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第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
1.（2025·广西南宁期中）如图所示，虚线是跳水运动员在某次训练中，运动员离开跳台后其在空中的轨迹示意图。A为曲线轨迹起始点，B为轨迹最高点，C点的切线沿竖直方向，D点是即将入水点。关于运动员在空中的运动，下述正确的是（　　）
A.在A处速度和加速度都沿竖直方向
B.在B处加速度竖直向下，速度沿水平方向
C.在C处速度和加速度都沿水平方向
D.在D处速度向下，加速度向上
2.（2025·陕西宝鸡二模）体育课上两位同学在室内羽毛球场进行羽毛球比赛，羽毛球在空中上升的运动轨迹如图中虚线所示，羽毛球加速度方向示意图可能正确的是（　　）
3.（2025·高邮期初学情调研）已知河水流速稳定为2 m/s，汽艇在静水中的速度恒为1 m/s。图中实线为河岸，虚线为汽艇从河岸M驶向对岸N的实际航线。若以最短的航线渡河，下列情形可能正确的是（　　）
4.〔多选〕（2025·江西模拟预测）如图，光滑水平面上的物体受五个沿水平面的恒力F1、F2、F3、F4、F5作用，以速率v0沿水平面做匀速直线运动，速度方向与恒力F5的方向相反，与F1的方向垂直。若撤去其中某个力（其他力不变），则在以后的运动中，下列说法正确的是（　　）
A.若撤去的是F1，则物体可能做匀速圆周运动
B.若撤去的是F2，则经过一段时间后物体的速率可能再次变为v0
C.若撤去的是F4，则经过一段时间后物体的速率可能再次变为v0
D.无论撤去这五个力中的哪一个，物体都做匀变速运动
5.（2025·海南海口一模）一条两岸平直的宽度为d的小河如图所示，河水流速恒定。一人驾驶小船从上游渡口A前往下游渡口B。已知全程船在静水中的速度大小恒定，船在静水中的速度大小与河水流速大小之比为∶1，行驶中船头始终垂直于河岸，则A、B两渡口沿河岸方向的距离为（　　）
A.d B.d
C.d D.d
6.〔多选〕如图所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为d，M、N分别是甲、乙两船的出发点，两船头与河岸均成α角，甲船船头恰好对准N点的正对岸P点，经过一段时间乙船恰好到达P点，如果划船速度均为v0，且两船相遇不影响各自的航行。下列说法正确的是（　　）
A.水流方向向右，大小为v0cos α
B.甲船沿岸方向水平位移为
C.甲、乙两船不会在NP上某点相遇
D.两船同时到达河对岸，渡河时间均为
7.〔多选〕如图所示，物体P套在光滑的细杆上，P和Q通过轻质细绳连接并跨过定滑轮，一水平力F拉着水平面上的物体Q向左运动。在某一小段时间内，P沿细杆匀速向上运动通过AB段的过程中，下列说法正确的是（　　）
A.Q做加速直线运动 B.Q做减速直线运动
C.细绳对P的拉力在增大 D.杆对P的弹力在减小
8.（2025·南京师大附中）某质量m＝0.1 kg的质点在x轴正方向做初速度v0＝4 m/s的匀速直线运动，在y轴方向的速度—时间图像如图所示，则下列说法中正确的是（　　）
A.该质点做匀变速直线运动
B.该质点在4 s末的位移大小为8 m
C.该质点在4 s末的速度大小为4 m/s
D.该质点所受合外力大小恒为0.2 N
9.如图所示，一条小船从码头A过河，小船在静水中的速度为v，船头指向始终与河岸垂直（沿AA'方向）。当水流速度为v1时，小船运动到河对岸的码头B靠岸，AB与河岸的夹角为α＝60°。当水流速度为v2时，小船运动到河对岸的码头C靠岸，AC与河岸的夹角为β＝30°。下列说法正确的是（　　）
A.小船沿AB、AC过河的时间相等
B.小船沿AC过河的时间更长
C.v1∶v2＝1∶2
D.当水流速度为v1时，要使小船到达码头A'，船头应指向河的上游且与河岸夹角为60°
10.（2025·河南开封阶段练习）河水的流速随位置到一指定河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的加速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则以下判断正确的是（　　）
A.船在河水中做匀变速运动
B.船渡河的最短时间是10 s
C.船在行驶过程中，船头始终与航线垂直
D.船在刚登陆时的速度是64 m/s
11.如图所示，在风洞实验室中，从A点以水平速度v0向左抛出一个质量为m的小球（可视为质点），小球抛出后所受空气作用力沿水平方向，其大小为F，经过一段时间小球运动到A点正下方的B点处，重力加速度为g，在此过程中，求：
（1）小球离A、B所在直线的最远距离；
（2）A、B两点间的距离；
（3）小球到达B点时的速率vB。
12.活塞带动飞轮转动可简化为如图所示的模型：图中A、B、O三处都是转轴，当活塞在水平方向上移动时，带动连杆AB运动，进而带动OB杆以O点为轴转动。若某时刻活塞的水平速度大小为v，连杆AB与水平方向夹角为α，AB杆与OB杆的夹角为β，此时B点做圆周运动的线速度大小为（　　）
A. B.
C. D.
第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
1.B　做曲线运动的跳水运动员，某位置的速度方向在该点所在轨迹的切线方向上，合力方向指向轨迹的凹侧，则各点的加速度方向都是竖直向下的方向；在A处速度方向斜向上；在B处速度沿水平方向；在C处和D处速度都是竖直向下；故A、C、D错误，B正确。
2.C　羽毛球在空中做曲线运动，可知羽毛球所受合力产生的加速度应指向轨迹的凹侧，故A、D错误；羽毛球处于上升过程，速度在减小，可知所受合力产生的加速度与速度之间的夹角应为钝角，故B错误，C正确。
3.B　因为汽艇在静水中的速度小于河水的流速，可知汽艇合速度方向不能垂直于河对岸，即汽艇不能垂直于河岸渡河；当汽艇的速度方向垂直于合速度的方向时，此时合速度方向与河岸的夹角最大，汽艇的位移最短，故选B。
4.BD　撤去F1后，剩余的四个力的合力与F1等大反向，因为合力为恒力，所以物体做类平抛运动，故A错误；撤去F2后，剩余的四个力的合力与F2等大反向，合力对物体先做负功后做正功，当合力做功为零时，物体的速率再次为v0，故B正确；撤去F4后，剩余的四个力的合力与F4等大反向，合力一直做正功，故物体的速率不可能再次变为v0，故C错误；无论撤去这五个力中的哪一个，物体的合力均为恒力，故物体都做匀变速运动，故D正确。
5.B　设船在静水中速度为v1、河水流速为v2，船头垂直于河岸，小船实际行驶方向与河岸之间夹角为α，则tan α＝＝，A、B两渡口沿河岸方向的距离为x＝＝d，故B正确。
6.AD　由于乙船恰好到达P点，则水流方向向右，且乙船沿河岸方向的分速度恰好等于水流的速度，即v水＝v0cos α，故A正确；设甲船的过河时间为t，则d＝v0tsin α，甲船沿岸方向水平位移x甲＝（v0cos α＋v水）t，联立解得x甲＝，故B错误；由于乙船沿NP运动，在水流的作用下，甲船到达对岸时，应在P点的右侧，而甲、乙两船在垂直于河岸方向速度相同，所以一定会相遇，且在NP上某点相遇，故C错误；两船在垂直于河岸方向的分速度都为v垂直＝v0sin α，河宽d一定，因此两船同时到达河对岸，渡河时间均为t＝＝，故D正确。
7.BC　设绳与竖直方向夹角为θ，则vPcos θ＝vQ，当P匀速运动，θ增大时，Q做减速直线运动，故A错误，B正确；对P有mg＝FTcos θ，θ角增大时绳子拉力FT在增大，杆对P的弹力FN＝FTsin θ在增大，故C正确，D错误。
8.B　根据图像可知质点在y轴方向做匀加速直线运动，在x轴正方向做匀速直线运动，则质点在做匀变速曲线运动，A错误；4 s末质点沿x轴的分位移x＝v0t＝16 m，4 s末质点沿y轴的位移y＝×4 m＝8 m，则该质点在4 s末的位移大小为x0＝＝8 m，B正确；根据速度的合成可知，该质点在4 s末的速度大小v＝4 m/s，C错误；根据牛顿第二定律，该质点所受合外力大小恒为F＝ma＝m＝0.1× N＝0.1 N，D错误。
9.A　因船头始终垂直于河岸，所以小船过河的时间为t＝，即小船沿AB、AC过河的时间相等，选项A正确，B错误；由题意可知tan 60°＝，tan 30°＝，联立解得v1∶v2＝1∶3，选项C错误；当水流速度为v1时，要使小船到达码头A'，则合速度应该垂直于河对岸，船头应指向河的上游且与河岸夹角满足cos θ＝＝，则θ≠60°，选项D错误。
10.B　船在沿河岸方向上做变速运动，在垂直于河岸方向上做匀变速直线运动，两运动的合运动是变加速运动，故A错误；当船头始终与河岸垂直时（船头不与航线垂直），渡河时间最短，根据d＝at2，解得t＝＝10 s，故B正确，C错误；由图甲知，船在刚登陆时河水的流速为0，船的速度是v＝at＝60 m/s，故D错误。
11.（1）　（2）　（3）
解析：（1）将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解，水平方向有F＝max，
＝2axxmax
解得xmax＝。
（2）水平方向，小球的速度减小为零所需时间t1＝
由对称性知小球从A运动到B的总时间t＝2t1
则竖直方向上有y＝gt2＝。
（3）小球运动到B点时，有vx＝v0
vy＝gt，则vB＝＝。
12.B　设B点做圆周运动的线速度大小为v'，此速度为B点的实际速度，根据运动的合成与分解，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直于杆方向的分速度，如图，沿杆方向的分速度为vB＝v'cos＝v'sin β，A点实际速度为水平方向的v，根据运动的合成与分解，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直于杆方向的分速度，如图，沿杆方向的分速度为vA＝vcos α，又二者沿杆方向的分速度相等，即v'sin β＝vcos α，则v'＝，故B正确。
4 / 4第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
曲线运动的特点
1.运动轨迹是　　　　的运动，运动轨迹夹在速度方向和　　　　方向之间。
2.一定是　　　　运动，但速度的大小可以改变，也可以不变。
3.一定有　　　　　，但加速度的大小可以改变，也可以不变，加速度的方向可以改变，也可以不变。
物体做曲线运动的条件
1.物体所受合力的方向与它的速度的方向　　　　　　同一条直线上。
2.所受的合力一定不为0：合力可以是恒力，也可以是变力，合力指向运动轨迹的　　　侧。
3.若合力为变力，则为一般变速曲线运动；若合力为恒力，则为　　　　　曲线运动。
运动的合成与分解
1.如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就叫那几个运动的　　　　；那几个运动叫这个实际运动的　　　　　　　。
2.运动的合成与分解：由分运动求合运动的过程叫运动的　　　　，由合运动求分运动的过程叫运动的　　　　。运动的合成与分解遵循　　　　　　　　　　。
1.曲线运动一定是变速运动。（　　）
2.曲线运动的速度大小可能不变。（　　）
3.曲线运动的加速度可以不变。（　　）
4.合运动的速度一定大于分运动的速度。（　　）
5.两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等。（　　）
1.（人教版必修第二册第五章第1节“演示”拓展）在演示“做曲线运动的条件”的实验中，有一个在水平桌面上向右做直线运动的小钢球，第一次在其运动路线的正前方放置条形磁铁，第二次在其运动路线的旁边放置条形磁铁，如图所示，虚线表示小钢球的运动轨迹。观察实验现象，以下叙述正确的是（　　）
A.第一次实验中，小钢球的运动是匀速直线运动
B.第二次实验中，小钢球的运动类似平抛运动，其运动轨迹是一条抛物线
C.该实验说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向
D.该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上
2.（2023·全国乙卷15题）小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是（　　）
3.〔多选〕（人教版必修第二册·第五章第2节“练习与应用”T2改编）跳伞运动是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是（　　）
A.风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B.风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C.运动员下落时间与风力无关
D.运动员着地速度与风力无关
考点一　曲线运动的理解
1.运动轨迹的判断
（1）若物体所受合力方向与它的速度方向在同一直线上，则物体做直线运动。
（2）若物体所受合力方向与它的速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。
2.曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
（1）速度方向与运动轨迹相切；
（2）合力方向指向轨迹曲线的“凹”侧；
（3）运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间，且弯向合力方向。
3.合力与速率变化的关系
（1）当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；
（2）当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；
（3）当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
【练1】 （2025·四川眉山模拟）关于做曲线运动的物体，下列说法正确的是（　　）
A.所受合力可以为零
B.所受合力一定为恒力
C.所受合力一定为变力
D.所受合力的方向与物体的速度方向一定不在一条直线上
【练2】 （2025·河北张家口模拟）双人滑冰运动员在光滑的水平冰面上做表演，甲运动员给乙运动员一个水平恒力F，乙运动员在冰面上完成了一段优美的弧线MN。vM与vN正好成90°角，则此过程中，乙运动员受到甲运动员的恒力可能是图中的（　　）
A.F1　 B.F2　
C.F3　 D.F4
【练3】 （2025·福建三明质量检测）如图是一种创新设计的“空气伞”，它的原理是：从伞柄下方吸入空气并将空气加速，最后空气从顶部喷出，形成辐射状气流，从而改变周围雨水的运动轨迹，形成一个无雨区，起到遮挡雨水的作用。在无风的雨天，若“空气伞”喷出的气流水平，则雨滴从气流上方某处下落并穿过气流区的运动轨迹，可能是下列哪一幅图（　　）
考点二　运动的合成与分解
1.合运动和分运动的关系
（1）等时性：各个分运动与合运动总是同时开始、同时进行、同时结束，经历时间相等（不同时的运动不能合成）。
（2）独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响。
（3）等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。
（4）同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不能是几个不同物体发生的不同运动。
2.运动的合成与分解的运算法则：运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵从平行四边形定则。
质点Q在xOy平面内运动，其在x轴方向和y轴方向的分运动图像如图甲和图乙所示，下列说法正确的是（　　）
A.质点Q做匀变速直线运动，初速度为12 m/s
B.质点Q做匀变速曲线运动，加速度为5 m/s2
C.质点Q做匀变速直线运动，2 s末的速度为20 m/s
D.质点Q做匀变速曲线运动，2 s内的位移为45 m
尝试解答
（2025·安徽合肥期中）某同学用如图所示的装置研究运动合成规律，长方体物块上固定一长为L的竖直杆，物块及杆的总质量为M，质量为m的小环套在杆上，当小环从杆顶端由静止滑下时（小环与杆的摩擦可忽略），物块在水平恒力F的作用下，从静止开始沿光滑水平面向右运动。小环落到杆底端时，物块移动的距离为2L，重力加速度大小为g，则小环从顶端下落到底端的过程中（　　）
A.小环通过的路程为2L
B.小环落到底端的时间为
C.杆对小环的作用力为mg
D.杆对小环的作用力为2mg
尝试解答
总结提升
1.求解运动的合成与分解问题的技巧
（1）求解运动的合成与分解问题，应抓住合运动与分运动具有等时性、独立性。
（2）物体的实际运动是合运动。运动分解时一般按运动效果进行分解。
2.合运动性质的判断
（1）合加速度（或合力）
（2）合加速度（或合力）
考点三　小船渡河问题
　　
1.船的实际运动：水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2.三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v。
3.两类问题、三种情景
渡河时间最短 当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河位移最短 如果v船＞v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船＜v水，当船头方向（即v船方向）与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于
有一条小河，两岸平行，河水匀速流动的速度为v0，小船在静水中速度大小始终为v，且v＞v0。若小船以最短位移过河，所用的时间为t；若小船以最短时间过河，所用的时间为t，则河水流速与小船在静水中的速度之比为（　　）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
尝试解答
（2025·河南名校联盟期末）在某次抗洪救援演练中，一条可视为质点的救灾冲锋舟要渡过一条两岸平行的河流。已知冲锋舟在静水中的速度大小为v1＝5 m/s，河水的流速大小为v2＝4 m/s，冲锋舟渡河的最短时间为t＝40 s。若冲锋舟在静水中的速度大小为v2，河水的流速大小为v1，河宽不变，则冲锋舟渡河的最短距离为（　　）
A.225 m B.238 m
C.242 m D.250 m
尝试解答
关联速度模型
1.模型特点
两物体或杆子之间通过绳（或杆）连接，且两物体在运动过程中绳（或杆）发生转动，这里隐含沿绳（或杆）方向的速度分量大小相等。
2.思路与方法
合运动→绳（或杆）拉物体的实际运动速度v
分运动→
方法：两分速度的合成遵循平行四边形定则。
3.解题的原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，这两分速度一定是相互垂直的，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
（2025·福建宁德期末）如图，一条不可伸长的轻绳跨过一个光滑轻小滑轮，将A、B两物体连在一起，B物体在外力作用下以速度v0向右匀速运动。当轻绳与水平方向成θ角时（0＜θ＜90°），下列说法正确的是（　　）
A.A物体的速度为v0cos θ，轻绳的拉力大于A物体重力
B.A物体的速度为v0cos θ，轻绳的拉力小于A物体重力
C.A物体的速度为v0sin θ，轻绳的拉力大于A物体重力
D.A物体的速度为v0sin θ，轻绳的拉力小于A物体重力
尝试解答
甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。施加微小的扰动，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，甲球的速度为v1，乙球的速度为v2，如图所示，下列说法正确的是（　　）
A.v1∶v2＝∶3
B.v1∶v2＝3∶7
C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D.甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
尝试解答
第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
【立足“四层”·夯基础】
基础知识梳理
知识点1
1.曲线　合力　2.变速　3.加速度
知识点2
1.不在　2.凹　3.匀变速
知识点3
1.合运动　分运动　2.合成　分解　平行四边形定则
易错易混辨析
1.√　2.√　3.√　4.×　5.√
双基落实筑牢
1.D　第一次实验中，小钢球受到沿初速度方向的磁铁的吸引力作用，做直线运动，并且随着距离的减小，吸引力变大，加速度变大，故小钢球做非匀变速直线运动，选项A错误；第二次实验中，小钢球所受的磁铁的吸引力方向总是指向磁铁，是变力，故小钢球的运动不是类平抛运动，其运动轨迹也不是一条抛物线，选项B错误；该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上，但是不能说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向，选项C错误，D正确。
2.D　做曲线运动的小车所受合外力指向轨迹的凹侧，A、B错误；小车沿轨道从左向右运动，动能一直增加，故合力与运动方向夹角为锐角，C错误，D正确。
3.BC　运动员同时参与两个分运动：竖直向下的运动和水平方向沿风力的运动。两个分运动具有独立性、等时性，竖直分运动不受风力影响，所以运动员下落时间由竖直分运动决定，与风力无关，风力越大，落地时的水平分速度越大，合速度越大，有可能对运动员造成伤害，故B、C正确，A、D错误。
【着眼“四翼”·探考点】
考点一
【练1】 D　做曲线运动的物体，速度方向时刻在发生变化，所以一定是变速运动，合力一定不为零，合力可以是恒力，例如平抛运动，合力也可以是变力，例如匀速圆周运动，故A、B、C错误；做曲线运动的条件是所受合力的方向与物体的速度方向不在一条直线上，故D正确。
【练2】 C　根据题图可知，乙运动员由M向N做曲线运动，乙运动员向上的速度减小，同时向右的速度增大，故乙运动员所受合外力的方向指向右下，故恒力F3的方向可能是正确的，故选C。
【练3】 C　雨滴从气流上方某处下落进入气流区前，做自由落体运动，其运动轨迹为一条竖直向下的直线，若“空气伞”喷出的气流水平，则雨滴刚进入气流区时，雨滴受到重力和垂直于伞柄向外的气流作用力，合力斜向下指向伞柄外侧，而速度方向竖直向下，则雨滴的运动轨迹将向伞柄外侧弯曲，穿过气流后，雨滴仅受重力作用，此时雨滴速度方向斜向下指向伞柄外侧，与重力方向不在同一条直线上，则雨滴的运动轨迹将向竖直方向弯曲，可知只有C项符合题意。
考点二
【例1】 C　根据匀变速直线运动位移公式x＝v0t＋at2，可得＝at＋v0，根据题图甲可得＝k1t＋v0x，所以质点在x轴上的分运动是匀变速直线运动，可得初速度v0x＝6 m/s，加速度ax＝2k1＝2× m/s2＝3 m/s2。根据题图乙可知，质点在y轴上的分运动是匀变速直线运动，初速度v0y＝8 m/s，加速度ay＝k2＝ m/s2＝4 m/s2，因为＝＝，可知质点的初速度和加速度在同一条直线上，所以质点做匀变速直线运动，初速度为v0＝＝10 m/s，加速度为a＝＝5 m/s2，故A、B、D错误；质点做匀变速直线运动，2 s末的速度为v＝v0＋at＝（10＋5×2）m/s＝20 m/s，故C正确。
【例2】 D　小环从顶端下落到底端的过程中，其水平位移为2L，竖直位移为L，其实际位移为x合＝＝L，所以小环通过的路程大于2L，故A错误；小环在竖直方向做自由落体运动，则有L＝gt2，解得t＝，故B错误；设小环在水平方向的加速度大小为ax，则有2L＝axt2，又t＝，联立解得ax＝2g，根据牛顿第二定律可得，杆对小环的作用力大小为F＝max＝2mg，故C错误，D正确。
考点三
【例3】 D　当合速度垂直于河岸时，船以最短位移过河，如图所示船以最短位移过河所用的时间为t＝，当船头垂直于河岸时，即v垂直于河岸时，最短时间为tmin＝＝t，联立解得＝，故选D。
【例4】 D　当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，可得河宽d＝v1t＝200 m。若冲锋舟在静水中的速度大小为v2，河水的流速大小为v1，则冲锋舟在静水中的速度小于水速，设合速度方向与河岸夹角为θ，当船头方向垂直于合速度时，此时小船渡河位移最短，有sin θ＝，则冲锋舟渡河的最短距离s＝＝＝250 m，D正确。
【聚焦“素养”·提能力】
【典例1】 A　将B物体的速度沿绳和垂直于绳进行分解，可知A物体的速度为vA＝v0cos θ，当B向右匀速运动时，夹角θ不断增大，A物体的速度不断减小，因此A物体做减速运动，加速度向上，即轻绳的拉力大于A物体的重力，A正确，B、C、D错误。
【典例2】 B　设当乙球距离起点3 m时，轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿轻杆方向的分量为v1杆＝v1cos θ，v2在沿轻杆方向的分量为v2杆＝v2sin θ，而v1杆＝v2杆，由题意知cos θ＝，sin θ＝，联立解得＝，选项A错误，B正确；甲球即将落地时，θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，选项C、D错误。
4 / 6(共66张PPT)
第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
高中总复习·物理
目 录
01
立足”四层”·夯基础
02
着眼“四翼”·探考点
03
聚焦“素养”·提能力
04
培养“思维”·重落实
概念 公式 定理
立足“四层”·夯基础
曲线运动的特点
1. 运动轨迹是 的运动，运动轨迹夹在速度方向和 方
向之间。
2. 一定是 运动，但速度的大小可以改变，也可以不变。
3. 一定有 ，但加速度的大小可以改变，也可以不变，加速度的
方向可以改变，也可以不变。
曲线　
合力　
变速　
加速度　
物体做曲线运动的条件
1. 物体所受合力的方向与它的速度的方向 同一条直线上。
2. 所受的合力一定不为0：合力可以是恒力，也可以是变力，合力指向运
动轨迹的 侧。
3. 若合力为变力，则为一般变速曲线运动；若合力为恒力，则为
曲线运动。
不在　
凹　
匀变
速　
运动的合成与分解
1. 如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就叫那几个运
动的 ；那几个运动叫这个实际运动的 。
2. 运动的合成与分解：由分运动求合运动的过程叫运动的 ，由合
运动求分运动的过程叫运动的 。运动的合成与分解遵循
。
合运动　
分运动　
合成　
分解　
平行四
边形定则　
1. 曲线运动一定是变速运动。 （　√　）
2. 曲线运动的速度大小可能不变。 （　√　）
3. 曲线运动的加速度可以不变。 （　√　）
4. 合运动的速度一定大于分运动的速度。 （　×　）
5. 两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等。 （　√　）
√
√
√
×
√
1. （人教版必修第二册第五章第1节“演示”拓展）在演
示“做曲线运动的条件”的实验中，有一个在水平桌面上
向右做直线运动的小钢球，第一次在其运动路线的正前方放置条形磁铁，第二次在其运动路线的旁边放置条形磁铁，如图所示，虚线表示小钢球的运动轨迹。观察实验现象，以下叙述正确的是（　　）
A. 第一次实验中，小钢球的运动是匀速直线运动
B. 第二次实验中，小钢球的运动类似平抛运动，其运动轨
迹是一条抛物线
C. 该实验说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向
D. 该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上
√
解析： 　第一次实验中，小钢球受到沿初速度方向的磁铁的吸引力作
用，做直线运动，并且随着距离的减小，吸引力变大，加速度变大，
故小钢球做非匀变速直线运动，选项A错误；第二次实验中，小钢球所
受的磁铁的吸引力方向总是指向磁铁，是变力，故小钢球的运动不是
类平抛运动，其运动轨迹也不是一条抛物线，选项B错误；该实验说明
物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一
直线上，但是不能说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方
向，选项C错误，D正确。
2. （2023·全国乙卷15题）小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能
一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，
下列四幅图可能正确的是（　　）
解析： 　做曲线运动的小车所受合外力指向轨迹的凹侧，A、B错误；小
车沿轨道从左向右运动，动能一直增加，故合力与运动方向夹角为锐角，
C错误，D正确。
√
3. 〔多选〕（人教版必修第二册·第五章第2节“练习与应用”T2改编）跳
伞运动是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机
上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正
确的是（　　）
A. 风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的
动作
B. 风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成
伤害
C. 运动员下落时间与风力无关
D. 运动员着地速度与风力无关
√
√
解析： 　运动员同时参与两个分运动：竖直向下的运动和水平方向沿风
力的运动。两个分运动具有独立性、等时性，竖直分运动不受风力影响，
所以运动员下落时间由竖直分运动决定，与风力无关，风力越大，落地时
的水平分速度越大，合速度越大，有可能对运动员造成伤害，故B、C正
确，A、D错误。
题型 规律 方法
着眼“四翼”·探考点
考点一　曲线运动的理解
1. 运动轨迹的判断
（1）若物体所受合力方向与它的速度方向在同一直线上，则物体做直线
运动。
（2）若物体所受合力方向与它的速度方向不在同一直线上，则物体做曲
线运动。
2. 曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
（1）速度方向与运动轨迹相切；
（2）合力方向指向轨迹曲线的“凹”侧；
（3）运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间，且弯向合力方向。
3. 合力与速率变化的关系
（1）当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；
（2）当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；
（3）当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
【练1】 （2025·四川眉山模拟）关于做曲线运动的物体，下列说法正确的
是（　　）
A. 所受合力可以为零
B. 所受合力一定为恒力
C. 所受合力一定为变力
D. 所受合力的方向与物体的速度方向一定不在一条直线上
解析： 　做曲线运动的物体，速度方向时刻在发生变化，所以一定是变
速运动，合力一定不为零，合力可以是恒力，例如平抛运动，合力也可以
是变力，例如匀速圆周运动，故A、B、C错误；做曲线运动的条件是所受
合力的方向与物体的速度方向不在一条直线上，故D正确。
√
【练2】 （2025·河北张家口模拟）双人滑冰运动员在光滑的水平冰面上做
表演，甲运动员给乙运动员一个水平恒力F，乙运动员在冰面上完成了一
段优美的弧线MN。vM与vN正好成90°角，则此过程中，乙运动员受到甲运
动员的恒力可能是图中的（　　）
A. F1
B. F2
C. F3
D. F4
√
解析： 　根据题图可知，乙运动员由M向N做曲线运动，乙运动员向上的
速度减小，同时向右的速度增大，故乙运动员所受合外力的方向指向右
下，故恒力F3的方向可能是正确的，故选C。
【练3】 （2025·福建三明质量检测）如图是一种创新设计的“空气伞”，
它的原理是：从伞柄下方吸入空气并将空气加速，最后空气从顶部喷出，
形成辐射状气流，从而改变周围雨水的运动轨迹，形成一个无雨区，起到
遮挡雨水的作用。在无风的雨天，若“空气伞”喷出的气流水平，则雨滴
从气流上方某处下落并穿过气流区的运动轨迹，可能是下列哪一幅图（　）
√
解析： 　雨滴从气流上方某处下落进入气流区前，做自由落体运动，其
运动轨迹为一条竖直向下的直线，若“空气伞”喷出的气流水平，则雨滴
刚进入气流区时，雨滴受到重力和垂直于伞柄向外的气流作用力，合力斜
向下指向伞柄外侧，而速度方向竖直向下，则雨滴的运动轨迹将向伞柄外
侧弯曲，穿过气流后，雨滴仅受重力作用，此时雨滴速度方向斜向下指向
伞柄外侧，与重力方向不在同一条直线上，则雨滴的运动轨迹将向竖直方
向弯曲，可知只有C项符合题意。
考点二　运动的合成与分解
1. 合运动和分运动的关系
（1）等时性：各个分运动与合运动总是同时开始、同时进行、同时结
束，经历时间相等（不同时的运动不能合成）。
（2）独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互
不影响。
（3）等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。
（4）同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生
的运动，不能是几个不同物体发生的不同运动。
2. 运动的合成与分解的运算法则：运动的合成与分解是指描述运动的各物
理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与
分解都遵从平行四边形定则。
质点Q在xOy平面内运动，其在x轴方向和y轴方向的分运动图像如图
甲和图乙所示，下列说法正确的是（　　）
A. 质点Q做匀变速直线运动，初速度为12 m/s
B. 质点Q做匀变速曲线运动，加速度为5 m/s2
C. 质点Q做匀变速直线运动，2 s末的速度为20 m/s
D. 质点Q做匀变速曲线运动，2 s内的位移为45 m
√
解析：根据匀变速直线运动位移公式x＝v0t＋at2，可得＝at＋v0，根
据题图甲可得＝k1t＋v0x，所以质点在x轴上的分运动是匀变速直线运
动，可得初速度v0x＝6 m/s，加速度ax＝2k1＝2× m/s2＝3 m/s2。
根据题图乙可知，质点在y轴上的分运动是匀变速直线运动，初速度v0y
＝8 m/s，加速度ay＝k2＝ m/s2＝4 m/s2，因为＝＝，可知质
点的初速度和加速度在同一条直线上，所以质点做匀变速直线运动，
初速度为v0＝＝10 m/s，加速度为a＝＝5 m/s2，
故A、B、D错误；质点做匀变速直线运动，2 s末的速度为v＝v0＋at＝
（10＋5×2）m/s＝20 m/s，故C正确。
（2025·安徽合肥期中）某同学用如图所示的装置研究运动合成规
律，长方体物块上固定一长为L的竖直杆，物块及杆的总质量为M，质量为
m的小环套在杆上，当小环从杆顶端由静止滑下时（小环与杆的摩擦可忽
略），物块在水平恒力F的作用下，从静止开始沿光滑水平面向右运动。
小环落到杆底端时，物块移动的距离为2L，重力加速度大小为g，则小环
从顶端下落到底端的过程中（　　）
A. 小环通过的路程为2L
B. 小环落到底端的时间为
C. 杆对小环的作用力为mg
D. 杆对小环的作用力为2mg
√
解析：小环从顶端下落到底端的过程中，其水平位移为2L，竖直位移为
L，其实际位移为x合＝＝L，所以小环通过的路程大于
2L，故A错误；小环在竖直方向做自由落体运动，则有L＝gt2，解得t＝
，故B错误；设小环在水平方向的加速度大小为ax，则有2L＝axt2，又t＝，联立解得ax＝2g，根据牛顿第二定律可得，杆对小环的作用力大小为F＝max＝2mg，故C错误，D正确。
总结提升
1. 求解运动的合成与分解问题的技巧
（1）求解运动的合成与分解问题，应抓住合运动与分运动具有等时性、
独立性。
（2）物体的实际运动是合运动。运动分解时一般按运动效果进行分解。
2. 合运动性质的判断
（1）合加速度（或合力）
（2）合加速度（或合力）
考点三　小船渡河问题
1. 船的实际运动：水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2. 三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v。
3. 两类问题、三种情景
渡河时
间最短 当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最
短时间tmin＝
渡河位
移最短 如果v船＞v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满
足v船cos θ＝v水
时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于
河宽d
如果v船＜v水，当船头方向（即v船方向）与合
速度方向垂直时，渡河位移最短，等于
有一条小河，两岸平行，河水匀速流动的速度为v0，小船在静水中速
度大小始终为v，且v＞v0。若小船以最短位移过河，所用的时间为t；若小
船以最短时间过河，所用的时间为t，则河水流速与小船在静水中的速度
之比为（　　）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
√
解析：当合速度垂直于河岸时，船以最短位移过河，如图
所示船以最短位移过河所用的时间为t＝，当船头
垂直于河岸时，即v垂直于河岸时，最短时间为tmin＝＝t，联立解得＝，故选D。
　（2025·福建福州模拟）洪水无情人有情，每一次重大抢险救灾，都有子
弟兵的身影。如图所示，水速为v，消防武警驾驶冲锋舟行驶，若冲锋舟沿
与平直河岸成30°角的线路把被困群众从A处送到对岸安全地B处，采取以
最小速度和最短时间两种方案行驶，则两种方案中冲锋舟的最小速度v1和
以最短时间行驶冲锋舟的速度v2之比为（　　）
A. 1∶2 B. 1∶
C. 2∶ D. ∶2
√
解析： 　冲锋舟以最小速度v1和最短时间分别从A到B，冲锋舟最小速度
v1垂直于AB连线，有v1＝vsin 30°，最短时间行驶时冲锋舟速度v2垂直于平
直河岸，有v2＝vtan 30°，可知＝cos 30°＝，故选项D正确。
（2025·河南名校联盟期末）在某次抗洪救援演练中，一条可视为质
点的救灾冲锋舟要渡过一条两岸平行的河流。已知冲锋舟在静水中的速度
大小为v1＝5 m/s，河水的流速大小为v2＝4 m/s，冲锋舟渡河的最短时间为t
＝40 s。若冲锋舟在静水中的速度大小为v2，河水的流速大小为v1，河宽不
变，则冲锋舟渡河的最短距离为（　　）
A. 225 m B. 238 m
C. 242 m D. 250 m
√
解析：当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，可得河宽d＝v1t＝200
m。若冲锋舟在静水中的速度大小为v2，河水的流速大小为v1，则冲锋舟在
静水中的速度小于水速，设合速度方向与河岸夹角为θ，当船头方向垂直
于合速度时，此时小船渡河位移最短，有sin θ＝，则冲锋舟渡河的最短
距离s＝＝＝250 m，D正确。
现实 科技 应用
聚焦“素养”·提能力
关联速度模型
1. 模型特点
两物体或杆子之间通过绳（或杆）连接，且两物体在运动过程中绳（或
杆）发生转动，这里隐含沿绳（或杆）方向的速度分量大小相等。
2. 思路与方法
合运动→绳（或杆）拉物体的实际运动速度v
分运动→
方法：两分速度的合成遵循平行四边形定则。
3. 解题的原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，这
两分速度一定是相互垂直的，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求
解。常见的模型如图所示。
A. A物体的速度为v0cos θ，轻绳的拉力大于A物体重力
B. A物体的速度为v0cos θ，轻绳的拉力小于A物体重力
C. A物体的速度为v0sin θ，轻绳的拉力大于A物体重力
D. A物体的速度为v0sin θ，轻绳的拉力小于A物体重力
（2025·福建宁德期末）如图，一条不可伸长的轻绳跨过一个光滑
轻小滑轮，将A、B两物体连在一起，B物体在外力作用下以速度v0向右匀
速运动。当轻绳与水平方向成θ角时（0＜θ＜90°），下列说法正确的是
（　　）
√
解析：将B物体的速度沿绳和垂直于绳进行分解，可知A物体的速度为vA＝
v0cos θ，当B向右匀速运动时，夹角θ不断增大，A物体的速度不断减小，
因此A物体做减速运动，加速度向上，即轻绳的拉力大于A物体的重力，A
正确，B、C、D错误。
甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用铰链与轻直杆连接，乙球处
于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为
4 m。施加微小的扰动，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3
m时，甲球的速度为v1，乙球的速度为v2，如图所示，下列说法正确的是
（　　）
A. v1∶v2＝∶3
B. v1∶v2＝3∶7
C. 甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D. 甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
√
解析：设当乙球距离起点3 m时，轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿轻
杆方向的分量为v1杆＝v1cos θ，v2在沿轻杆方向的分量为v2杆＝v2sin θ，而v1
杆＝v2杆，由题意知cos θ＝，sin θ＝，联立解得＝，选项A错误，B
正确；甲球即将落地时，θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的
速度为零，选项C、D错误。
培养“思维”·重落实
夯基 提能 升华
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1. （2025·广西南宁期中）如图所示，虚线是跳水运动员在某次训练中，
运动员离开跳台后其在空中的轨迹示意图。A为曲线轨迹起始点，B为轨迹
最高点，C点的切线沿竖直方向，D点是即将入水点。关于运动员在空中的
运动，下述正确的是（　　）
A. 在A处速度和加速度都沿竖直方向
B. 在B处加速度竖直向下，速度沿水平方向
C. 在C处速度和加速度都沿水平方向
D. 在D处速度向下，加速度向上
√
解析： 　做曲线运动的跳水运动员，某位置的速度方向在该点所在轨迹
的切线方向上，合力方向指向轨迹的凹侧，则各点的加速度方向都是竖直
向下的方向；在A处速度方向斜向上；在B处速度沿水平方向；在C处和D
处速度都是竖直向下；故A、C、D错误，B正确。
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2. （2025·陕西宝鸡二模）体育课上两位同学在室内羽毛球场进行羽毛球
比赛，羽毛球在空中上升的运动轨迹如图中虚线所示，羽毛球加速度方向
示意图可能正确的是（　　）
解析： 　羽毛球在空中做曲线运动，可知羽毛球所受合力产生的加速度
应指向轨迹的凹侧，故A、D错误；羽毛球处于上升过程，速度在减小，可
知所受合力产生的加速度与速度之间的夹角应为钝角，故B错误，C正确。
√
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3. （2025·高邮期初学情调研）已知河水流速稳定为2 m/s，汽艇在静水中
的速度恒为1 m/s。图中实线为河岸，虚线为汽艇从河岸M驶向对岸N的实
际航线。若以最短的航线渡河，下列情形可能正确的是（　　）
√
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解析： 　因为汽艇在静水中的速度小于河水的流速，可知汽艇合速度方
向不能垂直于河对岸，即汽艇不能垂直于河岸渡河；当汽艇的速度方向垂
直于合速度的方向时，此时合速度方向与河岸的夹角最大，汽艇的位移最
短，故选B。
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4. 〔多选〕（2025·江西模拟预测）如图，光滑水平面上的物体受五个沿
水平面的恒力F1、F2、F3、F4、F5作用，以速率v0沿水平面做匀速直线运
动，速度方向与恒力F5的方向相反，与F1的方向垂直。若撤去其中某个力
（其他力不变），则在以后的运动中，下列说法正确的是（　　）
A. 若撤去的是F1，则物体可能做匀速圆周运动
B. 若撤去的是F2，则经过一段时间后物体的速率可能再次变
为v0
C. 若撤去的是F4，则经过一段时间后物体的速率可能再次变为v0
D. 无论撤去这五个力中的哪一个，物体都做匀变速运动
√
√
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解析： 　撤去F1后，剩余的四个力的合力与F1等大反向，因为合力为恒
力，所以物体做类平抛运动，故A错误；撤去F2后，剩余的四个力的合力
与F2等大反向，合力对物体先做负功后做正功，当合力做功为零时，物体
的速率再次为v0，故B正确；撤去F4后，剩余的四个力的合力与F4等大反
向，合力一直做正功，故物体的速率不可能再次变为v0，故C错误；无论撤
去这五个力中的哪一个，物体的合力均为恒力，故物体都做匀变速运动，
故D正确。
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5. （2025·海南海口一模）一条两岸平直的宽度为d的小河如图所示，河水
流速恒定。一人驾驶小船从上游渡口A前往下游渡口B。已知全程船在静水
中的速度大小恒定，船在静水中的速度大小与河水流速大小之比为
∶1，行驶中船头始终垂直于河岸，则A、B两渡口沿河岸方向的距离为
（　　）
A. d B. d
C. d D. d
√
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解析： 　设船在静水中速度为v1、河水流速为v2，船头垂直于河岸，小船
实际行驶方向与河岸之间夹角为α，则tan α＝＝，A、B两渡口沿河岸
方向的距离为x＝＝d，故B正确。
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6. 〔多选〕如图所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为
d，M、N分别是甲、乙两船的出发点，两船头与河岸均成α角，甲船船头
恰好对准N点的正对岸P点，经过一段时间乙船恰好到达P点，如果划船速
度均为v0，且两船相遇不影响各自的航行。下列说法正确的是（　　）
A. 水流方向向右，大小为v0cos α
B. 甲船沿岸方向水平位移为
C. 甲、乙两船不会在NP上某点相遇
D. 两船同时到达河对岸，渡河时间均为
√
√
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解析： 　由于乙船恰好到达P点，则水流方向向右，且乙船沿河岸方向
的分速度恰好等于水流的速度，即v水＝v0cos α，故A正确；设甲船的过河
时间为t，则d＝v0tsin α，甲船沿岸方向水平位移x甲＝（v0cos α＋v水）t，联
立解得x甲＝，故B错误；由于乙船沿NP运动，在水流的作用下，甲
船到达对岸时，应在P点的右侧，而甲、乙两船在垂直于河岸方向速度相
同，所以一定会相遇，且在NP上某点相遇，故C错误；两船在垂直于河岸
方向的分速度都为v垂直＝v0sin α，河宽d一定，因此两船同时到达河对岸，
渡河时间均为t＝＝，故D正确。
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7. 〔多选〕如图所示，物体P套在光滑的细杆上，P和Q通过轻质细绳连接
并跨过定滑轮，一水平力F拉着水平面上的物体Q向左运动。在某一小段时
间内，P沿细杆匀速向上运动通过AB段的过程中，下列说法正确的是
（　　）
A. Q做加速直线运动
B. Q做减速直线运动
C. 细绳对P的拉力在增大
D. 杆对P的弹力在减小
√
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解析： 　设绳与竖直方向夹角为θ，则vPcos θ＝vQ，当P匀速运动，
θ增大时，Q做减速直线运动，故A错误，B正确；对P有mg＝FTcos θ，
θ角增大时绳子拉力FT在增大，杆对P的弹力FN＝FTsin θ在增大，故C
正确，D错误。
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8. （2025·南京师大附中）某质量m＝0.1 kg的质点在x轴正方向做初速度v0
＝4 m/s的匀速直线运动，在y轴方向的速度—时间图像如图所示，则下列
说法中正确的是（　　）
A. 该质点做匀变速直线运动
B. 该质点在4 s末的位移大小为8 m
C. 该质点在4 s末的速度大小为4 m/s
D. 该质点所受合外力大小恒为0.2 N
√
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解析： 　根据图像可知质点在y轴方向做匀加速直线运动，在x轴正方向
做匀速直线运动，则质点在做匀变速曲线运动，A错误；4 s末质点沿x轴的
分位移x＝v0t＝16 m，4 s末质点沿y轴的位移y＝×4 m＝8 m，则该质点在
4 s末的位移大小为x0＝＝8 m，B正确；根据速度的合成可知，
该质点在4 s末的速度大小v＝4 m/s，C错误；根据牛顿第二定律，该质
点所受合外力大小恒为F＝ma＝m＝0.1× N＝0.1 N，D错误。
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9. 如图所示，一条小船从码头A过河，小船在静水中的速度为v，船头指向
始终与河岸垂直（沿AA'方向）。当水流速度为v1时，小船运动到河对岸的
码头B靠岸，AB与河岸的夹角为α＝60°。当水流速度为v2时，小船运动到
河对岸的码头C靠岸，AC与河岸的夹角为β＝30°。下列说法正确的是
（　　）
A. 小船沿AB、AC过河的时间相等
B. 小船沿AC过河的时间更长
C. v1∶v2＝1∶2
D. 当水流速度为v1时，要使小船到达码头A'，船头应指向
河的上游且与河岸夹角为60°
√
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解析： 　因船头始终垂直于河岸，所以小船过河的时间为t＝，即小船
沿AB、AC过河的时间相等，选项A正确，B错误；由题意可知tan 60°＝
，tan 30°＝，联立解得v1∶v2＝1∶3，选项C错误；当水流速度为v1
时，要使小船到达码头A'，则合速度应该垂直于河对岸，船头应指向河的
上游且与河岸夹角满足cos θ＝＝，则θ≠60°，选项D错误。
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10. （2025·河南开封阶段练习）河水的流速随位置到一指定河岸的距离的
变化关系如图甲所示，船在静水中的加速度与时间的关系如图乙所示，若
要使船以最短时间渡河，则以下判断正确的是（　　）
A. 船在河水中做匀变速运动
B. 船渡河的最短时间是10 s
C. 船在行驶过程中，船头始终与航线垂直
D. 船在刚登陆时的速度是64 m/s
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解析： 船在沿河岸方向上做变速运动，在垂直于河岸方向上做匀变速
直线运动，两运动的合运动是变加速运动，故A错误；当船头始终与河岸
垂直时（船头不与航线垂直），渡河时间最短，根据d＝at2，解得t＝
＝10 s，故B正确，C错误；由图甲知，船在刚登陆时河水的流速为0，船
的速度是v＝at＝60 m/s，故D错误。
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11. 如图所示，在风洞实验室中，从A点以水平速度v0向左
抛出一个质量为m的小球（可视为质点），小球抛出后所
受空气作用力沿水平方向，其大小为F，经过一段时间小
球运动到A点正下方的B点处，重力加速度为g，在此过程中，求：
（1）小球离A、B所在直线的最远距离；
答案： 　
解析： 将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解，水平方向有F＝
max，
＝2axxmax
解得xmax＝。
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（2）A、B两点间的距离；
答案： 　
解析：水平方向，小球的速度减小为零所需时间t1＝
由对称性知小球从A运动到B的总时间t＝2t1
则竖直方向上有y＝gt2＝。
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（3）小球到达B点时的速率vB。
答案：
解析：小球运动到B点时，有vx＝v0
vy＝gt，则vB＝＝。
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12. 活塞带动飞轮转动可简化为如图所示的模型：图中A、B、O三处都是
转轴，当活塞在水平方向上移动时，带动连杆AB运动，进而带动OB杆以O
点为轴转动。若某时刻活塞的水平速度大小为v，连杆AB与水平方向夹角
为α，AB杆与OB杆的夹角为β，此时B点做圆周运动的线速度大小为（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　设B点做圆周运动的线速度大小为v'，此速
度为B点的实际速度，根据运动的合成与分解，可以分
解为沿杆方向的分速度和垂直于杆方向的分速度，如
图，沿杆方向的分速度为vB＝v'cos＝v'sin β，A点实际速度为水平方向的v，根据运动的合成与分解，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直于杆方向的分速度，如图，沿杆方向的分速度为vA＝vcos α，又二者沿杆方向的分速度相等，即v'sin β＝vcos α，则v'＝，故B正确。
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