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重难突破5　平抛运动的综合问题
1.（2025·安徽蚌埠三模）如图为某运动员自由式滑雪训练场景示意图，运动员从跳台a处沿水平方向飞出，在斜坡b处着陆，如果其在空中运动过程中与斜面间的最大距离为 m，斜坡与水平方向的夹角为30°，重力加速度g取10 m/s2，则其从a处飞出时的速度大小为（　　）
A.10 m/s B.5 m/s
C. m/s D. m/s
2.（2025·福建福州期末）如图所示，以水平初速度v0＝10 m/s抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为60°的斜面上。不计空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2，则物体完成这段飞行的时间是（　　）
A. s B.1 s
C. s D.2 s
3.（2025·四川德阳一模）如图所示，在竖直直角坐标系内有一高度为8 m、倾角为37°的斜面，将小球从＋y轴上位置（0，8 m）处沿＋x方向水平抛出，初速度为4 m/s，g取10 m/s2，则小球第一次在斜面上的落点位置为（　　）
A.（3 m，4 m） B.（3 m，5 m）
C.（4 m，5 m） D.（4 m，3 m）
4.（2025·黑龙江哈尔滨期中）如图所示，圆环竖直放置，从圆心O点正上方的P点，以速度v0水平抛出的小球恰能从圆环上的Q点沿切线方向飞过，若OQ与OP间夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，则（　　）
A.圆环的半径为R＝
B.小球从P点运动到Q点的时间t＝
C.小球从P点运动到Q点的速度变化量
D.小球运动到Q点时的速度大小为vQ＝
5.（2025·江西赣州期末）如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为y＝x2，在y轴上有一点P，坐标为（0，6）。从P点将一可以看成质点的小球水平抛出，初速度为1 m/s。不计空气阻力，g取10 m/s2，则小球打在曲面上所用时间为（　　）
A.1 s B. s
C. s D. s
6.如图所示，乒乓球的发球器安装在水平桌面上，竖直转轴OO'距桌面的高度为h，发射器O'A部分长度也为h。打开开关后，可将乒乓球从A点以初速度v0水平发射出去，其中≤v0≤2，设发射出的所有乒乓球都能落到桌面上，乒乓球自身尺寸及空气阻力不计。若使该发球器绕转轴OO'在90°角的范围内来回缓慢水平转动，持续发射足够长时间后，乒乓球第一次与桌面相碰区域的最大面积S是（　　）
A.2πh2 B.3πh2
C.4πh2 D.8πh2
7.〔多选〕（2025·山东菏泽期中）如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，同时从A点水平抛出甲、乙两个小球，初速度分别为v1、v2，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为30°，忽略空气阻力，两小球均可视为质点，则（　　）
A.甲、乙两球同时落到轨道上
B.v1∶v2＝1∶3
C.乙球的速度变化量比甲球的大
D.乙球在D点速度的反向延长线一定过O点
8.（2025·云南昆明模拟）如图所示，从高H＝5 m处的A点先后水平抛出两个小球1和2。球1与地面碰撞一次后，恰好越过位于水平地面上的竖直挡板落在水平地面上的E点，已知碰撞前后的水平分速度不变、竖直分速度等大反向。球2的初速度v0＝3 m/s，也恰好越过挡板落在E点，忽略空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正确的是（　　）
A.小球2的水平射程为5 m
B.小球1平抛运动的初速度为1.5 m/s
C.抛出点A与竖直挡板顶端D点的高度差h＝ m
D.抛出点A与竖直挡板顶端D点的高度差h＝1.25 m
9.（2025·湖北荆州期末）如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t，重力加速度为g，B到斜面底边的竖直高度为H，则下列说法中正确的是（　　）
A.若小球以最小位移到达斜面，则t＝
B.若小球以最小位移到达斜面，则v0＝sin θ
C.若小球能击中斜面中点，则t＝
D.若小球垂直击中斜面，则t＝
10.（2025·湖北武汉模拟）如图所示，倾角为37°的斜面固定在水平面上，小球从斜面上M点的正上方0.2 m处由静止下落，在M点与斜面碰撞，之后落到斜面上的N点。已知小球在碰撞前、后瞬间，速度沿斜面方向的分量不变，沿垂直于斜面方向的分量大小不变，方向相反，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空气阻力，则小球从M点运动至N点所用的时间为（　　）
A.0.2 s B.0.3 s
C.0.4 s D.0.5 s
11.（2025·河北邢台二中模拟）如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙（厚度不计）高h＝3.2 m，围墙到房子的水平距离L＝3 m，围墙外空地宽x＝10 m。为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，重力加速度g取10 m/s2，求：
（1）小球离开屋顶时的速度v0的大小范围；
（2）小球落在空地上的最小速度。
12.（2025·福建三明模拟）水车是我国劳动人民利用水能的一项重要发明。如图为某景观水车模型，水从槽口水平流出，某时刻正好垂直落在与水平面成30°角的轮叶边缘上，轮叶在水流不断冲击下而转动。已知水车轮轴到轮缘距离为R，槽口到水车轮轴所在水平面距离为2R，忽略空气阻力，重力加速度为g，求：
（1）水流从槽口到轮叶的运动时间t；
（2）水流初速度v0的大小和打在轮叶上的速度v的大小。
重难突破5　平抛运动的综合问题
1.A　将运动员在a处的速度及重力加速度g分解为垂直于斜面方向和沿斜面方向，则沿垂直于斜面方向，当运动员到达距离斜面最大高度时，有hm＝＝ m，解得v0＝10 m/s，故选A。
2.A　物体撞在斜面上的速度与斜面方向垂直，将该速度分解，如图所示。由于不计空气阻力，因此物体水平方向的速度仍为v0，设物体竖直方向的速度为vy，则tan 60°＝＝，此外，由于物体竖直方向只受到重力，因此竖直方向的加速度为重力加速度g，且物体竖直方向的初速度为零，则有vy＝gt，联立两式解得t＝ s，故选A。
3.D　设小球第一次在斜面上的落点位置为（x，y），小球在空中做平抛运动，水平方向有x＝v0t，竖直方向有y0－y＝gt2，其中v0＝4 m/s，y0＝8 m，又由几何关系可得tan 37°＝，联立解得x＝4 m，y＝3 m，故选D。
4.A　以速度v0水平抛出的小球恰能从圆环上的Q点沿切线方向飞过，小球运动到Q点时的速度大小为vQ＝，故D错误；小球在Q点的竖直方向的速度为vQy＝v0tan θ，小球从P点运动到Q点的时间t＝＝，故B错误；小球水平方向做匀速直线运动，有Rsin θ＝v0t，联立可得圆环的半径为R＝，故A正确；小球从P点运动到Q点的速度变化量Δv＝gt＝v0tan θ，故C错误。
5.A　小球做平抛运动，则打在曲面上时，竖直方向位移为h＝gt2，水平位移x＝v0t，则小球的坐标为，小球打在曲面上，满足曲面方程y＝x2，将小球坐标代入曲面方程，解得t＝1 s，故A正确，B、C、D错误。
6.C　根据平抛运动规律h＝gt2，解得t＝，以最小速度v1＝发射的乒乓球，水平位移最小，为x1＝v1t＝×＝2h，对应的与桌面相碰区域的圆半径为r1＝h＋x1＝3h，以最大速度v2＝2发射的乒乓球，水平位移最大，为x2＝v2t＝2×＝4h，对应的与桌面相碰区域的圆半径为r2＝h＋x2＝5h，乒乓球第一次与桌面相碰区域的最大面积S＝π[（5h）2－（3h）2]＝4πh2，故C正确。
7.AB　两个小球下落的高度是相等的，根据h＝gt2，又Δv＝gt，可知甲、乙两球下落到轨道的时间相等，速度变化相等，故A正确，C错误；设圆形轨道的半径为R，则甲水平位移为x1＝R－Rsin 30°＝0.5R，乙水平位移为x2＝R＋Rsin 30°＝1.5R，可得x2＝3x1，水平方向做匀速直线运动，则有v1∶v2＝1∶3，故B正确；D点速度反向延长线过水平位移中点，所以乙球在D点速度的反向延长线不过O点，故D错误。
8.D　根据H＝gt2，x＝v0t，小球2的水平射程为x＝3 m，A错误；两球均落到E点，根据对称性可知，小球1和2运动总时间之比为t1∶t2＝3∶1，小球1落至C点的水平位移为x1＝＝1 m，小球1平抛运动的初速度为v1＝，得v1＝1 m/s，B错误；球2运动至挡板顶端D与球1从挡板顶端D运动至最高点的时间相同，则对应的水平方向位移之和为v0＋v1＝2 m，得抛出点A与竖直挡板顶端D点的高度差为h＝1.25 m，故C错误，D正确。
9.B　过抛出点作斜面的垂线CD，如图所示，当小球落在斜面上的D点时，位移最小，设运动的时间为t，则水平方向，有x＝v0t，竖直方向，有y＝gt2，根据几何关系有＝tan θ，则有＝tan θ，解得t＝，故A错误；由A选项可知v0＝x，由几何关系可得此时竖直方向位移y＝Hcos θ·cos θ＝Hcos2 θ，水平方向位移x＝Hcos θsin θ，由以上可知v0＝sin θ，故B正确； 若小球能击中斜面中点，小球下落的高度设为h，水平位移设为x1，则由几何关系可得tan θ＝＝＝，解得t1＝，故C错误；小球垂直击中斜面时速度与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝，解得t＝，故D错误。
10.C　由自由落体运动公式v2＝2gh，得小球到M点的速度大小为v＝2 m/s，以沿斜面方向为x轴，以垂直于斜面方向为y轴建立坐标系，如图所示。则vy'＝vy＝vcos 37°＝1.6 m/s，vx＝vsin 37°＝1.2 m/s，将重力加速度分解为ay＝gcos 37°＝8 m/s2，ax＝gsin 37°＝6 m/s2，小球从M点落到斜面上的N点，由运动学公式y＝vy't－ayt2＝0，代入数据解得t＝0.4 s，故选C。
11.（1）5 m/s≤v0≤13 m/s　（2）5 m/s
解析：（1）设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为v01，则小球的水平位移
L＋x＝v01t1
小球的竖直位移H＝ g
联立解得v01＝13 m/s
设小球恰好越过围墙边缘时的水平初速度为v02，则小球的水平位移L＝v02t2
小球的竖直位移H－h＝ g
解得v02＝5 m/s
故小球抛出时的速度大小范围为5 m/s≤v0≤13 m/s。
（2）小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过围墙的边缘落在空地上时，落地速度最小。竖直方向有＝2gH
又vmin＝
解得vmin＝5 m/s。
12.（1）　（2）　2
解析：（1）由几何知识知，水流从槽口到轮叶，下落的高度为h＝2R－Rsin 30°
竖直方向上水做自由落体运动，有h＝gt2
联立解得t＝。
（2）设水流垂直落到轮叶边缘时竖直方向的分速度为vy，则vy＝gt
水流垂直落在与水平面成30°角的轮叶边缘上，则tan 30°＝
水流打在轮叶上的速度的大小为v＝
联立可得v0＝，v＝2。
3 / 3　平抛运动的综合问题
突破点一　与斜面有关的平抛运动问题
与斜面有关的平抛运动的三种情境分析
模型 方法 基本规律
分解速度，构建速度三角形，找到斜面倾角θ与速度方向的关系 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt 合速度： v＝ 方向：tan θ＝
分解速度，构建速度的矢量三角形 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt 合速度： v＝ 方向：tan θ＝
分解位移，构建位移三角形，隐含条件：斜面倾角θ等于位移与水平方向的夹角 水平：x＝v0t 竖直：y＝gt2 合位移： s＝ 方向：tan θ＝
顺着斜面的平抛运动
（2025·贵州遵义三模）可视为质点的运动员从P点以v0的速度水平飞出，若不计空气阻力，运动员在空中飞行3 s后落在斜面上Q点。简化示意图如图所示，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则运动员由P到Q的过程中（　　）
A.水平初速度大小为30 m/s
B.水平初速度大小为20 m/s
C.P到Q的位移大小为45 m
D.P到Q的位移大小为60 m
尝试解答
对着斜面的平抛运动
如图所示，斜面倾角为θ＝30°，在斜面上方某点处，先让小球（可视为质点）自由下落，从释放到落到斜面上所用时间为t1，再让小球在该点水平抛出，小球刚好能垂直打在斜面上，运动的时间为t2，不计空气阻力，则为（　　）
A.　 B.　
C.　 D.
尝试解答
突破点二　与曲面有关的平抛运动问题
与曲面有关的平抛运动的三种情境分析
运动情景 物理量分析
tan θ＝＝→t＝
在半圆内的平抛运动， R＋＝v0t→t＝
小球恰好从圆柱体的Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等
如图所示，在竖直放置的半球形容器的中心O点分别以水平初速度v1、v2沿相反方向抛出两个小球1和2（可视为质点），最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，则两小球的初速度之比为（　　）
A.tan α B.cos α
C.tan α D.cos α
尝试解答
突破点三　平抛运动中的临界极值问题
1.常见的“临界术语”
（1）题目中有“刚好”“恰好”“正好”“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在临界点。
（2）题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值。
2.平抛运动临界、极值问题的分析方法
（1）确定研究对象的运动性质；
（2）根据题意确定临界状态；
（3）确定临界轨迹，画出轨迹示意图；
（4）应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解。
平抛运动的临界问题
如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，竖直墙的厚度d＝0.4 m，某人在距离墙壁L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v水平抛出，要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2，则可以实现上述要求的速度大小是（　　）
A.2 m/s B.4 m/s
C.8 m/s D.10 m/s
尝试解答
平抛运动的极值问题
某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示。模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平。现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为（　　）
A.0 B.0.1 m
C.0.2 m D.0.3 m
尝试解答
重难突破5　平抛运动的综合问题
【着眼“四翼”·探考点】
突破点一
【例1】 B　运动员由P到Q的过程中，有tan 37°＝＝，可得水平初速度大小为v0＝＝20 m/s，故A错误，B正确；运动员由P到Q的过程中，水平位移为x＝v0t＝60 m，则P到Q的位移大小为s＝＝75 m，故C、D错误。
【例2】 D　设小球水平抛出的初速度为v0，则打到斜面上时，沿竖直方向的分速度vy＝＝gt2，水平位移x＝v0t2，抛出点到斜面的竖直高度h＝＋xtan θ＝＋＝，又h＝g，解得t2＝，t1＝，则＝，D正确。
突破点二
【例3】 C　两小球被抛出后都做平抛运动，设容器的半径为R，两小球运动的时间分别为t1、t2。则对小球1有Rsin α＝v1t1，Rcos α＝g，对小球2，有Rcos α＝v2t2，Rsin α＝g，解得两小球的初速度之比为＝tan α，故C正确。
突破点三
【例4】 B　小物件做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧墙边缘穿过时速度v最大。此时有L＝vmaxt1，h＝g，代入数据解得vmax＝7 m/s，小物件恰好擦着窗口下沿左侧墙边缘穿过时速度v最小，则有L＋d＝vmint2，H＋h＝g，代入数据解得vmin＝3 m/s，故v的取值范围是3 m/s≤v≤7 m/s，故B正确，A、C、D错误。
【例5】 C　设最高点距离水平地面的高度为H，右端出口距离地面距离为h，小球从最高点到右端出口，根据机械能守恒定律，有mg（H－h）＝mv2，从右端出口飞出后小球做平抛运动，有x＝vt，h＝gt2，联立解得x＝2，根据数学知识知，当H－h＝h时，x最大，即h＝1 m时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh＝1 m－0.8 m＝0.2 m，故C正确。
3 / 3(共53张PPT)
重难突破5 平抛运动的综合问题
高中总复习·物理
目 录
01
着眼“四翼”·探考点
02
培养“思维”·重落实
题型 规律 方法
着眼“四翼”·探考点
突破点一　与斜面有关的平抛运动问题
与斜面有关的平抛运动的三种情境分析
模型 方法 基本规律
分解速度，构建速度三
角形，找到斜面倾角θ
与速度方向的关系 水平：vx＝v0
竖直：vy＝gt
合速度：v＝
方向：tan θ＝
模型 方法 基本规律
分解速度，构建速度的
矢量三角形 水平：vx＝v0
竖直：vy＝gt
合速度：v＝
方向：tan θ＝
模型 方法 基本规律
分解位移，构建位移三
角形，隐含条件：斜面
倾角θ等于位移与水平
方向的夹角 水平：x＝v0t
竖直：y＝gt2
合位移：
s＝
方向：tan θ＝
顺着斜面的平抛运动
（2025·贵州遵义三模）可视为质点的运动员从P点以v0的速度水平飞
出，若不计空气阻力，运动员在空中飞行3 s后落在斜面上Q点。简化示意
图如图所示，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则运动员
由P到Q的过程中（　　）
A. 水平初速度大小为30 m/s
B. 水平初速度大小为20 m/s
C. P到Q的位移大小为45 m
D. P到Q的位移大小为60 m
√
解析：运动员由P到Q的过程中，有tan 37°＝＝，可得水平初速度
大小为v0＝＝20 m/s，故A错误，B正确；运动员由P到Q的过程
中，水平位移为x＝v0t＝60 m，则P到Q的位移大小为s＝＝75 m，故
C、D错误。
如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v0抛出一个小球，落在
斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α。若把初速度变
为3v0，小球仍落在斜面上。下列说法中正确的是（　　）
A. 小球在空中的运动时间不变
B. P、Q间距是原来的9倍
C. 夹角α与初速度大小有关
D. 夹角α将变小
√
解析： 　位移与水平方向夹角的正切值tan θ＝＝，则小球在空中运
动的时间t＝，若初速度变为原来的3倍，则小球在空中运动的时间
变为原来的3倍，这样竖直位移或水平位移都变为原来的9倍，P、Q间距变
为原来的9倍，A错误，B正确；速度方向与水平方向夹角的正切值tan β＝
，可知速度方向与水平方向夹角β的正切值是位移与水平方向夹角θ正切
值的2倍，小球落在斜面上，位移方向相同，则速度方向相同，可知夹角α
与初速度大小无关，C、D错误。
对着斜面的平抛运动
如图所示，斜面倾角为θ＝30°，在斜面上方某点处，先让小球（可
视为质点）自由下落，从释放到落到斜面上所用时间为t1，再让小球在该
点水平抛出，小球刚好能垂直打在斜面上，运动的时间为t2，不计空气阻
力，则为（　　）
A. B. C. D.
√
解析：设小球水平抛出的初速度为v0，则打到斜面上时，沿竖直方向的分
速度vy＝＝gt2，水平位移x＝v0t2，抛出点到斜面的竖直高度h＝＋
xtan θ＝＋＝，又h＝g，解得t2＝，t1＝，则＝
，D正确。
突破点二　与曲面有关的平抛运动问题
与曲面有关的平抛运动的三种情境分析
运动情景 物理量分析
tan θ＝＝→t＝
在半圆内的平抛运动，
R＋＝v0t→t＝
运动情景 物理量分析
小球恰好从圆柱体的Q点沿切线飞过，此时半径
OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相
等
如图所示，在竖直放置的半球形容器的中心O点分别以水平初速度
v1、v2沿相反方向抛出两个小球1和2（可视为质点），最终它们分别落在
圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，则
两小球的初速度之比为（　　）
A. tan α B. cos α
C. tan α D. cos α
√
解析：两小球被抛出后都做平抛运动，设容器的半径为R，两小球运动的
时间分别为t1、t2。则对小球1有Rsin α＝v1t1，Rcos α＝g，对小球2，有
Rcos α＝v2t2，Rsin α＝g，解得两小球的初速度之比为＝tan α，
故C正确。
　〔多选〕（2025·广西南宁模拟）如图所示，四分之一圆弧面的半径R与
斜面的竖直高度相等，斜面的倾角为60°，圆弧面的圆心为图中O点，在
斜面的顶端A点将多个小球以不同的水平速度抛出，设小球碰到接触面后
均不再反弹，已知重力加速度为g，则以下说法正确的是（　　）
A. 小球有可能垂直打到圆弧面上
B. 小球抛出的初速度越大，则运动时间越短
C. 小球抛出的速度等于时，运动时间最长
D. 若小球抛出的速度小于，则落到接触面时速度偏角均相同
√
√
解析： 　如图所示，根据平抛运动的推论，速度方向
延长线交于水平位移的中点，当圆心O为图中水平位移
AA'的中点时，小球垂直打在圆弧面B点，故A正确；根
据h＝gt2，当小球打在斜面上时，小球抛出的初速度越
大，小球下落高度越大，小球运动的时间越长；当小球
打在圆弧面上时，小球抛出的初速度越大，小球下落高度越小，小球运动的时间越短，故B错误；当小球刚好落在O点正下方时，下落高度最大，运动时间最长，则有R＝gt2，＝v0t，联立解得v0＝，故C错误；由以上可知，若小球抛出的速度小于，小球均落在斜面上，根据平抛运动推论可知，落到斜面上时速度偏角均满足tan θ＝2tan 60°＝2，即落到接触面上时速度偏角均相同，故D正确。
突破点三　平抛运动中的临界极值问题
1. 常见的“临界术语”
（1）题目中有“刚好”“恰好”“正好”“取值范围”“多长时
间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在临界点。
（2）题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的
过程中存在着极值。
2. 平抛运动临界、极值问题的分析方法
（1）确定研究对象的运动性质；
（2）根据题意确定临界状态；
（3）确定临界轨迹，画出轨迹示意图；
（4）应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解。
平抛运动的临界问题
如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，
竖直墙的厚度d＝0.4 m，某人在距离墙壁L＝1.4 m、
距窗子上沿h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物
件以垂直于墙壁的速度v水平抛出，要求小物件能直
接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2，则可以实现上述要求的速度大小是（　　）
A. 2 m/s B. 4 m/s
C. 8 m/s D. 10 m/s
√
解析：小物件做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧墙边缘穿过时速度v最
大。此时有L＝vmaxt1，h＝g，代入数据解得vmax＝7 m/s，小物件恰好擦
着窗口下沿左侧墙边缘穿过时速度v最小，则有L＋d＝vmint2，H＋h＝
g，代入数据解得vmin＝3 m/s，故v的取值范围是3 m/s≤v≤7 m/s，故B
正确，A、C、D错误。
平抛运动的极值问题
某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，
如图所示。模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高
点距离水平地面2 m，右端出口水平。现让小球在
最高点由静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为（　　）
A. 0 B. 0.1 m
C. 0.2 m D. 0.3 m
√
解析：设最高点距离水平地面的高度为H，右端出口距离地面距离为h，小
球从最高点到右端出口，根据机械能守恒定律，有mg（H－h）＝mv2，从
右端出口飞出后小球做平抛运动，有x＝vt，h＝gt2，联立解得x＝
2，根据数学知识知，当H－h＝h时，x最大，即h＝1 m时，小
球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh＝1 m－0.8 m＝0.2 m，故C
正确。
培养“思维”·重落实
夯基 提能 升华
1. （2025·安徽蚌埠三模）如图为某运动员自由式滑雪训练场景示意图，
运动员从跳台a处沿水平方向飞出，在斜坡b处着陆，如果其在空中运动过
程中与斜面间的最大距离为 m，斜坡与水平方向的夹角为30°，重力加
速度g取10 m/s2，则其从a处飞出时的速度大小为（　　）
A. 10 m/s B. 5 m/s
C. m/s D. m/s
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解析： 　将运动员在a处的速度及重力加速度g分解为垂直于斜面方向和
沿斜面方向，则沿垂直于斜面方向，当运动员到达距离斜面最大高度时，
有hm＝＝ m，解得v0＝10 m/s，故选A。
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2. （2025·福建福州期末）如图所示，以水平初速度v0＝10 m/s抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为60°的斜面上。不计空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2，则物体完成这段飞行的时间是（　　）
A. s B. 1 s C. s D. 2 s
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解析： 　物体撞在斜面上的速度与斜面方向垂直，将该
速度分解，如图所示。由于不计空气阻力，因此物体水平
方向的速度仍为v0，设物体竖直方向的速度为vy，则tan
60°＝＝，此外，由于物体竖直方向只受到重力，
因此竖直方向的加速度为重力加速度g，且物体竖直方向的初速度为零，则有vy＝gt，联立两式解得t＝ s，故选A。
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3. （2025·四川德阳一模）如图所示，在竖直直角坐标系内有一高度为8
m、倾角为37°的斜面，将小球从＋y轴上位置（0，8 m）处沿＋x方向水
平抛出，初速度为4 m/s，g取10 m/s2，则小球第一次在斜面上的落点位置
为（　　）
A. （3 m，4 m） B. （3 m，5 m）
C. （4 m，5 m） D. （4 m，3 m）
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解析： 　设小球第一次在斜面上的落点位置为（x，y），小球在空中
做平抛运动，水平方向有x＝v0t，竖直方向有y0－y＝gt2，其中v0＝4
m/s，y0＝8 m，又由几何关系可得tan 37°＝，联立解得x＝4 m，y＝
3 m，故选D。
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4. （2025·黑龙江哈尔滨期中）如图所示，圆环竖直放置，从圆心O点正上
方的P点，以速度v0水平抛出的小球恰能从圆环上的Q点沿切线方向飞过，
若OQ与OP间夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，则（　　）
A. 圆环的半径为R＝
B. 小球从P点运动到Q点的时间t＝
C. 小球从P点运动到Q点的速度变化量
D. 小球运动到Q点时的速度大小为vQ＝
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解析： 以速度v0水平抛出的小球恰能从圆环上的Q点沿切线方向飞过，
小球运动到Q点时的速度大小为vQ＝，故D错误；小球在Q点的竖直方
向的速度为vQy＝v0tan θ，小球从P点运动到Q点的时间t＝＝，故B
错误；小球水平方向做匀速直线运动，有Rsin θ＝v0t，联立可得圆环的半
径为R＝，故A正确；小球从P点运动到Q点的速度变化量Δv＝gt＝
v0tan θ，故C错误。
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5. （2025·江西赣州期末）如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程
为y＝x2，在y轴上有一点P，坐标为（0，6）。从P点将一可以看成质点的
小球水平抛出，初速度为1 m/s。不计空气阻力，g取10 m/s2，则小球打在
曲面上所用时间为（　　）
A. 1 s B. s
C. s D. s
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解析： 　小球做平抛运动，则打在曲面上时，竖直方向位移为h＝gt2，
水平位移x＝v0t，则小球的坐标为，小球打在曲面上，满
足曲面方程y＝x2，将小球坐标代入曲面方程，解得t＝1 s，故A正确，B、
C、D错误。
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6. 如图所示，乒乓球的发球器安装在水平桌面上，竖直转轴OO'距桌面的
高度为h，发射器O'A部分长度也为h。打开开关后，可将乒乓球从A点以初
速度v0水平发射出去，其中≤v0≤2，设发射出的所有乒乓球都
能落到桌面上，乒乓球自身尺寸及空气阻力不计。若使该发球器绕转轴
OO'在90°角的范围内来回缓慢水平转动，持续发射足够长时间后，乒乓
球第一次与桌面相碰区域的最大面积S是（　　）
A. 2πh2 B. 3πh2
C. 4πh2 D. 8πh2
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解析： 　根据平抛运动规律h＝gt2，解得t＝，以最小速度v1＝
发射的乒乓球，水平位移最小，为x1＝v1t＝×＝2h，对应的与桌
面相碰区域的圆半径为r1＝h＋x1＝3h，以最大速度v2＝2发射的乒乓
球，水平位移最大，为x2＝v2t＝2×＝4h，对应的与桌面相碰区域
的圆半径为r2＝h＋x2＝5h，乒乓球第一次与桌面相碰区域的最大面积S＝
π[（5h）2－（3h）2]＝4πh2，故C正确。
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7. 〔多选〕（2025·山东菏泽期中）如图所示为固定的半圆形竖直轨道，
AB为水平直径，O为圆心，同时从A点水平抛出甲、乙两个小球，初速度
分别为v1、v2，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角
均为30°，忽略空气阻力，两小球均可视为质点，则（　　）
A. 甲、乙两球同时落到轨道上
B. v1∶v2＝1∶3
C. 乙球的速度变化量比甲球的大
D. 乙球在D点速度的反向延长线一定过O点
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解析： 　两个小球下落的高度是相等的，根据h＝gt2，又Δv＝gt，可知
甲、乙两球下落到轨道的时间相等，速度变化相等，故A正确，C错误；设
圆形轨道的半径为R，则甲水平位移为x1＝R－Rsin 30°＝0.5R，乙水平位
移为x2＝R＋Rsin 30°＝1.5R，可得x2＝3x1，水平方向做匀速直线运动，
则有v1∶v2＝1∶3，故B正确；D点速度反向延长线过水平位移中点，所以
乙球在D点速度的反向延长线不过O点，故D错误。
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8. （2025·云南昆明模拟）如图所示，从高H＝5 m处的A点先后水平抛出两
个小球1和2。球1与地面碰撞一次后，恰好越过位于水平地面上的竖直挡
板落在水平地面上的E点，已知碰撞前后的水平分速度不变、竖直分速度
等大反向。球2的初速度v0＝3 m/s，也恰好越过挡板落在E点，忽略空气阻
力，取重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正确的是（　　）
A. 小球2的水平射程为5 m
B. 小球1平抛运动的初速度为1.5 m/s
C. 抛出点A与竖直挡板顶端D点的高度差h＝ m
D. 抛出点A与竖直挡板顶端D点的高度差h＝1.25 m
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解析： 　根据H＝gt2，x＝v0t，小球2的水平射程为x＝3 m，A错
误；两球均落到E点，根据对称性可知，小球1和2运动总时间之比为
t1∶t2＝3∶1，小球1落至C点的水平位移为x1＝＝1 m，小球1平抛运
动的初速度为v1＝，得v1＝1 m/s，B错误；球2运动至挡板顶端D与球
1从挡板顶端D运动至最高点的时间相同，则对应的水平方向位移之和
为v0＋v1＝2 m，得抛出点A与竖直挡板顶端D点的高度差为h＝
1.25 m，故C错误，D正确。
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9. （2025·湖北荆州期末）如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上
方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面经过的时间为
t，重力加速度为g，B到斜面底边的竖直高度为H，则下列说法中正确的是
（　　）
A. 若小球以最小位移到达斜面，则t＝
B. 若小球以最小位移到达斜面，则v0＝sin θ
C. 若小球能击中斜面中点，则t＝
D. 若小球垂直击中斜面，则t＝
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解析： 过抛出点作斜面的垂线CD，如图所示，当小球
落在斜面上的D点时，位移最小，设运动的时间为t，则水
平方向，有x＝v0t，竖直方向，有y＝gt2，根据几何关系
有＝tan θ，则有＝tan θ，解得t＝，故A错误；由A选项可知v0＝x，由几何关系可得此时竖直方向位移y＝Hcos θ·cos θ＝Hcos2 θ，水平方向位移x＝Hcos θsin θ，由以上可知v0＝sin θ，故B正确；
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若小球能击中斜面中点，小球下落的高度设为h，水平位移设为x1，则由几何关系可得tan θ＝＝＝，解得t1＝，故C错误；小球垂直击中斜面时速度与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝，解得t＝，故D错误。
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10. （2025·湖北武汉模拟）如图所示，倾角为37°的斜面固定在水平面
上，小球从斜面上M点的正上方0.2 m处由静止下落，在M点与斜面碰撞，
之后落到斜面上的N点。已知小球在碰撞前、后瞬间，速度沿斜面方向的
分量不变，沿垂直于斜面方向的分量大小不变，方向相反，sin 37°＝
0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空气阻力，则小
球从M点运动至N点所用的时间为（　　）
A. 0.2 s B. 0.3 s
C. 0.4 s D. 0.5 s
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解析： 　由自由落体运动公式v2＝2gh，得小球到M点
的速度大小为v＝2 m/s，以沿斜面方向为x轴，以垂直于
斜面方向为y轴建立坐标系，如图所示。则vy'＝vy＝vcos
37°＝1.6 m/s，vx＝vsin 37°＝1.2 m/s，将重力加速度
分解为ay＝gcos 37°＝8 m/s2，ax＝gsin 37°＝6 m/s2，小球从M点落到斜面上的N点，由运动学公式y＝vy't－ayt2＝0，代入数据解得t＝0.4 s，故选C。
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11. （2025·河北邢台二中模拟）如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙（厚
度不计）高h＝3.2 m，围墙到房子的水平距离L＝3 m，围墙外空地宽x＝
10 m。为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，重力加速度g取10
m/s2，求：
（1）小球离开屋顶时的速度v0的大小范围；
答案： 5 m/s≤v0≤13 m/s　
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解析： 设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为v01，则小
球的水平位移
L＋x＝v01t1
小球的竖直位移H＝ g
联立解得v01＝13 m/s
设小球恰好越过围墙边缘时的水平初速度为v02，则小球的水平位移L＝v02t2
小球的竖直位移H－h＝ g
解得v02＝5 m/s
故小球抛出时的速度大小范围为5 m/s≤v0≤13 m/s。
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（2）小球落在空地上的最小速度。
答案： 5 m/s
解析：小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小
球恰好越过围墙的边缘落在空地上时，落地速度最小。竖直方向有＝
2gH
又vmin＝
解得vmin＝5 m/s。
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12. （2025·福建三明模拟）水车是我国劳动人民利
用水能的一项重要发明。如图为某景观水车模型，
水从槽口水平流出，某时刻正好垂直落在与水平面
成30°角的轮叶边缘上，轮叶在水流不断冲击下而
转动。已知水车轮轴到轮缘距离为R，槽口到水车轮轴所在水平面距离为2R，忽略空气阻
力，重力加速度为g，求：
（1）水流从槽口到轮叶的运动时间t；
答案： 　
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解析： 由几何知识知，水流从槽口到轮叶，下落的高度为h＝2R－
Rsin 30°
竖直方向上水做自由落体运动，有h＝gt2
联立解得t＝。
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（2）水流初速度v0的大小和打在轮叶上的速度v的大小。
答案： 　2
解析：设水流垂直落到轮叶边缘时竖直方向的分速度为vy，
则vy＝gt水流垂直落在与水平面成30°角的轮叶边缘上，则tan 30°＝
水流打在轮叶上的速度的大小为v＝
联立可得v0＝，v＝2。
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