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对应练习答案解析
一、选择题
1．如图，在△ 中，∠ = 60°，∠ 和∠ 的平分线 、 相交于点 ， 交 于
点 ， 交 于点 ，若已知△ 周长为 20， = 7， : = 4: 3，则 长为（ ）
A 18． B 24 26． C． D．4
7 7 7
【答案】B
【分析】在 上截取 = ，连接 ，由 SAS可证得△ ≌△ ，于是可得∠ =
∠ = 60°，由 ASA可证得△ ≌△ ，于是可得 = ，进而可求得 的长．
【详解】解：如图，在 上截取 = ，连接 ，
∵ 平分∠ ， 平分∠ ，
∴ ∠ = ∠ = 1∠ ，∠ = ∠ = 1∠ ，
2 2
∵ ∠ = 60°，
∴ ∠ + ∠ = 180° ∠ = 180° 60° = 120°，
∴ ∠ + ∠ = 1 ∠ + ∠ = 1 × 120° = 60°，
2 2
∴ ∠ = 180° ∠ + ∠ = 180° 60° = 120°，
∴ ∠ = 180° ∠ = 180° 120° = 60°，
∠ = 180° ∠ = 180° 120° = 60°，
∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
在△ 和△ 中，
试卷第 1页，共 17页
=
∠ = ∠ ，
=
∴△ ≌△ SAS ，
∴ ∠ = ∠ = 60°，∴ ∠ = ∠ ∠ = 120° 60° = 60°，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，
在△ 和△ 中，
∠ = ∠
= ，
∠ = ∠
∴△ ≌△ ASA ，
∴ = ，∴ + = + = = 7，
∵△ 周长为 20，∴ + + = 20，
∴ + = 20 ，
∴ +
= +
= + +
= 20
= 20 7 7 = 6，
∵ : = 4: 3，∴ = 3 ，∴ + 3 = 6 24，解得： = ，
4 4 7
故选：B．
试卷第 2页，共 17页
2．如图，在△ 中， = ，∠ = 90°， 平分∠ 交 于点 D， ⊥ 交
的延长线于点 E．则下列结论：①∠ = 22.5°；② = 2 ；③若 = 4，则 △ = 16；

④ △ = = ．其中正确的结论有（ ）
△
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据等角的余角相等，证明∠ = ∠ = 22.5°，可判断①；证明△ ≌△
ASA ，△ ≌△ ASA 可判断②；根据三角形全等性质和三角形面积公式，可
判定③；根据三角形的面积公式，等腰三角形的判定和性质可判定④．
【详解】解：∵ = ，∠ = 90°，∴∠ = ∠ = 45°，
∵ 平分∠ ∴∠ = ∠ = 22.5°，∵ ⊥ ，∴∠ = ∠ = 90°，
∵∠ = ∠ ，∴∠ = ∠ = 22.5°，∴①正确；
延长 , ，相交于点 F，
∠ = ∠
∵ = ，∴△ ≌△ ASA ，∴ = ，
∠ = ∠
∠ = ∠
∵ = ，∴△ ≌△ ASA ，∴ = ，∴ = 2 ，
∠ = ∠ = 90°
∴ = 2 ；故②正确；
∵ = 4，∴ = 2 = 8 1；∴ △ = · = 16，故③正确；2
∵△ , △ 是底边 、 上的等高三角形，∴ △ = ，
△
过点 D 作 ⊥ 于点 H，∵ 平分∠ ， ⊥ ， ⊥ ，∴ = ，
1

∴ △ 2
·
= = △ = = 1 ，∴ ，故④正确；则正确的结论有 4个， △ 2 · △
故选：D．
试卷第 3页，共 17页
3．如图， 平分∠ ， ⊥ ，垂足为 E， ∥ 交 的延长线于点 F，若 恰好平
分∠ ．则下列结论中：① 是△ 的高；② 是△ 的中线；③ = = ；
④ = + ．其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质得到∠ + ∠ = 180°，那么 2∠ +
2∠ = 180°，即可判断①；证明△ ≌△ ASA ，即可判断②；证明△ ≌△
AAS 即可判断③；证明△ ≌△ HL ，则 = ，同理可知 = ，再根
据线段和差即可判断④．
【详解】解：∵ 平分∠ ， 恰好平分∠ ，
∴∠ = ∠ = 1∠ , ∠ = ∠ = 1∠ ，
2 2
∵ ∥ ，∴∠ + ∠ = 180°，∴2∠ + 2∠ = 180°，
∴∠ + ∠ = 90°，即∠ = 90°，∴ ⊥ ，即 是△ 的高，故①正确；
∵ ⊥ ∴∠ = ∠ = 90°，
∵ = ，∠ = ∠ ，∴△ ≌△ ASA ，
∴ = ，即 是△ 的中线，故②正确；
∵ ∥ ，∴∠ = ∠ ，∵∠ = ∠ ， = ∴△ ≌△ AAS ，
∴ = ，但不能证明 = = ，故③错误；过点 D 作 ⊥ 于点 G，如图所示：
∵ 平分∠ ， 平分∠ ，∠ = ∠ = 90°，∴ = = ，
∵ = ，∴△ ≌△ HL ，∴ = ，同理可知 = ，
∵ = + ，∴ = + ，故④正确，∴正确的有①②④，故选：B．
试卷第 4页，共 17页
二、填空题
4．已知∠ = 60°， 是∠ 的平分线，点 为 上一点，过 作直线 ⊥ ，垂足
为点 ，且直线 交 于点 ，如图所示．若 = 2，则 = ．
【答案】4
【分析】过点 作 ⊥ 于点 ，先根据角平分线的性质定理可得 = = 2，再求出
∠ = 30°，然后根据含 30度角的直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解：如图，过点 作 ⊥ 于点 ，
∵ 是∠ 的平分线， ⊥ ， ⊥ ， = 2，∴ = = 2，
∵∠ = 60°， ⊥ ，∴∠ = 90° ∠ = 30°，
∴在 Rt △ 中， = 2 = 4，故答案为：4．
5．如图，在△ 中，∠ 和∠ 的平分线 ， 相交于点 ， 交 于 ， 交
于 ，过点 作 ⊥ 于 1，下列四个结论：①∠ = 90° + ∠ ；②当∠ = 60°时， +
2
= ；③若 = ， + + = 2 ，则 △ = ．其中正确的是 ．（填
写正确的序号）
试卷第 5页，共 17页
【答案】①②③
【分析】根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知①正确；根据全等三角形的性质与
判定可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积可知③正确．
【详解】解：∵在△ 中，∠ + ∠ = 180° ∠ ，
1
∴ ∠ + 1∠ = 90° 1∠ ，
2 2 2
∵ 和 是∠ 和∠ 的平分线，∠ = 1∠ ，∠ = 1∠ ，
2 2
∴∠ + ∠ + ∠ = 1∠ + 1∠ + ∠ = 180°，
2 2
∴∠ = 180° 90° 1∠ = 90° + 1∠ ，故①正确；
2 2
在 上截取 = ，
∵ 和 是∠ 和∠ 的平分线，∴∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴在△ 和△ 中，
=
∠ = ∠ ，∴△ ≌△ SAS ，∴∠ = ∠ ，
=
∵∠ = 60°，∴∠ = 90° + 1∠ = 120°，∴∠ = 180° ∠ = 60°，
2
∴∠ = ∠ = ∠ = 60°，
∴∠ = 180° ∠ ∠ = 180° 60° 60 = 60°，∴∠ = ∠ ，
在△ 和△ 中，
∠ = ∠
= ，∴△ ≌△ ASA ，∴ = ，∴ = + = + ，
∠ = ∠
故②正确；
作 ⊥ 于 ， ⊥ 于 ，连接 ，
∵∠ 和∠ 的平分线 ， 相交于点 ， = ，
∴ = = = ，
试卷第 6页，共 17页
∵ + + = 2 ，
= + 1 1 1 1∴ △ △ △ + △ = × × + × × + × × = ×2 2 2 2
+ + × = 1 × 2 × = ，故③正确；故答案为①②③．
2
6．如图，在△ 和△ 中， = ， = ， > ，∠ = ∠ = 40°，
连接 ， 交于点 ，连接 ．下列结论：① = ；②∠ = 40°；③ 平分∠ ；
④ 平分∠ ．其中正确的是 ．
【答案】①②④
【分析】根据题意可得∠ = ∠ ，根据 SAS可证明△ ≌△ ，根据全等三角形
的性质得出 = ，即可判断①正确；根据全等三角形的性质得出∠ = ∠ ，根据
三角形的外角性质推得∠ = ∠ = 40°，即可判断②正确；作 ⊥ 于 ， ⊥
于 ，则∠ = ∠ = 90°，根据 AAS证明△ ≌△ AAS ，得出 = ，根
据角平分线的判定定理得出 平分∠ ，即可判断④正确；由∠ = ∠ ，得出当
∠ = ∠ 时， 才平分∠ ，假设∠ = ∠ ，由△ ≌△ 得出
∠ = ∠ ，由 平分∠ 得出∠ = ∠ ，推出△ ≌△ ，得 = ，
而 = ，所以 = ，而 > ，故③错误；即可得出结论．
【详解】解：∵∠ = ∠ = 40°，∴∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，即∠ = ∠ ，
=
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ ，∴△ ≌△ SAS ，∴ = ，①正确；
=
∵△ ≌△ ，∴∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
由三角形的外角性质得：∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，
试卷第 7页，共 17页
∴∠ = ∠ = 40°，②正确；
作 ⊥ 于 ， ⊥ 于 ，如图
则∠ = ∠ = 90°，
∠ = ∠
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ ，∴△ ≌△ AAS ，∴ = ，
=
∴ 平分∠ ，④正确；
∵∠ = ∠ ，∴当∠ = ∠ 时， 平分∠ ，
假设∠ = ∠ ，
∵∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，∴∠ = ∠ ，
∵ 平分∠ ，∴∠ = ∠ ，
∠ = ∠
在△ 和△ 中， = ，∴△ ≌△ ASA ，∴ = ，
∠ = ∠
∵ = ，∴ = ，与 > 矛盾，∴③错误；
故答案为：①②④．
7．如图，在△ 中， = ， = ， = ，∠ = 60°，角平分线 、 交于点 ，
⊥ 于点 ， = 2．下列结论：①点 在∠ 的平分线上；②∠ = 120°；③ =
；④ △ = + + ，其中正确的结论是 （填序号）
【答案】①②④
【分析】过点 O 作 ⊥ 于点 G， ⊥ 于点 N，根据角平分线性质得出 = ， =
，从而得出 = ，根据角平分线的判定即可得出①正确；根据三角形的内角和定理
可得∠ + ∠ = 120° 1，再根据角平分线的定义可得∠ + ∠ = ∠ +
2
1∠ = 60°，然后根据三角形的外角性质即可判断②正确；在 上取一点 ，使得 =
2
试卷第 8页，共 17页
，连接 ， ，先根据三角形全等的判定定理与性质得出△ ≌△ , =
, ∠ = ∠ = 60°，从而可得∠ = ∠ = 60°，再根据三角形全等的判定定理
与性质可得△ ≌△ , = , = ，根据三角形全等的判定定理证出
△ ≌△ ，从而可得 = , = ，再根据直角三角形全等的判定定理证出
Rt △ ≌ Rt △ ，从而可得 = ，然后根据线段的和差即可判断③错误；根据
= = = 2， △ = △ + △ + △ ，即可判断④正确．
【详解】解：过点 O 作 ⊥ 于点 G， ⊥ 于点 N，如图所示：
∵ 是∠ 的角平分线， ⊥ ， ⊥ ，∴ = ，
同理得： = ，∴ = ，∴点 在∠ 的平分线上，故①正确；
∵在△ 中，∠ = 60°，∴ ∠ + ∠ = 120°，
∵ , 分别是∠ , ∠ 的角平分线，
∴ ∠ = ∠ = 1∠ , ∠ = ∠ = 1∠ ，
2 2
∴ ∠ + ∠ = 1∠ + 1∠ = 60°，∴ ∠ = ∠ + ∠ = 60°，
2 2
则∠ = 120°，结论②正确；
如图，在 上取一点 ，使得 = ，连接 ，连接 ，
=
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ ，∴△ ≌△ (SAS)，
=
∴ = , ∠ = ∠ = 60°，
∴ ∠ = 180° ∠ ∠ = 60°，
由对顶角相等得：∠ = ∠ = 60°，∴ ∠ = ∠ ，
∠ = ∠
在△ 和△ 中， = ，∴△ ≌△ (ASA)，
∠ = ∠
∴ = ，∴ = ，
试卷第 9页，共 17页
∵ ∠ = ∠ + ∠ = 60° + ∠ ∠ = ∠ + ∠ = 60° + ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∠ = ∠ = 90°
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ ，∴△ ≌△ (AAS)，
=
∴ = , = ，
在 Rt △ Rt △ = 和 中， = ，∴ Rt △ ≌ Rt △ (HL)，∴ = ，
∴ = + = + = 2 ，故③错误；
由以上证明可知： = = = 2，
∴ 1 1 1△ = △ + △ + △ = × + × + × 2 2 2
= 1 × 2 × + + = + + ，故④正确；
2
故答案为：①②④．
8．如图，在 Rt △ 中，∠ = 90°，∠ 和∠ 的平分线相交于点 O， ⊥ 交
于 D， ⊥ 交 于 E， = 5， = 12， = 13，则△ 周长为
【答案】4
【分析】本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构建全等三
角形是解本题的关键；延长 交 于 ，延长 交 于 ，先证明△ ≌△ ，
△ ≌△ ，△ ≌△ ，结合 + + = + + =
+ ( + )即可得到答案．
【详解】解：如图，延长 交 于 ，延长 交 于 ，
试卷第 10页，共 17页
，
∵∠ 和∠ 的平分线相交于点 O，∴∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∵ ⊥ ， ⊥ ，∴∠ = ∠ = 90°，∠ = ∠ = 90°，
∠ = ∠
在△ 与△ 中， = ，∴△ ≌△ (ASA)∴ = ， = ，
∠ = ∠
∠ = ∠
在△ 与△ 中， = ，∴△ ≌△ (ASA)，∴ = ， = ，
∠ = ∠
=
在△ 与△ 中， ∠ = ∠ ，∴△ ≌△ (SAS)，∴ = ，
=
∴ + + = + + = + ( + ) = +
，
∵ = 5， = 12， = 13，∴ + + = 5 + 12 13 = 4，
故答案为：4．
三、解答题
9．如图， 平分∠ ， ⊥ 于点 ，∠ + ∠ = 180°．求证： = + ．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，
解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，首先过点 作 ⊥ ，交 的延长线于点 ，
可证△ ≌△ AAS ，根据 HL可证 Rt △ ≌Rt △ HL ，所以可得 = ，
等量代换可证结论成立．
【答案】证明：如图所示，过点 作 ⊥ ，交 的延长线于点 ．
∵ 平分∠ ， ⊥ ，∴ = ，
试卷第 11页，共 17页
∵ ∠ + ∠ = 180°，∠ + ∠ = 180°，∴ ∠ = ∠ ．
∠ = ∠ ,
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ = 90°, ∴△ ≌△ AAS ，∴ = ，
= ,
= ,
在 Rt △ 和 Rt △ 中， = , ∴ Rt △ ≌Rt △ HL ，
∴ = ，
∵ = + ，∴ = + ．
10．如图，在四边形 中，∠ = ，∠ = 180° ， 平分∠ ．
(1)如图 1，若 = 90°， = 2cm，则 = ；
(2)问题解决：如图 2，求证： = ；
(3)问题拓展：如图 3，在等腰△ 中，∠ = 100°， 平分∠ ，求证： + = ．
【分析】（1）若 = 90°，可得 ⊥ ， ⊥ ，再根据角平分线的性质即可求解；
（2）如图 2，过点 分别作 ⊥ 于 ， ⊥ 的延长线于点 ，由角平分线的性质可得
= ，再由∠ = 180° ，∠ = 180° 可得∠ = ∠ ，即可证明
△ ≌△ （AAS），得到 = ；
3 3 = ∠ = ∠ = 180° 100°（ ）如图 ，在 上取 ，由等腰三角形的性质可得 = 40°，
2
进而得到∠ = 1∠ = 1 × 40° = 20°，再得到∠ = ∠ = 180° 20° = 80°，即得
2 2 2
∠ + ∠ = 100° + 80° = 180°，再由（2）可得 = ，然后根据三角形外角性质可
得∠ = ∠ ∠ = 80° 40° = 40°，可得到∠ = ∠ ，进而得到 = ，即得
= ，据此即可求证．
【答案】（1）解：若 = 90°，则∠ = 90°，∠ = 180° 90° = 90°，
∴ ⊥ ， ⊥ ，
∵ 平分∠ ，∴ = = 2cm，故答案为：2cm；
（2）证明：如图 2，过点 分别作 ⊥ 于 ， ⊥ 的延长线于点 ，则∠ = ∠ =
90°，
∵ 平分∠ ，∴ = ，
试卷第 12页，共 17页
∵ ∠ + ∠ = 180°，∴ ∠ = 180° ，
∵ ∠ = 180° ，∴ ∠ = ∠ ，∴△ ≌△ （AAS），
∴ = ；
（3）证明：如图 3，在 上取 = ，
∵△ ∠ = 100° ∴ ∠ = ∠ = 180° 100°是等腰三角形， ， = 40°，
2
∵ 平分∠ 1 1，∴ ∠ = ∠ = × 40° = 20°，
2 2
∵ = ，∴ ∠ = ∠ = 180° 20° = 80°，∴ ∠ + ∠ = 100° + 80° = 180°，
2
由（2）可得， = ，
∵ ∠ + ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ∠ = 80° 40° = 40°，
∴ ∠ = ∠ ，∴ = ，∴ = ，∴ = + = + ，即 + = ．
11．定义：一组对角互补且对角线平分四边形其中一个内角，这样的四边形称为余缺四边
形．如图 1，四边形 ，∠ + ∠ = 180°， 平分∠ ，则四边形 为余缺四边形．
【概念理解】
（1）用______（填序号）可以拼成余缺四边形．
①两个全等的直角三角形，②两个全等的等边三角形；
（2）如图 1，余缺四边形 ， 平分∠ ，若 = 4， = 3 ，则 △ =______；
△
【迁移应用】
如图 2，已知△ ，∠ 的平分线 与 的垂直平分线交于 P 点，连接 ， ．
试卷第 13页，共 17页
（3）求证：四边形 为余缺四边形；
（4）若 = 9， = 5，则 2 2的值为______．
【分析】（1）画出图形根据定义进行判断即可；
（2）过点 作 ⊥ ，作 ⊥ ，根据角平分线的性质得出 = ，进一步得出结果；
（3）过点 作 ⊥ 于点 ，作 ⊥ ，交 的延长线于点 ，证明 Rt △ ≌ Rt △ ，
进而得出∠ + ∠ = 180°，从而得出结论；
（4）在（3）的基础上得出 = ， = ，进而求得 = = 2，进一步得出结果.
【详解】解：（1）如图 1，
∵ ∠ = ∠ ，∠ + ∠ = 90° + 90° = 180°，∴四边形 为余缺四边形，
∵ ∠ = ∠ = 60°，∠ + ∠ = 120° ≠ 180°，∴四边形 不是余缺四边形，
故答案为：①；
（2）解：如图，过点 作 ⊥ ，作 ⊥ ，
1
∵ 平分∠ ，∴ = ∴ ， △ = 2 = 1 =
4 1
，故答案为： ；
△ 3 32
（3）证明：如图 3，过点 作 ⊥ 于点 ，作 ⊥ ，交 的延长线于点 ，
∴ ∠ = ∠ = 90°，∵ 平分∠ ，∴ = ，
∵ = ，∴ Rt △ ≌ Rt △ (HL)，∴∠ = ∠ ，∴ = ，
∴ = + ，
∵ 是 的垂直平分线，∴ = ，∴ Rt △ ≌ Rt △ (HL)，
试卷第 14页，共 17页
∴ ∠ = ∠ ，∵ ∠ + ∠ = 180°，∴ ∠ + ∠ = 180°，且 平分∠ ，
∴四边形 为余缺四边形；
（4）解：如图 3，
由（3）得：Rt △ ≌ Rt △ ，
∴ = ，∴ = + ，
∴ 9 = 5 + ，∴ = = 2，
∴ = = 7，
∴ 2 2 = ( 2 + 2) ( 2 + 2) = 2 2 = 72 22 = 45；
故答案为：45；
12．【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图 1，∠ 是一个任意角，
在边 ， 上分别取 = ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 ， 重合，
即 = ．过角尺顶点 的射线 便是∠ 的平分线，已知角尺的夹角∠ = 90°．
【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理；
【变式判断】张明同学认为当∠ = 90°时，工人师傅就不需要先在边 ， 上分别取
= ，直接移动角尺，使角尺的两边分别与 ， 相交于点 ， ，且满足 = ，
如图 2所示，便可以得到 平分∠ ，你觉得张明的观点对吗？并说明理由；
【拓展探究】如图 3，∠ = 90°， 平分∠ ， 是射线 上的一点，点 在射线
上运动，过点 作 ⊥ ，与直线 交于点 ，过点 作 ⊥ 于点 .若 = 3， = 1，
请直．接．写出 的长．
【分析】[初步思考]根据 SSS证明△ ≌△ 即可；
[变式判断] 过点 作 ⊥ 于点 ，作 ⊥ 于点 ，证明△ ≌△ AAS ，则
= ，再根据角平分线的判定即可说理；
[拓展探究] 当点 D 在点 O 右侧时，过点 P 作 ⊥ 于点 F， 证明△ ≌△ ASA ，
则 = = = 2，再证明△ ≌△ AAS ，则 = = 3，那么 =
试卷第 15页，共 17页
+ = 5；当点 D 在点 O 左侧时，过点 P 作 ⊥ 于点 F，同理可求 = = +
= 4， = = 3，故 = + = 7．
=
【详解】[初步思考]，解：在△ 和△ 中 = ∴△ ≌△ ，
=
∴ ∠ = ∠ ，即 平分∠ ；
[变式判断]，解：张明的观点正确，理由如下，
过点 作 ⊥ 于点 ，作 ⊥ 于点 ，
∴∠ = ∠ = ∠ = 90°，∴∠ = 90°，
∵∠ = 90°，∴∠ = ∠ = 90° ∠ ，
∵ ⊥ ， ⊥ ∴∠ = ∠ = 90°，
∵ = ∴△ ≌△ AAS ，∴ = ,
∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ 平分∠ ，∴张明的观点正确；
[拓展探究]解：当点 D 在点 O 右侧时，过点 P 作 ⊥ 于点 F，如图
∵ ⊥ ， 平分∠ ，∴ = ，∠ = ∠ = ∠ = 90°，
同上可得，∠ = ∠ = 90°，∴∠ = ∠ = 90° ∠ ，
∴△ ≌△ ASA ，∴ = = = 2，
∵ 平分∠ ，∴∠ = ∠ ，
∵ = , ∠ = ∠ = 90°，∴△ ≌△ AAS ，∴ = = 3，
∴ = + = 5；
当点 D 在点 O 左侧时，过点 P 作 ⊥ 于点 F，如图
试卷第 16页，共 17页
∵ ⊥ ， 平分∠ ，∴ = ，∠ = ∠ = ∠ = 90°，
同上可得，∠ = ∠ = 90°，∴∠ = ∠ = 90° ∠ ，
∴△ ≌△ ASA ，∴ = = + = 4，
∵ 平分∠ ，∴∠ = ∠ ，
∵ = , ∠ = ∠ = 90°，∴△ ≌△ AAS ，∴ = = 3，
∴ = + = 7，综上： 长为 5或 7．
试卷第 17页，共 17页《角平分线中常见辅助线作法的解题策略》自主学习单
——翠园文锦中学 肖嘉琪
班级：____________ 姓名：__________
知识技能梳理
辅助线在几何解题中具有重要作用，其核心作用包括转化条件，即将角平分
线的性质转化为具体的线段或角度关系；构造全等或相似三角形，利用其性质简
化计算；联想角平分线定理、等腰三角形“三线合一”等定理，搭建已知与未知的
桥梁。常见的辅助线作法有作垂直（过角平分线上一点作两边垂线段）、截取（在
角平分线一侧截取与另一侧等长线段）、延长（延长角平分线的垂线构造等腰三
角形）、平行（过角平分线上一点作一边平行线以构造等腰三角形）。辅助线的
选取策略需结合条件与结论，若已知角平分线上的点，可优先作垂线或平行线；
已知线段和差则优先用截长补短法；若需证线段相等，可通过截长补短、作垂线
等构造全等三角形；证角度关系时，可利用平行线转移角或构造等腰三角形；对
于多角平分线的复杂图形问题，可结合内心性质作多组垂线进行拆分分析。
模块一：探索求知，方法初悟
探究一：已知 OP平分∠AOB，在 OA，OB上分别取点 M、N，使得△OPN≌△
OPM.
作法：
探究二：已知 OP平分∠AOB，在 OA或 OB上取点 M，使得 MO=MP.
作法：
模块二：研习例题，学以致用
例 1 如图，在四边形 ABCD中，AB//CD，DE平分∠ADC，AE平分∠BAD，求
证：点 E是 BC的中点.（一题多解）
模块三：实战演练，能力升华
1. 如图，∠AOB=45°，OC 平分∠AOB，点 D是 OC 上一点，过点 D作 OA 的垂线，
交 OA 于点 E，交 OB 于点 F，点 DE=1，则 DF 的长为____.
2. 如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC 于点 D，点 E为 AB 上一点，∠AED＝∠C，
若 AD=4，AE=5，DE＝6，则 BC＝____.

3. 如图，在△ABC 中，AB=3，BC=6，点 D在 AC 边上，且 BD 平分∠ABC，则

＝____.
4.如图，已知在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，BD 平分∠ABC，交 AC 于点 D，

CE⊥BD 于点 D，则 ＝____.

对应练习
一、选择题
1．如图，在△ 中，∠ = 60°，∠ 和∠ 的平分线 、 相交于点 ，
交 于点 ， 交 于点 ，若已知△ 周长为 20， = 7， : = 4: 3，
则 长为（ ）
18 24 26
A． B． C． D．4
7 7 7
2．如图，在△ 中， = ，∠ = 90°， 平分∠ 交 于点 D， ⊥
交 的延长线于点 E．则下列结论：①∠ = 22.5°；② = 2 ；③若
= 4 ，则 △ = 16；④ △ = = ．其中正确的结论有（ ） △
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3．如图， 平分∠ ， ⊥ ，垂足为 E， ∥ 交 的延长线于点 F，
若 恰好平分∠ ．则下列结论中：① 是△ 的高；② 是△ 的中
线；③ = = ；④ = + ．其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
4．已知∠ = 60°， 是∠ 的平分线，点 为 上一点，过 作直线 ⊥
，垂足为点 ，且直线 交 于点 ，如图所示．若 = 2，则 = ．
5.如图，在△ 中，∠ 和∠ 的平分线 ， 相交于点 ， 交 于 ，
交 于 ，过点 作 ⊥ 于 1，下列四个结论：①∠ = 90° + ∠ ；
2
②当∠ = 60°时， + = ；③若 = ， + + = 2 ，则 △ =
．其中正确的是 ．（填写正确的序号）
6．如图，在△ 和△ 中， = ， = ， > ，∠ =
∠ = 40°，连接 ， 交于点 ，连接 ．下列结论：① = ；②
∠ = 40°；③ 平分∠ ；④ 平分∠ ．其中正确的是 ．
7．如图，在△ 中， = ， = ， = ，∠ = 60°，角平分线 、
交于点 ， ⊥ 于点 ， = 2．下列结论：①点 在∠ 的平分线上；②
∠ = 120°；③ = ；④ △ = + + ，其中正确的结论是
（填序号）
8．如图，在 Rt △ 中，∠ = 90°，∠ 和∠ 的平分线相交于点 O， ⊥
交 于 D， ⊥ 交 于 E， = 5， = 12， = 13，则△ 周长
为
三、解答题
9．如图， 平分∠ ， ⊥ 于点 ，∠ +∠ = 180°．求证： = + ．
10．如图，在四边形 中，∠ = ，∠ = 180° ， 平分∠ ．
(1)如图 1，若 = 90°， = 2cm，则 = ；
(2)问题解决：如图 2，求证： = ；
(3)问题拓展：如图 3，在等腰△ 中，∠ = 100°， 平分∠ ，求证：
+ = ．
11．定义：一组对角互补且对角线平分四边形其中一个内角，这样的四边形称为
余缺四边形．如图 1，四边形 ，∠ +∠ = 180°， 平分∠ ，则四
边形 为余缺四边形．
【概念理解】
（1）用______（填序号）可以拼成余缺四边形．
①两个全等的直角三角形，②两个全等的等边三角形；
（2）如图 1，余缺四边形 ， 平分∠ ，若 = 4， = 3，则
△ =______；
△
【迁移应用】
如图 2，已知△ ，∠ 的平分线 与 的垂直平分线交于 P点，连接 ，
．
（3）求证：四边形 为余缺四边形；
（4）若 = 9， = 5，则 2 2的值为______．
12．【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图 1，∠ 是
一个任意角，在边 ， 上分别取 = ，移动角尺，使角尺两边相同的刻
度分别与点 ， 重合，即 = ．过角尺顶点 的射线 便是∠ 的平分
线，已知角尺的夹角∠ = 90°．
【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理；
【变式判断】张明同学认为当∠ = 90°时，工人师傅就不需要先在边 ，
上分别取 = ，直接移动角尺，使角尺的两边分别与 ， 相交于点 ，
，且满足 = ，如图 2所示，便可以得到 平分∠ ，你觉得张明的
观点对吗？并说明理由；
【拓展探究】如图 3，∠ = 90°， 平分∠ ， 是射线 上的一点，点
在射线 上运动，过点 作 ⊥ ，与直线 交于点 ，过点 作 ⊥
于点 .若 = 3， = 1，请直．接．写出 的长．

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