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重难突破2　动态平衡和平衡中的临界极值问题
1.（2025·河北唐山调研）如图所示，木板A与物体B叠放在水平地面上，物体B与木板左端立柱间放置轻质弹簧，在水平外力F作用下，木板和物体B都静止不动，弹簧处于压缩状态。将外力F缓慢减小到零，物体始终不动，在此过程中（　　）
A.弹簧弹力逐渐减小
B.物体B所受摩擦力逐渐减小
C.物体B所受摩擦力始终向左
D.木板A所受地面的摩擦力逐渐减小
2.（2025·重庆模拟预测）图甲是古代某次测量弓力时的情境，图乙为其简化图，弓弦挂在固定点O上，弓下端挂一重物，已知弓弦可看成遵循胡克定律的弹性绳，重物质量增减时弓弦始终处于弹性限度内，不计弓弦的质量和O点处的摩擦，忽略弓身的形变，则（　　）
A.若减小重物的质量，OA与OB的夹角不变
B.若增加重物的质量，OA与OB的夹角减小
C.若减小重物的质量，弓弦的长度不变
D.若增加重物的质量，弓弦的长度变短
3.（2025·重庆沙坪坝三模）如图所示，小明将一小型条形磁铁对着原本用轻绳竖直悬挂的金属小球（未触地）作用，金属小球缓慢上升，轻绳偏离竖直方向较小角度。该过程中小磁铁和小球连线与竖直方向的夹角保持不变，则（　　）
A.轻绳拉力逐渐变大
B.轻绳拉力逐渐变小
C.磁铁与小球的距离不变
D.磁铁与小球的距离变大
4.（2025·海南三亚模拟预测）如图，物体A、B相对静止，共同沿粗糙斜面匀速下滑，若默认最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力的大小，则下列说法中正确的是（　　）
A.A与B之间可能没有摩擦力
B.B受到斜面的滑动摩擦力大于mBgsin θ
C.B与斜面的滑动摩擦因数μ＞tan θ
D.A与B的滑动摩擦因数一定等于B与斜面间的滑动摩擦因数
5.（2025·四川遂宁三模）如图所示，轻直杆BC的一端用铰链固定于竖直墙壁，另一端固定一个轻小滑轮C，轻细绳下端挂一重物，重物处于静止状态，细绳的AC段水平。忽略所有摩擦，若将细绳的端点A缓慢向上移动一小段距离，则下列说法正确的是（　　）
A.移动过程中直杆逆时针转动了一些
B.移动过程中直杆处于静止状态
C.移动过程中直杆的弹力不变
D.移动过程中直杆的弹力减小
6.（2025·江苏盐城中学模拟考试）如图所示，用硬铁丝弯成的光滑半圆环竖直放置，直径竖直，O为圆心，最高点B处固定一光滑轻质滑轮，质量为m的小环A穿在半圆环上。现用细线一端拴在A上，另一端跨过滑轮用力F拉动，使A缓慢向上移动。小环A及滑轮B大小不计，在移动过程中，关于拉力F以及半圆环对A的弹力N的说法正确的是（　　）
A.F逐渐增大
B.N的方向始终指向圆心O
C.N大小不变
D.N逐渐变小
7.（2025·四川巴中模拟预测）如图所示，表面粗糙的固定斜面顶端安有滑轮，两物块P、Q用轻绳连接并跨过滑轮（不计滑轮的质量和摩擦），P悬于空中，Q放在斜面上，均处于静止状态。当用沿斜面向上的恒力推Q时，P、Q仍静止不动，则（　　）
A.Q受到斜面的摩擦力一定变小
B.Q受到斜面的摩擦力不变
C.轻绳上拉力一定变小
D.轻绳上拉力一定不变
8.（2025·浙江丽水模拟）如图所示，OA为遵从胡克定律的弹性轻绳，其一端固定于天花板上的O点，另一端与静止在水平地面上的滑块A相连，滑块A与地面间的动摩擦因数恒定。当弹性轻绳处于竖直位置时，滑块A对地面有压力作用。现有一水平力F作用于A，使A向右缓慢地沿直线运动，弹性轻绳始终在弹性限度范围内，则在运动过程中（　　）
A.地面对A的支持力保持不变 B.地面对A的摩擦力保持不变
C.地面对A的摩擦力变小 D.地面对A的摩擦力增大
9.（2025·株洲一模）碗内部为半球形，半径为R，碗口水平。生米与碗内侧间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，静止于碗内的生米粒与碗口间的最小距离d为（　　）
A.R B.R
C.R D.R
10.（2025·四川南充三模）如图a，某人借助瑜伽球锻炼腿部力量，她曲膝静蹲，背部倚靠在瑜伽球上，瑜伽球紧靠竖直墙面，假设瑜伽球光滑且视为均匀球体，整体可简化成如图b。当人缓慢竖直站立的过程中，人的背部与水平面夹角逐渐增大，且θ＜，下列说法正确的是（　　）
A.墙面对球的力保持不变 B.人受到地面的摩擦力变大
C.地面对人的支持力变大 D.球对人的压力先增大后减小
11.（2025·河北省名校联盟模拟考试）如图所示，质量分别为m和2m的小球a、b之间用轻绳相连，小球a固定在轻杆一端，轻杆另一端固定在左侧竖直墙壁上且与竖直墙壁的夹角为30°。现改变作用在小球b上的外力F的大小和方向，但轻绳与竖直方向的夹角保持60°不变，则（　　）
A.轻绳上的拉力一定小于2mg
B.外力F的最小值为mg
C.轻杆对小球a的作用力的方向不变
D.轻杆对小球a的作用力的最小值为3mg
12.〔多选〕（2025·山东烟台期末）如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳左端固定在晾衣架上O点，右端系在a点，光滑小滑轮悬挂一衣服可在轻绳上滑动。先将轻绳右端沿竖直杆缓慢上移到b点，然后再沿水平杆缓慢移至c点，整个过程衣服始终没与地面和杆接触，设轻绳张力为F，滑轮左侧轻绳与竖直方向夹角为θ，则轻绳右端沿杆（　　）
A.由a→b的过程，F不变，θ不变，衣服的位置不变
B.由a→b的过程，F不变，θ不变，衣服的位置升高
C.由b→c的过程，F减小，θ变小，衣服的位置下降
D.由b→c的过程，F不变，θ不变，衣服的位置升高
重难突破2　动态平衡和平衡中的临界极值问题
1.D　因为物体B始终没有运动，所以弹簧的长度不变，弹簧弹力不变，选项A错误；弹簧弹力T与F的大小关系不确定，若T≥F，物体B所受摩擦力逐渐增大，若T＜F，物体B所受摩擦力先减小到零再反向增大，选项B、C错误；对整体受力分析可知木板A所受地面的摩擦力fA＝F，则fA逐渐减小，选项D正确。
2.B　设弓弦的张力为F，两侧弓弦与竖直方向夹角为θ，根据平衡条件有2Fcos θ＝mg，增加重物质量，θ减小，OA与OB的夹角减小，根据胡克定律可知，弓弦的长度变长。反之，减小重物质量，OA与OB的夹角增大，弓弦的长度变短。故选B。
3.B　金属球缓慢上升时，以球为研究对象进行受力分析，可知小球在竖直方向上偏一个较小角度时，轻绳拉力T逐渐减小，磁铁对小球作用力F逐渐增大，则二者距离逐渐变小。故选B。
4.B　A、B整体，受力情况如图甲所示，由共点力平衡条件得f＝（mA＋mB）gsin θ，FN＝（mA＋mB）gcos θ，滑动摩擦力为f＝μFN，由以上三式可以解得μ＝tan θ，故B正确，C错误；A物体，受力情况如图乙所示，由共点力平衡条件可得fA＝mAgsin θ，FNA＝mAgcos θ，滑动摩擦力为fmax＝μABFNA，又有fmax≥fA，联立以上关系式可解得μAB≥tan θ＝μ，故A、D错误。
　
5.D　由于杆处于动态平衡状态，滑轮C两侧的细绳拉力大小相等，且合力沿杆的方向向下，根据平行四边形定则可知，合力一定在滑轮C两侧的细绳形成的夹角的角平分线上，若将细绳的端点A缓慢向上移动一小段距离，若杆不动，则∠ACB＞∠BCG，则不能平衡，若要杆保持平衡，则两绳的合力一定还在角平分线上，则直杆BC应顺时针转动一定的角度，故A、B错误；移动过程中绳的弹力始终等于重物重力，根据F杆＝2FTcos＝2Gcos，由于∠ACG变大，所以移动过程中杆的弹力减小，故C错误，D正确。
6.C　对A进行受力分析如图所示，根据平衡条件和相似三角形知识可得＝＝，L为A、B间距离，使A缓慢向上移动时L减小，F逐渐减小，N的方向始终背向圆心O，N大小不变，只有选项C正确。
7.D　不施加外力时，对Q受力分析，其受重力、支持力和拉力，可能受静摩擦力，静摩擦力的方向可能沿斜面向上或向下，也可能不受摩擦力；若原静摩擦力沿斜面向上，施加外力时，静摩擦力可能减小但方向不变，也可能等于0或者反向大小不定；若原静摩擦力沿斜面向下，施加外力时，静摩擦力变大；若原来不受静摩擦力时，施加外力时，Q受到的静摩擦力沿斜面向下，故A、B错误；对P受力分析，其受重力和轻绳拉力，处于静止状态，二力平衡，则轻绳上拉力等于P的重力，则轻绳上拉力一定不变，故C错误，D正确。
8.C　弹性轻绳处于竖直方向上时，设其伸长量为x1，劲度系数为k，则受力分析如图甲所示。根据平衡条件得T1＋N1＝G，T1＝kx1。向右拉至某一位置时，受力分析如图乙所示，其中θ为此时弹性轻绳与水平面的夹角，根据正交分解和力的平衡条件可得T2sin θ＋N2＝G，T2cos θ＋f＝F，T2＝kx2。设弹性轻绳自然长度为l，则l＋x1＝（l＋x2）·sin θ，所以有N2＝G－kx2sin θ＜G－kx1＝N1，即地面对A的支持力减小，又f＝μN2，则地面对A间的摩擦力变小。所以C正确。
9.D　设生米粒的质量为m，当米粒受到碗的摩擦力达到最大时，米粒距碗口的距离最小，设支持力与水平方向的夹角为θ，以生米粒为研究对象，受力分析如图所示，根据平衡条件有mgcos θ＝fm，fm＝μFN，FN＝mgsin θ，联立解得μ＝，而根据几何关系有cos θ＝，sin θ＝，联立解得d＝R，故选D。
10.B　对瑜伽球受力分析，如图甲，由平衡条件可知N1＝mgtan θ，N2＝，人缓慢竖直站立的过程中，人的背部与水平面夹角逐渐变大，则墙面对球的力N1增大。人对球的支持力增大。根据牛顿第三定律可知球对人的压力增大，故A、D错误；对整体受力分析，如图乙，由平衡条件，可知FN＝g，f＝N1，人受到地面的摩擦力变大，地面对人的支持力不变，故B正确，C错误。
　
11.B　对小球b进行受力分析如图甲所示，并作出力的矢量三角形，如图乙所示，当改变作用在小球b上的外力F的大小和方向时，由图乙知轻绳上的拉力可能小于2mg，可能等于2mg，也可能大于2mg，所以选项A错误；外力F的最小值为Fmin＝2mgsin 60°＝mg，选项B正确；由于轻杆是“死杆”，所以轻杆对小球a的作用力的方向可以变化，选项C错误；当轻绳的拉力为零时，轻杆对小球a的作用力最小，最小值为mg，选项D错误。
12.BC　根据几何关系可知两段绳子间的夹角为2θ，由平衡条件可知2Fcos θ＝mg，所以F＝，设绳子总长为L，两杆间距离为s，由几何关系L1sin θ＋L2sin θ＝s，得sin θ＝＝，由a→b的过程，L、s都不变，θ不变，绳子张力F也不变，由几何关系可知衣服的位置升高，B正确，A错误；由b→c的过程，s变小，θ变小，cos θ变大，F变小，由几何关系可知衣服的位置下降，C正确，D错误。
4 / 4　动态平衡和平衡中的临界极值问题
突破点一　动态平衡问题
1.基本思路
化“动”为“静”，“静”中求“动”。
2.分析动态平衡问题的常用方法
（1）解析法
①列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式。
②根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况。
（2）图解法
①根据已知量的变化情况，画出平行四边形边、角的变化。
②确定未知量大小、方向的变化。
（3）相似三角形法
①根据已知条件画出两个不同情况对应的力的三角形和空间几何三角形，确定对应边，利用三角形相似知识列出比例式。
②确定未知量大小的变化情况。
（2025·陕西西安期末）如图甲所示，某手机店用放在水平面上的折叠支架来展示手机，图乙为示意图，背部支撑面与底部支撑面垂直，不计背部支撑面与手机间的摩擦，减小背部支撑面与水平面的夹角θ，则（　　）
A.支架底座与水平面间摩擦力增大
B.手机对底部支撑面的压力增大
C.手机对支架的作用力增大
D.手机重力和底部支撑面对手机作用力的合力增大
尝试解答
（2025·安徽合肥期末）如图所示，用OA、OB两根轻绳将花盆悬于两竖直墙之间，开始时OB绳水平。现保持O点位置不变，改变OB绳长使绳右端由B点缓慢上移至B'点，此时OB'与OA之间的夹角θ＜90°。设此过程中OA、OB绳的拉力分别为FOA、FOB，则下列说法中正确的是（　　）
A.FOA一直减小
B.FOA一直增大
C.FOB一直减小
D.FOB先增大，后减小
尝试解答
（2025·辽宁辽阳期末）某建筑工地通过如图所示的装置将工件运到楼顶，工人通过细绳搭在光滑定滑轮上将带铰链的轻杆缓慢上拉，从而取得工件。在轻杆被缓慢上拉到取到工件前的过程中（　　）
A.轻杆所受压力大小始终不变
B.轻杆所受压力先减小，后增大
C.工人手上所受的拉力始终不变
D.工人手上所受的拉力增大
尝试解答
突破点二　平衡中的临界与极值问题
1.临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，该类问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。临界常见的种类：
（1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。
（2）绳子由松弛到绷紧，拉力F＝0。
（3）恰好离开接触面，支持力N＝0。
2.极值问题
平衡问题的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
3.解决极值问题和临界问题的方法
（1）物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
（2）数学方法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系（或画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）。但利用数学方法求出极值后，一定要依据物理原理对该值的合理性及物理意义进行讨论或说明。
（2025·贵州贵阳模拟）如图所示，三根细轻绳系于O点，其中OA绳另一端固定于A点，OB绳的另一端与放在粗糙水平地面上质量为60 kg的物体乙相连，乙与水平地面的动摩擦因数为0.2，OC绳的另一端悬挂物体甲，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，OB绳水平。欲使乙物体静止，则甲物体的质量最大为（已知重力加速度取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8；最大静摩擦力等于滑动摩擦力）（　　）
A.24 kg B.20 kg
C.16 kg D.12 kg
尝试解答
（2025·山东潍坊模拟预测）小明同学喜欢体育运动，他拖拉重物时拉力最大为1 000 N，某次训练中，体育老师将不同质量的重物置于倾角为15°的斜面上，让他拉动重物沿斜面向上运动， 重物与斜面间的动摩擦因数为，则他能拉动的重物质量最大为（　　）
A.100 kg B.100 kg
C.200 kg D.200 kg
尝试解答
重难突破2　动态平衡和平衡中的临界极值问题
【着眼“四翼”·探考点】
突破点一
【例1】 D　以整体为研究对象，整体受到重力与地面的支持力，方向均在竖直方向上，水平方向没有运动趋势，可知支架底座与水平面间摩擦力为零，故A错误；对手机受力分析，则底部支撑面对手机的支持力为N＝mgsin θ，根据牛顿第三定律知手机对底部支撑面的压力N'＝N，减小背部支撑面与水平面的夹角θ，手机对底部支撑面的压力减小，故B错误；对手机受力分析，根据平衡条件可知，手机对支架的作用力大小始终等于手机的重力，故C错误；根据平衡条件可知，手机重力和底部支撑面对手机作用力的合力等于背部支撑面对手机的支持力，背部支撑面对手机的支持力N1＝mgcos θ，减小背部支撑面与水平面的夹角θ，背部支撑面对手机的支持力增大，故D正确。
【例2】 A　以结点O为研究对象，其受重力G、绳OA的拉力FOA和绳BO的拉力FOB，如图所示，根据平衡条件知，两根绳子的拉力的合力与重力大小相等、方向相反，作出轻绳OB在不同位置时力的合成图，由图看出，FOA一直减小，FOB先减小，后增大，当θ＝90°时，FOB最小，故A正确。
【例3】 A　如图所示，对结点C受力分析，缓慢上拉，三个力平衡，三个力组成首尾相接的闭合三角形，力三角形与几何三角形ABC相似，根据相似三角形对应边比值相等，有＝＝，因上拉过程mg、AB不变，因为AC减小，则F减小，即工人手上所受的拉力减小；BC不变，则N不变，即轻杆所受压力大小始终不变，故选A。
突破点二
【例4】 C　根据题意可知，甲对绳子的拉力大小等于甲的重力，对结点O，受力分析如图所示，则当乙与地面的静摩擦力达到最大时，物体甲的质量最大，有TB＝μm乙g＝m甲gtan 37°，解得物块质量最大为m甲＝16 kg，故A、B、D错误，C正确。
【例5】 C　设拉力F与斜面夹角为θ，则他恰好拉动重物时有Fcos θ＝mgsin 15°＋μ，整理可得F＝＝＝，故当sin＝1时，m最大，则他能拉动的重物质量最大为m＝＝200 kg，故选C。
3 / 3(共48张PPT)
重难突破2 动态平衡和平衡中的临界极值问题
高中总复习·物理
目 录
01
着眼“四翼”·探考点
02
培养“思维”·重落实
题型 规律 方法
着眼“四翼”·探考点
突破点一　动态平衡问题
1. 基本思路
化“动”为“静”，“静”中求“动”。
2. 分析动态平衡问题的常用方法
（1）解析法
①列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式。
②根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况。
（2）图解法
①根据已知量的变化情况，画出平行四边形边、角的变化。
②确定未知量大小、方向的变化。
（3）相似三角形法
①根据已知条件画出两个不同情况对应的力的三角形和空间几何三角形，
确定对应边，利用三角形相似知识列出比例式。
②确定未知量大小的变化情况。
（2025·陕西西安期末）如图甲所示，某手机店用放在水平面上的折
叠支架来展示手机，图乙为示意图，背部支撑面与底部支撑面垂直，不计
背部支撑面与手机间的摩擦，减小背部支撑面与水平面的夹角θ，则（　）
A. 支架底座与水平面间摩擦力增大
B. 手机对底部支撑面的压力增大
C. 手机对支架的作用力增大
D. 手机重力和底部支撑面对手机作用力的合力增大
√
解析：以整体为研究对象，整体受到重力与地面的支持力，方向均在竖直
方向上，水平方向没有运动趋势，可知支架底座与水平面间摩擦力为零，
故A错误；对手机受力分析，则底部支撑面对手机的支持力为N＝mgsin
θ，根据牛顿第三定律知手机对底部支撑面的压力N'＝N，减小背部支撑面
与水平面的夹角θ，手机对底部支撑面的压力减小，故B错误；对手机受力
分析，根据平衡条件可知，手机对支架的作用力大小始终等于手机的重
力，故C错误；根据平衡条件可知，手机重力和底部支撑面对手机作用力
的合力等于背部支撑面对手机的支持力，背部支撑面对手机的支持力N1＝
mgcos θ，减小背部支撑面与水平面的夹角θ，背部支撑面对手机的支持力
增大，故D正确。
（2025·安徽合肥期末）如图所示，用OA、OB两根轻绳将花盆悬于两
竖直墙之间，开始时OB绳水平。现保持O点位置不变，改变OB绳长使绳右
端由B点缓慢上移至B'点，此时OB'与OA之间的夹角θ＜90°。设此过程中
OA、OB绳的拉力分别为FOA、FOB，则下列说法中正确的是（　　）
A. FOA一直减小 B. FOA一直增大
C. FOB一直减小 D. FOB先增大，后减小
√
解析：以结点O为研究对象，其受重力G、绳OA的拉力
FOA和绳BO的拉力FOB，如图所示，根据平衡条件知，两
根绳子的拉力的合力与重力大小相等、方向相反，作出
轻绳OB在不同位置时力的合成图，由图看出，FOA一直
减小，FOB先减小，后增大，当θ＝90°时，FOB最小，故A正确。
（2025·辽宁辽阳期末）某建筑工地通过如图所示的装置将工件运到
楼顶，工人通过细绳搭在光滑定滑轮上将带铰链的轻杆缓慢上拉，从而取
得工件。在轻杆被缓慢上拉到取到工件前的过程中（　　）
A. 轻杆所受压力大小始终不变
B. 轻杆所受压力先减小，后增大
C. 工人手上所受的拉力始终不变
D. 工人手上所受的拉力增大
√
解析：如图所示，对结点C受力分析，缓慢上拉，三个
力平衡，三个力组成首尾相接的闭合三角形，力三角形
与几何三角形ABC相似，根据相似三角形对应边比值相
等，有＝＝，因上拉过程mg、AB不变，因为AC
减小，则F减小，即工人手上所受的拉力减小；BC不变，则N不变，即轻杆所受压力大小始终不变，故选A。
如图所示，竖直墙壁O处用光滑铰链铰接一轻质杆的一端，杆的另一端固
定小球（可以看成质点），轻绳的一端悬于P点，另一端与小球相连。已
知轻质杆长度为R，轻绳的长度为L，且R＜L＜2R。A、B是墙上两点，且
OA＝OB＝R。现将轻绳的上端点P沿墙壁缓慢下移至A点，此过程中轻绳
对小球的拉力F1及轻质杆对小球的支持力F2的大小变化情况为（　　）
A. F1和F2均增大
B. F1保持不变，F2先增大后减小
C. F1和F2均减小
D. F1先减小后增大，F2保持不变
√
解析： 　以小球为研究对象，小球受重力、轻绳的拉力和轻杆
的支持力，由于小球处于平衡状态，则三个力可以构成矢量三
角形，如图所示。根据平衡条件，该力的矢量三角形与几何三
角形POC相似，则有＝＝，解得F1＝G，F2＝G，当P
点下移时，PO减小，L、R不变，故F1增大，F2增大，故选A。
突破点二　平衡中的临界与极值问题
1. 临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平
衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，该类问题的描述中常用“刚
好”“刚能”“恰好”等语言叙述。临界常见的种类：
（1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。
（2）绳子由松弛到绷紧，拉力F＝0。
（3）恰好离开接触面，支持力N＝0。
2. 极值问题
平衡问题的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
3. 解决极值问题和临界问题的方法
（1）物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对
物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与
最小值。
（2）数学方法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之
间的函数关系（或画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极
值、公式极值、三角函数极值）。但利用数学方法求出极值后，一定要依
据物理原理对该值的合理性及物理意义进行讨论或说明。
（2025·贵州贵阳模拟）如图所示，三根细轻绳系于O点，其中OA绳
另一端固定于A点，OB绳的另一端与放在粗糙水平地面上质量为60 kg的物
体乙相连，乙与水平地面的动摩擦因数为0.2，OC绳的另一端悬挂物体
甲，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，OB绳水平。欲使乙物体静止，则
甲物体的质量最大为（已知重力加速度取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8；最大静摩擦力等于滑动摩擦力）（　　）
A. 24 kg
B. 20 kg
C. 16 kg
D. 12 kg
√
解析：根据题意可知，甲对绳子的拉力大小等于甲的重
力，对结点O，受力分析如图所示，则当乙与地面的静
摩擦力达到最大时，物体甲的质量最大，有TB＝μm乙g＝
m甲gtan 37°，解得物块质量最大为m甲＝16 kg，故A、
B、D错误，C正确。
（2025·山东潍坊模拟预测）小明同学喜欢体育运动，他拖拉重物时
拉力最大为1 000 N，某次训练中，体育老师将不同质量的重物置于倾角
为15°的斜面上，让他拉动重物沿斜面向上运动， 重物与斜面间的动摩擦
因数为，则他能拉动的重物质量最大为（　　）
A. 100 kg B. 100 kg
C. 200 kg D. 200 kg
√
解析：设拉力F与斜面夹角为θ，则他恰好拉动重物时有Fcos θ＝mgsin 15°
＋μ，整理可得F＝＝
＝，故当sin＝1时，m最大，则他能拉动的
重物质量最大为m＝＝200 kg，故选C。
如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能
沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F、方向水平向右的恒力，物体可
沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大
并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑
行。求：
（1）物体与斜面间的动摩擦因数；
答案： 　
解析： 如图甲所示，未施加力F时，对物体受力分析
由平衡条件得mgsin 30°＝μmgcos 30°
解得μ＝tan 30°＝。
（2）这一临界角θ0的大小。
答案： 60°
解析： 设斜面倾角为α时，物体无法向上滑行，受力情况如图乙所
示，由平衡条件得
Fcos α＝mgsin α＋Ff'
FN'＝mgcos α＋Fsin α，Ff'≤μFN'
解得F≤
当cos α－μsin α＝0，即tan α＝时
不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，此时，临界角θ0＝α
＝60°。
培养“思维”·重落实
夯基 提能 升华
1. （2025·河北唐山调研）如图所示，木板A与物体B叠放在水平地面上，
物体B与木板左端立柱间放置轻质弹簧，在水平外力F作用下，木板和物体
B都静止不动，弹簧处于压缩状态。将外力F缓慢减小到零，物体始终不
动，在此过程中（　　）
A. 弹簧弹力逐渐减小
B. 物体B所受摩擦力逐渐减小
C. 物体B所受摩擦力始终向左
D. 木板A所受地面的摩擦力逐渐减小
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解析： 　因为物体B始终没有运动，所以弹簧的长度不变，弹簧弹力不
变，选项A错误；弹簧弹力T与F的大小关系不确定，若T≥F，物体B所受
摩擦力逐渐增大，若T＜F，物体B所受摩擦力先减小到零再反向增大，选
项B、C错误；对整体受力分析可知木板A所受地面的摩擦力fA＝F，则fA逐
渐减小，选项D正确。
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2. （2025·重庆模拟预测）图甲是古代某
次测量弓力时的情境，图乙为其简化图，
弓弦挂在固定点O上，弓下端挂一重物，
已知弓弦可看成遵循胡克定律的弹性绳，重物质量增减时弓弦始终处于弹性限度内，不计弓弦的质量和O点处的摩擦，忽略弓身的形变，则（　　）
A. 若减小重物的质量，OA与OB的夹角不变
B. 若增加重物的质量，OA与OB的夹角减小
C. 若减小重物的质量，弓弦的长度不变
D. 若增加重物的质量，弓弦的长度变短
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解析： 　设弓弦的张力为F，两侧弓弦与竖直方向夹角为θ，根据平衡条
件有2Fcos θ＝mg，增加重物质量，θ减小，OA与OB的夹角减小，根据胡
克定律可知，弓弦的长度变长。反之，减小重物质量，OA与OB的夹角增
大，弓弦的长度变短。故选B。
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3. （2025·重庆沙坪坝三模）如图所示，小明将一小型条形磁铁对着原本
用轻绳竖直悬挂的金属小球（未触地）作用，金属小球缓慢上升，轻绳偏
离竖直方向较小角度。该过程中小磁铁和小球连线与竖直方向的夹角保持
不变，则（　　）
A. 轻绳拉力逐渐变大
B. 轻绳拉力逐渐变小
C. 磁铁与小球的距离不变
D. 磁铁与小球的距离变大
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解析： 　金属球缓慢上升时，以球为研究对象进行受力分析，可知小球
在竖直方向上偏一个较小角度时，轻绳拉力T逐渐减小，磁铁对小球作用
力F逐渐增大，则二者距离逐渐变小。故选B。
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4. （2025·海南三亚模拟预测）如图，物体A、B相对静止，共同沿粗糙斜
面匀速下滑，若默认最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力的大小，则下列说
法中正确的是（　　）
A. A与B之间可能没有摩擦力
B. B受到斜面的滑动摩擦力大于mBgsin θ
C. B与斜面的滑动摩擦因数μ＞tan θ
D. A与B的滑动摩擦因数一定等于B与斜面间的滑动摩擦因数
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解析： 　A、B整体，受力情况如图甲所示，由共点力平衡条件得f＝（mA
＋mB）gsin θ，FN＝（mA＋mB）gcos θ，滑动摩擦力为f＝μFN，由以上三式
可以解得μ＝tan θ，故B正确，C错误；A物体，受力情况如图乙所示，由共
点力平衡条件可得fA＝mAgsin θ，FNA＝mAgcos θ，滑动摩擦力为fmax＝
μABFNA，又有fmax≥fA，联立以上关系式可解得μAB≥tan θ＝μ，故A、D错误。
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5. （2025·四川遂宁三模）如图所示，轻直杆BC的一端用铰链固定于竖直
墙壁，另一端固定一个轻小滑轮C，轻细绳下端挂一重物，重物处于静止
状态，细绳的AC段水平。忽略所有摩擦，若将细绳的端点A缓慢向上移动
一小段距离，则下列说法正确的是（　　）
A. 移动过程中直杆逆时针转动了一些
B. 移动过程中直杆处于静止状态
C. 移动过程中直杆的弹力不变
D. 移动过程中直杆的弹力减小
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解析： 　由于杆处于动态平衡状态，滑轮C两侧的细绳拉力大小相等，且
合力沿杆的方向向下，根据平行四边形定则可知，合力一定在滑轮C两侧
的细绳形成的夹角的角平分线上，若将细绳的端点A缓慢向上移动一小段
距离，若杆不动，则∠ACB＞∠BCG，则不能平衡，若要杆保持平衡，则
两绳的合力一定还在角平分线上，则直杆BC应顺时针转动一定的角度，故
A、B错误；移动过程中绳的弹力始终等于重物重力，根据F杆＝2FTcos
＝2Gcos，由于∠ACG变大，所以移动过程中杆的弹力减小，故C错
误，D正确。
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6. （2025·江苏盐城中学模拟考试）如图所示，用硬铁丝弯成的光滑半圆
环竖直放置，直径竖直，O为圆心，最高点B处固定一光滑轻质滑轮，质量
为m的小环A穿在半圆环上。现用细线一端拴在A上，另一端跨过滑轮用力
F拉动，使A缓慢向上移动。小环A及滑轮B大小不计，在移动过程中，关于
拉力F以及半圆环对A的弹力N的说法正确的是（　　）
A. F逐渐增大 B. N的方向始终指向圆心O
C. N大小不变 D. N逐渐变小
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解析： 　对A进行受力分析如图所示，根据平衡条件和相
似三角形知识可得＝＝，L为A、B间距离，使A缓慢向
上移动时L减小，F逐渐减小，N的方向始终背向圆心O，N大
小不变，只有选项C正确。
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7. （2025·四川巴中模拟预测）如图所示，表面粗糙的固定斜面顶端安有
滑轮，两物块P、Q用轻绳连接并跨过滑轮（不计滑轮的质量和摩擦），P
悬于空中，Q放在斜面上，均处于静止状态。当用沿斜面向上的恒力推Q
时，P、Q仍静止不动，则（　　）
A. Q受到斜面的摩擦力一定变小
B. Q受到斜面的摩擦力不变
C. 轻绳上拉力一定变小
D. 轻绳上拉力一定不变
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解析： 　不施加外力时，对Q受力分析，其受重力、支持力和拉力，可能
受静摩擦力，静摩擦力的方向可能沿斜面向上或向下，也可能不受摩擦
力；若原静摩擦力沿斜面向上，施加外力时，静摩擦力可能减小但方向不
变，也可能等于0或者反向大小不定；若原静摩擦力沿斜面向下，施加外
力时，静摩擦力变大；若原来不受静摩擦力时，施加外力时，Q受到的静
摩擦力沿斜面向下，故A、B错误；对P受力分析，其受重力和轻绳拉力，
处于静止状态，二力平衡，则轻绳上拉力等于P的重力，则轻绳上拉力一
定不变，故C错误，D正确。
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8. （2025·浙江丽水模拟）如图所示，OA为遵从胡克定律的弹性轻绳，其
一端固定于天花板上的O点，另一端与静止在水平地面上的滑块A相连，滑
块A与地面间的动摩擦因数恒定。当弹性轻绳处于竖直位置时，滑块A对地
面有压力作用。现有一水平力F作用于A，使A向右缓慢地沿直线运动，弹
性轻绳始终在弹性限度范围内，则在运动过程中（　　）
A. 地面对A的支持力保持不变
B. 地面对A的摩擦力保持不变
C. 地面对A的摩擦力变小
D. 地面对A的摩擦力增大
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解析： 　弹性轻绳处于竖直方向上时，设其伸长量
为x1，劲度系数为k，则受力分析如图甲所示。根据平
衡条件得T1＋N1＝G，T1＝kx1。向右拉至某一位置
时，受力分析如图乙所示，其中θ为此时弹性轻绳与
水平面的夹角，根据正交分解和力的平衡条件可得
T2sin θ＋N2＝G，T2cos θ＋f＝F，T2＝kx2。设弹性轻绳自然长度为l，则l＋x1＝（l＋x2）·sin θ，所以有N2＝G－kx2sin θ＜G－kx1＝N1，即地面对A的支持力减小，又f＝μN2，则地面对A间的摩擦力变小。所以C正确。
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9. （2025·株洲一模）碗内部为半球形，半径为R，碗口水平。生米与碗内
侧间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，静止于碗内的生
米粒与碗口间的最小距离d为（　　）
A. R B. R
C. R D. R
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解析： 　设生米粒的质量为m，当米粒受到碗的摩擦力
达到最大时，米粒距碗口的距离最小，设支持力与水平方
向的夹角为θ，以生米粒为研究对象，受力分析如图所
示，根据平衡条件有mgcos θ＝fm，fm＝μFN，FN＝mgsin θ，联立解得μ＝，而根据几何关系有cos θ＝，sin θ＝，联立解得d＝R，故选D。
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10. （2025·四川南充三模）如图a，某人借助瑜伽球锻炼腿部力量，她曲
膝静蹲，背部倚靠在瑜伽球上，瑜伽球紧靠竖直墙面，假设瑜伽球光滑且
视为均匀球体，整体可简化成如图b。当人缓慢竖直站立的过程中，人的
背部与水平面夹角逐渐增大，且θ＜，下列说法正确的是（　　）
A. 墙面对球的力保持不变
B. 人受到地面的摩擦力变大
C. 地面对人的支持力变大
D. 球对人的压力先增大后减小
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解析： 　对瑜伽球受力分析，如图甲，由平衡条件可知N1＝mgtan θ，N2
＝，人缓慢竖直站立的过程中，人的背部与水平面夹角逐渐变大，则
墙面对球的力N1增大。人对球的支持力增大。根据牛顿第三定律可知球对
人的压力增大，故A、D错误；对整体受力分析，如图乙，由平衡条件，可
知FN＝g，f＝N1，人受到地面的摩擦力变大，地面对人的支持力不
变，故B正确，C错误。
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11. （2025·河北省名校联盟模拟考试）如图所示，质量分别为m和2m的小
球a、b之间用轻绳相连，小球a固定在轻杆一端，轻杆另一端固定在左侧
竖直墙壁上且与竖直墙壁的夹角为30°。现改变作用在小球b上的外力F的
大小和方向，但轻绳与竖直方向的夹角保持60°不变，则（　　）
A. 轻绳上的拉力一定小于2mg
B. 外力F的最小值为mg
C. 轻杆对小球a的作用力的方向不变
D. 轻杆对小球a的作用力的最小值为3mg
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解析： 　对小球b进行受力分析如图
甲所示，并作出力的矢量三角形，如
图乙所示，当改变作用在小球b上的外
力F的大小和方向时，由图乙知轻绳
上的拉力可能小于2mg，可能等于
2mg，也可能大于2mg，所以选项A错误；外力F的最小值为Fmin＝2mgsin
60°＝mg，选项B正确；由于轻杆是“死杆”，所以轻杆对小球a的作用力的方向可以变化，选项C错误；当轻绳的拉力为零时，轻杆对小球a的作用力最小，最小值为mg，选项D错误。
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12. 〔多选〕（2025·山东烟台期末）如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳左
端固定在晾衣架上O点，右端系在a点，光滑小滑轮悬挂一衣服可在轻绳上
滑动。先将轻绳右端沿竖直杆缓慢上移到b点，然后再沿水平杆缓慢移至c
点，整个过程衣服始终没与地面和杆接触，设轻绳张力为F，滑轮左侧轻
绳与竖直方向夹角为θ，则轻绳右端沿杆（　　）
A. 由a→b的过程，F不变，θ不变，衣服的位置不变
B. 由a→b的过程，F不变，θ不变，衣服的位置升高
C. 由b→c的过程，F减小，θ变小，衣服的位置下降
D. 由b→c的过程，F不变，θ不变，衣服的位置升高
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解析： 　根据几何关系可知两段绳子间的夹角为2θ，由平衡条件可知
2Fcos θ＝mg，所以F＝，设绳子总长为L，两杆间距离为s，由几何关
系L1sin θ＋L2sin θ＝s，得sin θ＝＝，由a→b的过程，L、s都不变，θ
不变，绳子张力F也不变，由几何关系可知衣服的位置升高，B正确，A错
误；由b→c的过程，s变小，θ变小，cos θ变大，F变小，由几何关系可知
衣服的位置下降，C正确，D错误。
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