资源简介

　“算两次”在解三角形中的运用
　　“算两次”就是从两个不同的角度或用两种不同的方法、途径表示同一数学对象，根据结果的唯一性，得到方程的方法.“算两次”在运用的过程中要求学生能用数学的眼光看问题，找寻等量关系，对学生的数学抽象、数学建模等思维能力提出了较高要求，在解三角形中经常通过特定关系的边、角或面积，通过“算两次”的方法找到解决问题的关键点.
一、真题分析
（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
（1）求B；
（2）若△ABC的面积为3＋，求c.
命题分析 试题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换和三角形的面积等基础知识；通过求解三角形来考查学生的逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养以及函数与方程、化归与转化等数学思想.
解题分析 （1）题设给出了三角形三边的关系式，直接利用余弦定理便可求出角C，再利用题干的第一个等式可求得角B；
（2）由（1）的解答可以得到三角形的三个内角的大小及它们对应的正弦值，再利用正弦定理得到a，c边的关系.根据所给三角形的面积建立关于c的方程，解方程即可求出c.
反思感悟
　　本题在求解c时，一方面利用正弦定理得到a，c的关系式，另一方面，利用三角形面积公式得到含c的等式，也就是通过边c“算两次”得到问题的解.
二、寻源探本
本题源于人A必修二P54习题22题，已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C－b－c＝0.
（1）求A；
（2）若a＝2，则△ABC的面积为，求b，c.
三、技法探究
“边”算两次
（2023·全国甲卷理16题）在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　反思感悟
　　本题选取了两个三角形的“公共边”为切入口，在不同的三角形中利用正弦定理两次表示边AD，再运用等量关系表示出角A，C的关系，进而求解.
“角”算两次
角度1　同一角算两次
已知△ABC中AB＝4，AC＝7，AD为边BC上的中线，若AD＝，则BC＝　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　反思感悟
　　本题选取两个三角形的公共角B为切入口，分别在两个不同的三角形内利用余弦定理对角进行表示，构建方程进行求解.解题的关键是寻找两个三角形的公共元素，在两个三角形内分别利用正、余弦定理、勾股定理进行边、角互化，获得等量关系.
角度2　补角算两次
（2021·新高考Ⅰ卷19题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asin C.
（1）证明：BD＝b；
（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC.
反思感悟
　　本题选取两个三角形中的相关“角”，两个角互为补角即∠BED＋∠ABC＝π为切入口，通过两次计算相关角的余弦值，从而得到a，b，c的数量关系，结合已知条件及余弦定理求解.
“面积”算两次
△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积S＝（b＋c）2－a2，则sin A＝　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　反思感悟
　　本题以三角形的面积为突破口，采用“算两次”的方法对面积进行表示，从而得到等量关系进而得解.
四、回顾反思
一个三角形中含有各种几何量，如边、角、面积等，特别是一个多边形中含有“公共边”“公共角”“互为补角”“相等面积”等时，常利用“算两次”解决问题，“算两次”有助于调动学生思维和行动的积极性，增强获取知识的能力，激发创新思维.使学生分析、综合、评价能力逐步提高，帮助学生提升数学关键能力，开拓学生思维的视野.
考教衔接　“算两次”在解三角形中的运用
一、真题分析
解：（1）由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C，
对比已知a2＋b2－c2＝ab，
可得cos C＝＝＝，
因为C∈（0，π），所以C＝，
又sin C＝cos B，所以＝cos B，
即cos B＝，又B∈（0，π），所以B＝.
（2）由（1）可知B＝，C＝，故sin A＝sin（B＋C）＝.
由正弦定理＝得a＝c，故△ABC的面积S＝acsin B＝c2＝3＋，
解得c＝2.
三、技法探究
技法1
【例1】 2　解析：在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sin C＝，因为BC＞AB，所以C＝45°，∠ABC＝180°－60°－45°＝75°，又因为AD平分∠BAC，所以∠CAD＝∠BAD＝30°，在△ADC中，由正弦定理得＝，所以CD＝AD，①.在△ADB中，由正弦定理得＝，所以（－CD）＝AD，②.将①②联立消去CD，解得AD＝2.
技法2
【例2】 9　解析：设BD＝x，在△ABD中，由余弦定理可得cos B＝＝，在△ABC中，由余弦定理可得cos B＝＝，因此＝，解得x＝，所以BC＝2BD＝9.
【例3】 解：（1）证明：因为BDsin∠ABC＝asin C，所以由正弦定理得，BD·b＝ac，
又b2＝ac，所以BD·b＝b2，
又b＞0，所以BD＝b.
（2）如图所示，过点D作DE∥BC交AB于E，
因为AD＝2DC，所以＝＝2，＝，
所以BE＝，DE＝a.
在△BDE中，cos ∠BED＝
＝＝＝，
在△ABC中，cos ∠ABC＝＝＝.
因为∠BED＝π－∠ABC，所以cos ∠BED＝－cos ∠ABC，所以＝－，化简得3c2＋6a2－11ac＝0，方程两边同时除以a2，得3－11＋6＝0，解得＝或＝3.
当＝，即c＝a时，cos∠ABC＝＝＝；
当＝3，即c＝3a时，cos∠ABC＝＝＝＞1（舍去）.
综上，cos∠ABC＝.
技法3
【例4】 　解析：由余弦定理得b2＋c2－a2＝2bccos A.又S＝（b＋c）2－a2＝b2＋c2－a2＋2bc＝2bc（cos A＋1），S＝bcsin A，所以2bc（cos A＋1）＝bcsin A，即cos A＋1＝sin A，故cos A＝sin A－1，所以sin2A＋（sin A－1）2＝1，而sin A≠0，所以sin A＝.
2 / 2(共21张PPT)
考教衔接　“算两次”在解三角形中的运用
高中总复习·数学
　　“算两次”就是从两个不同的角度或用两种不同的方法、途径表示同
一数学对象，根据结果的唯一性，得到方程的方法.“算两次”在运用的
过程中要求学生能用数学的眼光看问题，找寻等量关系，对学生的数学抽
象、数学建模等思维能力提出了较高要求，在解三角形中经常通过特定关
系的边、角或面积，通过“算两次”的方法找到解决问题的关键点.
一、真题分析
（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c.已知 sin C＝ cos B，a2＋b2－c2＝ ab.
（1）求B；
（2）若△ABC的面积为3＋ ，求c.
命题分析 试题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换和三角形的面积等
基础知识；通过求解三角形来考查学生的逻辑推理、直观想象和数学运算
等核心素养以及函数与方程、化归与转化等数学思想.
解题分析 （1）题设给出了三角形三边的关系式，直接利用余弦定理便可
求出角C，再利用题干的第一个等式可求得角B；
（2）由（1）的解答可以得到三角形的三个内角的大小及它们对应的正弦
值，再利用正弦定理得到a，c边的关系.根据所给三角形的面积建立关于
c的方程，解方程即可求出c.
解：（1）由余弦定理有a2＋b2－c2＝2ab cos C，
对比已知a2＋b2－c2＝ ab，
可得 cos C＝ ＝ ＝ ，
因为C∈（0，π），所以C＝ ，
又 sin C＝ cos B，所以 ＝ cos B，
即 cos B＝ ，又B∈（0，π），所以B＝ .
（2）由（1）可知B＝ ，C＝ ，故 sin A＝ sin （B＋C）＝ .
由正弦定理 ＝ 得a＝ c，故△ABC的面积S＝ ac sin B＝
c2＝3＋ ，
解得c＝2 .
　　本题在求解c时，一方面利用正弦定理得到a，c的关系式，另一方
面，利用三角形面积公式得到含c的等式，也就是通过边c“算两次”得到
问题的解.
二、寻源探本
本题源于人A必修二P54习题22题，已知a，b，c分别为△ABC三个内角
A，B，C的对边，且a cos C＋ a sin C－b－c＝0.
（1）求A；
（2）若a＝2，则△ABC的面积为 ，求b，c.
三、技法探究
“边”算两次
（2023·全国甲卷理16题）在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，
BC＝ ，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝ .
2　
解析：在△ABC中，由正弦定理可得 ＝ ，所以
sin C＝ ，因为BC＞AB，所以C＝45°，∠ABC＝180°
－60°－45°＝75°，又因为AD平分∠BAC，所以∠CAD
＝∠BAD＝30°，在△ADC中，由正弦定理得 ＝ ，所以 CD＝AD，①.在△ADB中，由正弦定理得 ＝ ，所以 （ －CD）＝AD，②.将①②联立消去CD，解得AD＝2.
　　本题选取了两个三角形的“公共边”为切入口，在不同的三角形中利
用正弦定理两次表示边AD，再运用等量关系表示出角A，C的关系，进而
求解.
“角”算两次
角度1　同一角算两次
已知△ABC中AB＝4，AC＝7，AD为边BC上的中线，若AD＝ ，
则BC＝ .
解析：设BD＝x，在△ABD中，由余弦定理可得 cos B＝ ＝
，在△ABC中，由余弦定理可得 cos B＝ ＝ ，因
此 ＝ ，解得x＝ ，所以BC＝2BD＝9.
9　
反思感悟
　　本题选取两个三角形的公共角B为切入口，分别在两个不同的三角形
内利用余弦定理对角进行表示，构建方程进行求解.解题的关键是寻找两
个三角形的公共元素，在两个三角形内分别利用正、余弦定理、勾股定理
进行边、角互化，获得等量关系.
角度2　补角算两次
（2021·新高考Ⅰ卷19题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为
a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD sin ∠ABC＝a sin C.
（1）证明：BD＝b；
解： 证明：因为BD sin ∠ABC＝a sin C，所以由正弦定理得，BD·b
＝ac，
又b2＝ac，所以BD·b＝b2，
又b＞0，所以BD＝b.
（2）若AD＝2DC，求 cos ∠ABC.
解： 如图所示，过点D作DE∥BC交AB于E，
因为AD＝2DC，所以 ＝ ＝2， ＝ ，
所以BE＝ ，DE＝ a.
在△BDE中， cos ∠BED＝ ＝ ＝ ＝ ，在△ABC中， cos ∠ABC＝ ＝
＝ .
因为∠BED＝π－∠ABC，所以 cos ∠BED＝－ cos ∠ABC，所以
＝－ ，化简得3c2＋6a2－11ac＝0，方程两边同时除
以a2，得3 －11 ＋6＝0，解得 ＝ 或 ＝3.
当 ＝ ，即c＝ a时， cos ∠ABC＝ ＝ ＝ ；
当 ＝3，即c＝3a时， cos ∠ABC＝ ＝ ＝ ＞1（舍
去）.综上， cos ∠ABC＝ .
反思感悟
　　本题选取两个三角形中的相关“角”，两个角互为补角即∠BED＋
∠ABC＝π为切入口，通过两次计算相关角的余弦值，从而得到a，b，c
的数量关系，结合已知条件及余弦定理求解.
“面积”算两次
△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面
积S＝（b＋c）2－a2，则 sin A＝ .
　　
解析：由余弦定理得b2＋c2－a2＝2bc cos A. 又S＝（b＋c）2－a2＝b2＋
c2－a2＋2bc＝2bc（ cos A＋1），S＝ bc sin A，所以2bc（ cos A＋1）
＝ bc sin A，即 cos A＋1＝ sin A，故 cos A＝ sin A－1，所以 sin 2A＋
（ sin A－1）2＝1，而 sin A≠0，所以 sin A＝ .
反思感悟
　　本题以三角形的面积为突破口，采用“算两次”的方法对面积进行表
示，从而得到等量关系进而得解.
四、回顾反思
　　一个三角形中含有各种几何量，如边、角、面积等，特别是一个多边
形中含有“公共边”“公共角”“互为补角”“相等面积”等时，常利用
“算两次”解决问题，“算两次”有助于调动学生思维和行动的积极性，
增强获取知识的能力，激发创新思维.使学生分析、综合、评价能力逐步
提高，帮助学生提升数学关键能力，开拓学生思维的视野.
THANKS
演示完毕 感谢观看

展开更多......

收起↑