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罗湖区中考备考“百师助学”课程之第 8 讲《主从联动-瓜豆圆》
自主学习单
知识背景:
瓜豆原理是初中数学中用于解决动点轨迹问题的一种形象化方法，其核心思想是：当两
个动点（称为“主动点”和“从动点”）之间存在固定的几何关系（如旋转、平移、缩放等）
时，它们的轨迹形状相同或可通过几何变换相互转化。
瓜豆原理贴合初中数学“几何变换”“轨迹分析”等核心内容，旨在培养几何直观、逻辑推
理和模型思想，是落实课程目标与核心素养的典型工具。
技能梳理:
旨在于找到图形中的定点，主动点，圆心，所形成的三角形①与同一个定点，从动点，
要找的圆心，所形成的三角形②。这两个三角形要么全等，要么相似，结合手拉手构造全等
（或相似）。即可找到心目中的圆心，确定圆的两个要素：圆心与半径。
模块一：等倍圆
1．1．讲解（2022-2023学年·江苏省泰州市兴化市·九年级（下）第三次素养提升数学试
卷（B卷）如图，已知点 A是第一象限内的一个定点，点 P是以 O为圆心、1个单位长
为半径的圆上的一个动点，连接 AP，以 AP为边在 AP右侧作等边三角形 APB．当点 P
在⊙O上运动一周时，点 B运动的路径长是 ．
1．2．练习（2023春·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图，四边形 ABCD为正方形，P
是以边 AD为直径的 O上一动点，连接 BP，以 BP为边作等边三角形 BPQ，连接OQ，
若 AB 2，则线段OQ的最大值为 ．
1．3．练习（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，平面直角坐标系 xOy中，点 A
3,4
的坐标是 ，点 B是 A上一点， A的半径为 2，将OB绕 O点顺时针方向旋转90
得OC，连接 AC，则线段 AC的最小值为（ ）
A．5 2 2 B．3 2 1 C．5 D．6
题 1.1 图 题 1.2 图 题 1.3 图
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罗湖区中考备考“百师助学”课程之第 8 讲《主从联动-瓜豆圆》
模块二：放缩圆
2．1．讲解（2023-2024学年陕西省西安市碑林区西北工大附中九年级（上）期末数学试卷）
如图，在正方形 ABCD中，AB＝4，以 AD的中点 O为圆心，1为半径作半圆交边 AD于
E、F，动点 P在半圆上，若∠BPQ＝90°且 BP＝2PQ，则当 CQ最小时，△BCQ的面积
为 ．
题 2.1 图
2．2．讲解(2022 年江苏省连云港市灌南县中考数学二模试卷)如图，⊙O半径为 4，在 Rt
3
△ABC中，∠B＝90°，点 A，B在⊙O上，点 C在⊙O内，且 tanA= 4．当点 A在圆上
运动时，则线段 OC的最小值为 ．
题 2.2 图（方法 1） 题 2.2 图（方法 2）
3．2．练习（2024·江苏南通·校考模拟预测）如图，已知正方形 ABCD的边长为 2，以点
A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将线段 DE绕点 D顺时针方向旋转
90°并缩短到原来的一半，得到线段 DF，连结 AF，则 AF的最小值是 ．
题 2.3 图
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罗湖区中考备考“百师助学”课程之第 8 讲《主从联动-瓜豆圆》
模块三：瓜豆圆综合应用
3．1．讲解（2024年广东省广州市越秀区铁一中学中考数学三模试卷）如图，在△ABC中，
∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，AE＝3，连接 BE，以 BE为斜边在 BE的右侧作等腰直
角△BDE，P是 AE边上的一点，连接 PC和 CD，当∠PCD＝45°，则 PE长为 ．
题3.1图（方法1） 题 3.1 图（方法 2）
3．2．练习（2025年广东省珠海市九洲中学中考数学一模试卷）如图 1，在平面直角坐标系
中，直线 y＝﹣5x+5与 x轴，y轴分别交于 A、C两点，抛物线 y＝x2+bx+c经过 A、C两
点，与 x轴的另一交点为 B．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点 M为 x轴下方抛物线上一动点，当点 M运动到某一位置时，△ABM的面积等
3
于△ABC面积的 ，求此时点 M的坐标；
5
（3）如图 2，以 B为圆心，2为半径的⊙B与 x轴交于 E、F两点（F在 E右侧），若 P
点是⊙B上一动点，连接 PA，以 PA为腰作等腰 Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D
三点为逆时针顺序），连接 FD．求 FD长度的取值范围．
第 3页，共 3页罗湖区中考备考“百师助学”课程之第8讲《主从联动-瓜豆圆》
详解答案
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1．1.讲解（2022-2023学年江苏省泰州市兴化市九年级（下）第三次素养提升数学试卷（B卷）如图，已知点A是第一象限内的一个定点，点P是以O为圆心、1个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边在AP右侧作等边三角形APB．当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是 　2π　 ．
【分析】根据已知条件得到点B的运动轨迹也为圆，根据全等三角形的性质得到OP＝O'B＝1，即可求出路径长．
【解答】解：如图，连接AO、OP，将AO绕点A逆时针旋转60°，得线段AO'，连接O'B、OO'，
∵AO＝AO'，∠OAO'＝60°，
∴△OAO'为等边三角形，
∵△APB为等边三角形，
∴∠PAB＝60°，PA＝BA，
∴∠PAB﹣∠OAB＝∠OAO'﹣∠OAB，
∴∠PAO＝∠BAO′，
在△APO与△ABO′中，
，
∴△APO≌△ABO′（SAS），
∴OP＝O'B＝1，
∴⊙O'即为动点B运动的路径，
∴当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是2π．
故答案为：2π．
【点评】此题考查了动点路径长，关键在于确定从动点的运动轨迹，考查了旋转、全等知识，“瓜豆原理”．
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1．2.练习（2023春·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为/
【答案】/
【分析】连接、，将绕点B逆时针旋转得到，连接，通过证明，得出，从而得出点Q在以点为圆心，为半径的圆上运动；则当点O，，P三点在同一直线上时，取最大值，易证为等边三角形，求出，即可求出．
【详解】解：连接、，将绕点B逆时针旋转得到，连接，
∵绕点B逆时针旋转得到，∴，，
∵BPQ为等边三角形，∴，，
∴，即，
在和中，，∴，
∵，四边形为正方形，∴，则，
∴，∴点Q在以点为圆心，为半径的圆上运动；
∴当点O，，P三点在同一直线上时，取最大值，
在中，根据勾股定理可得：，
∵，， ∴为等边三角形，∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查看瓜豆模型——圆生圆模型，解题的关键是确定从动点Q的运动轨迹，以及熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．
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1．3.练习（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是上一点，的半径为2，将绕O点顺时针方向旋转得，连接，则线段的最小值为（ A ）

A． B． C．5 D．6
【答案】A
【分析】把绕O点顺时针方向旋转得，过点作轴于点，过点作轴于点，以点为圆心作，使的半径为2， 点B是上一点，则点是上一点，当点三点共线，即点在上时，最小．
【详解】解：如图，把绕O点顺时针方向旋转得，过点作轴于点，过点作轴于点，以点为圆心作，使的半径为2，

，，
，AFOOGA’(AAS)，，，
过作于点，，
在中，，
点B是上一点，则点是上一点，，
当点三点共线，即点在上时，最小，
，故线段的最小值为．故选：A．
【点睛】本题考查了圆的基本概念，动点问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，本题的关键是作出正确的辅助线，运用数形结合的思想方法．
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2．1.讲解（2023-2024学年陕西省西安市碑林区西北工大附中九年级（上）期末数学试卷）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，以AD的中点O为圆心，1为半径作半圆交边AD于E、F，动点P在半圆上，若∠BPQ＝90°且BP＝2PQ，则当CQ最小时，△BCQ的面积为 　6　 ．
【分析】根据题意可知点P在半圆上运动，而Q是随P的位置变化而变化，所以很明显的瓜豆模型——点在圆上，其中P是主动点，Q是从动点，连接OB，过点O作OO'⊥OB交CD于点O'，证△AOB∽△DO'O，再证△BPQ∽△BOO'，最后证△OBP∽△O'BQ，得到O'Q，因此可知点Q在以O'为圆心，为半径的圆上半圆上运动，进而求解即可．
【解答】解：连接OB，过点O作OO'⊥OB交CD于点O'，则∠BOO'＝90°，
∵正方形ABCD，O是AD中点，
∴AO＝ODADAB，∠A＝∠D＝90°，
∴∠AOB＝∠OO'D＝90°﹣∠DOO'，
∴△AOB∽△DO'O，
∴，
∴O'D1，
∵∠BPQ＝90°，BP＝2PQ，
∴∠BPQ＝∠BOO'，，
∴△BPQ∽△BOO'
∴∠PBQ＝∠OBO'，，
∴∠OBP＝∠O'BQ，
∴△OBP∽△O'BQ，
∴，
∵OP＝1，
∴O'Q，
∴点Q在以O'为圆心，为半径的圆上半圆上运动，
当O'、Q、C三点共线时，CQ最小，
此时CQ＝CD﹣O'D﹣OO'＝4﹣13，且△BCQ直角三角形，
∴S△BCQ6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了圆的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，以及三角形面积的计算，解题的关键识别瓜豆模型，构造相似找出点Q的轨迹．
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2．2.讲解(2022年江苏省连云港市灌南县中考数学二模试卷)如图，⊙O半径为4，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点A，B在⊙O上，点C在⊙O内，且tanA．当点A在圆上运动时，则线段OC的最小值为 　2　 ．
【分析】延长BC交⊙O于点F，连接AF，得到AF是⊙O的直径，AF＝8，然后由tanA的值设BC＝3x，AB＝4x，由勾股定理得到AC＝5x，再由垂线段最短得到OC最短时的位置，最后利用勾股定理求得OC的长．
【解答】解：延长BC交⊙O于点F，连接AF，
∵∠B＝90°，
∴AF是⊙O的直径，且AF＝2×4＝8，
∵tan∠A，
∴∠CAB和∠ACB的大小为定值，
当OC⊥AF时，OC最小，
设BC＝3x，则AB＝4x，
∴AC5x，
∵CO⊥AF，点O是AF的中点，
∴CF＝AF＝5x，
∴BF＝CF+CB＝5x+3x＝8x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
∴（4x）2+（8x）2＝82，
解得：x，
∴AC＝5x＝2，
在Rt△AOC中，OC2+OA2＝AC2，
∴OC2＝（2）2﹣42＝4，
∴OC＝2，
∴OC的最小值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知垂线段最短求得OC的最小值．
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2．3.练习（2024·江苏南通·校考模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°并缩短到原来的一半，得到线段DF，连结AF，则AF的最小值是 ．

【答案】
【分析】通过证可得，由勾股定理可得，根据三角形三边关系求AF的最小值即可；
【详解】解：如图，取CD中点G，连接AE、GF、AG，

∵ED⊥DF，∴∠EDF=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠GDA=90°，
∵∠GDF+∠FDA=90°，∠FDA+∠ADE=90°，∴∠GDF=∠ADE，
∵，∴，∴，
又AE=1，解得，由勾股定理可得，，
由三边的关系可得，AF的最小值为：AG-GF=；故答案为：.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，掌握相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键.
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3．1.（2024年广东省广州市越秀区铁一中学中考数学三模试卷）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，AE＝3，连接BE，以BE为斜边在BE的右侧作等腰直角△BDE，P是AE边上的一点，连接PC和CD，当∠PCD＝45°，则PE长为 　2　 ．
【分析】由AE＝3得动点E在圆上运动，因为△BDE是等腰直角三角形且∠PCD＝45°，所以想到瓜豆原理，可两次构造三角形相似去解答．
【解答】解：方法一：以AB为斜边在AB的右侧作等腰直角△ABF，连接FC，FD．
∵∠ABF＝∠EBD＝45°，
∴∠ABE＝∠FBD，
∵，
∴△ABE∽△FBD，
∴，
∴FD，
在四边形ACBF中，∠ACB＝∠AFB＝90°，
∴A、C、B、F四点共圆，
∴∠ACF＝∠ABF＝45°，∠CAB＝∠CFB，
∵∠PCD＝45°
∴∠ACP＝∠FCD，
又∵△ABE∽△FBD，
∴∠BAE＝∠BFD，
∴∠CAP＝∠CFD，
∴△CAP∽△CFD，
∴，
在四边形ACBF中，由对角互补模型得AC+CB，
∴CF
∴，
∴AP＝1，
∴PE＝2，
方法二：如图，作DF⊥CD交CP延长线于点F，
∵∠PCD＝45°，
∴△DCF是等腰直角三角形，
∴DC＝DF，
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴DB＝DE，
∵∠BDC＝∠EDF＝90°﹣∠CDE，
∴△BDC≌△EDF（SAS），
∴EF＝BC＝4，∠BCD＝∠EFD，
延长FE交BC于点G，---
由8字型可得∠CGF＝90°＝∠ACG，
∴EF∥AC，
∴，
∴PE＝2AP，
∵AE＝3，
∴PE＝2；
故答案为：2
【点评】本题考查了由瓜豆原理来构造三角形相似，涉及四点共圆、对角互补模型、手拉手模型，难度很大．
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4．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，△ABM的面积等于△ABC面积的，求此时点M的坐标；
（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．求FD长度的取值范围．
【分析】（1）将点A（1，0），C（0，5）代入y＝x2+bx+c，即可求解；
（2）设M（m，m2﹣6m+5），先求AB＝4，则S△ABC＝10，再由题意可得S△AMB＝64×（﹣m2+6m﹣5），即可求M（2，﹣3）或M（4，﹣3）；
（3）将点B绕A点顺时针旋转90°到B'，连接AB'，PB，B'D，可证明△ADB'≌△APB（SAS），则可得D在以B'为圆心，2为半径的圆上运动，又由B'（1，﹣4），F（7，0），则B'F＝2，所以DF的最大值为2，DF的最小值为2，即可求22≤DF≤22．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝5，
∴C（0，5），
令y＝0，则x＝1，
∴A（1，0），
将点A（1，0），C（0，5）代入y＝x2+bx+c，
得，
∴，
∴y＝x2﹣6x+5；
（2）设M（m，m2﹣6m+5），
令y＝0，则x2﹣6x+5＝0，
解得x＝5或x＝1，
∴B（5，0），
∴AB＝4，
∴S△ABC4×5＝10，
∵△ABM的面积等于△ABC面积的，
∴S△AMB＝64×（﹣m2+6m﹣5），
解得m＝2或m＝4，
∴M（2，﹣3）或M（4，﹣3）；
（3）将点B绕A点顺时针旋转90°到B'，连接AB'，PB，B'D，
∵∠B'AD+∠BAD＝90°，∠PAB+∠BAD＝90°，
∴∠B'AD＝∠PAB，
∵AB＝AB'，PA＝AD，
∴△ADB'≌△APB（SAS），
∴BP＝B'D，
∵PB＝2，
∴B'D＝2，
∴D在以B'为圆心，2为半径的圆上运动，
∵B（5，0），A（1，0），
∴B'（1，﹣4），
∵BF＝2，
∴F（7，0），
∴B'F＝2，
∴DF的最大值为22，DF的最小值为22，
∴22≤DF≤22．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用瓜豆原理是解题的关键．
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