）为其图象的一个对称中心
D. f（x）的最小正周期为π
解析： 　函数y＝tan（2x－ ）是非奇非偶函数，A错误；在区间（0，
）上单调递增，B错误；最小正周期为 ，D错误；∵当x＝ 时，tan
（2× － ）＝0，∴（ ，0）为其图象的一个对称中心，故选C.
√
4. 函数f（x）＝2 sin （ω＞0）图象的相邻两对称轴之间的距离
为 ，若该函数图象关于点（m，0）中心对称，则当m∈ 时，m的
值为（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　因为函数f（x）的图象的相邻两对称轴之间的距离为 ，所以f
（x）的最小正周期T＝2× ＝π，所以ω＝ ＝2，所以f（x）＝2 sin
.令f（x）＝0，则2x＋ ＝kπ（k∈Z），得x＝ －
（k∈Z），又m∈［0， ］，当k＝1时，x＝ ，故m＝ ，故选D.
5. 〔多选〕已知函数f（x）＝ sin 4x－ cos 4x，则下列说法正确的是
（　　）
A. f（x）的最小正周期为π
B. f（x）的最大值为2
C. f（x）的图象关于y轴对称
D. f（x）在区间［ ， ］上单调递增
√
√
√
解析： 　∵f（x）＝ sin 4x－ cos 4x＝ sin 2x－ cos 2x＝－ cos 2x，
∴函数f（x）的最小正周期T＝π，f（x）的最大值为1.∵f（－x）＝－
cos （－2x）＝－ cos 2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴
对称.∵y＝ cos 2x在［ ， ］上单调递减，∴f（x）＝－ cos 2x在
［ ， ］上单调递增，故选A、C、D.
6. 〔多选〕若直线x＝ 是函数f（x）＝a sin x＋b cos x（ab≠0）图象的
一条对称轴，则下列说法正确的是（　　）
A. b＝ a
B. 直线x＝－ 是函数f（x）图象的一条对称轴
C. 点（ ，0）是函数f（x）图象的一个对称中心
D. 函数f（x）在（ ， ）上单调递减
√
√
√
解析： 　对于A，因为直线x＝ 是函数f（x）图象的一条对称轴，
故f（0）＝f（ ），所以a sin 0＋b cos 0＝a sin ＋b cos ，得b＝ a，
所以A正确；对于B，由A选项可知f（x）＝a sin x＋ a cos x＝2a sin
（x＋ ），则f（－ ）＝2a sin （－ ＋ ）＝2a sin （－ ）＝－
2a，所以直线x＝－ 是函数f（x）图象的一条对称轴，所以B正确；对
于C，因为f（ ）＝2a sin （ ＋ ）＝2a sin π＝0，所以点（ ，0）是
函数f（x）图象的一个对称中心，所以C正确；对于D，当 ＜x＜ 时， ＜x＋ ＜ ，所以当a＞0时，f（x）在（ ， ）上单调递减，当a＜0时，f（x）在（ ， ）上单调递增，所以D错误.
7. 若函数f（x）＝ （ω＞0）的最小正周期为π，则f
＝ .
解析：由题设及周期公式得T＝ ＝π，所以ω＝1，即f（x）＝
，所以f ＝ ＝ .
　
8. 函数f（x）＝3 sin （2x－ ＋φ）＋1，φ∈（0，π），且f（x）为偶
函数，则φ＝ 　 　，f（x）图象的对称中心为 　（ ＋ ，1），
.
解析：若f（x）＝3 sin （2x－ ＋φ）＋1为偶函数，则－ ＋φ＝kπ＋
，k∈Z，则φ＝ ＋kπ，k∈Z，又∵φ∈（0，π），∴φ＝ .∴f（x）
＝3 sin （2x＋ ）＋1＝3 cos 2x＋1，由2x＝ ＋kπ，k∈Z得x＝ ＋
，k∈Z，∴f（x）图象的对称中心为（ ＋ ，1），k∈Z.
　
（ ＋ ，1），
k∈Z　
9. 已知函数f（x）＝ sin ωx－ cos ωx（ω＞0）的最小正周期为π.
（1）求函数y＝f（x）图象的对称轴方程；
解： ∵f（x）＝ sin ωx－ cos ωx＝ sin （ωx－ ），且T＝π，
∴ω＝2.
于是，f（x）＝ sin .
令2x－ ＝kπ＋ （k∈Z），得x＝ ＋ （k∈Z），
即函数f（x）图象的对称轴方程为x＝ ＋ （k∈Z）.
（2）讨论函数f（x）在 上的单调性.
解： 令2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ （k∈Z），得函数f（x）的单调
递增区间为［kπ－ ，kπ＋ ］（k∈Z）.
注意到x∈ ，∴令k＝0，得函数f（x）在 上的单调递增区
间为 ；
同理，其单调递减区间为 .
10. （2025·广州一模）已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）
的解析式可能是（　　）
A. f（x）＝ sin （tan x） B. f（x）＝tan（ sin x）
C. f（x）＝ cos （tan x） D. f（x）＝tan（ cos x）
√
解析： 　根据题图可知函数f（x）的图象关于y轴对称，所以函数f
（x）为偶函数，且定义域为R. 对于A、C，函数f（x）的定义域均为
{x｜x≠ ＋kπ，k∈Z}，不满足题意，故排除A、C；对于B，f（－x）
＝tan[ sin （－x）]＝tan（－ sin x）＝－tan（ sin x）＝－f（x），f
（x）为奇函数，不满足题意，排除B，故选D.
11. 若函数f（x）＝2 sin （n＞0）图象上的相邻一个最高点和一个
最低点恰好都在圆O：x2＋y2＝n2上，则f（1）＝（　　）
A. B. 2
C. －2 D. －
√
解析： 　设f（x）图象上相邻的最高点和最低点的坐标分别为（x1，
y1），（x2，y2），则y1＝2 ，y2＝－2 ，又函数f（x）＝2 sin
（n＞0）为奇函数，∴x1＝－x2，当 ＝ x＝ 时，函数取得最大值
2 ，∴x1＝ ，x2＝－ ，由题意知，函数f（x）＝2 sin （n＞0）
图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆O：x2＋y2＝n2上，
∴（ ）2＋（2 ）2＝n2 n＝4，则f（1）＝2 sin ＝ .故选A.
12. 〔多选〕已知函数f（x）＝｜ sin x｜＋ cos x，下列结论正确的是
（　　）
A. f（x）为偶函数
B. f（x）的值域为[－1， ]
C. f（x）在[0，π]上单调递减
D. f（x）的图象关于直线x＝ 对称
√
√
解析： 　对于A，函数f（x）的定义域为R，因为f（－x）＝｜ sin
（－x）｜＋ cos （－x）＝｜ sin x｜＋ cos x＝f（x），所以函数f（x）
是偶函数，所以A正确.对于B，f（x）＝ ＝
（k∈Z），当2kπ≤x≤2kπ＋
π时，2kπ＋ ≤x＋ ≤2kπ＋ ，所以 sin （x＋ ）∈[－1， ]；
当2kπ＋π＜x＜2kπ＋2π时，2kπ＋ ＜x＋ ＜2kπ＋ ，所以 cos
（x＋ ）∈（－1， ].所以函数f（x）的值域为[－1， ]，所以B正
确.对于C，当x∈[0，π]时，f（x）＝ sin x＋ cos x＝ sin （x＋ ），
≤x＋ ≤ ，则函数f（x）在[0，π]上不单调，所以C错误.对于D，f
（ －x）＝｜ sin （ －x）｜＋ cos （ －x）＝｜ cos x｜＋ sin x≠f
（x），所以函数f（x）的图象不关于直线x＝ 对称，所以D错误.综上，
选A、B.
13. 已知函数f（x）＝ sin （2x＋φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（ ，
0）对称，则f（x）在（－ ， ）上的极值点为 　 　.
解析：由题意得，f（ ）＝ sin （ ＋φ）＝0，∴ ＋φ＝kπ，k∈Z，
即φ＝－ ＋kπ，k∈Z. 又0＜φ＜π，∴φ＝ ，故f（x）＝ sin （2x＋
）.当x∈（－ ， ）时，2x＋ ∈（ ， ），由函数y＝ sin x的
图象知，函数f（x）只有一个极值点，为极小值点，由2x＋ ＝ ，可
得极值点为 .
　
14. 已知函数f（x）＝ sin ωx－ cos ωx，ω＞0.
（1）若函数f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，求f（x）的
单调递增区间；
解： f（x）＝ sin ωx－ cos ωx
＝2（ sin ωx－ cos ωx）
＝2 sin （ωx－ ），
因为函数f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，所以 T＝π，则
T＝2π，
所以T＝ ＝2π，解得ω＝1，
所以f（x）＝2 sin （x－ ）.
由－ ＋2kπ≤x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z，
解得－ ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z，
因此f（x）的单调递增区间是［－ ＋2kπ， ＋2kπ］，k∈Z.
（2）若函数f（x）的图象关于点（ ，0）对称，且函数f（x）在［0，
］上单调，求ω的值.
解： 因为f（x）＝2 sin （ωx－ ）的图象关于点（ ，0）对称，
所以 － ＝kπ，k∈Z，所以ω＝2k＋ ，k∈Z，
因为x∈［0， ］，ω＞0，所以ωx－ ∈［－ ， － ］，
又函数f（x）在［0， ］上单调，
所以 解得0＜ω≤2，
由0＜2k＋ ≤2，k∈Z，解得k＝0，此时ω＝ .
15. （新定义）若函数y＝f（x）满足f（x）＝f（x＋ ）且f（ ＋x）
＝f（ －x）（x∈R），则称函数y＝f（x）为“M函数”.
（1）试判断f（x）＝ sin x是否为“M函数”，并说明理由；
解： f（x）＝ sin x不是“M函数”，理由如下：
f（x＋ ）＝ sin ［ （x＋ ）］＝ sin （ x＋2π）＝ sin x＝f（x），
f（ ＋x）＝ sin ［ （ ＋x）］＝ sin （ ＋ x），
f（ －x）＝ sin ［ （ －x）］＝ sin （ － x），
则f（ ＋x）≠f（ －x），
故f（x）＝ sin x不是“M函数”.
（2）函数f（x）为“M函数”，且当x∈［ ，π］时，y＝ sin x，求y
＝f（x）的解析式，并写出y＝f（x）在［0， ］上的单调增区间.
解： 函数f（x）满足f（x）＝f（x＋ ），故f（x）的周期为T
＝ ，
因为f（ ＋x）＝f（ －x），
所以f（x）＝f（ －x），
当x∈［ kπ＋ ， kπ＋π］时，f（x）＝f（x－ kπ）＝ sin （x－
kπ），k∈Z，
当x∈［ kπ－ ， kπ＋ ）时，f（x）＝f［ －（x－ kπ）］＝ sin
［ －（x－ kπ）］＝ cos （x－ kπ），k∈Z.
综上：f（x）＝
f（x）＝ sin （x－ kπ），x∈［ kπ＋ ， kπ＋π］，k∈Z中，
当k＝0时，x∈［ ，π］，f（x）＝ sin x，此时单调递增区间为［ ， ］，
f（x）＝ cos （x－ kπ），x∈［ kπ－ ， kπ＋ ），k∈Z中，
当k＝1时，x∈［π， ），f（x）＝ cos （x－ ），
则x－ π∈［－ ， ），
当x－ π∈［－ ，0］，即x∈［π， ］时，函数单调递增，
经检验，其他范围不是单调递增区间，
所以y＝f（x）在［0， ］上的单调递增区间为［ ， ］，［π， ］.
THANKS
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