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　三角函数中的参数ω的求解问题
　　在三角函数的图象与性质中，参数ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点.本微突破整理了以下几种参数的求法，以供参考.
利用三角函数的对称性求解
（1）已知函数f（x）＝cos（ωx＋）（ω＞0）的一条对称轴为直线x＝，一个对称中心为（，0），则ω有（　　）
A.最小值2 B.最大值2
C.最小值1 D.最大值1
（2）已知函数f（x）＝cos（ωx－）（ω＞0）的图象在区间[0，π]上有且仅有3条对称轴，则ω的取值范围是（　　）
A.（，］ B.（，］
C.［，） D.［，）
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　点评 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值.
利用三角函数的单调性求解
（1）（2025·北京高三阶段练习）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜≤），f（－）＝0，｜f（）｜＝1，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（　　）
A.7　　 　B.9　 　　C.11　 　　D.13
（2）（2025·邢台阶段练习）若函数f（x）＝1－tan（ωx－）（ω≠0）在（0，1）上单调递增，则ω的取值范围是（　　）
A.［－，0） B.（－，－］
C.（0，］ D.［－，0）
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　点评 根据函数f（x）在已知区间上的单调性，结合三角函数的单调区间，确定函数f（x）的单调区间，建立不等式，即可求ω的取值范围.
利用三角函数的零点求解
（1）设函数f（x）＝cos（ωx－）（ω＞0）在[0，π]上有且只有4个零点，则ω的取值范围是（　　）
A.［，）　 　　　 B.［，）
C.［，） D.［，）
（2）（2023·新高考Ⅰ卷15题）已知函数f（x）＝cos ωx－1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　点评 利用零点求参数ω的两个思路：①直接求出函数的零点，利用零点与所给区间的关系求解；②利用函数的周期与所给区间的关系求解.
利用三角函数的最（极）值求解
（1）（2025·广州调研）已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）在区间（0，）内有最大值，但无最小值，则ω的取值范围是（　　）
A.（，］ B.［，） C.（，］ D.［，）
（2）将函数f（x）＝sin（2ωx＋φ）（ω＞0，φ∈[0，2π]）图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，函数g（x）的部分图象如图所示，且g（x）在[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为－1），则ω的取值范围是（　　）
A.（，］ B.［，）
C.［，） D.（，］
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　点评 三角函数的极值点、最值点和其图象的对称轴说法是等价的，最值问题可转化为不等式恒成立问题来解决.
1.（2024·高三全国开学考试）已知x＝和x＝都是函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）的极值点，则ω的最小值是（　　）
A.4　　 　B.2　　 　C.1　　 　D.
2.（2025·柳州联考）已知函数f（x）＝2sin（ωx＋）＋1（ω＞0）在区间（0，π）上恰有两个零点，则实数ω的取值范围是（　　）
A.（，） B.［，3］ C.［，） D.（，3］
3.（2024·广州阶段练习）若函数f（x）＝sin ωx＋cos ωx（ω＞0）在区间[a，b]上单调递减，且f（a）＝1，f（b）＝－1，b－a＝，则ω＝（　　）
A. B.1 C. D.2
4.（2025·福建九地市质量检测）已知函数f（x）＝2sin ωx（sin ωx＋cos ωx）（ω＞0）在（0，）上单调递增，且对任意的实数a，f（x）在（a，a＋π）上不单调，则ω的取值范围为（　　）
A.（1，］ B.（1，］ C.（，］ D.（，］
5.（2024·湖北七市州联合测试）已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）满足f（x）≤f（）恒成立，且在区间（，π）上无最小值，则ω＝　　　　.
微突破　三角函数中的参数ω的求解问题
类型1
【例1】 （1）A　（2）C　解析：（1）因为三角函数的对称中心到对称轴的最短距离是，所以对称中心（，0）到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－≥.又因为T＝，所以≤，所以ω≥2，所以ω有最小值2.故选A.
（2）f（x）＝cos（ωx－）（ω＞0），令ωx－＝kπ，k∈Z，则x＝，k∈Z，函数f（x）的图象在区间[0，π]上有且仅有3条对称轴，即0≤≤π有三个整数k符合，由0≤≤π，可得0≤≤1，可得0≤1＋4k≤4ω，则k＝0，1，2，即1＋4×2≤4ω＜1＋4×3，所以≤ω＜.
类型2
【例2】 （1）C　（2）D　解析：（1）函数f（x）＝sin（ωx＋φ），因为f（－）＝sin（－ω＋φ）＝0，所以－ω＋φ＝kπ，k∈Z　①，又｜f（）｜＝1，所以x＝是函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的一条对称轴，所以ω＋φ＝k'π＋，k'∈Z　②，由①②可得φ＝π＋，k，k'∈Z，又因为｜φ｜≤，所以φ＝±，且ω＝－4k＋1，k∈Z或ω＝－4k－1，k∈Z，又函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的最小正周期T＝，又f（x）在（，）上单调，所以－≤，所以0＜ω≤12，所以ω的最大值为11.故选C.
（2）由函数f（x）＝1＋tan（－ωx＋）在（0，1）上单调递增，根据正切函数的性质，可得－ω＞0，当x∈（0，1）时，可得－ωx＋∈（，－ω＋），则－ω＋≤，解得－≤ω＜0.故选D.
类型3
【例3】 （1）B　（2）[2，3）　解析：（1）∵x∈[0，π]，∴ωx－∈［－，ωπ－］，又∵f（x）在[0，π]上有且仅有4个零点，∴≤ωπ－＜，解得≤ω＜.故选B.
（2）法一 由f（x）＝cos ωx－1＝0，得cos ωx＝1.设g（x）＝cos ωx，x∈[0，2π].令t＝ωx，x∈[0，2π]，设g（t）＝cos t，t∈[0，2πω].因为方程g（x）＝1在[0，2π]上有且仅有3个根，所以4π≤2πω＜6π，解得2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3）.
法二 函数f（x）＝cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，根据函数y＝cos x在[0，2π]上的图象可知，cos x＝1在区间[0，2π]有2个根，所以若cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，则函数y＝cos ωx在[0，2π]内至少包含2个周期，但小于3个周期，即又ω＞0，所以2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3）.
【例4】 （1）A　（2）C　解析：（1）因为ω＞0，所以当0＜x＜时，有＜ωx＋＜ω＋.因为f（x）在区间（0，）内有最大值，但无最小值，结合函数图象得＜ω＋≤，解得＜ω≤，故选A.
（2）由已知得函数g（x）＝sin（ωx＋φ），由g（x）图象过点（0，）以及点在图象上的位置，知sin φ＝，φ＝，∵0≤x≤2π，∴≤ωx＋≤2πω＋，由g（x）在[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值，∴≤2πω＋＜，∴≤ω＜.
跟踪训练
1.A　由题意可知：直线x＝和直线x＝都是函数f（x）的对称轴，设函数f（x）的最小正周期为T，由题意可得：＝－＝，k∈N*，可得T＝，k∈N*，且ω＞0，则＝，k∈N*，解得ω＝4k，k∈N*，所以ω的最小值是4.故选A.
2.D　∵0＜x＜π，ω＞0，∴＜ωx＋＜＋ωπ，函数f（x）在（0，π）上恰好有两个零点，即sin（ωx＋）＝－在（0，π）上有两个解，∴＜＋ωπ≤，解得＜ω≤3.故选D.
3.C　由函数f（x）＝sin ωx＋ cos ωx＝2sin（ωx＋），因为f（a）＝1，f（b）＝－1，所以sin（ωa＋）＝，sin（ωb＋）＝－，又因为f（x）在区间[a，b]上单调递减，所以ωa＋＝＋2kπ，k∈Z，ωb＋＝＋2kπ，k∈Z，两式相减，可得ω（b－a）＝，因为b－a＝，所以ω＝.故选C.
4.D　f（x）＝2sin ωx（sin ωx＋cos ωx）＝2sin2ωx＋2sin ωxcos ωx＝2sin（2ωx－）＋，∵f（x）在（0，）上单调递增，∴2ω·－≤，解得ω≤，又对任意的实数a，f（x）在区间（a，a＋π）上不单调，∴f（x）的周期T＜2π，∴T＝＜2π，∴ω＞，∴＜ω≤，故选D.
5.　解析：由题意知ω＋＝＋2kπ（k∈Z），所以ω＝＋3k（k∈Z）　①.因为函数f（x）在区间（，π）上无最小值，所以（k'∈Z），解得6k'－≤ω≤2k'＋（k'∈Z）　②.又ω＞0，所以由①②可得，ω＝.
2 / 2(共24张PPT)
微突破　三角函数中的参数ω的求解问题
高中总复习·数学
　　在三角函数的图象与性质中，参数ω的求解是近几年高考的一个热点
内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点.本
微突破整理了以下几种参数的求法，以供参考.
利用三角函数的对称性求解
（1）已知函数f（x）＝ cos （ωx＋ ）（ω＞0）的一条对称轴为直
线x＝ ，一个对称中心为（ ，0），则ω有（　A　）
A. 最小值2 B. 最大值2
C. 最小值1 D. 最大值1
A
解析： 因为三角函数的对称中心到对称轴的最短距离是 ，所以对称
中心（ ，0）到对称轴x＝ 间的距离用周期可表示为 － ≥ .又因为
T＝ ，所以 ≤ ，所以ω≥2，所以ω有最小值2.故选A.
（2）已知函数f（x）＝ cos （ωx－ ）（ω＞0）的图象在区间[0，π]上
有且仅有3条对称轴，则ω的取值范围是（　C　）
A. （ ， ］ B. （ ， ］
C
解析： f（x）＝ cos （ωx－ ）（ω＞0），令ωx－ ＝kπ，
k∈Z，则x＝ ，k∈Z，函数f（x）的图象在区间[0，π]上有且
仅有3条对称轴，即0≤ ≤π有三个整数k符合，由0≤
≤π，可得0≤ ≤1，可得0≤1＋4k≤4ω，则k＝0，1，2，即1＋
4×2≤4ω＜1＋4×3，所以 ≤ω＜ .
C. ［ ， ） D. ［ ， ）
点评 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为
，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为 ，这就说明，我们可
根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值.
利用三角函数的单调性求解
（1）（2025·北京高三阶段练习）已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）
（ω＞0，｜φ｜≤ ），f（－ ）＝0，｜f（ ）｜＝1，且f（x）在
（ ， ）上单调，则ω的最大值为（　C　）
A. 7 B. 9
C. 11 D. 13
C
解析： 函数f（x）＝ sin （ωx＋φ），因为f（－ ）＝ sin （－ ω
＋φ）＝0，所以－ ω＋φ＝kπ，k∈Z　①，又｜f（ ）｜＝1，所以x＝
是函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）的一条对称轴，所以 ω＋φ＝k'π＋ ，
k'∈Z　②，由①②可得φ＝ π＋ ，k，k'∈Z，又因为｜φ｜≤ ，所
以φ＝± ，且ω＝－4k＋1，k∈Z或ω＝－4k－1，k∈Z，又函数f（x）
＝ sin （ωx＋φ）的最小正周期T＝ ，又f（x）在（ ， ）上单调，所
以 － ≤ ，所以0＜ω≤12，所以ω的最大值为11.故选C.
（2）（2025·邢台阶段练习）若函数f（x）＝1－tan（ωx－ ）（ω≠0）
在（0，1）上单调递增，则ω的取值范围是（　D　）
A. ［－ ，0） B. （－ ，－ ］
C. （0， ］ D. ［－ ，0）
D
解析： 由函数f（x）＝1＋tan（－ωx＋ ）在（0，1）上单调递
增，根据正切函数的性质，可得－ω＞0，当x∈（0，1）时，可得－ωx
＋ ∈（ ，－ω＋ ），则－ω＋ ≤ ，解得－ ≤ω＜0.故选D.
点评 根据函数f（x）在已知区间上的单调性，结合三角函数的单调区
间，确定函数f（x）的单调区间，建立不等式，即可求ω的取值范围.
利用三角函数的零点求解
（1）设函数f（x）＝ cos （ωx－ ）（ω＞0）在[0，π]上有且只有
4个零点，则ω的取值范围是（　B　）
A. ［ ， ） B. ［ ， ）
C. ［ ， ） D. ［ ， ）
解析： ∵x∈[0，π]，∴ωx－ ∈［－ ，ωπ－ ］，又∵f（x）在
[0，π]上有且仅有4个零点，∴ ≤ωπ－ ＜ ，解得 ≤ω＜ .故选B.
B
（2）（2023·新高考Ⅰ卷15题）已知函数f（x）＝ cos ωx－1（ω＞0）在区
间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 .
解析： 法一 由f（x）＝ cos ωx－1＝0，得 cos ωx＝1.设g（x）＝
cos ωx，x∈[0，2π].令t＝ωx，x∈[0，2π]，设g（t）＝ cos t，
t∈[0，2πω].因为方程g（x）＝1在[0，2π]上有且仅有3个根，所以
4π≤2πω＜6π，解得2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3）.
[2，3）　
法二 函数f（x）＝ cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即 cos
ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，根据函数y＝ cos x在[0，2π]上的图
象可知， cos x＝1在区间[0，2π]有2个根，所以若 cos ωx＝1在区间[0，
2π]有且仅有3个根，则函数y＝ cos ωx在[0，2π]内至少包含2个周期，但
小于3个周期，即 又ω＞0，所以2≤ω＜3，即ω的取值范围
是[2，3）.
点评 利用零点求参数ω的两个思路：①直接求出函数的零点，利用零点与
所给区间的关系求解；②利用函数的周期与所给区间的关系求解.
利用三角函数的最（极）值求解
（1）（2025·广州调研）已知函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞
0）在区间（0， ）内有最大值，但无最小值，则ω的取值范围是
（　A　）
A. （ ， ］ B. ［ ， ）
C. （ ， ］ D. ［ ， ）
A
解析： 因为ω＞0，所以当0＜x＜ 时，有 ＜ωx＋ ＜ ω＋ .因
为f（x）在区间（0， ）内有最大值，但无最小值，结合函数图象得 ＜
ω＋ ≤ ，解得 ＜ω≤ ，故选A.
（2）将函数f（x）＝ sin （2ωx＋φ）（ω＞0，φ∈[0，2π]）图象上每点
的横坐标变为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，函数g（x）的部分图
象如图所示，且g（x）在[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值（其中
最大值为1，最小值为－1），则ω的取值范围是（　C　）
C
A. （ ， ］ B. ［ ， ）
C. ［ ， ） D. （ ， ］
解析： 由已知得函数g（x）＝ sin （ωx＋φ），由g（x）图象过点
（0， ）以及点在图象上的位置，知 sin φ＝ ，φ＝ ，∵0≤x≤2π，
∴ ≤ωx＋ ≤2πω＋ ，由g（x）在[0，2π]上恰有一个最大值和一
个最小值，∴ ≤2πω＋ ＜ ，∴ ≤ω＜ .
点评 三角函数的极值点、最值点和其图象的对称轴说法是等价的，最值问
题可转化为不等式恒成立问题来解决.
1. （2024·高三全国开学考试）已知x＝ 和x＝ 都是函数f（x）＝ sin
（ωx＋φ）（ω＞0）的极值点，则ω的最小值是（　　）
A. 4 B. 2
解析： 　由题意可知：直线x＝ 和直线x＝ 都是函数f（x）的对称
轴，设函数f（x）的最小正周期为T，由题意可得： ＝ － ＝ ，
k∈N*，可得T＝ ，k∈N*，且ω＞0，则 ＝ ，k∈N*，解得ω＝
4k，k∈N*，所以ω的最小值是4.故选A.
√
C. 1 D.
2. （2025·柳州联考）已知函数f（x）＝2 sin （ωx＋ ）＋1（ω＞0）在
区间（0，π）上恰有两个零点，则实数ω的取值范围是（　　）
A. （ ， ） B. ［ ，3］
C. ［ ， ） D. （ ，3］
解析： 　∵0＜x＜π，ω＞0，∴ ＜ωx＋ ＜ ＋ωπ，函数f（x）在
（0，π）上恰好有两个零点，即 sin （ωx＋ ）＝－ 在（0，π）上有两
个解，∴ ＜ ＋ωπ≤ ，解得 ＜ω≤3.故选D.
√
3. （2024·广州阶段练习）若函数f（x）＝ sin ωx＋ cos ωx（ω＞0）
在区间[a，b]上单调递减，且f（a）＝1，f（b）＝－1，b－a＝ ，则
ω＝（　　）
A. B. 1
C. D. 2
√
解析： 由函数f（x）＝ sin ωx＋ cos ωx＝2 sin （ωx＋ ），因为f
（a）＝1，f（b）＝－1，所以 sin （ωa＋ ）＝ ， sin （ωb＋ ）＝
－ ，又因为f（x）在区间[a，b]上单调递减，所以ωa＋ ＝ ＋
2kπ，k∈Z，ωb＋ ＝ ＋2kπ，k∈Z，两式相减，可得ω（b－a）＝
，因为b－a＝ ，所以ω＝ .故选C.
4. （2025·福建九地市质量检测）已知函数f（x）＝2 sin ωx（ sin ωx
＋ cos ωx）（ω＞0）在（0， ）上单调递增，且对任意的实数a，f
（x）在（a，a＋π）上不单调，则ω的取值范围为（　　）
A. （1， ］ B. （1， ］
C. （ ， ］ D. （ ， ］
√
解析： f（x）＝2 sin ωx（ sin ωx＋ cos ωx）＝2 sin 2ωx＋2 sin
ωx cos ωx＝2 sin （2ωx－ ）＋ ，∵f（x）在（0， ）上单调递增，
∴2ω· － ≤ ，解得ω≤ ，又对任意的实数a，f（x）在区间（a，a
＋π）上不单调，∴f（x）的周期T＜2π，∴T＝ ＜2π，∴ω＞ ，∴
＜ω≤ ，故选D.
5. （2024·湖北七市州联合测试）已知函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞
0）满足f（x）≤f（ ）恒成立，且在区间（ ，π）上无最小值，则ω
＝ .
解析：由题意知 ω＋ ＝ ＋2kπ（k∈Z），所以ω＝ ＋3k（k∈Z）　
①.因为函数f（x）在区间（ ，π）上无最小值，所以
（k'∈Z），解得6k'－ ≤ω≤2k'＋ （k'∈Z）　②.
又ω＞0，所以由①②可得，ω＝ .
　
THANKS
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