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　三角形中的射影定理及应用
　　射影定理：在△ABC中，
不少高考原题用射影定理可以快速化简得出答案，可以将这一组关系式记住，而射影定理也比较好记，以a＝bcos C＋ccos B为例，左侧是边a，则右侧没有边a和角A，记住右侧的形式就可以了，两边两余弦交叉相乘相加.
提醒 大题不建议直接使用射影定理.
（1）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，则B＝（　　）
A.　　　　　　　　　　　　B.
C. D.
（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝　　　　；
（3）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝　　　　.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为（　　）
A.锐角三角形　　　　　B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B·（1＋2cos C）＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是（　　）
A.a＝2b B.b＝2a
C.A＝2B D.B＝2A
微突破　三角形中的射影定理及应用
【例】 （1）A　（2）　（3）2
解析：（1）法一 asin Bcos C＋csin Bcos A＝b sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B sin Acos C＋sin Ccos A＝sin（A＋C）＝sin（π－B）＝sin B＝，a＞b A＞B B为锐角 B＝.
法二 由射影定理，asin Bcos C＋csin Bcos A＝（acos C＋ccos A）sin B＝bsin B＝b，故sin B＝.又a＞b，所以A＞B，即B为锐角，故B＝.
（2）法一 2bcos B＝acos C＋ccos A 2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin（A＋C）＝sin（π－B）＝sin B，即2sin Bcos B＝sin B.因为0＜B＜π，所以sin B＞0，故cos B＝，即B＝.
法二 由射影定理，2bcos B＝acos C＋ccos A＝b cos B＝，结合0＜B＜π，知B＝.
（3）法一 bcos C＋ccos B＝2b sin Bcos C＋sin Ccos B＝2sin B sin（B＋C）＝2sin B sin（π－A）＝sin A＝2sin B a＝2b ＝2.
法二 由射影定理，得bcos C＋ccos B＝2b a＝2b ＝2.
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1.B　法一 等式中每一项都有齐次的边，故化为正弦值，得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，即sin（B＋C）＝sin（π－A）＝sin A＝sin2A，结合A∈（0，π）知sin A＞0，故sin A＝1，所以A＝，即△ABC为直角三角形.
法二 由射影定理，bcos C＋ccos B＝a＝asin A sin A＝1 A＝，即△ABC为直角三角形.
2.A　法一 sin B（1＋2cos C）＝sin B＋2sin Bcos C＝sin[π－（A＋C）]＋2sin Bcos C＝sin（A＋C）＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋cos Asin C＋2sin Bcos C.由题意sin Acos C＋cos Asin C＋2sin Bcos C＝2sin Acos C＋cos Asin C，故sin Acos C＝2sin Bcos C.因为△ABC为锐角三角形，所以cos C＞0，故2sin B＝sin A，即2b＝a.
法二 由正弦定理，sin B（1＋2cos C）＝2sin Acos C＋cos Asin C b（1＋2cos C）＝2acos C＋ccos A.由射影定理，2acos C＋ccos A＝acos C＋（acos C＋ccos A）＝acos C＋b，所以b（1＋2cos C）＝acos C＋b.即2bcos C＝acos C，因为△ABC为锐角三角形，所以cos C＞0，故2b＝a.
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微突破　三角形中的射影定理及应用
高中总复习·数学
　　射影定理：在△ABC中，
不少高考原题用射影定理可以快速化简得出答案，可以将这一组关系式记
住，而射影定理也比较好记，以a＝b cos C＋c cos B为例，左侧是边a，
则右侧没有边a和角A，记住右侧的形式就可以了，两边两余弦交叉相乘
相加.
提醒 大题不建议直接使用射影定理.
（1）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，a sin
B cos C＋c sin B cos A＝ b，且a＞b，则B＝（　A　）
A. B.
C. D.
A
解析： 法一 a sin B cos C＋c sin B cos A＝ b sin A sin B cos C＋ sin C
sin B cos A＝ sin B sin A cos C＋ sin C cos A＝ sin （A＋C）＝ sin （π－
B）＝ sin B＝ ，a＞b A＞B B为锐角 B＝ .
法二 由射影定理，a sin B cos C＋c sin B cos A＝（a cos C＋c cos A） sin B
＝b sin B＝ b，故 sin B＝ .又a＞b，所以A＞B，即B为锐角，故B＝
.
（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2b cos B＝a
cos C＋c cos A，则B＝ ；
解析： 法一 2b cos B＝a cos C＋c cos A 2 sin B cos B＝ sin A cos C＋
sin C cos A＝ sin （A＋C）＝ sin （π－B）＝ sin B，即2 sin B cos B＝ sin
B. 因为0＜B＜π，所以 sin B＞0，故 cos B＝ ，即B＝ .
法二 由射影定理，2b cos B＝a cos C＋c cos A＝b cos B＝ ，结合0＜B
＜π，知B＝ .
　
（3）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知b cos C
＋c cos B＝2b，则 ＝ .
解析： 法一 b cos C＋c cos B＝2b sin B cos C＋ sin C cos B＝2 sin B
sin （B＋C）＝2 sin B sin （π－A）＝ sin A＝2 sin B a＝2b ＝2.
法二 由射影定理，得b cos C＋c cos B＝2b a＝2b ＝2.
2　
1. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos
B＝a sin A，则△ABC的形状为（　　）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 不确定
√
解析： 　法一 等式中每一项都有齐次的边，故化为正弦值，得 sin B cos
C＋ sin C cos B＝ sin 2A，即 sin （B＋C）＝ sin （π－A）＝ sin A＝ sin
2A，结合A∈（0，π）知 sin A＞0，故 sin A＝1，所以A＝ ，即△ABC为
直角三角形.
法二 由射影定理，b cos C＋c cos B＝a＝a sin A sin A＝1 A＝ ，即
△ABC为直角三角形.
2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三
角形，且满足 sin B（1＋2 cos C）＝2 sin A cos C＋ cos A sin C，则下列等式
成立的是（　　）
A. a＝2b B. b＝2a
C. A＝2B D. B＝2A
√
解析： 　法一 sin B（1＋2 cos C）＝ sin B＋2 sin B cos C＝ sin [π－
（A＋C）]＋2 sin B cos C＝ sin （A＋C）＋2 sin B cos C＝ sin A cos C
＋ cos A sin C＋2 sin B cos C. 由题意 sin A cos C＋ cos A sin C＋2 sin B
cos C＝2 sin A cos C＋ cos A sin C，故 sin A cos C＝2 sin B cos C. 因为
△ABC为锐角三角形，所以 cos C＞0，故2 sin B＝ sin A，即2b＝a.
法二 由正弦定理， sin B（1＋2 cos C）＝2 sin A cos C＋ cos A sin C b
（1＋2 cos C）＝2a cos C＋c cos A. 由射影定理，2a cos C＋c cos A＝a
cos C＋（a cos C＋c cos A）＝a cos C＋b，所以b（1＋2 cos C）＝a
cos C＋b.即2b cos C＝a cos C，因为△ABC为锐角三角形，所以 cos C
＞0，故2b＝a.
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